概率论与数理统计第6讲
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概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间
[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
解
(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y
uα
2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知，1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么？
1 2
2 1
概率论与数理统计-6
一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p
概率论与数理统计第6讲
d
d −c f ( x) d x = . b−a
2. 指数分布 定义： 定义：若随机变量 X 具有概率密度
λ e , x ≥ 0 , f ( x) = 0, x < 0.
− λx
(λ > 0)
的分布是参数为 的指数分布， 则称 X的分布是参数为λ的指数分布，记成 的分布是 X ~E(λ)。 。 指数分布常用于可靠性统计研究中， 指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命服从指数分布。 元件的寿命服从指数分布。
∫
于是
1= ∫
+∞
+∞
−∞
f ( x) d x = 1
2
故
−∞
f ( x) d x = c ∫
0
x x d x =c 3
2
3 2 0
8c = 3
3 c= . 8
(2) P ( −1 < X < 1) = ∫ f ( x) d x
−1
1
= ∫ 0 d x + ∫ cx 2 d x
−1dx= . 0 8 8
(2). 确定数据分组数 m （一般取为 ～15）， 一般取为7～ ）， 组距 d = (b − a) / m， ， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, · · · , m； ；
(3). 计算落入各子区间内观测值频数 ni =| { xj ∈ [ti−1, ti)， j = 1, 2, · · · , n}|， ， 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, · · · , m； ， ；
取值于(x 表示随机变量 X 取值于 , x +△ x]上的概率 上的概率 近似等于 f (x ) △x 。 f (x ) △x 在连续型随机变量中所起的作用与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作用 类似。 类似。
东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布
X
的
n
一
个
样
本的
观察
值
,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ，其中p 是未知参数，
X1,
,
X
是
5
来自X的简
单
随机样本.试指出
X1
X
，
2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量，为什么？
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本，其特点是：
1. 代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性：X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X
是
n
总
体
F的
一
个Hale Waihona Puke 本，用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
概率论与数理统计-第六章
大街上随机抽取200人，进行调查。记录了
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
概率论与数理统计第6章
第六章6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超 过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？ 解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|-Φ≈<-=<-n nnX P X P σσμμ依题意有,95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆， 标准差σ=10 欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.（1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; （2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率. 解:由抽样分布定理，知nX /σμ-近似服从标准正态分布N （0，1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()255100()5100(≤=≤=≤X P X P X n P 9772.0)2()25/10200204(=Φ=-Φ≈6。
8 设总体X ~N （150,252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤。
解： 已知150=μ，25=σ，25=n ，)25/25150140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ= 2857.09615.09772.0=-=第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：。
华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第6章 参数估计
13 January 2016
华东师范大学
第六章 参数估计
第17页
解 似然函数
L( ) 1
n
I
i 1
n
{0 xi }
1
n
I{ x
( n ) }
要使L( )达到最大，首先一点是示性函数取值 n n 应该为1，其次是1/ 尽可能大。由于1/ 是 的单调减函数，所以 的取值应尽可能小，但 示性函数为1决定了 不能小于x(n)，由此给出 ˆx 。 的极大似然估计： (n)
由此即可得到a, b的矩估计：
ˆ x 3s, a
13 January 2016
ˆ x 3s b
华东师范大学
第六章 参数估计
第9页
6.1.2 极(最)大似然估计
定义6.1.1 设总体的概率函数为P(x; )，是参 数 可能取值的参数空间，x1, x2 , …, xn 是样本， 将样本的联合概率函数看成 的函数，用L( ; x1, x2, …, xn) 表示，简记为L( )，
华东师范大学
第六章 参数估计
第19页
例6.1.9 设 x1 , x2 , …, xn是来自正态总体N( , 2) 2 ， 的样本，则和 2的极大似然估计为 x , s *2 于是由不变性可得如下参数的极大似然估计，它 们是:
ˆ s*； 标准差 的MLE是
另外，由于Var(X)=1/ ，其反函数为 1/ Var( X ) 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的， 这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采 用低阶矩给出未知参数的估计。
13 January 2016
概率论与数理统计第6章
以分组区间为底，以
Yj
Wj X j1 X j
Wj 5
为高
作频率直方图
23
从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比 较少，而中间附近的数据比较多，即中间大两头小的分 布趋势，——随机变量分布状况的最粗略的信息。
在频率直方图中， 每个矩形面积恰好等于样本值 落在该矩形对应的分组区间内的频率，即
S j
Wj X j1
Xj
X j1 X j
Wj
频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数
据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的
分布状况。
24
12
第二．计算样本特征数
1.反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等 样本均值MEAN 中位数MEDIAN 众数
X 90.3
91
91, 94
代表性——即子样( X1, X2 ,
,
X
)的每个分量
n
X
与
i
总体 X 具有相同的概率分布。
独立性——即 X1, X2, , Xn 是相互独立的随机变量。
满足上述两点要求的子样称为简单随机子样.获得简 单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样.
