三角形全等的判定第4课时
《用“HL”证直角三角形全等》第4课时练习题
C)
90° ． 11．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝_______
12．(2016·镇江)如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO的度数是多少？
5．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝
AC，FD＝CD.求证：AD＝BD. 解：在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵CD＝FD，AC ＝BF，∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)，∴AD＝BD
知识点2：直角三角形全等判定方法的选用
6．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是( D A．两条直角边分别对应相等 B．斜边和一锐角分别对应相等 C．斜边和一条直角边分别对应相等 )
八年级上册人教版数学 第十二章 全等三角形
12．2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”证直角三角形全等
直角边 分别相等的两个直角三角形全等，可简写成 1．斜边和一条_________ HL ”． 斜边、直角边 ”或“_______ “_______________ 2．判定两个直角三角形全等的方法．(填简写形式) SSS ；(2)________ SAS ；(3)______ ASA ； (1)_______ (4)_________ AAS ；(5)_______ HL ． 练习1：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据 AB＝AC “HL”判定，还需要加条件_______________ ；若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定． __________
12.2 第4课时 用“HL”判定两个直角三角形全等课件2024—2025学年人教版数学八年级上册
夯实基础 能力提升
夯实基础 能力提升 思维拓展
(3)如图3，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°. ∵点A(2,2)，∴AN＝AM＝2. ∵AB＝AC，由(1)知BN＝MC， ∴OC－OB＝OM＋MC－(BN－ON)＝OM＋ON＝4.
夯实基础 能力提升 思维拓展
解：(1)证明：如图1，在Rt△ADB和Rt△AEC中，AB＝AC， AD＝AE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC(HL)，∴EC＝DB. (2)证明：如图2，连接AF.由(1)知EC＝DB. ∵∠AEF＝∠D＝90°，AF＝AF，AD＝AE， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)， ∴DF＝EF，∴CF＝EF＋CE＝DF＋DB.
夯实基础 能力提升 思维拓展
5．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE.求证：BF＝ EC.
证明：∵∠B＝∠E＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AACB＝＝DDEF，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)， ∴BC＝EF， ∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝EC.
夯实基础 能力提升 思维拓展
2 直角三角形全等的判定方法综合
思维拓展
7．下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是
( D) A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等
夯实基础 能力提升 思维拓展
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
八年级数学上册1-3第4课时用“角角边”判定三角形全等习题课件新版苏科版
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9. [2024昆山期末]如图，∠ DCE ＝90°， CD ＝ CE ， AD ⊥
AC ， BE ⊥ AC ，垂足分别为 A 、 B . 求证： AD ＋ AB ＝
BE .
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证明：∵∠ DCE ＝90°，∴∠ ECB ＋∠ ACD ＝90°.
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2. [荣德原创]如图，已知点 B 、 E 、 C 、 F 在同一条直线
上，∠ B ＝∠ DEF ， BC ＝ EF ，现要说明△ ABC ≌△
DEF ，若要以“ASA”为依据，还需添加条件
＝∠ EFD
件
∠ BCA
；若要以“AAS”为依据，还需添加条
∠ A ＝∠ D
1
.
件后，仍无法判定△ ABC ≌△ DEF 的是(
A. ∠ A ＝∠ D
B. AC ＝ DF
C. AB ＝ ED
D. BF ＝ EC
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A
)
8. 如图，在四边形 ABEF 中， AB ＝4， EF ＝6，点 C 是 BE
上一点，连接 AC 、 CF ，若 AC ＝ CF ，∠ B ＝∠ E ＝
∴ AD ＋ AB ＝ BC ＋ AB ＝ AC ，∴ AD ＋ AB ＝ BE .
八年级数学人教版(上册)第4课时用“HL”判定直角三角形全等
BD＝AC， AB＝BA， ∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). ∴DA＝CB．
3.如图，点 C，E，B，F 在同一条直线上，AB⊥CF 于点 B， DE⊥CF 于点 E，AC＝DF，AB＝DE.求证：AC∥DF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AC＝DF， AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴∠C＝∠F. ∴AC∥DF.
