工科2高等数学(D)及答案

合集下载

理科二类高等数学(上.下)参考答案

理科二类《高等数学》（上）习题参考答案第一章函数与极限习题一一、1.．224>-<<-x x 或；2．[]a a -1,； 3．1525++⋅x x ； 4．奇函数； 5．0，1，1，0； 6．4231,,,--e e e e ．二(略)三、1．1； 2．0； 3．21； 4．4．四、1,1,1,-不存在．五、1,1-==b a 六、都不存在．七、;32.4;221.3;1.2;0.1 5．-2； 6.e . 八、2.6,0.5,2.4,32.3,21.2,2.1-.九(略)习题二一、()()[]1,0.5,1,1.4,,22,1.3,2.2,.1-+∞⋃e 第一二、41=a ．三、1.6,1.5,.4,ln .3,.2,2ln .163e a e .四、1．为可去间断点1=x ，为无穷间断点2=x ；2．为跳跃间断点1=x ．五、()()+∞⋃∞-,00,.六、七、(略);八、为跳跃间断点0=x ；为无穷间断点1=x .第一章测验题一、1., 2., 3., 4., 5.D C C A B .二、[]2.5,22.4,2,0.3,2.2,2.12+-x x . 三、112211.,2.1,3.,4.3,6.6e e -.四、x x x x p ++=232)(.五、11,2,1,.2x x x x =-===处连续为可去间断点为无穷间断点．六、.3,21==b a 七*、(略)第二章导数与微分习题一一、)0(.2,)(,)(2,)(.1000f x f x f x f ''''；)(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、,0()2,0,0x e x f x x x x ⎧>⎪'=<⎨⎪=⎩不存在三、)(2)(a ag a f ='. 四、处连续且可导0=x . 五*、()()10,21a a >>.习题二一、1．3622ln 2-++x x x ； 2．1； 3．2ln 1x x-； )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y ；)(4)(2.5222x f x x f ''+'．二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-； x x x x x x x x c o s s i n l n c o s 2s i n .2+-+；211arcsin 2.3xx -⋅；12ln (ln )4.n x n x x --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；21sec 222116.3ln3ln ;8.sec tan xx y y y e x x x -⎡'''===⎢⎣三、()[]{}()[]()x f x f f x f f f '⋅'⋅'.1, )()(2.222x x x x x e f e e e f xe '+四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 六*、[]222()2()()(ln )()(ln )(ln )()()ln x x x x f x f x y f a a a f a a a a a f x a f x a ''''''''=+++习题三一、2ln 82.3,)2(323.2,11.1--=-+a x ab b y e y, 63114.1(,,sin(31),arctan ,ln ln 263x x y x c e c x c e c x c -=-+++++. 二、1．[]2(1)cos()(1)cos()1y x y xy x xy xy -+++； 2．)()(2)()(22y f x x yf x f y y f x '+'--；三、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x ．四、1．t t cos -； 2．)(1t f ''；五、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ；2．dx xye x xy xye y y x y x ++--+；六、212x +. 第二章测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π)1()1(4)1()1(21)1(2.43442x f x f x x f x f x x x f '+''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'； 2ln 21.5-．二、..3,.2,.1C D D三、1．3322)2(42y yy y xe y xe ye e +++-； 2．214t t +； 3．0；4．[]2()sin ()cos ,0(0),()1,0[(0)1]2x g x x g x xx x a g f x x g '⎧+-+⎪≠⎪⎪''==⎨⎪=''⎪+⎪⎩第三章微分中值定理与导数的应用习题一一、1．不满足，2πξ=； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--．二、三、四、(略)．五、111., 2.0,3.,4.3,5.ln ,6.1,22a -六*、(略)．习题二一、1．单减，凹的； 2．(),29,23.4,0,0.34,1-==x y 5. ac b 32<.二、单减区间为]([],02,-∞⋃+∞；单增区间为[]0,2 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a 五、(略) 六、极大值17)1(=-f ；极小值47)3(-=f ；七、为极大值3)3(,2==πf a . 八、(略)第三章测验题一、1.; 2.; 3.; 4.; 5..B B A C A二、()0.5;,.4;2,1.3;4.2;1.1=>±x 凹的三、1.3;0.2;61.1-; 4.∞四、3;0; 1.a b c =-== 五*、83(,)55第四章不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x ； 5．)11(1x e x -； 6．21x-．二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21； 5．C x x x e x+---tan cot ； 6．427)7(4xx +．三、1ln +=x y四、12)(2+-=x x x G 习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(；4．C x f +--）2cos 3(31．二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e x x ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(；9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x x +-5cos 101cos 21； 11．C e e x x +--)arctan(； 12．C x+-arcsin 1； 13．C x x ++21； 14．C e x +-1arctan 2；15．C xx x x +-+-21arcsin ；习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2．二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C x x x x +++-|cos |ln tan 212；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．C x x x++)ln sin ln (cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(；三、C x x x +-++21)arcsin 1(．四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2．习题四1． C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 22． C x ++-|1csc |ln 3．C x x x +++++-+|11|ln 313)1(233332 4． C x x ++66)1(ln5．C x +2tan arctan2126． arcsin x c第五章定积分习题一一、1．>， 2．>; 二、（提示：用定积分性质6证）三、（略）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22．五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2 八*、4π．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）；4π六*、(提示：用分部积分法) 七*、(提示：用分部积分法)习题三一、B二、1．π； 2．2π．3．22p ωω+; 4．∞ 第六章定积分的应用一、1．332； 2．2ln 23-； 3．21-+e e ； 4．23a π； 5．π45；二、2e 三、π7128；π564四、π103；五*、A b a ==,0《高等数学（下）与线性代数》习题参考答案第六章微分方程习题一一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、× 二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =；2、x cxe y -=；3、x y 2=；4、x x x y 91ln 31-=；5、C t x +=)(ln ϕ三、1、C y x =⋅tan tan ； 2、C e e y x =-⋅+)1()1( 四、22sec )1(=⋅+y e x五、1、Cx y x =-332； 2、223x y y -= 六、)ln 41(x x y -= 七、1、)(sin C x ey x+=-； 2、322Cy y x +=； 3、)cos 1(1x y --=ππ 八、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-t m ke k m k t k k v 2122121 九、x x e e xf 2323)(-=习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（B ）； 6、（A ）； 7、（D ）二、填空题1、3221)3(C x C x C e x y x +++-=；2、22121C x x e C y x +--=； 3、)1ln(1+-=ax ay三、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、x C x C e C e C y x x sin cos 4321+++=-；4、x e y x 5sin 32-= 四、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++-tk k tk k k eek k v x 1221222424122014五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ 六、xe x c x x c y xcos 5sin 2cos 2cos 21++⋅= 第八章多元函数微分学习题一一、 1、yyx +-112； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，-4； 4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-．二、1．D ； 2．A ；3．D ；4．B ；5．A三、 1．（1）)ln(21xy x x z =∂∂，)ln(21xy y y z =∂∂；（2）1-=∂∂z yx z y x u ，x x z y u zy ln 1=∂∂，x x z y z u z yln 2-=∂∂ 2.12222222222222222223.z xy z xyx x y y x y z y xx y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+（）（）（）4．xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5．dy dx 3231+习题二一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、2242232f y x f y x ''+'； 3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x y x -+； 5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、 1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、B ； 5、C 三、 1、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂ 3、212f x f y x z '+'=∂∂，22122211124)(2f xy f y x f xy f yx z''-''-+''+'=∂∂∂ 7、)()(1)](1)[(v g u f v g u f x z ''+'+'=∂∂，)()(1)](1)[(v g u f v g u f y z ''+'+'-=∂∂8、3322312211122cos 2cos sin f e e f x f e x f x f xzy x y x y x ''+⋅'+⋅''+⋅''+⋅'-=∂∂+++； 332232313122sin cos sin cos f e f y e f e f x e y x f yx zy x y x y x y x ''+''⋅-'+''⋅+''-=∂∂∂++++ 习题三一、1、A ；2、C ；3、C 二、1、极小值：2)1,21(ef -=--．2、当0222<-a b ，且0<a 时，有唯一极小值；当0222<-a b ，且0>a 时，有唯一极大值．3、32p ，3p． 4、在点)1,1(-处有极小值：-2；极大值：6．第九章重积分习题一、1.()2ab a b +； 2．⎰⎰e e y dx y x f dy ),(10； 3．)1(214--e ； 4．⎰⎰θππθsec 2034)(rdr r f d ；1210cos sin 5.(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰二、1. 2. 3. 4. 5.C A B D C三、1.[36,100]ππ； 62.55； 1.3--e e ； 4．49； 5．2643π； 6．38；《线性代数》习题参考答案习题一一、填空题1．)1(-n n ；2．+； 3．0（提示：由根与系数的关系：0=++γβα）； 4．-600； 5．)1)(1(++cd ab ．二、计算题 1．n n nb a 1)1(--+； 2．1)]()1([---+n a x a n x ；3．∑=+ni in a a a a 121)11( （提示：先第1行乘（-1）加到第2、3、…、n 行上；再第j 列乘ja a 1加到第1列）； 4．6； 5．1)2]()2([---+n a x a n x ．三、证明题（略）习题二一、填空题1．21； 2．E ； 3．)(21E A -，)3(41E A --； 4．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011A B ； 5．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----8500320000520021； 6．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121 ．二、选择题1．③；2．③；3．②；4．③；5．②；6．①；7．③；8．③．三、计算题1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/253/8122； 2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201030102； 3．-16； 4．0≠k ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1/110/100011k k A ．四、证明题（略）习题三一、1．2； 2．)()(b A R A R =； 3．1≠λ且2-≠λ； 4．04321=+++a a a a ．二、1．④； 2．④； 3．④；4．①； 5．④三、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011101110；四、（1）1=k ；（2）2-=k ；（3）1≠k 且2-≠k ．五、（1）2,1-≠λ ；（2）2-=λ；（3）1=λ．六、2-≠b 时，方程组无解；2-=b ，无论a 取什么值时，方程组有无穷多解．当8-=a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001110210124214321k k x x x x ；当8-≠a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001110214321k x x x x ．证明题（略）．习题四一、1．5=t ； 2．至少有一个向量； 3．321,,ααα ；4．2≤r ；5．t s r -= 二、1．④； 2．③； 3．③； 4．③； 5．② 三、321,,ααα为极大无关组，323214,3ααααααα+-=-+=四、（1）4-=α且0≠β ；（2）4-≠α ；（3）4-=α且321)12(,0αααβ++-==c c b 五、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543c x 六、1-≠a 时，向量组A 、B 等价．证明题略．习题五一、1．1或-1 ；2．E ；3．18 ；4．11=λ（二重），212-=λ；5．125 ； 6．4=λ ； 7．2524232221y y y y y ---- ；8．2<t ；9．可逆；10．232221455y y y -+二、1．②； 2．③； 3．④； 4．②； 5．④ 三、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===23132212343102313221,5,4P y x 四、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=244354332A 五、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022********A六、当3=x 时，A 可对角化．证明题略．。

