数学高三一轮复习必修三步步高第二章 §2.3.1
高三数学一轮复习全套(必修三)(56~58课时)
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件 56~58课时
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第一章 算法初步
第56课时 算法与程序框图 第57课时 基本算法语句 第58课时 算法案例
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【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 章末复习课
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用；3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题；5.通过实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.1.条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).2.相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)·P(A2)·…·P(A n).(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).3.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数.4.均值与方差的性质(1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，且E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).(3)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.5.正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.类型一 条件概率的求法例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？ 解 记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球.(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个， 所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个， 所以P (AB )＝4×36×5＝25.(3)利用条件概率的计算公式， 可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地，计算条件概率常有两种方法： (1)P (B |A )＝P (AB )P (A )；(2)P (B |A )＝n (AB )n (A ).在古典概型下，n (AB )指事件A 与事件B 同时发生的基本事件个数；n (A )是指事件A 发生的基本事件个数.跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗了掷出6点”为事件B ，方法一 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝336636＝12.方法二 “第一颗骰掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种.∴n (B )＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n (AB )＝3.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝36＝12.类型二 求相互独立事件的概率例2 在某次1 500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为25，34，13，求：(1)3人都通过体能测试的概率； (2)恰有2人通过体能测试的概率； (3)恰有1人通过体能测试的概率.解 设A 表示事件“甲通过体能测试”，B 表示事件“乙通过体能测试”，C 表示事件“丙通过体能测试”.由题意有：P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)设M 1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M 1＝ABC . 由事件A ，B ，C 相互独立，可得：P (M 1)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)设M 2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M 2＝AB C ＋A B C ＋A BC ，由于事件A ，B ，C 彼此相互独立，则A ，B ，C 也相互独立，并且事件AB C ，A B C ，A BC 互斥，因此所求概率为P (M 2)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×13＝2360. (3)设M 3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则 M 3＝A B C ＋A B C ＋A B C由于事件，A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件A B C ，A B C ，A B C 两两互斥，因此所求概率为P (M 3)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋ P (A )P (B )P (C )＝25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＝512. 反思与感悟 (1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系. (3)公式“P (A ＋B )＝1－P (A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率. 跟踪训练2 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率.解 单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4， 记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则： P (A )＝0.63＝0.216；P (B )＝C 23×0.62×0.4＝0.432，∴前三局比赛甲队领先的概率为 P (A )＋P (B )＝0.648.类型三 离散型随机变量的分布列、均值和方差例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列.(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，D (ξ). 解 (1)由已知，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，则η0的分布列为：P (η0＝1)＝16，P (η0＝2)＝13，P (η0＝3)＝12，所以P (η＝2)＝16×16＝136，P (η＝3)＝2×16×13＝19，P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518，P (η＝5)＝2×13×12＝13，P (η＝6)＝12×12＝14.故η的分布列为(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14.因为随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求X 的分布列；(2)记“函数f (x )＝x 2－3Xx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 发生的概率. 解 (1)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A 1，A 2，A 3.已知A 1，A 2，A 3相互独立，且P (A 1) ＝0.4， P (A 2) ＝0.5，P (A 3)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0，所以X 的可能取值为1,3. P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24. P (X ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以X 的分布列为：(2)因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －32X 2＋1－94X 2， 所以函数f (x )＝x 2－3Xx ＋1在区间⎣⎡⎭⎫32X ，＋∞上单调递增，要使f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，当且仅当32X ≤2，即X ≤43.从而P (A )＝P ⎝⎛⎭⎫X ≤43＝P (X ＝1)＝0.76. 类型四 正态分布例4 某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N (500,502)，请您判断考生成绩X 在550～600分的人数.解 ∵考生成绩X ～N (500,502 )，∴μ＝500，σ＝50，∴P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9， ∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人).反思与感悟 (1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题. 跟踪训练4 设ξ～N (1,4)，试求P (3<ξ<5). 解 因为ξ～N (1,4)，所以μ＝1，σ＝2， P (3<ξ<5)＝P (－3<ξ<－1)，则P (3<ξ<5)＝12[P (－3<ξ<5)－P (－1<ξ<3)]＝12[P (1－4<ξ<1＋4)－P (1－2<ξ<1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 类型五 分类讨论思想例5 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率. 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分). 三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分). 三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错， 得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分). 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错， 得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分). 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40. P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016； P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128； P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256； P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024； P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192； P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以ξ的分布列为：E (ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负分的概率为： P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0)＝1－0.016＝0.984.反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决.转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想. 跟踪训练5 某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染，对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量.写出X 的分布列(不要求写出计算过程).解 (1)A 直接感染一个人有2种情况分别是A －B －C －D 和A －B －⎣⎢⎡C D，概率是12×13＋12×13＝13； (2)A 直接感染二个人有3种情况分别是A －⎣⎢⎡ B －C D ，A —⎣⎢⎡ B －D C ，A —⎣⎢⎡BC －D ，概率是12×13＋12×13＋12×13＝12； (3)A 直接感染三个人只有一种情况，概率是12×13＝16.∴随机变量X 的分布列是1.已知X ～N (－1，σ2)，若P (－3≤X ≤－1)＝0.4，则P (－3≤X ≤1)的值是 . 