知识点 2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等 4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( C ) A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
∴∠APE＝∠BPF. ∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠BPF＋∠BPE＝∠EPF＝90°. ∴PA⊥PB．
(2)若点 A 的坐标为(8，0)，则点 B 的坐标为 (0，－4) . (3)OA－OB 的值为 4 .
(4)如图 2，当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，求 OA＋OB 的值. 解：过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PF⊥y 轴于点 F， 同(1)可得，Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF. ∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB， ∴OA－2＝2－OB． ∴OA＋OB＝4.
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠BCD－∠ACF＝∠EDC－∠ADF， 即∠BCA＝∠EDA．
BC＝ED， 在△ABC 和△AED 中，∠BCA＝∠EDA，
AC＝AD，
1.5三角形全等的判定(4)
1.5三角形全等的判断（4）义务教育教科书（浙教版）八年级下册衢州市兴华中学周永霞【授课目的】1.掌握三角形全等的判判定理及证明过程.2.掌握角均分线的性质定理及证明过程.3.会运用全等三角形的性质及角均分线的性质判断两条线段相等.4.领悟转变、数形结合等数学思想 .【授课重点和难点】1.两个三角形全等的判判定理（两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等）是本节授课重点 .2. 当图形中没有现成的全等三角形时，需要经过增加辅助线构造全等是本节授课难点.【授课过程】一．学习准备思虑：（ 1）我们已经学过哪几种判断三角形全等的方法？（2）要推出两个三角形全等需要几个条件?（3）若是给出三个条件推出全等，你能说出哪几种可能的情况？（4）请猜想还能够用来判断两个三角形全等的方法可能是什么？（设计妄图：经过复习三角形全等的判断方法，让学生猜想还有哪几种可能的方法，为新的方法埋下伏笔，从中浸透分类谈论的数学思想.）二．课本导学（一）阅读与思虑一『课前预习』三角形全等的判判定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.试一试写出证明过程.（设计妄图：本节课内容很多，45 分钟显得时间紧张，而判判定理的证明其实不难，学生经过预习基本能够掌握，课堂上只需交流证明方法，能够提升课堂效率.）『思虑一』1.根据已学的三角形全等的判定方法，证明这个命题的关键是求证____________=__________2.证明过程中用到了怎样的数学思想？3.三角形全等判判定理的几何语言怎样描述？『练习一』书本 35 页课内练习 1 改编1. 已知：如图，AD均分∠ BAC， _________.求证：BD=CD.（请在横线上增加一个条件，使得结论成立）（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.判断两个三角形全等有哪几种思路？2.判断两条线段相等的方法是什么？3.全等三角形还有怎样的应用？（设计妄图：组织学生分小组进行谈论交流，突出学生的主体地位，培养主动参加的意识，学生在交流的过程中能够扬长避短，一方面使自己的方法更加完满，另一方面能够及时复习三角形全等判断的各种不同样方法.）（二）阅读与思虑二『课前预习』先试一试自己完成课本34 页例 6，再看课本解答 .『思虑二』1.什么叫点到直线的距离？2.点 P 到角两边的距离指的是哪两条线段的长？3. 若是在角均分线上任意取一点，结论可否同样成立？若是点P 与点 A 重合呢？4.你能用一句话概括题中的结论吗？5.角均分线性质定理的几何语言怎样描述？（设计妄图：本例题有着双重作用，第一是对 AAS 判断全等方法的牢固，其次是为了得出角均分线的性质定理 .例题的证明其实不难，所以让学生课前预习；难点是角均分线性质定理的概括，所以设计了一系列的思虑题，让学生在问题的引领下概括结论，提升了学生的思维.）（三）阅读与思虑三『课内阅读』试一试独立完成书本35 页例 7『思虑三』1.从已知条件解析：（1）由AB∥CD，能够推出什么？（2）由AD⊥AB，能够推出什么？（3）点P是∠ABC的均分线上的点，那么 PA应等于什么？我们能够怎样添辅助线？（4）点P是∠DCB的均分线上的点，那么 PD应等于什么？3.当图形中没有现成的全等三角形时，怎么办？（设计妄图：本例题是本节课的难点，宜用综合法来进行解析，即从已知条件出发，利用已经学过的定义、定理以及基本事实，渐渐向前推进，直到问题解决.本例题采用师生共同交流的形式，一步步引领学生打破难点.同时让学生掌握当图形中没有现成的全等三角形时，要经过增加辅助线构造全等. ）『练习二』书本 35 页课内练习22.已知：如图， AD垂直均分 BC， D为垂足. DM⊥AC， DN⊥AB， M， N分别为垂足 . 求证：DM=DN.（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.证明两条线段相等有哪些方法？当题中出现全等三角形的时候，能够利用___________________________________;当题中出现角均分线的时候，能够利用____________________________________;当题中拥有面积相等的三角形时，能够_____________________________________.2.碰到几何题，我们能够怎样进行解析？从_________和 __________ 两个角度进行解析 .（设计妄图：两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，很多其他问题最后都化归为两条线段相等来证明，经过练习.让学生概括出证明两条线段相等最常用的方法就是搜寻全等，其他角均分线的性质，线段中垂线的性质等经常用到. ）三．盘点收获经过这节课的学习，谈谈收获和迷惑.（设计妄图：学生先谈收获，教师再有条理地进行总结，再次把本节课的重点内容清楚地体现在学生眼前 .）四．部署作业必做题：作业实情应作业选做题：书本35 页第 5 题很多其他问题最后都化归为两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，两条线段相等来证明，。
第4课时 “HL”判定两个直角三角形全等