从简单随机子样的含义可知，样本 X1, X2 , , Xn 是来自总体 X、与总体 X具有相同分布的随机变量.
2分布 t 分布 数理统计的三大分布(都是连续型). F分布 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、 t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
31
一、 2分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X2,..., Xn 是 X
第六章《概率论与数理统计教程》课件
1
例5. 设X服从[0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求λ的最大似然估计. 1 解:由题意得: X ~ f ( x; )
1 L( x1 , x 2 ,..., x n ; ) n 0
0 x
0 其它 0 x1 , x 2 ,..., x n
dL n n1 0 d
其它
无解.
应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现 取 max( x1 , x 2 ,..., x n ) 此时,L取值最大, 所以,所求最大似然估计为 max( x1 , x 2 ,..., x n )
考虑L的取值,要使L取值最大,λ应最小, 0 x1 , x 2 ,..., x n
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) ,其中 及 2 都是未知参数，如
果取得样本观测值为 x1 ,, x n , 求 及 2 的矩估计值。
解： 因为总体X的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶 原点矩，我们有 v1 ( X ) E ( X )
v 2 ( X ) E( X 2 ) D( X ) [ E( X )]2 2 2
e
e
1 2
2
2
( x )2 2 2
e
L( x1 , x 2 ,..., x n ; , )
2
i 1
1 2
2
( xi )2
(
2
1 2
2
1 2 2
) e
n
i 1
n
( xi )2
1 n 2 n 1 n 2 2 ) 2 ( x i ) ln 2 ln L n ln( ( xi ) 2 i 1 2 2 2 n 2 2 i 1 1 ln L 1 n Xi X 2 ( xi ) 0 n i 1 i 1 1 n 2 1 n n ln L n 1 ( xi )2 ( xi X )2 2 2 4 ( x i ) 0 n i 1 n i 1 2 2 2 i 1
概率论与数理统计6-8
无关的样本的连续函数，则称g(X1,X2,…,Xn)为
统计量。 统计量是样本的函数,它是一个随机变量， 如果x1, x2, …, xn是样本观察值, 则g(x1, x2, …, xn)是统计量g(X1, X2, …, Xn)的一个观察值.X i ; n i 1 2 n 1 2 2. 样本方差 S (X i X ) ; n - 1 i 1 1 n k 3. 样本k阶原点矩 A k X i , k 1, 2, ; n i 1 1 n 4. 样本k阶中心矩 Bk (X i X ) k , k 2, 3, . n i 1
§7.1 点估计 一. 问题的提法:
设总体X的分布函数F ( x; θ )的形式为已知 ,
是待估参数， 1 , X 2 , , X n 是X的一个样本， X
x1, x2 , , xn 是相应的一个样本值。
点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ˆ ( X , X , X )，用它的观察值 ˆ( x , x , , x )
2
分布具有可加性，定义 X 1 ,X 2 , ,X n 独立 中 n 1 同服从N (0,1)，所以 ＝ X ~ ( , ) 2 2 i 1
2 2 i n
β α α-1 －x x e , x 0, 分布的概率密度为 f ( x) Γ (α ) : 0 , 其它. n 1 2 2 比较 (n)的密度可知： (n) 分布就是 , 2 2 2 的分布, 即 (n) (n / 2, 1/2).