答案 0.8解析 由于X ～N (－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x ＝－1对称，所以P (－3≤X ≤1)＝2P (－3≤X ≤－1)＝0.8.2.在5道题中有3道理科题和2道文科题.事件A 为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B 为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P (B |A )＝ . 答案 23解析 由题意得P (A )＝C 25－C 22C 25＝910， P (AB )＝P (B )＝C 13C 12C 25＝35，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35910＝23.3.某家公司有三台机器A 1，A 2，A 3生产同一种产品，生产量分别占总产量的12，13，16，且其产品的不良率分别各占其产量的 2.0%,1.2%,1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为 ，若已知此产品为不良品，则此产品由A 1所生产出的概率为 .答案473 000 3047解析 令A ，B ，C 分别表示A 1，A 2，A 3生产的不良品，则任取一件产品为不良品的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝12×2.0%＋13×1.2%＋16×1.0%＝473 000.令D 表示任取一件为不良品，则 P (A |D )＝P (AD )P (D )＝12×2.0%473 000＝3047.4.盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差. 解 取出白球个数ξ可能取值为0,1,2. ξ＝0时表示取出的两个球都为黑球， P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，ξ＝1表示取出的两个球一个黑球，一个白球，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，ξ＝2表示取出的两个球均为白球， P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310，于是E (ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2，方法一 D (ξ)＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.方法二 E (ξ2)＝02×110＋12×35＋22×310＝1.8，D (ξ)＝E (ξ2)－(E (ξ))2＝1.8－1.22＝0.36.1.条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P (AB )P (B )⎝⎛⎭⎫或P (B |A )＝P (AB )P (A )求解.(2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求解. 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.2.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.(3)公式“P (A ∪B )＝1－P (A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率. 3.求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.对于正态分布问题，新课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率.一、选择题1.袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1,2,3,4,5，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( ) A.25 B.10 C.9 D.5 答案 C解析 “有放回”地取和“不放回”地取是不同的，故X 的所有可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10共9种.2.将一枚骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为( )A.C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫563B.C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫564C.C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫560D.C 36⎝⎛⎭⎫165 答案 A解析 每次抛掷出现6点的概率为16，由二项分布的知识，可知选A.3.已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977答案 C解析 由ξ～N (0，σ2)知：P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ<－2)－P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.4.如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )A.0.504B.0.994C.0.496D.0.06答案 B解析 1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C ) ＝1－0.1×0.2×0.3 ＝1－0.006＝0.994.5.设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )＝( ) A.25 B.34 C.12 D.18 答案 C解析 ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝12.6.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )为( ) A.89 B.35 C.25 D.13 答案 A解析 对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 可取的值有0,1,2，P (X ＝0)＝6×7126＝13，P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89.二、填空题7.甲、乙同时炮击一架敌机，己知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为 . 答案 0.8解析 P (敌机被击中)＝1－P (甲未击中敌机)P (乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)×(1－0.5)＝ 1－0.2＝0.8.8.如果随机变量ξ服从N (μ，σ)，且E (ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝ ，σ＝ . 答案 3 1解析 ∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1.9.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合先出现红灯闪烁的概率是12，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为16，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是 . 答案 13解析 第一次闭合出现红灯闪烁记为事件A ，第二次闭合出现红灯闪烁记为事件B ，则P (A )＝12，P (AB )＝16，所以P (B |A )＝1612＝13. 10.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 . 答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128. 三、解答题11.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件，求： (1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 解 设第一次抽到次品为事件A ，第二次抽到次品为事件B . (1)第一次抽到次品的概率P (A )＝520＝14.(2)P (AB )＝P (A )P (B )＝119.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝119÷14＝419.12.一个暗箱里放着6个黑球、4个白球.(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球， 求第3次取到黑球的概率；(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望.解 设事件A 为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B 为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”，(1)P (A )＝C 14(C 16C 15＋C 13C 16)C 14A 29＝23. (2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以P (C )＝610＝35.(3)设事件D 为“取一次球，取到白球”， 则P (D )＝25，P (D )＝35，这3次取出球互不影响，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25， 所以P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫353－k(k ＝0,1,2,3)， E (ξ)＝3×25＝65.13.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望).解 (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为P ＝25×34＝310.(2)由题意可知X 的可能取值为200,300,400， 则P (X ＝200)＝2×15×4＝110；P (X ＝300)＝3×25×4×3＋2×3×25×4×3＝310；P (X ＝400)＝2×3×2×35×4×3×2＋3×2×2×35×4×3×2＝35.所以X 的分布列如下表所示：所以E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.。
步步高大一轮复习讲义数学答案
步步高大一轮复习讲义数学答案第一章：概率论基础1.1 集合与概率题目：设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。
答案：•交集：A∩B = {3,4,5}•并集：A∪B = {1,2,3,4,5,6,7}•差集：A-B = {1,2}1.2 条件概率与事件独立题目：某班级有40名男生和30名女生，从中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
答案： - 总人数：40 + 30 = 70 - 抽到男生的概率：40/70 = 4/72.1 随机变量与离散型随机变量题目：设随机变量X表示投掷一枚骰子出现的点数，求X 的概率分布。
答案：X123456P(X)1/61/61/61/61/61/62.2 连续型随机变量与概率密度函数题目：设随机变量X表示一位学生的身高，其概率密度函数为f(x) = 0.01，0<x<100，求X在区间[50,70]的概率。
答案： - X在区间[50,70]的概率：P(50<=X<=70) =∫(50,70)0.01dx = 0.01*(70-50) = 0.23.1 矩阵与线性方程组题目：解下列线性方程组： - 2x + 3y = 8 - 3x + 2y = 7答案： - 通过消元法可得：x = 1，y = 23.2 行列式与矩阵的逆题目：求下列矩阵的逆矩阵： - A = [1, 2; 3, 4]答案： - A的逆矩阵：A^(-1) = [ -2, 1/2; 3/2, -1/2]第四章：数学分析基础4.1 极限与连续题目：求极限lim(x->0)(sinx/x)的值。
答案： - 极限lim(x->0)(sinx/x) = 14.2 导数与微分题目：求函数y=3x^2的导数。
答案： - y的导数：dy/dx = 6x以上是《步步高大一轮复习讲义》中关于数学部分的答案，希望对你的复习有所帮助。
祝你学习顺利！。
步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 2.2.3