高数二期末考试题及答案

高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。

答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。

答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。

答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。

答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。

高等数学2-习题集(含答案)

《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题11. 计算行列式6142302151032121----=D 的值。

2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。

3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。

4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ，计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。

5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。

6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。

9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a xa a ax D n=的值。

11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。

12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。

14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。

15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。

16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。

17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。

18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。

高等数学(二)试题及答案

高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量（3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是（收敛、发散）级数（7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。

（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散（7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分（9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分故原级数收敛…………………………………….6分（10）解：建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分（11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分（13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。

2000-数学二真题、标准答案及解析

( n +1)π
cos x dx
0
0
又因为 cos x 是以 π 为周期的函数，在每一个周期上积分值相等
所以
nπ
π
∫0 cos x dx = n∫0 cos x dx = 2n
∫ ∫ (n+1)π cos x dx = (n +1) nπ cos x dx = 2(n +1)
0
0
因此当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
二、选择题
（1）设函数
f
(x)
=
a
x + ebx
在 (−∞, +∞)
内连续，且
lim
x→−∞
f
(x)
=
0 ，则常数 a,b
满足
（A） a < 0,b < 0
（B） a > 0,b > 0
（C） a ≤ 0,b > 0
（D） a ≥ 0,b < 0
【答】应选（D）
【】
【详解】由题设，f ( x) 在 (−∞, +∞) 内连续，因此对任意的 x ∈ (−∞, +∞) ，有，，这只需 a ≥ 0
0
（1）当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
S ( x)
（2）求 lim x x→+∞
【详解】
（1）当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，主义到被积函数是非负得，于是有
∫ ∫ nπ cos x dx ≤ S ( x) <
⎢ ⎣
g

专升本高数二真题答案解析

专升本高数二真题答案解析导读：高等数学是专升本考试中的一门重要科目，也是考生们最担心的科目之一。

为了帮助考生更好地理解和掌握高数知识，本文将对专升本高数二真题进行答案解析，希望能够对考生们的备考有所帮助。

第一题：解析：本题是一道求导题，要求求出函数f(x) = x^3 - x的导函数。

首先，我们可以按照求导法则对每一项进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 1。

所以答案是f'(x) = 3x^2 - 1。

第二题：解析：本题是一道定积分题，要求计算∫(0到1) (3x^2 + 2x + 1)dx。

根据定积分的性质，我们可以将被积函数的各项分别进行积分，并进行求和。

∫(0到1) (3x^2 + 2x + 1)dx = ∫(0到1) 3x^2 dx + ∫(0到1) 2x dx + ∫(0到1) 1 dx依次求积分，得到(3/3)x^3 + (2/2)x^2 + (1)x = x^3 + x^2 +x。