N (0, 2 ) ，X1，X2，X3 为取自总体的一个样本， 2.设总体 X～
试求：(1)3X1－2X2＋X3 的分布；(2)
2 X1 X 22 X 32
的分布。
概率论与数理统计第六章
Ch 6 数理统计的基本概念§6.1 基本概念 一、总体与样本1、总体——研究对象的全体，记为X 。
2、个体——构成总体的每一个对象，记为i X 。
3、总体容量——总体中包含的个体的个数。
有限总体——容量有限；无限总体——容量无限。
为推断总体X 的分布，从总体中抽取n 个个体，则对应n 个r.v.n X X X .....2,1——来自于总体X 的一个样本。
n X X X ......,21的取值（（n x x x ,.....,21）--观测结果）称为样本的观测值，简称为样本值，整个抽取过程称之为抽样。
抽取的目的是根据样本的取值情况推断总体情况，因此应尽可能的使抽取的样本能反映总体的状况，故要求抽取的样本具有以下性质：文档收集自网络，仅用于个人学习⑴ 代表性：样本中每个r.v.i X 与总体X 具有相同的分布。
文档收集自网络，仅用于个人学习⑵ 独立性：n X X X ......,21相互独立。
——简单的随机抽样所得的样本称为简单的随机样本；若总体X 的分布函数为F （x ），则样本n X X X .....2,1的联合分布函数)().....,(121*i ni n x F x x x F =∏=。
文档收集自网络，仅用于个人学习若X 为连续型，且d.f 为f(x),且联合p.d.f 为：)()....,(121*i ni n x f x x x f =∏= 若X 为离散型，且分布律为：....2,1,)(===k p x X P k k 则联合分布律：in i i in n i i p p p x X x X x X P ....).....,(212211⋅⋅====。
...2,1.....3,2,1=in i i i 二、统计量Def:不含有任何未知数的关于样本空本空间的函数称为统计量。
e.g.1 设总体X~),(2σμN ，其中2,σμ未知，（n X X X .....2,1）为取自总体X 的一个样本，则：∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1均为统计量。
概率论与数理统计 第6章
第 6 章 数理统计的基本概念
6.1 基本概念 6.2 抽样分布 习题 ６
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论 为基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研 究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。数理统计 的内容包括:如何收集、整理数据资料；如何对所得的数据
资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作
设总体 X 的分布律为 P ( X = x ) = p ( x )， X 1 ， X
2
，…， X n为来自总体 X 的一个样本，则 X 1 ， X 2 ，…， ， X 2 ，…， X n)的联合分布律为
X n的分布律都是 P ( X i = x ) = p ( x )，从而 n 维随机变量(X
1
设总体 X 的概率密度为 f ( x )， X 1 ， X 2 ，…， X n为 来自总体 X 的一个样本，则 X 1 ， X 2 ，…， X n的概率密度 都是 f ( x )，从而 n 维随机变量(X 1 ， X 2 ，…， X n)的联合 概率密度为
( n ) ，则称函数
为总体 X 的经验分布函数。
需要指出的是，若在 F n (x )的定义中将样本值换成对 应的样本，则当 n 固定时，它是一个随机变量，此时仍称之 为总体 X 的经验分布函数。所以用样本值定义的 F n (x )其 实是经验分布函数的观察值，在不致混淆的情况下统称为总 体 X 的经验分布函数。
出推断。数理统计的重要分支有统计推断、试验设计、多元 分析等，其具体方法甚多，应用相当广泛，已成为各学科从
事科学研究及生产、经济等部门进行有效工作的必不可少的
数学工具。
本章从数理统计的基本概念开始，讨论抽样分布及其重 要定理，这些抽样分布及其重要定理在概率论中尚未提到，
6.1 基本概念 6.2 抽样分布 习题 ６
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论 为基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研 究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。数理统计 的内容包括:如何收集、整理数据资料；如何对所得的数据
资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作
设总体 X 的分布律为 P ( X = x ) = p ( x )， X 1 ， X
2
，…， X n为来自总体 X 的一个样本，则 X 1 ， X 2 ，…， ， X 2 ，…， X n)的联合分布律为
X n的分布律都是 P ( X i = x ) = p ( x )，从而 n 维随机变量(X
1
设总体 X 的概率密度为 f ( x )， X 1 ， X 2 ，…， X n为 来自总体 X 的一个样本，则 X 1 ， X 2 ，…， X n的概率密度 都是 f ( x )，从而 n 维随机变量(X 1 ， X 2 ，…， X n)的联合 概率密度为
( n ) ，则称函数
为总体 X 的经验分布函数。
需要指出的是，若在 F n (x )的定义中将样本值换成对 应的样本，则当 n 固定时，它是一个随机变量，此时仍称之 为总体 X 的经验分布函数。所以用样本值定义的 F n (x )其 实是经验分布函数的观察值，在不致混淆的情况下统称为总 体 X 的经验分布函数。
出推断。数理统计的重要分支有统计推断、试验设计、多元 分析等，其具体方法甚多，应用相当广泛，已成为各学科从
事科学研究及生产、经济等部门进行有效工作的必不可少的
数学工具。
本章从数理统计的基本概念开始，讨论抽样分布及其重 要定理，这些抽样分布及其重要定理在概率论中尚未提到，
概率论与数理统计 1-6