2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.知识点一独立重复试验思考1要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验.答案条件相同.思考2试验结果有哪些？答案正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生.思考3各次试验的结果有无影响？答案无，即各次试验相互独立.(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(2)基本特征：①每次试验是在同样条件下进行.②每次试验都只有两种结果：发生与不发生.③各次试验之间相互独立.④每次试验，某事件发生的概率都是一样的.知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B k表示仅投中k次这件事.思考1用A i如何表示B1，并求P(B1)，答案B1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)，因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3两两互斥，故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2试求P(B2)和P(B3)答案P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(B3)＝0.83＝0.512.思考3由以上问题的结果你能得出什么结论？答案P(B k)＝C k30.8k0.23－k(k＝0.1,2,3)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数， 设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.类型一 独立重复试验的概率问题例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 解 (1)记预报一次准确为事件A ， 则P (A )＝0.8，5次预报恰有2次准确的概率为P ＝C 250.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×(0.2)4＝0.006 72≈0.01，所以所求概率为1－p ＝1－0.01＝0.99， 所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确， 所以概率为P ＝C 14·0.8×(0.2)3×0.8 ＝0.020 48≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验. (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子. (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值.解 (1)∵甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝⎛⎭⎫1－123＝18. ∴甲坑不需要补种的概率为1－18＝78.(2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为 P 1＝C 13×78×⎝⎛⎭⎫182＝21512.由于3个坑都不需补种的概率为⎝⎛⎭⎫783， 则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝⎛⎭⎫783＝169512， 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.类型二 二项分布例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列.解 可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫130⎝⎛⎭⎫235＝32243. P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫234＝80243. P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫233＝80243. P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫232＝40243. P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134⎝⎛⎭⎫231＝10243.P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫135＝1243. 所以分布列为反思与感悟 1.本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2.解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2…n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次.跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的分布列.解 取到黑球数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，那么P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150·⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15·⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152·⎝⎛⎭⎫45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153·⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为：类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ分布列为 P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235故η的分布列为(3)所求概率为P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0) ＝1－⎝⎛⎭⎫235＝211243.反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.跟踪训练3 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 个人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i. (1)这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4，由于A 1与A 3互斥， A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列为1.若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝2)＝( ) A.⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233B.⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133C.C 25⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫133 D.C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233答案 D解析 ∵随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233. 2.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.25 答案 B解析 设此射手的命中概率为x ，则不能命中的概率为1－x ，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－8081＝181.有(1－x )4＝181.解得：x ＝23.3.下列说法正确的是________.①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 答案 ①②解析 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义.4.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________. 答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2.如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式.一、选择题1.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案 A解析 根据独立重复试验公式，得该同学通过测试的概率为C 230.62×0.4＋0.63＝0.648.2.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ≤3)等于( ) A.1132 B.732 C.2132 D.764答案 C解析 P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3) ＝C 06×⎝⎛⎭⎫126＋C 16·⎝⎛⎭⎫126＋C 26·⎝⎛⎭⎫126＋C 36·⎝⎛⎭⎫126＝2132.3.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×⎝⎛⎭⎫49C.35×14D.C 14×⎝⎛⎭⎫593×⎝⎛⎭⎫49 答案 B解析 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球.故其概率为⎝⎛⎭⎫593×49.4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为( ) A.C 23⎝⎛⎭⎫353×25 B.C 23⎝⎛⎭⎫352×23 C.C 34⎝⎛⎭⎫353×25 D.C 34⎝⎛⎭⎫233×13答案 A解析 在一次比赛中甲获胜的概率为35，输的概率为25.由题意知，甲队打完4局才胜，则第4局甲必胜，前3局中有2局甲胜，故甲队打完4局才胜的概率为C 23⎝⎛⎭⎫353×25. 5.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125B.C 25×⎝⎛⎭⎫125C.C 35×⎝⎛⎭⎫123D.C 25×C 35×⎝⎛⎭⎫125 答案 B解析 如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率.所求概率为P ＝C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝C 25×⎝⎛⎭⎫125.故选B.6.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A.C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235B.C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135C.C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135D.C 27×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232 答案 B解析 由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135，故选B. 二、填空题7.已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________.(已知0.9991000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)答案 0.632 3 0.368 1解析 设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B (1 000,0.001)(1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P (A )＝1－P (X ＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P (X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1.8.设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥1)＝________.答案6581解析 P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59.即(1－p )2＝49，解得p ＝13，故P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )4 ＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.9.一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X ，则P (X ＝5)＝________. 答案881解析 X ＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球.则P (X ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232×13＝881. 10.张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为_____.答案6581解析 如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. 三、解答题11.在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列.解 (1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”， 则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立. 