所以答案是∫(0到1) (3x^2 + 2x + 1)dx = x^3 + x^2 + x。

第三题：解析：本题是一道极限题，要求求出lim(x趋近无穷) (3x^2 + 2x + 1)。

对于x趋于无穷时，我们可以略去低阶无穷小，只保留最高次的项。

所以lim(x趋近无穷) (3x^2 + 2x + 1) = lim(x趋近无穷)3x^2 = +无穷。

所以答案是lim(x趋近无穷) (3x^2 + 2x + 1) = +无穷。

第四题：解析：本题是一道微分方程题，要求求出微分方程dy/dx = x + 1的通解。

对于一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以使用积分因子法进行求解。

首先，将方程改写为dy/dx + 1y = x，并求出积分因子μ(x) = e^∫1dx = e^x。

然后，将方程两边同时乘以积分因子μ(x)，得到e^xdy/dx +e^xy = xe^x。

高数(二)-习题选解答doc.doc

第七章微分方程的解1 求曲线族122=+Cy x 满足的微分方程，其中C 为任意常数.解在等式122=+Cy x 两端对x 求导,得.022='+y Cy x再从122=+Cy x 解出,122y x C -=代入上式得 ,012222='⋅-⋅+y y yx x 化简即得到所求的微分方程 .0)1(2='-+y x xy 2验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程 0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 .将函数求一阶导数,得 dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π 即 .42π-=C 从而所求特解为 .sin 422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π可分离变量的微分方程 1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx ydy 2 → 12||ln C x y +=从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1Ce C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =2 求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=-两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. . 齐次方程 1求解微分方程x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 解题设方程为齐次方程,设,x y u =则,dxdux u dx dy += 代入原方程得,tan u u dx du xu +=+分离变量得.1cot dx xudu = 两边积分得||ln ||ln |sin |ln C x u += → ,sin Cx u =将x y u =回代，则得到题设方程的通解为.sin Cx xy= 利用初始条件,6/|1π==x y 得到.21=C 从而所求题设方程的特解为.21sin x x y =2 求解微分方程 .22dxdy xy dx dy xy =+ 解原方程变形为=-=22x xy y dx dy ,12-⎪⎭⎫⎝⎛xy x y （齐次方程）令,x y u =则,ux y =,dx dux u dx dy +=故原方程变为,12-=+u u dx du x u 即.1-=u u dx du x 分离变量得⎪⎭⎫⎝⎛-u 11.x dx du =两边积分得||ln ||ln x C u u =+-或.||ln C u xu +=回代,x y u =便得所给方程的通解为 .||ln C xyy += 一阶线性微分方程1 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==ex y解将方程标准化为,1ln 1x y x x y =+'于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰-C dx e x e y x x dxx x dxln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e xe x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y ＊2 求解方程,)(dxd x dx d y dx dy ϕϕϕ=+ )(x ϕ是x 的已知函数.解原方程实际上是标准的线性方程，其中,)(dx d x P ϕ=,)()(dxd x x Q ϕϕ= 直接代入通解公式，得通解⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 伯努利方程 1 求y x y xdx dy 24=-的通解. 解两端除以,y 得,412x y xdx dy y =- 令,y z =得,422x z x dx dz =-解得,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x z 故所求通解为.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y2（E03）求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解. 解以2y 除方程的两端,得,ln 112x a y xdx dy y =+--即 ,ln 1)(11x a y x dx y d =+--- 令,1-=y z 则上述方程变为 .ln 1x a z xdx dz -=-解此线性微分方程得 x z =.)(ln 22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C以1-y 代,z 得所求通解为 yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(ln 2x a C .1=全微分方程1 (E01) 求方程0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解,6xQ xy y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, ⎰⎰+-=yxdy y dx xy xy x u 03023)3(),(,42344224y y x x +-=原方程的通解为.42344224C y y x x =+- 2 求解.0)33()35(222324=+-+-+dy y xy y x dx y xy x 解这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236，所以题设方程是全微分方程. 可取,00=x ,00=y 由全微分求积公式得:⎰⎰+-+=yxdy y dx y xy x y x u 020324)35(),(.312333225y xy y x x +-+=于是，方程的通解为 .312333225C y xy y x x =+-+3（E02）求方程0324223=-+dy yx y dx y x的通解. 解,64x Qyx y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, 将左端重新组合 +dy y21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-dy y x dx y x 42332d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y 1d +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32y x d=,132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-y x y 原方程的通解为.132C yx y =+-)(x f y =''型1 求方程0)3()4(=-y xy 的通解.解设),(x P y ='''代入题设方程,得),0(0≠=-'P P P x 解线性方程,得x C P 1=1(C 为任意常数)，即,1x C y =''' 两端积分,得,21221C x C y +='',63231C x C x C y ++='再积分得到所求题设方程的通解为,224432241C x C x C x C y +++=其中)4,3,2,1(=i C i 为任意常数.进一步通解可改写为.432241d x d x d x d y +++=其中)4,3,2,1(=i d i 为任意常数.),(y x f y '=''型2 (E02) 求方程02)1(222=-+dx dyx dxy d x 的通解. 解这是一个不显含有未知函数y 的方程.令),(x p dxdy=则,22dx dp dx y d =于是题设方程降阶为,02)1(2=-+px dxdpx 即.122dx x x p dp +=两边积分,得 |,|ln )1ln(||ln 12C x p ++=即)1(21x C p +=或).1(21x C dxdy+= 再积分得原方程的通解 .3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=3 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.解法 1 所给方程不显含,y 属),(y x f y '=''型,令,p y ='则,p y '=''代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2 因为,)(2'+'='+''y y x y y x 即,111xC y x y +=+'这是一阶线性微分方程，解得 ,221xC C xy ++=因为0→x 时，y 有界,得,02=C 故,21C x y +=由此得21='y 及,21)1(1C y += 又由已知条件),1(2)1(y y '=得,211=C 从而所求特解为.212+=x y ),(y y f y '=''型4（E03）求方程02='-''y y y 的通解. 解设),(y p y ='则,dy dp py =''代入原方程得,02=-⋅p dy dp p y 即.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅p dy dp y p 由,0=-⋅p dy dp y 可得,1y C p =所以,1y C dxdy = 原方程通解为 .12x C e C y = 5已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解；（2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ① 所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-'' (3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得 ,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 1求下列微分方程的通解.(1) ()();0235='++y y y (2)().022)4(6=+''--y y y y解 )1( 特征方程为,0235=++r r r 即,0)1(22=+r r 特征根,01=r ,32i r r ==,54i r r -== 通解为.sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (2)特征方程为,022246=+--r r r 即,0)1)(2(42=--r r特征根,21=r ,22-=r ,13=r ,14-=r ,5i r =,6i r -= 通解为x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++2（E05) 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin 3,2cos ,,4321x y x y xe y e y x x ====求这个四阶微分方程及其通解.解由1y 与2y 可知，它们对应的特征根为二重根21r r =,1= 由3y 与4y 可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3i r ±= 所以特征方程为,0)4()1(22=+-r r 即,04852234=+-+-r r r r 它所对应的微分方程为,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y 其通解为.2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=x m e x P x f λ)()(=型1 (E02) 求方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解.解题设方程右端的自由项为x m e x P x f λ)()(=型，其中,13)(+=x x P m .0=λ 对应的齐次方程的特征方程为,0322=--r r 特征根为,11-=r .32=r 由于0=λ不是特征方程的根，所以就设特解为.10*b x b y += 把它代入题设方程,得 ,13323100+=---x b b x b 比较系数得,13233100⎩⎨⎧=--=-b b b 解得.31110⎩⎨⎧=-=b b于是，所求特解为.31*+-=x y2 (E03) 求方程x xe y y y 223=+'-''的通解.