第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念第六节独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回的取两次，记A：第一次抽取，取到绿球B：第二次抽取，取到绿球则有P(B|A)=P(B)他表示A的发生并不影响B发生的可能性大小，即)P(AB)=P(A)P(BP(B|A)=P(B⟺)2.定义设A,B是两事件，如果满足等式P AB=P A P B则称事件A，B相互独立，简称A，B独立.说明：事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.两事件相互独立)P(AB)=P(A)P(B 两事件互斥AB =∅两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系互斥独立AB例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B).A BP A=12,P B=12则P(AB)=0，而P(A)P(B)=1 4 ,故P(AB)≠P(A)P(B).由此可见两事件互斥但不独立. AB3.三事件两两相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式൞P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C),则称事件A，B，C两两相互独立4.三事件相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式P AB=P A P B,P BC=P B P C,P AC=P A P C,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立注意:三个事件相互独立→三个事件两两相互独立三个事件相互独立↚三个事件两两相互独立推广：设A1,A2,⋯,A n是n个事件，如果对于任意k(1<k≤n)，任意1≤i1<i2<⋯<i k≤n，具有等式P(A i1A i2⋯A ik)=P(A i1)P(A i2)⋯P(A ik)则称A1,A2,⋯,A n为相互独立的事件n个事件相互独立→n个事件两两相互独立n个事件相互独立↚n个事件两两相互独立二、几个重要定理定理一：设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然.定理二：若A,B相互独立，则下列各对事件，ഥA与B，A与ഥB，ഥA与ഥB，也相互独立。
《概率论与数理统计》六
E( X ) xk pk . k 1
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解 100.6 90.180.2 70.1 100.4 90.3 80.1 70.2
i1 j1
2
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dx
ydy
0
0
3
1
2(1 x )
1
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy dx
xydy
0
0
6
三、数学期望的性质
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
1
e
x
,
0,
x0 x0
( 0)
求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．
解
Xk的分布函数为
F
(
x)
1
e
x
,
0,
x0 x0
串联时系统寿命 N min( X1 , X2 , , X5 ) ，
其分布函数为 Fmin ( x) 1
[1
F(
x)]5
1
e
5x
,
0,
x 0, x 0.
fmin
2 X 3, 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款3000元.
概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布
),
,
,
,
是来
Z=
(
－
证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。
14
),
,
,
,
是来 ， ．ຫໍສະໝຸດ 自 总 体 X 的 样 本 ， E( ) 则 ，D( )=
是来自总体 X ，D(X)= ． ，
，D( )=
11
3. 设 , 本 ,E(X)=
, , 为来自总体 X 的样 ,D(X)=9, 为样本均值 , 试用 ＜ ≥ ,
切比雪夫不等式估计 P{ P{ 4.设 , 则当 K= ＞ ≤ , , . 是总体 X
lim f (t ) (t )
n
1 e 2
t2 2
, x
3.分位点 设 T～t(n)， 若对 :0<<1,存在 t(n)>0，
4
满足 P{Tt(n)}=， 则称 t(n)为 t(n)的上侧分位点 注: t1 (n) t (n) 三、F—分布 1.构造 若 1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2 独立，则
y0
2. F—分布的分位点 对于 ：0<<1，若存在 F(n1, n2)>0， 满足 P{FF(n1, n2)}=， 则称 F(n1, n2)
5
为 F(n1, n2)的上侧 分位点； 注： F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
§ 6.3 正态总体的抽样分布定理
X Y /n ~ t ( n)
t(n)称为自由度为 n 的 t—分布。 t(n) 的概率密度为
n 1 ) 1 t 2 n2 2 f (t ) (1 ) , t n n n ( ) 2 (
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用上述直方图刻画随机变量X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量 X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概 率分布情况。
(3). 计算落入各子区间内观测值频数
ni = #{ xj ∈ [ti−1, ti)， j = 1, 2, ···, n}，
频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) (131.5, 135.5) (135.5, 139.5) (139.5, 143.5) (143.5, 147.5) (147.5, 151.5) (151.5, 155.5)
例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
概率论与数理统计 第六讲
主讲教师： 柴中林副教授 中国计量学院理学院
§2.3 连续型随机变量
连续型随机变量 X 所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给 出概率分布。而是用“概率密度函数”表示 随机变量的概率分布。
2.3.1 频率直方图
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 [a, b] ; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2). 确定数据分组数 m = [1.87×(n−1)2/5 + 1]， 组距 d = (b − a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1,否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与 x 轴所围 面积等于1。
(3). 对 f(x)的进一步理解：
若x是 f(x)的连续点，则
xx
lim P(xXxx) limx
f (t)dt
x 0
x
x0
x
=f(x)，
故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量，f (x)相当于物理学中的线密度。
需要注意的是：概率密度函数 f (x)在点a处 取值，不是事件 {X=a} 的概率。但是，该值 越大，X 在a点附近取值的概率越大。
若不计高阶无穷小，有：
P { x X x x } f( x ) x .