故(AB ＋A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12， 则P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k ＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4). 故变量ξ的分布列为12.某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立.(1)求某应聘人员被录用的概率.(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列.解 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ∪BC ，因为P (A )＝12×12＝14， P (B )＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12， P (C )＝310， 所以P (D )＝P (A ∪BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25. (2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，且X ～B ⎝⎛⎭⎫4，25. A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝ 0,1,2，3,4)，因为P (A 0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫354＝81625，P (A 1)＝C 14×25×⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (A 3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625， P (A 4)＝C 44×⎝⎛⎭⎫254×⎝⎛⎭⎫350＝16625.所以X 的分布列为13.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解 设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A 、B 相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34. (1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，则P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.(2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，∴P (D )＝C 24·⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·C 34·⎝⎛⎭⎫343·14＝18. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132·23·⎝⎛⎭⎫132＝16243.。
【步步高】高中数学 第二章 §2.3.2方差与标准差配套课件 苏教版必修3
乙
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问题1 由于两个样本的平均数均为125，不好比较钢筋的质量好 坏，如果把它们标在数轴上(如下图)，
你能发现什么？
答 发现甲的数据相对比较集中，乙的数据比较分散．
问题2 抽取的甲、乙数据的最大值与最小值有什么差别？这种差别 能说明什么问题？ 答 乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最
2.3.2
【学习要求】
方差与标准差
1．正确理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据 的标准差； 2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释； 3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征． 【学法指导】 通过方差和标准差的学习，形成用随机抽样的方法和样本估计 总体的思想解决一些简单的实际问题的意识，在解决统计问题 的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合 的数学思想和逻辑推理的数学方法.
答 看抗拉强度谁比较稳定．
问题4
怎样说明一组数据比较稳定？
答
问题5
如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．
什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？
答 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结 果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差． 问题6
答
方差与原始数据的单位相同吗？为什么？如何找到一个量和原始
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小结
方差或标准差用来表示稳定性，方差或标准差越大，数
据的离散程度就越大，也就越不稳定；方差或标准差越小，数 据的离散程度就越小，也就越稳定．
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高中数学步步高必修3学案第二章 章末检测试卷
章末检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．某公司从代理的A,B,C,D四种产品中,按分层抽样的方法抽取容量为110的样本,已知A,B,C,D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4,则该样本中D类产品的数量为()A．22 B．33C．40 D．55【参考答案】C【试题解析】根据分层抽样,总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等,∴样本中D类产品的数量为110×42＋3＋2＋4＝40.2．已知总体容量为106,若用随机数法抽取一个容量为10的样本,下面对总体的编号最方便的是()A．1,2,…,106 B．0,1,2,…,105C．00,01,…,105 D．000,001,…,105【参考答案】D【试题解析】由随机数抽取原则可知选D.3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高,由此建立的身高与年龄的线性回归方程为y＝7.19x＋73.93,用这个方程预测这个孩子10岁时的身高,正确的叙述是()A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高在145.83 cm左右【参考答案】D【试题解析】回归直线是用来估计总体的,所以我们求的值都是估计值,所以我们得到的结果也是近似的,只要把自变量的值代入线性回归方程即可求得结果为145.83 cm.4.一个容量为200的样本,其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)上的频率为( ) A.0.11 B.0.5 C.0.45D.0.55考点 频率分布表 题点 求指定组的频率 【参考答案】D【试题解析】由题中表格可知样本数据落在[20,60)上的频数为20＋30＋35＋25＝110,故其频率为110200＝0.55.5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92考点 众数、中位数、平均数的综合 题点 茎叶图中的中位数和平均数 【参考答案】A【试题解析】将这组数据从小到大排列,得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为91＋922＝91.5.平均数为x ＝91＋－4－2－1＋0＋1＋2＋3＋58＝91.5.6.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图,分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],则在区间[98,100)上的频数为( )A.10B.30C.20D.40考点 频率分布直方图 题点 求指定组的频率 【参考答案】C【试题解析】区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200,所以区间[98,100)上的频数为100×0.200＝20,故选C.7.若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2,则3x 1＋5,3x 2＋5,…,3x n ＋5的平均数和标准差分别为( ) A.x ,s B.3x ＋5,sC.3x ＋5,3sD.3x ＋5,9s 2＋30s ＋25 考点 方差与标准差 题点 求平均数与标准差 【参考答案】C【试题解析】∵x 1,x 2,…,x n 的平均数为x , ∴3x 1＋5,3x 2＋5,…,3x n ＋5的平均数为3x ＋5, s ′2＝1n [(3x 1＋5－3x －5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －5)2]＝1n ×32[(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2]＝9s 2. ∴s ′＝3s .8.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各项中,一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差s ≤2；③平均数x ≤3且标准差s ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4. A.①② B.③④ C.③④⑤D.④⑤考点方差与标准差题点方差与其它数字特征的综合运算【参考答案】D【试题解析】①②③不符合,④符合,若极差等于0或1,在x≤3的条件下,显然符合指标；若极差等于2且x≤3,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2,(2)1,3,(3)2,4,符合指标.⑤符合,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标,故选D. 9.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为()A.64B.54C.48D.27考点频率分布直方图题点求频数【参考答案】B【试题解析】前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62,所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32,故第四组频数为0.32×100＝32,所以a＝22＋32＝54.故选B.10.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查,随机抽取了50名学生的体重(kg),将所得数据整理后,画出了频率分布直方图,如图所示,体重在[45,50)内适合跑步训练,体重在[50,55)内适合跳远训练,体重在[55,60)内适合投掷相关方面训练,估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A.4∶3∶1B.5∶3∶1C.5∶3∶2D.3∶2∶1考点 频率分布直方图 题点 求频数 【参考答案】B【试题解析】体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5,体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.30,体重在[55,60)内的频率为0.02×5＝0.1, ∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1,∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1,故选B.11.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为105.4,则x ,y 的值分别为( )A.5,7B.6,8C.6,9D.8,8 考点 茎叶图 题点 茎叶图的应用 【参考答案】B【试题解析】∵甲组数据的中位数为106, ∴x ＝6.又∵乙组数据的平均数为105.4, ∴89＋106＋(100＋y )＋109＋1155＝105.4,解得y ＝8.综上,x ,y 的值分别为6,8.故选B.12.下列关于线性回归的判断,正确的个数为( )①若散点图中所有的点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的点A ,B ,C ；③已知线性回归方程y ^＝0.50x －0.81,则当x ＝25时,y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. A.0 B.1 C.2 D.3 【参考答案】D【试题解析】能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义,知只有按最小二乘法求得回归系数a ^,b ^,得到的直线y ^＝b ^x ＋a ^才是回归直线,所以①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81,解得y ^＝11.69,所以③正确；④正确,所以选D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下： 甲：3,4,5,6,8,8,8,10； 乙：4,6,6,6,8,9,12,13； 丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________,乙________,丙________. 