解题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y += 代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,210=b ,11-=b于是，求得题没方程的一个特解*y .)121(2x e x x -=从而，所求题设方程的通解为 .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=3 求方程x e y y y y =+'+''+'''33的通解.解对应的齐次方程的特征方程为,013323=+++r r r 特征根1r 2r =3r =.1-= 所求齐次方程的通解 .)(2321x e x C x C x C Y -++=由于1=λ不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为,0*x e b y =代入题设方程易解得 ,810=b 故所求方程的通解为 y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-x e x P x f x m ωλcos )()(=或x e x P x m ωλsin )(型 4 求方程x y y sin 4=+''的通解.解对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解.sin cos 21x C x C Y +=作辅助方程.4ix e y y =+''i =λ 是单根,故设.*ix Axe y =代入上式得42=Ai ⇒,2i A -=∴*y ix ixe 2-=),cos 2(sin 2x x i x x -=取虚部得所求非齐次方程特解为.cos 2*x x y -=从而题设方程的通解为 .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+= 5 (E04) 求方程x x y y 2cos =+''的通解.解对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解x C x C Y sin cos 21+=作辅助方程.2ix xe y y =+''i 2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*ix e B Ax y +=代入辅助方程得,034=-B Ai 13=-A ⇒,31-=A i B 94-=∴*y =⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431ix e 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431)2sin 2(cos x i x +ix x x -+-=2sin 942cos 31⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 2sin 312cos 94取实部得到所求非齐次方程的一个特解: .2sin 942cos 31x x x y +-=所求非齐次方程的通解为 .2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=6(E01) 求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解.解作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dtyd --=两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=7 (E02) 求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dydty d dt y d =-- (1)方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r 求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C xC C ++= 设特解*y tbe2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为y .2123321x x C x C C -++=第8章向量及其线性运算1 (E04) 已知两点)5,0,4(A 和)3,1,7(B ，求与向量B A 平行的向量的单位向量c.解所求向量有两个，一个与B A 同向,一个与B A 反向.因为B A ,}2,1,3{}53,01,47{-=---= 所以B A,14)2(13222=-++=故所求向量为}.2,1,3{141-±=±=BA B A c2(E05)已知两点)2,2,2(1M 和)0,3,1(2M , 计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解 21M M };2,1,1{}20,23,21{--=---=222)2(1)1(-++-=;24211==++=,21cos -=α,21cos =β;22cos -=γ,32πα=,3πβ=.43πγ= 3 设有向量21P P , 已知,2||21=P P 它与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π, 如果1P 的坐标为(1, 0, 3), 求2P 的坐标.解设向量21P P 的方向角为，、、γβα,3πα=,21cos =α,4πβ=,22cos =β ,1cos cos cos 222=++γβα 21cos ±=∴γ⇒3πγ=或.32πγ=设2P 的坐标为,),,(z y x 211cos P P -=x α⇒2121=-x ⇒,2=x 210cos P P -=y β⇒2220=-y ⇒,2=y 213cos P P -=z γ⇒2123±=-z ⇒,24==z z 或 2P 的坐标为.)2,2,2(,)4,2,2(4点A 位于第I 卦限, 向径OA 与x 轴、y 轴的夹角依次为3π和4π，,6= 求A 的坐标.解 ,3πα=.4πβ=由关系式,1cos cos cos 222=++γβα得,41)22()21(1cos 222=--=γ因为A 在第I 卦限，知,0cos >γ故.21cos =γ于是A O A O =,}3,23,3{21,22,216=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−→−=OAe 点A 的坐标为.)3,23,3(两向量的数量积1试用向量方法证明三角形的余弦定理. 证 (作简图).设在ABC ∆中, ,θ=∠BCA ,||a CB =,||b CA =,||c AB =现要证.cos 2222θab b a c -+=记,a B C =,c B A =,b A C =则有,b a c-=从而c c c ⋅=2||)()(b a b a -⋅-=b a b b a a⋅-⋅+⋅=2.cos ||||2||||22θb a b a ⋅-+= 由,||a a = ,||b b = ,||c c =即得.cos 2222θab b a c -+=同理…… 2 (E04) 求与k j i b k j i a2,423-+=+-=都垂直的单位向量.解 b a c+=z y x z y xb b b a a a k j i=211423--=kj i ,510k j+= ||c 22510+=,55= ∴||c c c±=.5152⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=k j 3在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD .解 {},3,4,0-=C A {},0,5,4-=B A三角形ABC 的面积为 ||21B A C A S ⨯=22216121521++=,225=又|,|||21BD C A S ⋅= ,5)3(4||22=-+=C A所以|,|521225BD ⋅⋅=从而.5||=BD 4 利用向量积证明三角形正弦定理.证设ABC ∆的三个内角为,,,γβα三边长为c b a ,,, (作简图).因为B C C A B A+=，所以B A B C C A AB B A ⨯+=⨯)(,B A B C B A C A ⨯+⨯=故,0=⨯+⨯B A B C B A C A 即.B A B C B A C A⨯-=⨯ 两边取模,B A B C B A C A⨯=⨯即,sin sin βαac bc =故.sin sin βαba = 同理可证 .sin sin γβcb = 因此,sin sin sin γβαcb a ==三角形正弦定理得证. 平面的截距式方程1 求平行于平面0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.解设平面方程为,1=++c z b y a x ,1=V .12131=⋅∴abc 由所求平面与已知平面平行得,611161c b a ==(向量平行的充要条件) 令t c b a ===61161⇒.61,1,61t c t b t a === 由tt t 61161611⋅⋅⋅=⇒.61=t∴.1,6,1===c b a所求平面方程为,1161=++zy x 即.666=++z y x 2 求平面II, 使其满足:(1) 过z 轴;(2) II 与平面052=-+z y x 夹角为3π.解因为平面∏过z 轴，可设其方程为.0=+By Ax 又因为∏与已知平面夹角为.3π故3cosπ222222)5(120|0)5(2|-++++⋅-++=B A B A 21=⇒A B 3=或A B 31-= ⇒03:=+∏y x 或.03:=-∏y x3求经过两点)9,2,3(1-M 和)4,0,6(2--M 且与平面0842=-+-z y x 垂直的平面的方程. 解设所求的平面方程为.0=+++D Cz By Ax 由于点1M 和2M 在平面上，故 ,0923=++-D C B A .046=+--D C A又由于所求平面与平面0842=-+-z y x 垂直,由两平面垂直条件有.042=+-C B A从上面三个方程中解出,C B A 、、得 ,2/D A =,D B -=,2/D C -= 代入所设方程，并约去因子,2/D 得所求的平面方程.022=+--z y x 点到平面的距离4(E06) 求两平行平面1∏：052210=--+z y x 和2∏：x 5 01=--+z y 之间的距离d . 解可在平面2∏上任取一点，该点到平面1∏的距离即为这两平行平面间的距离.为此，在平面2∏上取点),0,1,0(则 d 222)2(210|50)2(12010|-++-⨯-+⨯+⨯=1083=.63= 5求平行于平面0432:0=+++∏z y x , 且与球面9:222=++∑z y x相切的平面∏方程.解可利用条件,//0∏∏写出平面∏的一般式方程,再利用球心到平面的距离3=d 来确定一般式方程中的特定系数.由,//0∏∏可设平面∏的方程为.032=+++D z y x因为平面∏与球面∑相切，故球心)0,0,0(到平面∏的距离d )0,0,0(),,(22321|22|=+++++=z y x D z y x ,3= 得,143||=D故所求平面∏的方程为014332=+++z y x 或.014332=-++z y x 空间直线的对称式方程与参数方程1 求过点)5,2,3(-且与两个平面152=--z y x 和34=-z x 的交线平行的直线的方程. 解先求过点)5,2,3(-且与已知平面平行的平面,0)5(5)2()3(21=----+∏z y x : ,0)5(4)3(2=--+∏z x :即 ,033521=+--∏z y x : .:02342=+-∏z x 所求直线的一般方程为:.⎩⎨⎧=+-=+--023403352z x z y x 2 (E01) 一直线过点),4,3,2(-A 且与y 轴垂直相交, 求其方程.解因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B ,}4,0,2{==A B s所求直线方程.440322-=+=-z y x 3 用对称式方程及参数方程表示直线 .043201⎩⎨⎧=++-=+++z y x z y x 解在直线上任取一点),,,(000z y x 例如,取10=x ⇒⎩⎨⎧=--=++063020000z y z y ⇒,00=y ,20-=z得点坐标),2,0,1(-因所求直线与两平面的法向量都垂直,可取21n n s⨯=},3,1,4{312111--=-=kj i对称式方程 ,321041-+=--=-z y x 参数方程 .⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx 3241 4求过点M (2, 1, 3)且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线方程. 