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与 右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的倾斜角 ∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∵AC⊥AB，DE⊥DF， ∴∠CAB 和∠FDE 都是直角． 在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC = EF， AC = DF， ∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
画法：
（1） 画∠MC′N =90°；
（2）在射线C′M上取B′C′=BC；
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′ N于点A′；
N A′
（4）连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
结论：这两个直角三角形全等．
M B′
C′
归纳总结
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 和∠D 都是直角． 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA， AC = BD， ∴Rt△ABC≌ Rt△BAD（HL）． ∴BC =AD（全等三角形对应边相等）．
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证 △ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明 理由． （1） AD = BC （ HL ）；
我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.
的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地．DA⊥AB，
EB⊥AB．D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？ D
解：D，E与路段AB的距离相等.理由如下：
∵C是路段AB的中点，
A
∴AC = BC.
又∵两人同时同速出发，并同时到达D，E两地. C
E
12.2 《三角形全等的判定(四)(HL)》教案-河南省漯河市舞阳县人教版八年级数学上册
12.2 《三角形全等的判定（四）（HL）》【课标内容】1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.4.掌握基本事实：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.【教材分析】本节课的主要内容是探索两个直角三角形全等的条件和如何利用“直角边斜边”的条件证明三角形全等，是在学生学习了线段、角、相交线、平行线和三角形的有关知识之后展开的.“HL”是证明两个三角形全等的重要方法之一，也是证明线段相等、角相等的重要依据.在【教学过程】中，我让学生充分体验到动手操作、剪拼、翻折平移、推理证明的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课让学生从画几何图形，剪拼，翻折平移，起到了较好的作用，学生更加清楚直观，以及学习推理证明的方法.【学情分析】本节是人教版八年级上册第十二章第二节的第四课时，全等三角形的判定（HL）是学生学习了图形的全等的概念及特征后的一节内容，它不仅是后面学习平行四边形性质与判定的基础，而且也是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用.【教学目标】1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.掌握直角三角形全等的判定，并能运用其解决一些实际问题．3.在探索直角三角形全等的判定及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】三角板、多媒体【课时设置】一课时【教学过程】一、预学自检互助点拨（阅读教材P41-43，完成以下问题）1.判定三角形全等：、、、 .2.如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 .（【设计意图】复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.）二、合作互学探究新知（动手操作）：1.已知线段a，c ，和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a.2.与同桌重叠比较，是否重合？3.从中你发现了什么？（【设计意图】比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.激发学生挑战新问题的积极性，培养学生的分析、作图能力.画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.）三、自我检测成果展示1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt△和Rt△中⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）【设计意图】 让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件，自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心.2.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等3.如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，求DE 的长.四、应用提升挑战自我在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.（【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.）五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，关键是区别两种情况，判断哪一种情况可以判断两个三角形全等，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.【板书设计】全等三角形判定HL【备课反思】本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS、）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”.纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.。
初中数学《三角形全等的判定“斜边、直角边”》教案
教学设计
一、情境引入
(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否对称，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？
二、探究新知
三、例题讲解 教材例5
如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.