【参考答案】众数 平均数 中位数【试题解析】甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征.甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x ＝4＋6×3＋8＋9＋12＋138＝8；丙：该组数据的中位数是7＋92＝8. 14.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示：则参加运动会的最佳人选应为________. 考点 方差与标准差 题点 平均数与方差的计算 【参考答案】丙【试题解析】从表格中可以看出乙和丙的平均成绩最好,但丙发挥得比乙稳定,故最佳人选应为丙.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a 的值为________. 考点 分层抽样的方法 题点 由比例关系求抽取个数 【参考答案】30 【试题解析】由题意知,1245＋15＝30120＋a,解得a ＝30. 16.从一堆苹果中任取20个,并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下：则这堆苹果中,质量不少于．．．120克的苹果数约占苹果总数的________%. 考点 频率分布表 题点 求累计频率 【参考答案】70【试题解析】∵质量不少于120克的频数为14, ∴频率为1420×100%＝70%.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.15. (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,则应在第三车间抽取多少名工人？ 考点 分层抽样的方法题点 由各层比例关系求每层抽取个数. 解 (1)依题意有x1 000＝0.15,解得x ＝150.(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350,第二车间的工人数是100＋150＝250, ∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400. 设应从第三车间抽取m 名工人,则有m 400＝501 000,解得m ＝20,∴应在第三车间抽取20名工人.18.(12分)有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况,特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学A ,B 两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查.A 班5名学生得分为：5,8,9,9,9；B 班5名学生得分为：6,7,8,9,10(单位：分).请你估计A ,B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 A 班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8, 方差s 21＝15×[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4； B 班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8,方差s 22＝15×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2. ∴s 21＞s 22,∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些.19.(12分)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图,为了了解工薪阶层对月工资的满意程度,要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访,则[30,35)(百元)月工资段应抽出多少人？考点 频率分布直方图 题点 求指定组的频数解 月工资落在[30,35)(百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15,而0.15÷5＝0.03,所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1,所以[30,35)(百元)月工资段应抽出320×100＝15(人).20.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h),试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面的茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？解 (1)由观测结果可绘制茎叶图如图.从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”,“3.”上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”,“1.”上,由此可看出A 药的疗效更好.(2)设A 药观测数据的平均数为x ,B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得, x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3, y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得,x ＞y ,因此可以看出A 药的疗效更好.21.(12分)某市2017年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表； (2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准,污染指数在0～50之间时,空气质量为优；在51～100之间时,为良；在101～150之间时,为轻微污染；在151～200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 考点 频率分布直方图 题点 画频率分布直方图解 (1)频率分布表：(2)频率分布直方图如图所示.(3)答对下述两条中的一条即可：①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的115；有26天处于良的水平,占当月天数的1315；处于优或良的天数为28,占当月的天数的1415,说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天,占当月天数的115；染污指数在80以上的接近轻微染污的天数为15,加上处于轻微污染的天数,共17天,占当月天数的1730,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善.22.(12分)某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(1)已知两变量线性相关,求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的线性回归方程,分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2,a ^＝y －b ^t .考点 回归直线题点 求回归直线解 (1)由所给数据计算得 t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4, y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3, ∑i ＝1n(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28,∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14,b ^＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2＝1428＝0.5, a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3,故所求线性回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知,b ^＝0.5＞0,故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2019年的年份代号t ＝9代入(1)中的线性回归方程,得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8,故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.1 第2课时 函数的定义域与值域
第2课时 函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝3xx －2＋lg(3－x )； (3)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}． (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －2≠0，3－x >0，解得2<x <3.所以函数的定义域为(2,3)．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52，所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3.思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1 求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1.解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158， 由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域．解 函数的定义域为[1，＋∞)， y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1， 由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x ＋1＋x －1≤22， ∴0<2x ＋1＋x －1≤2， ∴函数的值域为(0，2]．思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法．(2)反解法．(3)配方法．(4)不等式法．(5)单调性法．(6)换元法．(7)数形结合法．(8)导数法．跟踪训练1 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝x 2＋x ＋1x.解 (1)方法一 y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二 由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y1＋y .因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0. 所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1,1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)， 所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(3)方法一 由y ＝x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2. 得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 方法二 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时y ≥3；函数在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．定义域与值域的应用例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解 令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞) 解析 由于函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，即ax －2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a ≥2 021x 在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<2 021x ≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案 3解析 f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数， ∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1，12(b －1)2＋1. 由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体． 一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________. 