解先作一过点M 且与已知直线垂直的平面,∏,0)3()1(2)2(3=---+-z y x再求已知直线与该平面的交点,N令t z y x =-=-=+12131 → .1213⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=tz t y t x 代入平面方程得,73=t 交点,73,713,72⎪⎭⎫⎝⎛-N 取所求直线得方向向量为,MN ,724767123731713272⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，－，－，－－，－MN所求直线方程为.431122－－－z y x =-= 5 (E04) 过直线⎩⎨⎧=+-=--+02062:z y x z y x L 作平面∏, 使它垂直于平面.02:1=++∏z y x解设过直线L 的平面束)(λ∏的方程为,0)2()62(=+-+--+z y x z y x λ即.06)1()1(2)1(=--+-++z y x λλλ现要在上述平面束中找出一个平面图,∏使它垂直于题设平面,1∏因平面垂直于平面,1∏故平面∏的法向量)(λn垂直于平面1∏的法向量}.1,2,1{1=n 于是,0)(1=⋅n nλ即.0)1()1(4)1(1=-+-++⋅λλλx解得,2=λ故所求平面方程为.:0623=-+-z y x π容易验证，平面02=+-z y x 不是所求平面.6在一切过直线L : ⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出平面∏, 使原点到它的距离最长.解设通过直线L 的平面束方程为,0)2()4(=++++++z y x z y x λ即.04)1()21()1(=++++++z y x λλλ要使2222)1()21()1(16)(λλλλ+++++=d 为最大,即使31)32(6)1()21()1(2222++=+++++λλλλ为最小，得,32-=λ故所求平面∏的方程为.012=++-z y x易知，原点到平面02=++z y x 的距离为.0故平面02=++z y x 非所求平面.第9章多元函数微分法及其应用1 (E01) 求二元函数222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义域.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x 即⎩⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤=2求极限 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→. 解令,22y x u +=则 u u y x y x u y x 1sin lim 1sin)(lim 0222200→→→=++=0. 3证明 220limyx xyy x +→→ 不存在. 证取k kx y (=为常数),则 ,1lim lim222202200k kx k x kx x y x xy kxy x y x +=+⋅=+=→→→易见题设极限的值随k 的变化而变化,故题设极限不存在.4讨论二元函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.解由),(y x f 表达式的特征，利用极坐标变换：令,sin ,cos θρθρ==y x 则)cos (sin lim ),(lim330)0,0(),(θθρρ+=→→y x f y x ),0,0(0f ==所以函数在)0,0(点处连续.5 试证函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 的偏导数)0,0(),0,0(y x f f 存在，但),(y x f 在)0,0(点不连续.证 )0,0(x f xf x f x ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim0x x ∆-=→∆00lim0,1= yf y f f y y ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim )0,0(0y y ∆-=→∆00lim 0.0=即偏导数),0,0(x f )0,0(y f 存在.但由上节的例 8知道,极限2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续.6设 ,cos by e u ax = 求二阶偏导数. 解xu∂∂,cos by ae ax =y u ∂∂;sin by be ax -=22x u ∂∂,cos 2by e a ax =22yu ∂∂;cos 2by e b ax -= y x u ∂∂∂2,sin by abe ax-=x y u ∂∂∂2.sin by abe ax -= 7 验证函数 22ln ),(y x y x u +=满足方程 02222=∂∂+∂∂y ux u .证 22ln y x +),ln(2122y x +=∴x u ∂∂,22y x x +=y u ∂∂,22yx y += ∴22x u ∂∂22222)(2)(y x x x y x +⋅-+=,)(22222y x x y +-=22y u ∂∂22222)(2)(y x y y y x +⋅-+=.)(22222y x y x +-= ∴2222y ux u ∂∂+∂∂2222222222)()(y x y x y x x y +-++-=.0= 8证明函数r u 1=满足拉普拉斯方程 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ,其中 222z y x r ++=. 证 x u ∂∂x r r ∂∂-=21r x r ⋅-=21,3r x-= 22x u ∂∂xr r x r ∂∂⋅+-=4331.31523r x r +-= 由函数关于自变量的对称性,得22y u∂∂,31523r y r +-=22z u ∂∂.52331r z r +-=222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂52223)(33r z y x r +++-=52333r r r +-=.0= 9设 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0),(,00,0),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f , 试求 ()0,0xy f 及().0,0xy f 解因)0,0(x f x f x f x )0,0()0,(lim-=→xx 00lim0-=→.0= 当0≠y 时，),0(y f x xy f y x f x ),0(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x y x +-=→,y -= 所以 )0,0(xy f y f y f x x y )0,0(),0(lim-=→y y y 0lim0--=→,1-= 同理 )0,0(y f yf y f y )0,0(),0(lim-=→,0=当0≠x 时，)0,(x f y yx f y x f y )0,(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x x y +-=→,x =所以 )0,0(yx f xf x f y y x )0,0()0,(lim-=→xx x 0lim0-=→.1=10求 y x y x z 2422)3(++=的偏导数. 解设,322y x u +=,24y x v +=则.v u z = 可得 ,1-⋅=∂∂v u v u z ,ln u u v z v ⋅=∂∂ ,6x x u =∂∂,2y y u =∂∂,4=∂∂xv2=∂∂y v 则x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=4ln 61⋅⋅+⋅⋅=-u u x u v v v 12422)3)(24(6-+++=y x y x y x x )3ln()3(4222422y x y x y x ++++ y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=2ln 21⋅⋅+⋅⋅=-u u y u v v v 11 设函数),(y x u u =可微，在极坐标变换,cos θr x = θsin r y =下，证明.122222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u y u x u 证为方便起见,我们从欲证等式的右端出发来证明.把函数u 视为θ,r 的复合函数,即),sin ,cos (θθr r u u = 则r u ∂∂ry y u r x x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=,sin cos θθy u x u∂∂+∂∂=θ∂∂u θθ∂∂∂∂+∂∂∂∂=y y u x x u ,cos )sin (θθr y u r x u∂∂+-∂∂=所以2221⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u 2sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=θθy u x u 22cos )sin (1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∂∂+θθr y u r x u r .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y u x u ＊12 求由a a xyz z (333=-是常数）所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz∂∂和.y z ∂∂ 解令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂z x F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -= y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=12求出曲线32,x z x y =-=上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42=++z y x解设所求切点为),,,(000z y x 则曲线在该点的切线向量为},3,2,1{200x x s -= 由于切线平行于已知平面,42=++z y z 因而s垂直于已知平面的法线向量},1,2,1{=n 故有n s ⋅132)2(11200⋅+⋅-+⋅=x x ,0=即10=x 或,31将它代入曲线方程,求得切点为)1,1,1(1-M 和.271,91,312⎪⎭⎫⎝⎛-M13求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解令),,(z y x F ,32-+-=xy e z z ,2y F x =',2x F y='z z e F -='1 → )0,2,1(n)0,2,1(}1,2,2{z e x y -=},0,2,4{=切平面方程为 ,0)0(0)2(2)1(4=-⋅+-+-z y x 即,042=-+y x 法线方程为.01221-=-=-z y x 14 求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程.解设),,(000z y x 为曲面上的切点,则切平面方程为,0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x依题意,切平面方程平行于已知平面,得664412000z y x == → .2000z y x == ),,(000z y x 是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得,10±=x故所求切点为),2,2,1(),2,2,1(---切平面方程(1),0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 即;2164=++z y x 切平面方程(2),0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 即.2164-=++z y x15（E02）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x 上的最大值和最小值.解先求函数),(y x f 在D 内驻点.由,022=-=y x f x 022=+-=x f y 求得f 在D 内部的唯一驻点 (1, 1),且.1)1,1(=f 其次求函数),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值. 如图所示.区域D 的边界包含四条直线段.,,,4321L L L L在1L 上,0=y ,)0,(2x x f =.30≤≤x 这是x 的单调增加函数,故在1L 上f 的最大值为,9)0,3(=f 最小值为.0)0,0(=f同样在2L 和4L 上f 也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为,9)0,3(=f 1)2,3(=f (在2L 上), ,4)2,0(=f 0)0,0(=f (在4L 上),而在3L 上,2=y ,44)2,(2+-=x x x f ,30≤≤x 易求出f 在3L 上的最大值,4)2,0(=f 最小值.0)2,2(=f将f 在驻点上的值)1,1(f 与4321,,,L L L L 上的最大值和最小值比较,最后得到f 在D 上的最大值,9)0,3(=f 最小值.0)2,2()0,0(==f f16求函数 32233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.