独立重复试验与二项分布课件

独立重复试验与二项分布
1．互斥事件、对立事件与相互独立事件 的关系。 2．在n次独立重复试验中，Ai是第i(i＝1、 2、„、n)次试验中出现的事件，因为试验 的条件相同，所以第n次试验出现的事件 An不受前面n－1试验结果的影响． 3.两点分布是一种特殊的二项分布，即当n ＝1时的二项分布．
5
5
9 25
4 216 × ＝ ； 25 625 (4)在第二、第三两次击中目标的概率为
3 32 36 2 1－ P＝5 · 5 ＝625.
2 .3 .1
离散型随机变量的均值
思考
18 元 / kg
某商场要将单价分别为
18元 / kg,24元 / kg,36元 / kg的三 种糖果按 3 : 2 : 1的比例混合销 售 如何对混合糖果定价才 , 合理 ?
,

量取
若 Y aX b , 其中 a , b 为常数 , 则 Y 也是随机变量 Y 的分布列为
X P
因为 P Y ax i b P X x i , i 1, 2 , , n , 所以 ,
ax 1 b
p1
ax
2
b

ax i b
pi
24 元 / kg
由于在 1 kg 的混合糖果中 的质量分别是
36 元 / kg
,3 种糖果 1 6 该是 kg , 所以
1 2
kg ,
1 3
kg ,
混合糖果的合理价格应 18 1 2 24 1 3 36 1 6
23 元 / kg
? 元 / kg
它是三种糖果价格的一 的权数分别是
7 10
· 7· 3 ＋ C 0.9 0.1
8 10
· 8· 2 ＋ C 0.9 0.1
9 10
· 9· ＋ 0.9 0.1
C10· 10≈0.98. 10 0.9

[例3] 一名学生骑自行车上学，从他家到 学校的途中有6个交通岗，假设在各个交 通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且 概率都是 ，设X为这名学生在途中遇到 的红灯次数，求X的分布列．
根据古典概型
, 在混合糖果中
, 任取一颗糖果
, 它的
单价为 18 元 / kg , 24 元 / k , 36 元 / kg 的概率分别为 1 1 1 , 和 .用 X 表示这颗糖果的价格 2 3 6 散型随机变量
X P
, 则它是一个离
, 其分别列为
18
24
36
1 2
1 3
1 6
因此权数恰好是随机事 千克混合糖果的合理价
变量 X 的分布列 .这样 , 每 格为
18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36 .
一般地 , 若离散型随机变量
X P
X 的分布列为
xi
pi
x1
p1
x2
p2


xn
pn
则称 EX x 1p 1 x 2 p 2 x ip i x n p n 为随 机变量 X 的 均值mean 或 数学期望( mathema tical exp ectation ). 它反映了离散型随机变 值的平均水平 .
p i p n ) aEX b ,
即 EaX b aEX b.
思考
随机变量的均值与样本 的平均值有何联系
与区别?
可以看到随机变量的均值是常数而样本的平均值 , , 是随机变量对于简单随机样本随着样本容量增加 . , , 样本平均值越来越接近 于总体均值 .
所以
k 1 k 2 6－k P(X＝k)＝C6 · (k＝0,1,2，„，6)．X
3 3
的分布列
如下表： X P 0
2 6 3
1 26 35
2 5×24 35
3 160 36
4 20 35
5 4 35
6 1 36
[例4] 有10台都为7.5千瓦的机床，如果 每台机床的使用情况是相互独立的，且每 台机床平均每小时开动12min，问全部机 床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留 两位有效数字) [分析] 解答本题的关键是明确某一时刻 正常工作的机床台数X服从二项分布，即 X～B(10,0.2)．
k 有 Cn种情况．由试验的独立性知，A 在 k 次试验中发生，
－ －
而在其余试验中都不发生的概率是 pk(1－p)n－k.
而各种情况都互斥，所以由概率加法公式知，如果在 一次试验中事件 A 发生的概率为 p，则在 n 次独立重复试 验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Ck pk(1－p)n－ n
种加权平均

.这里
1 1 1 , 和 . 2 3 6
权是秤锤 权数是起权衡轻重作用 , 的数
值.加权平均是指在计算若 干个数量的平 均数时 考虑到每个数量在总量 , 中所具有 的重要性不同分别给予不同的权数 , .
思考
如果混合糖果中每一颗 糖果的质量
都相等 你能解释权数的实际含 , 义吗?