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 f (x ) × △x 。
可见： 由P(A)=0, 不能推出 A=Ø； 由 P(B)=1, 不能推出 B=Ω。
2.3.3 随机变量的分布函数
定义2: 设X()是一个随机变量，称函数
F(x) = P{X≤x}, -∞< x <∞
为随机变量 X 的分布函数。
分布函数的性质
(1).a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性)； (2).F(x)是一个右连续函数； (3).xR，总有0≤F(x)≤1(有界性)，且
◎ 对连续型 随机变量 X, 有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb).
◎ 由P(X=a)=0， 可推出
P ( X R a ) f( x ) d P x ( X a ) 1 .
而 {X=a} 并非不可能事件, {XR{a}}并非必然事件。
f (x ) × △x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作 用类似。
(4). 连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.
即： P(Xa)0, a为任意给定值。
这是因为：
P (X a ) liP m (a x X a )
x 0
a
由此得，
lim f(x)dx0. x 0 ax
2.3. 2 概率密度函数
定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机 变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成
P (aXb)a bf(x)d,x
(1)
则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
密度函数的性质
(1). f(x)0；
(2). f(x)dx1；
频数 6 12 24 28 18 8 4
频率 0.06 0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
(4). 以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 为高作一系列小矩形，组成了频
率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。
(3). 计算落入各子区间内观测值频数
ni = #{ xj ∈ [ti−1, ti)， j = 1, 2, ···, n}，
频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) (131.5, 135.5) (135.5, 139.5) (139.5, 143.5) (143.5, 147.5) (147.5, 151.5) (151.5, 155.5)
例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
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主讲教师： 柴中林副教授 中国计量学院理学院
§2.3 连续型随机变量
连续型随机变量 X 所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给 出概率分布。而是用“概率密度函数”表示 随机变量的概率分布。
2.3.1 频率直方图
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 [a, b] ; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2). 确定数据分组数 m = [1.87×(n−1)2/5 + 1]， 组距 d = (b − a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1,否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与 x 轴所围 面积等于1。
(3). 对 f(x)的进一步理解：
若x是 f(x)的连续点，则
xx
lim P(xXxx) limx
f (t)dt
x 0
x
x0
x
=f(x)，
故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量，f (x)相当于物理学中的线密度。
需要注意的是：概率密度函数 f (x)在点a处 取值，不是事件 {X=a} 的概率。但是，该值 越大，X 在a点附近取值的概率越大。
若不计高阶无穷小，有：
P { x X x x } f( x ) x .
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 f (x ) × △x 。
可见： 由P(A)=0, 不能推出 A=Ø； 由 P(B)=1, 不能推出 B=Ω。
2.3.3 随机变量的分布函数
定义2: 设X()是一个随机变量，称函数
F(x) = P{X≤x}, -∞< x <∞
为随机变量 X 的分布函数。
分布函数的性质
(1).a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性)； (2).F(x)是一个右连续函数； (3).xR，总有0≤F(x)≤1(有界性)，且
◎ 对连续型 随机变量 X, 有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb).
◎ 由P(X=a)=0， 可推出
P ( X R a ) f( x ) d P x ( X a ) 1 .
而 {X=a} 并非不可能事件, {XR{a}}并非必然事件。
f (x ) × △x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作 用类似。
(4). 连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.
即： P(Xa)0, a为任意给定值。
这是因为：
P (X a ) liP m (a x X a )
x 0
a
由此得，
lim f(x)dx0. x 0 ax
2.3. 2 概率密度函数
定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机 变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成
P (aXb)a bf(x)d,x
(1)
则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
密度函数的性质
(1). f(x)0；
(2). f(x)dx1；
频数 6 12 24 28 18 8 4
频率 0.06 0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
(4). 以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 为高作一系列小矩形，组成了频
率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。