答案 12解析 因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝________. 答案 1解析 令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数 f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)． ∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________． 答案 [2，4]解析 对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案 D 解析 因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确．2．函数y ＝x －1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 D 解析 函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)．3．在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域和值域均为(0，＋∞)， 函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求； 函数y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求； 函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求； 故答案为D. 4．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(1,2)B ．(1，＋∞)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ≥0，log 2x ≠1，x >0，解得x ≥1且x ≠2，故函数f (x )的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．5．(2020·云南曲靖模拟)函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，0] B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0 D.⎝⎛⎦⎤－12，0 答案 C解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12.故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0. 6．(2020·云南玉溪一中模拟)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1]答案 A解析 要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A.7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14－x －3·2x－4的定义域为( ) A ．[2，＋∞ ) B ．(－∞ ，2] C ．[－2，＋∞ ) D ．(－∞ ，－2]答案 A解析 由题意得⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x－4≥0， 即22x －3·2x －4≥0.∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.故选A.8．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤－254，－4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 函数y ＝x 2－3x －4的图象如图所示．因为y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－254≥－254，由图可知，m 的取值从对称轴的横坐标32开始，一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3. 9．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________． 答案 [－1,7]解析 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]． 10．函数f (x )＝3x ＋2x ，x ∈[1,2]的值域为________．答案 [5,7]解析 令g (x )＝3x ＋2x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋23x ，x >0， 易证g (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上是增函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数， 从而得f (x )的值域为[5,7]．11．若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________． 答案 [2，＋∞) [4，＋∞) 解析 x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)； 因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4， 故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________．答案 [26＋4，＋∞)解析 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥2 6＋4，当且仅当t ＝6t 即t ＝6时等号成立．∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.14．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)．15．(2020·贵阳一中、云南师大附中、南宁三中联考)新定义运算⎝⎛⎭⎪⎫a c bd ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，bc －ad ，ad <bc ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x －1x －2 2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，72时，f (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，94 B.⎣⎡⎭⎫0，74 C.⎝⎛⎭⎫74，94 D.⎣⎡⎦⎤0，94 答案 D 解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－(x －1)(x －2)，2≥(x －1)(x －2)，(x －1)(x －2)－2，2<(x －1)(x －2)，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，0≤x ≤3，x 2－3x ，x <0或x >3，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，72， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝94，f (x )min ＝f (3)＝0， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94. 16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.。
步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 2.1.2(二)
2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布.知识点一 两点分布 随机变量X 的分布列为若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率. 知识点二 超几何分布思考1 在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式.答案 C 25C 195C 3100.一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布列.如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布.类型一 两点分布例1 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列.解 由题设可知X 服从两点分布P (X ＝0)＝C 25C 215＝221；P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为反思与感悟 两步法判断一个分布是否为两点分布 (1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.跟踪训练1 篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列.解 由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为类型二 超几何分布例2 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率.(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列.解 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为：反思与感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.(2)算概率：可以直接借助公式P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n n求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，k 的含义. (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来.跟踪训练2 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为类型三 分布列的实际应用例3 某项大型运动会即将举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高(单位：cm)编成如下茎叶图：若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列.解 (1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人.用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人.用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为：反思与感悟 (1)在求某些比较难计算的事件的概率时，我们可以先求随机变量取其他值时的概率，再根据概率之和为1的性质即可解决问题.(2)在解决含有“至少”“至多”的问题时，利用对立事件进行求解不失为一种好方法. 跟踪训练3 袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的概率分布列；(3)计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.解 (1)方法一 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 25C 12C 12C 12C 310＝23. 方法二 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件.因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝13，所以P (A )＝1－13＝23.(2)由题意，X 所有可能的取值是2,3,4,5，P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215， P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310， P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量X 的概率分布列为(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则P (C )＝P (X ＝3或X ＝4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C.1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552答案 D解析 设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.2.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (ξ＝2)B.P (ξ≤2)C.P (ξ＝4)D.P (ξ≤4)答案 C解析 由P (ξ＝4)＝C 47C 68C 1015可得.3.若随机变量ξ只能取两个值0,1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列. 