4. 若 X～B(n，p)，则独立重复试验的总次数为 n，每 次试验中事件 A 出现的概率为 p.事件 A 恰好发生 k 次的概 率 P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n k(应注意和二项式定理展开式 Ck n n an kbk 的区别)，这是因为：若每个试验，只考虑有两个可 能的结果 A 及 A ，且事件 A 发生的概率相同．在相同条件 下，重复做的 n 次试验，各次试验结果相互独立，即称为 n 次独立重复试验．事件 A 在 n 次试验中若发生 k 次，共
1．定义：一般地，在 相同条件 下 重 复 做 的n次试验称为n次独立重复试验． 2．在n次独立重复试验中，“在相同的条 件下”等价于各次试验的结果不会受其他 试验的 影响 ，即P(A1A2„An)＝P(A1)P(A2)„P(An) ．其中Ai(i＝1,2，„，n)是第i次 试验的结果．

3．定义：一般地，在 n次独立重复试验中 ， 次数 设事件A发生的 是X，在每次试验 中事件A发生的概率为p，那么在n次独立 重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 CnkPk(1－p)n－k 其 中 k ＝ P(X＝k)＝ ， 0,1,2，„，n.此时称随机变量X服从二项分 布，记作 X～B(n，p) ，并称 p 为成功概 率． 4．Cnkpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展 开式中的第 k＋1 项．

[例1] 某人射击5次，每次中靶的概率均 为0.9，求他至少有2次中靶的概率． [分析] 至少有2次中靶包括恰好有2次中 靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰 好有5次中靶四种情况，这些事件是彼此 互斥的，而每次射击中靶的概率均相等， 并且相互之间没有影响，所以每次射击又 是相互独立事件，因而射击5次是进行5次 独立重复试验．
1 0.7 0 0.3 0.7 .
根据两点分布的均值公 ,如果罚球命中率 式 为0.8,那么罚球 1 次的得分均值是多少 ?
一般地 , 如果随机变量 于是有
X 服从两点分布
,
那么 EX 1 p 0 1 p p .
P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝
9 C 7 ×0.27×0.83 ＋C 8 ×0.28×0.82 ＋C 10 ×0.29×0.81 ＋C 10 10 10 10
－
×0.210×0.80≈0.00086.
[例5] 已知一个射手每次击中目标的概率 为p＝ ，求他在4次射击中下列事件发生 的概率． (1)恰命中一次； (2)恰只在第三次命中目标； (3)恰命中两次； (4)刚好在第二、第三两次击中目标．
[分析]
关键在于将“遇到每个交通岗看作一次试
1 服从二项分布，X～B6，3，
验”，从而得出随机变量 X
求出 P(X＝k)(k＝0,1,2，„，6)，再列出分布列．
[解析]
将遇到的每个交通岗看作一次试验，遇到红
1 1 灯的概率都是3， 且每次试验结果相互独立， X～B6，3. 故

[解析]
12 由于每台机床正常工作的概率为60＝0.2，而
且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故某一时 刻正常工作的机床台数服从二项分布， X 为某一时刻正 设 常 工 作 的 机 床 的 台 数 ， 则 X ～ B(10,0.2) ， P(X ＝ k) ＝ Ck · k· 10 k(k＝0,1,2，„，10)，根据题意，48 千瓦可供 10 0.2 0.8 6 台机床同时工作，用电超过 48 千瓦，即意味着有 7 台或 7 台以上的机床在工作，这一事件的概率为：
思考 值呢?
在实际问题中如何估计随机变量的总 , 体均
例1
在篮球比赛中罚球命中 次得1分,不 , 1
中得0分.如果某运动员罚球命中 率为 0.7, 那么他罚球 次的得分X的均值是多少 1 ?
解
因为PX 1 0.7,PX 0 0.3,
所以 EX 1 PX 1 0 PX 0

[解析]
这里 4 个问题， 都是在同一条件下事件的发生
情况，所以均属独立重复试验．所以 (1)恰命中一次的概率为 3 3 1 1－ 3＝ P＝C4× × 5

5
96 625；
(2)恰只在第三次命中的概率为 33 3 8 3 24 1－ ＝ × P＝5 5 5 125＝625； (3)刚好命中两次的概率为 3 2 3 2 1－ 2 ＝6× P＝C 4
[例2] 一位病人服用某药品被治愈的概率 为90%，求服用这种药的10位患有同样疾 病的病人中至少有7人被ห้องสมุดไป่ตู้愈的概率． [分析] 至少有7人被治愈可看成事件A至 少发生7次，故由在n次独立重复试验中某 事件恰好发生k次的概率计算公式可求．