证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
⎩
⎨
⎧AB ＝BA ，
AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.
四、应用提升 想一想：
你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．
三、巩固练习 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
学生独立思考完成．教师点评． 五、小结。
第十三讲 三角形全等的判定定理4(HL)(含解析) (人教版)
第十三讲三角形全等的判定定理4（“HL”）【学习目标】1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．【新课讲解】知识点1：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）1.文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）.2.几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL).方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）【例题】如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.【答案】见解析。
【解析】证明：∵ AC⊥BC， BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.三角形全等的判定定理4问题新课程过关检测满分100分，答题时间60分钟一、选择题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一直角边对应相等D. 两个直角三角形的面积相等【答案】D【解析】如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS可判断两三角形全等，故选项B正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL可判断两三角形全等，故选项C正确；如果两个直角三角形的面积相等，那么无法判定两个直角三角形全等，故D错误；故选：D．2．要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】根据全等三角形的判定，逐个分析即可.①有两条直角边对应相等;根据SAS，可判定两个直角三角形全等；②有两个锐角对应相等; 没有边，不能判定两个直角三角形全等；③有斜边和一条直角边对应相等; 根据HL，可判定两个直角三角形全等；④有一条直角边和一个锐角相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑤有斜边和一个锐角对应相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑥有两条边相等.边位置不确定，不能判定两个直角三角形全等.故选C3．如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．SSS【答案】A 【解析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP=∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选择：A.4．如图，∠ACB=90°，AC=BC ．AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．B ．2C ．2D ．【答案】B ．【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出BE=DC ，就可以求出DE 的值．∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=25.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】△AEH≌△CEB，EH=BE=3CE=AE=4CH=CE-HE=4-3=1二、填空题（每空4分，共28分）6．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．【答案】AC=BC．【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC 可利用AAS判定△ADC≌△BEC．添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS）7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．【答案】AB=ED．【解析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC ≌△DEF．添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）8.如图，，，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，，，，则________．【答案】7解析：，，，，在和中，≌，，，．故答案为7．9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的关系是_______。
最新人教版数学八年级上册第十二章2 三角形全等的判定(第4课时)
探究新知
12.2 三角形全等的判定/
画图思路 N
A
A′
B
C M B′
C′
（4）连接A′B′.
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
探究新知
12.2 三角形全等的判定/
“斜边、直角边”判定方法
“SSA”可以判定两个直
角三角形全等，但是“边
文字语言：
边”指的是斜边和一直角
斜边和一条直角边对应相等的两个直边角，三而角“角形”全指等的是直角.
导入新知
12.2 三角形全等的判定/
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三 角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.
(1) 你能帮他想个办法吗？ 根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角. 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角.
导入新知
12.2 三角形全等的判定/
（4） ∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ）
D A
C B
探究新知
变式题2
12.2 三角形全等的判定/
如图，AC,BD相交于点P ， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分
别为C,D ， AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
探究新知
12.2 三角形全等的判定/
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
A
C
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
人教版八年级上册数学-“斜边、直角边”课件
画图思路
A
新课讲解
N A′
B
C M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
知识要点
★“斜边、直角边”判定方法 ▼文字语言：
“SSA”可以判定两个直 角三角形全等，但是“边 边”指的是斜边和一直角 边，而“角”指的是直角.