解先求),(y x f 在D 内的极值.由,36),(2x x y x f x -=',6),(y y x f y=' 解方程组⎩⎨⎧==-060362y x x 得驻点(0, 0), (2, 0).由于,6)0,0(=''xxf ,0)0,0(=''xy f ,6)0,0(=''yy f ,6)0,2(-=''xxf ,0)0,2(=''xy f .6)0,2(=''yy f 所以,在点 (0, 0) 处,0362<-=-AC B ,06>=A 故在 (0, 0) 处有极小值.0)0,0(=f在点 (2, 0) 处,0362>=-AC B 故函数在点 (2, 0)处无极值.再求),(y x f 在边界1622=+y x 上的最小值.由于点),(y x 在圆周1622=+y x 上变化,故可解出),44(1622≤≤--=x x y 代入),(y x f 中，有z ),(y x f =32233x y x -+=348x -=),44(≤≤-x这时z 是x 的一元函数,求得在]4,4[-上的最小值.164-==x z最后比较可得,函数32233),(x y x y x f -+=在闭区间D 上的最小值.16)0,4(-=f17(E03）某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.解设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+=xy x xy y xy 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x令,0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y A x .0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=⋅33222m 32时，水箱所用的材料最省.注: 体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小 18（E04）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解设长方体的三棱长为,,,z y x 则问题就是在条件),,(z y x ϕ2222a xz yz xy -++=0=(1)下,求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值.作拉格朗日函数),,,(λz y x L ),222(2a xz yz xy xyz -+++=λ由..,0)(20)(20)(2z y x z x yx z y z y z x y x x y xy L z x xz L z y yz L zy x ==⇒++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=λλλ 代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:,6/6a z y x ===由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a 的长方体中,以棱长为6/6a 的正方体的体积为最大,最大体积.3663a V =第10章重积分1 不作计算，估计σd eI Dy x ⎰⎰+=)(22的值，其中D 是椭圆闭区域：12222≤+b y a x )0(a b <<. 解区域D 的面积,πσab =在D 上,0222a y x ≤+≤∴,12220a y xe e e ≤≤=+由性质 6 知,222)(a Dy xe d e ⋅≤≤⎰⎰+σσσ.222)(a Dy xe ab d e ab πσπ≤≤⎰⎰+2 判断⎰⎰≤+≤+122)ln(y x r dxdy y x)1(<r 的符号.解当1||||≤+≤y x r 时，,1|)||(|0222≤+≤+<y x y x 故 ;0)ln(22≤+y x 又当1||||<+y x 时，,0)ln(22<+y x 于是 .0)ln(1||||22<+⎰⎰≤+≤y x r dxdy y x3（E01）计算,⎰⎰Dxyd σ其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解一如图，将积分区域视为—X 型,dx xydy xyd x D⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211σdx y x x12122⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=.81148222124213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰x x dx x x解二将积分区域视为—Y 型, ⎰⎰Dxyd σdy x y dy xydx y y22122122⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2142213822⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y y .811=4计算σd y x y D⎰⎰-+221, 其中D 是由直线1-==x x y 、和1=y 所围成的闭区域.解如图,D 既是—X 型,又是—Y 型.若视为—X 型,则原积分dx dy y x y x ⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=111221[]dx y xx1112/322)1(31⎰--+-=.21)1(32)1|(|31103113=--=--=⎰⎰-dx x dx x若视为—Y 型，则,111221122dy dx y x y d y x y yD⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+⎰⎰⎰⎰--σ其中关于x 的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要. 5 计算,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x . 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21222()(||D D Ddxdy x y dxdy y x dxdy xy ）⎰⎰⎰⎰-+-=--1211021122)()(xx dy x y dx dy y x dx.15112121211142114-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎰⎰--dx x x dx x 6 计算,dxdy eDyx ⎰⎰+ 其中区域D 是由0,1,0===y x x , 1=y 所围成的矩形.解如图，因为D 是矩形区域,且,y x y x e e e ⋅=+所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰+1010dy e dx e dxdy e y Dx y x .)1())((21010-==e e e y x7 交换二次积分⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(的积分次序.解题设二次积分的积分限:,10,10x y x -≤≤≤≤ 可改写为:,10,10y x y -≤≤≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰--=yxdx y x f dydy y x f dx 101110.),(),(8（E06）证明 ⎰⎰⎰---=aa xb ya xb adx x f e x a dx x f edy 0)(0)(0)()()(其中a 、b 均为常数, 且0>a .证等式左端二次积分的积分限:y x a y ≤≤≤≤0,0可改写为a y x a x ≤≤≤≤,0所以dx x f e dyaya xb ⎰⎰-0)()(dx dy x f e dy x f e dxa a x a xb aaxa xb ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--0)(0)()()(.)()(0)(dx x f ex a aa xb ⎰--=9（E08）计算,22⎰⎰Ddxdy y x其中区域:D .1||||≤+y x解因为D 关于x 轴和y 轴对称，且,),(22y x y x f =关于x 或关于y 为偶函数→dxdy y x I D ⎰⎰=1224⎰⎰-=1010224xdy y x dx .451)1(34132=-=⎰dx x x 10 证明不等式 ,2)sin (cos 122⎰⎰≤+≤Ddxdy x y其中.10,10:≤≤≤≤y x D证因为D 关于y x =对称，所以dxdy y dxdy x DD ⎰⎰⎰⎰=22cos cos ，故dxdy x x dxdy x y DD⎰⎰⎰⎰+=+)sin (cos )sin (cos 2222又由于)4sin(2sin cos 222π+=+x x x 及102≤≤x 而D 的面积为 1. 由二重积分性质,有.2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰dxdy x y D11求⎰⎰⎰Ω,xdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解如图9-4-3，将区域Ω向xOy 面投影得投影区域D 为三角形闭区域.10,10:x y x OAB -≤≤≤≤ 在D 内任取一点),,(y x 过此点作平行于z 轴的直线，该直线由平面0=z 穿入，由平面y x z --=1穿出，即有.10y x z --≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------Ω--===xyx xyx Ddy y x xdx xdz dy dx xdz dxdy xdxdydz 101010101010)1(.241)2(21)1(211032102⎰⎰=+-=-=dx x x x dx x x 12 求⎰⎰⎰Ω,zdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解 (1)⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰=zD dxdy zdz,1截面:z D ,10z y x -≤+≤故⎰⎰zD dxdy ),1)(1(21z z --=∴原式dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=(2) 根据例1所确定的积分限,有⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰---=zy z dx dyzdz 101010⎰⎰---=zdy z y zdz 1010)1(dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=第12章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质1（E04）求级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++1)1(321n n n n 的和. 解根据等比级数的结论,知∑∞=121n n 21121-=.1= 而由前例,知∑∞=+1)1(1n n n ,1=所以∑∞=⎪⎪⎭⎫++ ⎝⎛1)1(121n n n n ∑∑∞=∞=++=11)1(321n n n n n .4=2 判别级数++++⨯+++n n 10121102121101212是否收敛. 解将所给级数每相邻两项加括号得到新级数.)10121(1∑∞=+n nn因为∑∞=121n n 收敛，而级数∑∞=1101n n ∑∞==11101n n 发散，所以级数∑∞=+1)10121(n nn 发散，根据性质3的推论1，去括号后的级数 (101)21...102121101212++++⨯+++n n 也发散. 3（E06）利用柯西审敛原理判定级数∑∞=121n n的收敛性. 解因为对任何自然数,p22221)(1)2(1)1(1||p n n n u u u p n n n ++++++=++++++ ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p n p n n n n n 1112111111,111np n n <+-=故对任意给定的正数,ε取自然数],1[ε≥N 则当N n >时，对任何自然数,p 恒有.||21ε<++++++p n n n u u u根据柯西审敛原理，所证级数收敛.第二节正项级数的判别法1（E02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证)1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散，∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.2（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性. 解运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.。