解 由题意及分布列满足的条件知P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝3P (ξ＝1)＋P (ξ＝1)＝1，所以P (ξ＝1)＝14，故P (ξ＝0)＝34.所以ξ的分布列为4.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10. P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝3)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C 210＝145.故ξ的分布列为1.两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布、两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量.2.超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN求出X 取不同值k 时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义.一、选择题1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率A.C 35C 350 B.C 15＋C 25＋C 35C 350C.1－C 345C 350D.C 15C 25＋C 25C 145C 350答案 C解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为C 345C 350，故答案为1－C 345C 350.2.下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB.从7名男生3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数 答案 B解析 由超几何分布的定义可知B 正确.3.10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a ＝( )A.1B.2或8C.2D.8 答案 B解析 由题意知，1645＝C 110－a C 1aC 210， 解得：a ＝2或8.4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A.0B.13C.12D.23答案 B解析 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故p (ξ＝0)＝1－p ＝13.5.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A.恰有1个是坏的B.4个全是好的C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的解析 “X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4).∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C.6.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( ) A.310 B.710 C.2140 D.740 答案 D解析 “X ＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P (X ＝3)＝A 27C 13A 310＝7×6×310×9×8＝740，选D.二、填空题7.若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________. 答案 0.8解析 由Y ＝－2，且Y ＝3X －2，得X ＝0， ∴P (Y ＝－2)＝0.8.8.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________.答案512解析 设10个球中有白球m 个， 则C 210－mC 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.9.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________.(用式子表示)答案 C 13C 397＋C 497C 4100解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台.10.袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________.答案 56解析 由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.三、解答题11.一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列.解 (1)X 的分布列为(2)∵P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，∴X 的分布列为12.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x ，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ，求η的分布列.解 依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11. 则有P (η＝5)＝14×4＝116，P (η＝6)＝216＝18，P (η＝7)＝316，P (η＝8)＝416＝14，P (η＝9)＝316，P (η＝10)＝216＝18，P (η＝11)＝116.所以η的分布列为：13.某师范大学地理学院决定从n 位优秀毕业生(包括x 位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派的机会是相同的. (1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n 与x 的值；(2)记X 为选派的2位学生中女学生的人数，写出X 的分布列.解 (1)从n 位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为C 2n ＝n (n －1)2，2位学生中恰有1位女生的结果数为C 1n －3C 13＝(n －3)×3. 依题意可得C 1n －3C 13C 2n ＝(n －3)×3n (n －1)2＝35， 化简得n 2－11n ＋30＝0， 解得n 1＝5，n 2＝6. 当n ＝5时，x ＝5－3＝2； 当n ＝6时，x ＝6－3＝3，故所求的值为n ＝5，x ＝2或n ＝6，x ＝3. (2)①当n ＝5，x ＝2时，X 可能的取值为0,1,2， X ＝0表示只选派2位男生，P (X ＝0)＝C 02C 23C 25＝310，X ＝1表示选派1位男生与1位女生，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，X ＝2表示选派2位女生， P (X ＝2)＝C 22C 25＝110.故X 的分布列为②当n ＝6，x ＝3时，X X ＝0表示只选派2位男生，P (X ＝0)＝C 03C 23C 26＝15，X ＝1表示选派1位男生与1位女生，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，X ＝2表示选派2位女生，P (X ＝2)＝C 23C 03C 26＝15.故X 的分布列为11。
步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 2.3.2
2.3.2 离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X 和Y ，X 和Y 的分布列如下：思考1 试求E (X )，E (Y ).答案 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710，E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 能否由E (X )与E (Y )的值比较两名工人技术水平的高低？ 答案 不能，因为E (X )＝E (Y ).思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 答案 样本方差. 1.方差及标准差的定义设离散型随机变量X 的分布列为(1)方差：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i ；(2)标准差为：D (X ). 2.方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小. 3.方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X ). 知识点二 两点分布与二项分布的方差类型一 求离散型随机变量的方差、标准差 例1 已知η的分布列为(1)求方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y ).解 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.反思与感悟 对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.跟踪训练1 (1)已知随机变量ξ的分布规律如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.(2)已知X 的分布列为若η＝2X ＋2，则D (η)的值为答案 (1)53 (2)209解析 (1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝13，c ＝12.D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13×⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59，D (ξ)＝53. (2)E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝12×⎝⎛⎭⎫－1＋132＋13×⎝⎛⎭⎫0＋132＋16×⎝⎛⎭⎫1＋132＝59，故D (η)＝22×59＝209. 例2 某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差. 解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98， 所以由D (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.(2)用X 表示抽得的正品数，则X ～B (10,0.98)，所以D (X )＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差D (X )≈0.44.反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率).跟踪训练2 (1)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.(2)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)，则D (3ξ)等于( ) A.10 B.30 C.15 D.5 答案 (1)13(2)A解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得：p ＝13.(2)由题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， D (ξ)＝5×13×23＝109，D (3ξ)＝9D (ξ)＝9×109＝10.类型三 方差的实际应用例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA ，ξB 分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).解 E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125. E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D (ξA )＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D (ξB )＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E (ξA )＝E (ξB )，D (ξA )<D (ξB )，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好. 反思与感悟 1.本题采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论. 2.均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断. 跟踪训练3 A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和，求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取得最小值.解 (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝⎛⎭⎫100－x 100Y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)， 当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值.1.