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
第4课时 斜边、直角边
学习目标
一、基本目标 【知识与技能】 1．会运用“边边边”证明三角形全等． 2．会根据“边边边”作一个角等于已知角． 【过程与方法】 经历探索三角形全等条件的过程，体验由操作、归纳得出结论的过程． 【情感态度与价值观】 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于 探索的良好品质以及发现问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 掌握两个三角形全等的判定条件——“边边边”． 【教学难点】 探索三角形全等的条件的过程．
B
▼几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
A
C
AB=A′B′,
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
新课讲解
判一判 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不
全等的画“×”，全等的注明理由.
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（AAS ）
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则 CH的长为（ A ）
人教版八年级数学上册第4课时“斜边、直角边”判定三角形全等
课堂练习
2.（1）如图， ∠ACB=∠ADB=90 °,要使
△ABC≌△BAD，还需增加一个什么条件？把增加
的条件填在横线上，并在后面的括号中填上判定全 等的理由. ① ____A_D__=_B_C___ （ HL ）； ② ____B_D__=_A_C___ （ HL ）； ③∠__D_A__B_=_∠__C_B__A（AAS）； ④ ∠__D__B_A_=_∠__C__A_B（AAS）.
例 如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D, AC=BD.求证 BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC,BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA, AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴BC=AD.
探究新知
你能用几种方法判定两个直角三角形全等呢？ “定义、SSS、SAS、ASA、AAS”以及“HL”
的距离相等吗？为什么？
相等
课堂练习
证明：∵ DA⊥AB，EB⊥AB ∴ ∠A=∠B=90 ° 在Rt△ACD和Rt△BCE中，
AC=BC
CD=CE ∴ Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL） ∴ AD=BE
2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为
E，F，CE=BF，求证：AE=DF.
小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一
般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特 殊的判定全等的方法——“HL”.
2.两个直角三角形中，由于有直角相等的条 件，所以判定两个直角三角形全等，只需找两个条 件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相 等）即可.
课堂练习
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.2三角形全等的判定(第4课时图文详解)
判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形 特殊的判定方法：HL.
八年级数学上册第12章全等三角形
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵ AE=CF
∴AF=CE 又∵ AB=CD
A
E
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ BF=DE
D
B
八年级数学上册第12章全等三角形
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
八年级数学上册第12章全等三角形
A 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若A= D，AB=DE，
F
E
B
C
则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全
等”）根据 ASA （用简写法）.
D
八年级数学上册第12章全等三角形
（2）若A=D，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等 （填
“全等”或“不全等”）根据 AAS .（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△ DEF 全等 （填“全 等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）
八年级数学上册第12章全等三角形
第12章全等三角形
八年级上册
八年级数学上册第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时
八年级数学上册第12章全等三角形
八级数学上册13.3全等三角形的判定(第4课时)课件(新版)冀教版
D.添加∠ACB=∠DEB，可根据“AAS”
C 判定△ ABC≌ △ DBE，故D正确.故选B.
2.如图所示，平面上有△ACD与△BCE，其中AD
与BE相交于P点，若AC=BC，AD=BE，CD=CE，
∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为(提
示：四边形内角和为360°) ( C ) A.110° B.125° C.130° D.155°
问题1：观察图形中哪两个三角形
A
具有特殊的位置关系.
D
E F 问题2：要证明DE=FE，需要先
证什么？
在三角形全等证明的过程中，要找到图
B
C
形中具有平移、旋转这两种位置关系的 三角形，找出题目中的条件，然后再进
行证明.
课堂小结
1.全等三角形是几何图形全等中的一种，根 据全等变换，两个全等三角形有时可以看成 是一个三角形由另一个三角形经过平移或旋 转得到。当两个三角形存在这种位置关系时， 这两个三角形就全等.
