专题一 第6讲 数学思想方法与答题模板建构

(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ，集合A ，B 如图所示，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{5,6} B ．{3,5,6} C ．{3}D ．{0,4,5,6,7,8}解析：由图可知，U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,5,6}，∴∁U A ＝{0,4,5,6,7,8)，(∁U A )∩B ＝{5,6}．答案：A2．(2011·江西高考)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，0]C ．(－12，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：根据题意得log 12x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得x ∈(－12，0)．答案：A3．下列命题中是假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R,3x >0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0解析：选项A 、C 、D 都是真命题．对于B 选项，由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，故不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，即B 选项为假命题．答案：B4．已知全集U ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩∁U N ＝( )A ．[32，2]B ．[32，2)C ．(32，2]D ．(32，2)解析：由f (x )≤0解得1≤x ≤2，故M ＝[1,2]；f ′(x )<0，即2x －3<0，解得x <32，故N＝(－∞，32)，∁U N ＝[32，＋∞)．故M ∩∁U N ＝[32，2]．答案：A5．(2011·陕西高考)设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )解析：代数表达式“f (x )＝f (－x )”，说明函数是偶函数，代数表达式“f (x ＋2)＝f (x )”，说明函数的周期是2，再结合选项图像不难看出正确选项为B.答案：B6．(2011·山西高考)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称，说明对任意x 恒有|f (－x )|＝|f (x )|，由此得f (－x )＝－f (x )或者f (－x )＝f (x )，此时说明y ＝f (x )可以是奇函数也可以是偶函数，条件不充分；而当f (x )是奇函数时，|f (－x )|＝|－f (x )|对于任意x 恒成立，即函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称，故条件是必要的．答案：B7．若M ＝a 2＋4a (a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]解析：∵M ＝a 2＋4a ＝a ＋4a ，∴当a >0时，M ≥2a ·4a＝4，当a <0时，M ＝－[(－a )＋(－4a)]≤－2a ·4a＝－4，则M 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：A8．若b <a <0，则下列不等式中正确的是( ) A.1a >1bB ．|a |>|b | C.b a ＋ab>2D ．a ＋b >ab解析：∵b <a <0，∴1a <1b <0,0<|a |<|b |，a ＋b <0<ab ，b a ＋a b >2b a ×ab＝2. 答案：C9．如图所示，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1，2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是( )A ．9B ．6C ．6 3D ．12解析：由于四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集仍为四边形A 1B 1C 1D 1，只是将原图像上各点的横坐标向右平移了一个单位，纵坐标伸长为原来的2倍，故所求面积是原来的2倍，故选B.答案：B10．(2011·陕西高考)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图像易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．答案：C11．(2011·福建高考)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝(62)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案：D12．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：据已知可得出x <1时，f ′(x )>0，即函数在区间(－∞，1)上递增，又由f (x )＝f (2－x )可得函数的图像关于直线x ＝1对称，故f (3)＝f (－1)，又由于1>12>0>－1，由单调性可得f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)>f (－1)，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)13．[理](2011·陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg1＝0，f (0)＝0＋⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3|a0＝1，得a ＝1.答案：1[文]已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图像上，点(－2，12)在幂函数y ＝g (x )的图像上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析：由题意，设y ＝f (x )＝x α，则2＝(2)α，α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，β＝－2，因为f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.答案：1或－114．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， ∴其定义域[a －1,2a ]关于原点对称，即a －1＝－2a . ∴a ＝13.∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， 即f (－x )＝f (x )，∴b ＝0. ∴f (x )＝13x 2＋1，x ∈[－23，23]，其值域为{y |1≤y ≤3127}． 答案：{y |1≤y ≤3127}15．设x ，y ，z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，0≤x ≤1，0≤y ≤2，3x ＋z ≥2，则t ＝3x ＋6y ＋4z 的最大值为_____．解析：∵z ＝1－x －y ，∴约束条件变为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2x －y ≥1，作出可行域如图，目标函数t ＝3x ＋6y ＋4z ＝－x ＋2y ＋4的几何意义与斜率为12的直线的纵截距有关，由图可知过点A (1,1)时取得最大值为5.答案：516．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13(x 0∈[0，π])，那么下面命题中真命题的序号是______．①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)； ③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x )在[x 0，π]上是减函数．解析：由于f ′(x )＝cos x －13，当x ∈[0，π]时，若有cos x 0＝13，由于y ＝cos x 在x ∈[0，π]上为减函数，故有x ∈[0，x 0]时，f ′(x )>0，当x ∈[x 0，π]时，f ′(x )<0，即函数的最大值为f (x 0)，且函数在区间[x 0，π]上为减函数，故①④命题为真．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围． 解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，∴a >0. ∴f (x )<0，即ax 2＋x <0的解集A ＝(－1a ，0)．(2)化简B 得B ＝(－a －4，a －4)，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1a≤－a －4，0≥a －4，a >0，解得0<a ≤5－2.