《高等数学二》期末复习试题和答案解析-2817146241836170

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（）. （A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是（）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与（）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关；（C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。

《高等数学(二)》作业及参考答案

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。

4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。

10．函数z =的定义域为。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为。

15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。

16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得。

17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。

18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。

19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为。

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点(完整版)

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ] (A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交。

成人高考专升本(高等数学二)考试真题答案

空间解析几何：空间直线、平面、曲面、球面、柱面等几何体的性质和计算
向量与空间解析几何的关系：向量在空间解析几何中的应用，如向量积、混合积等
向量代数与空间解析几何在成人高考专升本(高等数学二)考试中的重要性：作为考试重点内容，需要熟练掌握和运用
提前规划好答题时间，避免
时间不足
遇到难题时，不要过于纠结，先做其他题目
常微分方程的解：满足方程的函数
常微分方程的解法：包括分离变量法、积分法、幂级数法等
无穷级数的收敛性：判断无穷级数是否收敛，包括绝对收敛、条件收敛等
无穷级数的求和：计算无穷级数的和，包括直接求和、积分法求和等
向量代数：向量的加法、减法、数乘、向量积、混合积等运算
答案：2
解析：利用洛必达法则求解
解析：利用洛必达法则求解
● 题目：求极限lim(x→0)((x^2+1)/(x^2-1)) ● 答案：2 ● 题目：求极限lim(x→0)((x^2+1)/(x^2-1)) ● 答案：2 ● 题目：求极限lim(x→0)((x^2+1)/(x^2-1)) ● 答案：2 ● 题目：求极限lim(x→0)((x^2+1)/(x^2-1)) ● 答案：2 ● 题目：求极限lim(x→0)((x^2+1)/(x^2-1)) ● 答案：2
合理分配答题时间，确保每道题目都有足够的时间完成
考试结束前，检查答题卡是否填写完整，
避免遗漏
阅读题目，理解题意
确定答题顺序，先易后难
仔细审题，避免漏题
答题时，注意书写工整，保持卷面整洁
答题完毕，检查答案，确保无误
审题不清：仔细阅读题目，理解题意

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

北京交通大学学年第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及答案

n =1
∑
(− 1)
n
；
（D）．
∑
(− 1)n
．
；（B）． −π ；（C）．0 ；（D）．π ． 2 G G G G G G G G G G G G G 5．设向量 a 、 b 、 c 满足： a + b + c = 0 ，则 a × b + b × c + c × a = 【 G G G G （B）．a×b×c ；（A）．0 ； G G G G （D）．3 a×b ．（C）．b×c ；（A）．−
∑
n =1 ∞
∞
(− 1)n sin π
n
n
n ；
n2 n =1 3n + 1 4．设函数 f ( x ) 是以 2π 为周期的周期函数，它在 [− π， π ) 上的表达式为 ⎧x − π ≤ x < 0 ， f (x ) = ⎨ ≤ < 0 0 x π ⎩ 再设 f ( x ) 的 Fourier（傅立叶）级数的和函数为 s ( x ) ，则 s (π ) = 【】．
⎧10 + λ 2 + λ − 2 − λ ⎪ 6x = 2 y = − 2z 0 0 ⎪ 20 2 2 ， x y z 3 + − = 27 ⎨ 0 0 0 ⎪(10 + λ )x + (2 + λ ) y − (2 + λ )z − 27 = 0 0 0 0 ⎪ ⎩
解得
即
x0 = 3， y0 = 1， z0 = 1， λ = −1 ．
2
(x
)
2
=
x 2 + y 2 − (x − y + b ) ⋅ 2 x

高数同济六版课件D2习题

利用极限定义求解
通过对极限定义的深入理解，可以求解一些基本的极限问题。
利用极限运算法则
熟练掌握极限的四则运算法则，可以简化极限的求解过程。
利用等价无穷小替换
在求解极限时，可以利用等价无穷小替换某些复杂的表达式，从而简化计算。
利用洛必达法则
对于某些未定式的极限，可以利用洛必达法则进行求解。
导数计算及应用举例
利用已知结论简化计算
在求解数学问题时，可以充分利用已知的结论和性质进行简化计算。
03 典型例题精讲
极限与连续典型例题
求极限
通过四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则等方法求解各类极限问题。
判断连续性
利用极限性质判断函数在某点的连续性，并会求间断点的类型。
无穷小量阶的比较
掌握高阶、低阶、同阶和等价无穷小的概念，会比较无穷小量的阶。
和专注度。
作业完成情况
02
大部分学员按时完成了作业，作业质量较高，体现出了良好的
学习态度和能力。
测验成绩
03
通过课堂测验，发现学员们对本次课程的内容掌握情况较好，
成绩普遍较高。
下一阶段学习计划安排
01
学习多元函数微积分
掌握多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等基本概念和计算方法。
02
学习级数理论
03
加强练习和巩固
了解级数的概念、性质和判别法，掌握幂级数的展开和收敛域的判断。
通过大量的练习题目，加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力和思维水平。
鼓励学员持续努力，提升数学能力
肯定学员的努力和进步
对学员们在本次课程中的表现给予充分肯定，鼓励他们继续保持学习热情
和积极性。