AC BC，
解析:在△ACD和△BCE中， CD CE，
A
P
E
AD BE，
∴△ACD≌△BCE(SSS)∴∠A=∠B,∠BCE=
∠ACD,∴∠BCA=∠ECD,∵∠ACE=55°,
B
D∠∴B∠CBDC=A1=5∠5°E,C∴D=∠50B°CA,+∴∠∠EACCDD==101005°°,,
2.三角形全等的证明，要从图形的各种变换 中发现图形全等的特征，善于将复杂的图形 拆分成简单的图形来识别全等三角形，要结 合题目的已知条件和结论选择合适的条件证 明两个三角形全等.在证明的过程中要做到 步步有据，注意步骤的规范.
检测反馈
1.如图所示，AB=DB，∠1=∠2，添加一个适当的条件，
三角形全等的判定第四课时教案
12．2三角形全等的判定第四课时一、教学目标1．经历探索判定直角三角形全等的方法的过程，理解“斜边直角边”．2．会应用“斜边直角边”证明两个直角三角形全等．3．树立探索、发现隐含条件的意识．二、教学重难点重点：应用“斜边直角边”判定两个直角三角形全等．难点：“斜边直角边”判定方法的探索过程．教学过程一、情境引入前面我们已经学过了全等三角形的判定方法：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？由三角形全等的条件可知：(1)一边和一个锐角相等的两直角三角形全等．(利用“ASA”或“AAS”)(2)两直角边相等的两直角三角形全等．(利用“SAS”)提出问题：如右图，小亮在探索直角三角形全等时发现，两直角三角形满足斜边、直角边分别相等时，这两个直角三角形也会全等，你认为小亮的说法正确吗？说说你的理由．教师利用三角形模型，从完全重合的角度来说明．二、互动新授通过演示，我们发现，小亮的说法是正确的，下面通过画图再来验证一下．【探究5】如教材图12.2－11，任意画出一个Rt△ABC中，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？作法如下：画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C ′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB ：(1)画∠MC ′N ＝90°；(2)在射线C ′M 上截取B ′C ′＝BC ；(3)以点B ′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C ′N 于点A ′；(4)连接A ′B ′.追问：剪下这两个三角形，拼拼看，它们是不是全等的三角形．你会发现什么？ 由探究5可以得到判定直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【例5】 如教材图12.2－12，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证BC ＝AD.【证明】 ∵AC⊥BC，BD ⊥AD ，∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴BC＝AD.三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节是全等三角形的最后一个判定：“斜边、直角边”，它有别于前面学过的判定方法，首先是它只适用于直角三角形，它的判定条件只有两组对应边相等(斜边和一条直角边)；其次是判定的书写格式，要求先要证明这两个三角形是两个直角三角形，并指出在两个直角三角形(Rt△)中，满足斜边、直角边分别相等，最后由“HL”得出两个直角三角形全等．学生在书写时，往往会出现书写格式不规范的错误，主要错误是没有体现出直角三角形，教学中应该加以强调．导学方案一、学法点津学生通过模型演示和画图感受“斜边、直角边”的合理性是重要且必要的．同时，学会正确应用“斜边、直角边”证明直角三角形全等．注意书写格式要规范：(1)证明两直角三角形的斜边和一直角边分别相等；(2)表述两直角，并用Rt△来叙述两三角形；(3)写出条件：斜边和一直角边分别相等；(4)用Rt△表述两直角三角形全等．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．2．两直角三角形只要满足两个元素(至少有一边)分别相等，这两个直角三角形就全等．（二）规律方法总结1．证明三角形全等在思路上可以分为非直角三角形的两个三角形全等和两直角三角形全等两类．2．在全等条件中要注意“两边必须夹角”，“两角却不一定要夹边”，“斜边、直角边”只适应于两直角三角形．3．隐含条件的类型主要有：公共边，公共角，边的恒等变形，角的恒等变形，对顶角相等，同位角相等，内错角相等，隐含全等的三角形等．要学会发现隐含的条件，且将发现的隐含条件与已知条件进行综合考虑推出新结论则显得更重要．第四课时作业设计一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( )．(1)有一角相等的两个直角三角形一定全等；(2)有一边分别相等的两个直角三角形一定全等；(3)有一角一边分别相等的两个直角三角形一定全等；(4)有两边分别相等的两个三角形一定全等；(5)有两角分别相等的两个三角形一定全等．A．0个 B．2个C．3个 D．4个2．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需添加的一个条件是( )A．∠A＝∠D B．AB＝BDC．AC＝DE D．∠BED＝∠C二、填空题3．“斜边、直角边”判定的内容是：__________________________________________.4．如图，已知AB＝AC，AD是BC边上的高，则可以证明△ABD≌△ACD，依据是__________．由此可推出∠B＝__________．三、解答题5．如右图，已知AB＝CD，BF⊥AC, DE⊥AC，垂足分别为E，F，且AE＝CF.求证AB∥CD.【参考答案】1.A2.C3.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等4．HL ∠C5.证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED ＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD.。
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(绳子是拉直的),两个木桩离旗杆底部的距离
相等吗?请说明你的理由.