即a 的取值范围为(0，5－2]．18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝log 2(a x－b x)且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a 、b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212.所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12.解得a ＝4，b ＝2. (2)f (x )＝log 2(4x －2x )＝log 2[(2x－12)2－14]，令u (x )＝(2x－12)2－14.由复合函数的单调性知u (x )在[1,2]上为增函数， 所以u (x )max ＝(22－12)2－14＝12，所以f (x )的最大值为log 212＝2＋log 23.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )的图像与h (x )的图像关于A (0,1)对称，设f (x )图像上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0,1)的对称点为B ′(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧x ′＋x2＝0，y ′＋y2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y . ∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2. ∴2－y ＝－x －1x ＋2.∴y ＝x ＋1x .即f (x )＝x ＋1x .(2)g (x )＝x 2＋ax ＋1，∵g (x )在[0,2]上为减函数， ∴－a2≥2，即a ≤－4.∴a 的取值范围为(－∞，－4]．20．(本小题满分12分)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值． 解：(1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100.∴k ＝100e 30.∴日销量q ＝100e 30ex .∴y ＝100e 30(x －20－t )e x≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30(x －25)e x ，y ′＝100e 30(26－x )e x，由y ′≥0，得x ≤26，由y ′≤0，得x ≥26，∴y 在区间[25,26]上单调递增，在区间[26,40]上单调递减． ∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.∴当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e 4元． 21．(本小题满分12分)[理]已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最值； (2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R)的定义域是(1，＋∞)． 当a ＝1时，f ′(x )＝2x －1－1x －1＝2x (x －32)x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝32.当x ∈(1，32)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(32，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的最小值为f (32)＝34＋ln2.(2)f ′(x )＝2x －a －a x －1＝2x (x －a ＋22)x －1，当a ≤0时，则有a ＋221，故f ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立， 所以f (x )的增区间为(1，＋∞)． 当a >0时，则有a ＋22>1，故当x ∈(1，a ＋22)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ＋22，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以当a >0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22，增区间为[a ＋22，＋∞)． [文]已知函数f (x )＝x 2＋(2－a )x －a ln x (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最值； (2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)f (x )＝x 2＋(2－a )x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ， f ′(x )＝2x ＋1－1x ＝(x ＋1)(2x －1)x当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(12，＋∞)时f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )的最小值为f (12)＝34＋ln2.(2)f ′(x )＝2x ＋(2－a )－a x ＝(x ＋1)(2x －a )x当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f (x )的增区间为(0，＋∞)． 当a >0时，若x ∈(0，a2)，则f ′(x )<0.若x ∈(a2，＋∞)，则f ′(x )>0，故f (x )的减区间为(0，a 2)，增区间为(a2∞)．22．(本小题满分14分)[理]已知函数f (x )＝2x 2＋x －k ，g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，g (x )取得极值－2.(1)求函数g (x )的单调区间和极大值；(2)若对任意x ∈[－1,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数k 的取值范围；(3)若对任意x 1∈[－1,3]，x 2∈[－1,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，所以对任意x ∈R ，g (－x )＝－g (x )，即a (－x )3＋b (－x )2＋c (－x )＋d ＝－(ax 3＋bx 2＋cx ＋d )， ∴bx 2＋d ＝0对任意x ∈R 都成立，故b ＝d ＝0， 从而g (x )＝ax 3＋cx ，g ′(x )＝3ax 2＋c . 又当x ＝1时，g (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝a ＋c ＝－2，g ′(1)＝3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴g (x )＝x 3－3x ，g ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． ∴当x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 故g (x )在区间(－∞，－1]，[1，＋∞)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，g ′(x )<0， 故g (x )在区间(－1,1)上是减函数． ∴当x ＝－1时，g (x )取得极大值2.(2)由f (x )≤g (x )⇔2x 2＋x －k ≤x 3－3x ⇔k ≥－x 3＋2x 2＋4x ， ∴原命题等价于k ≥－x 3＋2x 2＋4x 在x ∈[－1,3]上恒成立． 令h (x )＝－x 3＋2x 2＋4x ，x ∈[－1,3]，则k ≥h (x )max .∵h ′(x )＝－3x 2＋4x ＋4＝－(3x ＋2)(x －2)，从而可得h ′(x )，h (x )的值随x 的变化如下表：故h (x )max ＝h (2)＝8，∴k 的取值范围为[8，＋∞)．(3)对任意x 1∈[－1,3]，x 2∈[－1,3]都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x 1)max ≤g (x 2)min . f (x )＝2x 2＋x －k ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142－18－k ， ∴当x 1∈[－1,3]时，f (x 1)max ＝f (3)＝21－k ， ∵g (x )＝x 3－3x ，g ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， ∴当x 2∈(－1,1)时，g ′(x 2)<0，故g(x)在区间[－1,1]上是减函数；当x2∈(1,3)时，g′(x2)>0，故g(x2)在区间(1,3]上是增函数；∴当x＝1时，g(x2)取得最小值g(x2)min＝g(1)＝－2. ∴21－k≤－2，k≥23.∴实数k的取值范围是[23，＋∞)．。