高等数学(2)智慧树知到课后章节答案2023年下山东交通学院

高等数学（2）智慧树知到课后章节答案2023年下山东交通学院山东交通学院第一章测试1.若连续函数满足方程，则（）。

答案:2.函数 (为任意常数)是微分方程的（）。

答案:是解，但既不是通解也不是特解3.可分离变量微分方程的通解为（）。

答案:4.一阶可变量分离的微分方程，满足初始条件的特解为。

（）答案:对5.设一阶微分方程为，则该方程的通解为（）。

答案:6.设为一阶线性微分方程，则方程满足初始条件的特解为（）。

答案:7.是二阶微分方程的两个线性无关解，则该方程为（）。

答案:对8.二阶常系数线性微分方程的通解为，则该方程可表示为（）。

答案:9.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解应具有如下形式（）。

答案:10.二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解为（）。

答案:第二章测试1.空间点到坐标面xoz的距离为（）。

答案:2.设向量 ,则两向量的数量积为（）。

答案:3.设向量，则两向量的向量积为（）。

答案:对4.三元二次方程表示三维空间中的（）.答案:旋转抛物面5.直线与直线是垂直的（）。

答案:对6.空间平面与空间直线的位置关系是（）。

答案:垂直7.圆柱面在xOy面上的投影区域为（）。

答案:8.过空间点且与直线垂直的平面方程为（）。

答案:对9.过点且与平面垂直的直线方程为（）。

答案:错10.已知某三角形的两边为，且，且两向量数量积为，则三角形面积为2。

答案:对第三章测试1.设二元函数，则其定义域为（）。

答案:2.设，则（）。

3.设二元函数为，则下面结论（）正确。

答案:极限不存在，故在点处不连续4.函数在内的二阶混合偏导数的充分条件为（）。

答案:二阶偏导数连续5.设二元函数，则该函数的偏导数（）。

答案:6.设函数在点可微分，则（）。

答案:7.若在点处，，则在点是（）。

答案:不一定可微也不一定连续8.旋转抛物面在点处法向量为（）。

答案:9.曲线在时的法平面与切线方程分别是（）。

答案:10.要求函数在附加条件，下的极值，可以先作拉格朗日函数（）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

浙江师范大学《高等数学（上）》考试卷（D 卷）
（2007~2008学年第一学期）
考试类别：闭卷使用学生： 2007级工科2 考试时间： 120 分钟出卷时间： 2008 年 1 月 4 日说明：答案必须写在答题纸上，否则无效。

一、选择题(每小题3分，共21分)
1．求=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞→x
x x 11lim ( )． A ．
e
1 B ． e C ．1 D ．0
2．函数1sin +=x x y 的导数为( ) A ．x cos
B ．1cos +x
C ．1cos sin ++x x x
D ．x x x cos sin +
3．不定积分cos(21)d x x +⎰的计算结果为( )． A ．C
x ++-
)12sin(2
1 B ．
C
x ++)12sin(2
1
C ．C x ++-)12sin(
D ．C x ++)12sin(
4．曲线1cos +=x
x y 过)1,0(的斜率为( )．
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．2
5
．30
x =⎰ ( )． A ．
3
5
6 B ．
3
3
6
C ．
3
5
18 D ．39
6．若平面图形由x
y x y =
=,2所围成，则该平面图形的面积S =( )．
A
．140
(2d x x -⎰ B
．140
2)d x x ⎰ C
．4
2)d x x ⎰ D
．4
(2d x x -⎰ 7．下列函数在定义区间上为凹函数的是( )． A ．()+∞-∞∈-=,1)1,(,3)(3 x x x x f B ． )1,1(,3)(3-∈-=x x x x f
C ．)0,(,3)(3-∞∈-=x x x x f
D ．()3()3,0,f x x x x =-∈+∞
二、填空题(每小题2分，共14分)
1．函数10
312
--=
x x y 的定义域为 ① ．
2．=
-+∞
→)1(lim
n n n n ② ． .
3．曲线x y ln =在点)1,(e 处的切线方程为 ③ ． 4．设函数)1ln(x x y -+=，则y '= ④ . 5．函数x x x f ln )(-=的单调增区间为 ⑤ ．. 6．不定积分10(1)d x x -=⎰ ⑥ . 7．定积分30
(1cos )d x x π
-=⎰ ⑦ .
三、计算题(每小题8分，共48分)
1．求极限a
x a
x a
x --→cos cos lim
.
2．求由方程y x e xy -=所确定的隐函数的导数d d y x
.
3．求函数393)(23+--=x x x x f 的极值. 4．设0,sin >=x x y x ,求
d d y x
.
5．计算不定积分d x xe x -⎰. 6．计算定积分9
1
⎰.
四、应用题(每小题6分，共12分)
1．在半径为R 的圆中内接直角三角形，问两直角边分别为多少时，直角三角形的面积最大?
2．求由曲线2,2+==x y x y 围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积. 五、证明题(5分)
证明:当1>x 时,x x ln 1+>
浙江师范大学《高等数学(上)》D 卷答案（2008.1.16）
一、选择题(每小题3分，共21分)
1. A
2. D
3. B
4. A
5. C
6. B
7. D
二、填空题(每小题2分，共14分)
①()()∞-∞-,52, ②
2
1 ③ x e
y 1=
④
()
x
x
x x --+
--112112 ⑤ 1≥x ⑥ C x +--
11
)
1(11
1
⑦ π
三、计算题(每小题8分，共48分) 1．求极限a
x a x a
x --→cos cos lim
解. a
x a
x a
x a
x a
x sin 1
sin lim
cos cos lim
-=-=--→→
2．求由方程y x e xy -=所确定的隐函数的导数d d y x
.
解. 方程两边对x 求导,注意到)(x y y =,
)1(y e
y x y y
x '-='+-
整理得 y
x y
x e
x y
e
y --+-=
'
3．求函数393)(23+--=x x x x f 的极值. 解.
)1)(3(3)32(3963)(2
2+-=--=--='x x x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f
令 0)(='x f , 得 11-=x , 32=x ．
由012)1(<-=-''f 和(1)0f '-=知，)(x f 在1-=x 处取得极大值,极大值为8 由012)3(>=''f 和(3)0f '=知，)(x f 在3=x 处取得极小值,极小值为24- 4．设x x y sin =,求
d d y x
.
解.两边取对数,得x x y ln sin ln = 方程两边对x 求导,得
)sin ln (cos x x x x y
y +
⋅='
所以)
sin ln (cos )sin ln (cos sin x
x x x x
x
x x x y y x
+
⋅=+
⋅='
5．计算不定积分d x xe x -⎰.
解.d d (d )x x x x x x xe x x e xe e x xe e C ------=-=--=--+⎰⎰⎰ 6
．计算定积分91
⎰
.
解. 令t x =,则2t x =, d 2d x t t =.当1=x 时,1=t ,当9=x 时,3=t .
因此9
3
3
3
11
1
1
2d 22d [22ln(1)]42ln 211t t t t t t
t ⎛⎫=
=
-=-+=-
⎪++⎝⎭
⎰⎰
⎰
四、应用题(每小题6分，共12分)
1．在半径为R 的圆中内接直角三角形,问两直角边分别为多少时,直角三角形的面积最大?
解. 设两直角边分别为y x ,.容易知道,直角三角形的斜边为圆的直径,故斜边长为R 2,因此224x R y -=,从而直角三角形的面积为2
242
12
1x
R x xy S -=
=
,
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--
-='222
2
24421x R x
x R S 令0='S ,得R x 2=,容易证明当R x 2=,R
y 2=
时.S 取得最大值2R .
2．求由曲线2,2+==x y x y 围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积.
解. 解方程组⎩⎨⎧+==2
2
x y x y , 得两条曲线的交点为(1,1)-和(2,2)
因此所得的旋转体体积
2
32
24
511(2)172[(2)]d 355x A x x x x πππ
--⎡⎤+=+-=-=⎢⎥⎣
⎦⎰
五、证明题(5分)
1．证明:当1>x 时,x x ln 1+>
证.设)ln 1()(x x x f +-=,则x
x x x f 111)(-=-
='
当1>x 时,0)(>'x f ,所以)(x f 在),1[+∞上是增函数. 故1>x 时,0)1()(=>f x f .从而0)ln 1(>+-x x ,即x x ln 1+>。