相等. 理由:由题意可知,△ABD 和△ACD 都是直角 三角形. ������������ = ������������, 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中, ������������ = ������������, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD.∴BD=CD.
1.证明两个三角形全等一般需要三个条件,而“斜边、直角边” 却只有两个全等条件,你能说明这是为什么吗? “斜边、直角边”其实也包含三个条件,还有隐含的条 件是这个结果必须是对两个直角三角形才成立的.
一课一案 创新导学
2.如果已知三角形的两边和其中一边的对角(为钝角),那么 作出的三角形是唯一的吗?与已知三角形是全等的吗?
D )
B.两锐角对应相等 D.两条直角边对应相等
2.如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD, 请添加一个适当的条件: AE=CB(或EB=BD或∠E=∠DBC等) , 使得△EAB≌△BCD.
一课一案 创新导学
3.如图所示,两根长度均为12米的绳子,一端系在旗杆上的 同一点A处,另一端分别固定在地面两个木桩上
一课一案 创新导学
舞台背景的形状是两个直角三角形,每个三角形都有一条
直角边被花盆遮住了(如图).王叔叔想知道这两个直角三
角形是否全等,他只带了一把直尺,你能帮他想个办法吗?
王叔叔测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发
现它们分别对应相等,他就肯定“这两个直角三角形是全
等的”三角形也是全等的.
一课一案 创新导学
3.能否说“两边分别相等的两个直角三角形全等”?为什么?
不能.如一个直角三角形的两条直角边分别与另一个直 角三角形的一条直角边和一条斜边相等,显然这两个直 角三角形不全等.
一课一案 创新导学
1.使两个直角三角形全等的条件是(
A.一锐角对应相等 C.一条边对应相等
一课一案 创新导学
如图所示,已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD, F为垂足.求证:CF=DF.
证明:连接 AC,AD. ������������ = ������������, 在△ABC 和△AED 中, ∠������ = ∠������, ������������ = ������������, ∴△ABC≌△AED(SAS). ∴AC=AD. ������������ = ������������, 在 Rt△AFC 和 Rt△AFD 中, ������������ = ������������, ∴Rt△AFC≌Rt△AFD(HL).∴CF=DF.
一课一案 创新导学
1.两个直角三角形全等的判定方法有以下五种:①SAS;②ASA; ③SSS;④AAS;⑤HL. 2.我们在证明两个直角三角形全等的时候,要根据题中的已知条 件,灵活选择适当的判定方法.
一课一案 创新导学
第十二章
12.2
全等三角形
三角形全等的判定 第4课时
一课一案 创新导学
学习目标
1.能说出直角三角形的全等判定“斜边、直角边”,并能用数学符 号语言表示这个判定定理.
2.能利用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等,并能利用这
个定理解决简单的实际问题.
学习重点
“斜边、直角边”的判定及其应用.