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A.6B.9C.3D.4 答案 A解析 E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.2.已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________.答案 0.4 0.1 0.5解析 由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1.21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X ，Y ，已知E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，则自动包装机________的质量较好.(填“甲”或“乙”) 答案 乙解析 在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好.4.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ).解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了. 则P (ξ＝1)＝C 13C 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D (ξ)＝13(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D (X )或标准差越小，则随机变量X 偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X 的取值越分散.2.求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； (2)求X 取每一个值的概率；(3)写出随机变量X 的分布列； (4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X ).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E (X )和D (X ).一、选择题1.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8 B.15 C.16 D.32 答案 C2.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于( ) A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 答案 C解析 ∵ξ～B (10,0.02)，∴D (ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )A.E (X )＝0，D (X )＝1B.E (X )＝12，D (X )＝12C.E (X )＝0，D (X )＝12D.E (X )＝12，D (X )＝1.答案 A解析 由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝(－1)×12＋1×12＝0，D (X )＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.4.已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( ) A.0 B.2 C.1 D.12答案 A解析 由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n－2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.5.已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A.6,2.4 B.2,2.4 C.2,5.6 D.6,5.6答案 B解析 若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )，D (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.6.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量ξ的方差为( )A.65B.1825C.625D.18125 答案 B解析 由题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25， 故D (ξ)＝3×25×⎝⎛⎭⎫1－25＝1825. 二、填空题7.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的标准差为________. 答案3512解析 依题意X 的分布列为故E (X )＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝72，D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－722×16＋⎝⎛⎭⎫2－722×16＋⎝⎛⎭⎫3－722×16＋⎝⎛⎭⎫4－722×16＋⎝⎛⎭⎫5－722×16＋⎝⎛⎭⎫6－722×16＝3512. 8.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为________. 答案 60,96解析 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题意知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6， E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42×D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中成绩的均值与方差分别是60与96.9.若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又知E (X )＝49，D (X )＝2，则x 1＋x 2＝________. 答案179解析 由题意可得：E (X )＝23x 1＋13x 2，D (X )＝⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13， ∴⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝49，⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13＝2.解得x 1＋x 2＝179.10.设d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差D (ξ)＝________. 答案 30d 2 解析 E (ξ)＝x 10，D (ξ)＝d 219(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d 2.三、解答题11.一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的均值与方差. 解 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13， ∴E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝43. (2)由已知η＝30ξ， ∴E (η)＝30E (ξ)＝60， D (η)＝900D (ξ)＝1 200.12.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115. 所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415， P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215， P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115. 随机变量X 的分布列为因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.11 13.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下： A 组：10,11,12,13,14,15,16B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解 (1)P (t ≥14)＝C 13C 17＝37. (2)当a ＝25时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天，14天，15天，16天，共4人；若乙的康复时间为13天.则符合题意的甲有14天，15天，16天，共3人；若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天，16天，共2人；若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人.当乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不符合题意.所以符合题意的甲、乙选择方式共4＋3＋2＋1＝10种.因为甲、乙组合情况共C 17×C 17＝49种，又因为任何组合情况都是等可能的，故P (t 甲>t 乙)＝1049. (3)a ＝11或a ＝18.。
步步高高三复习用书 第二章 2.2 精品
§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( √ ) 题组二 教材改编2.[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________. 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.[P31例4]函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是________.答案 24.[P44A 组T9]若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________. 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三 易错自纠5.函数y ＝212log (4)x -的单调递减区间为________.答案 (2，＋∞)6.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________. 答案 －6解析 由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6. 7.(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________. 答案 0 22－3解析 f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞). 故选D.(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________. 答案 [－1,0]，[1，＋∞) 解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图.由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞). 命题点2 解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增.证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增. 引申探究如何用导数法求解本例？解 ∵f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，∵1≤x ≤2， ∴1≤x 3≤8， 又1＜a ＜3， ∴2ax 3－1＞0， ∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法. (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”. (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接. 跟踪训练 (1)函数22311()3x x y -+=的单调递增区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 B解析 易知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. ∴函数22311()3x x y -+=的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，32解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 题型二 函数的最值1.(2017·浙江)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.2.(2017·宁波九校联考)设函数f (x )＝log 2x ＋ax ＋b (a ＞0)，若存在实数b ，使得对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，则t 的最小值是( ) A.2 B.1 C.34 D.23答案 D解析 f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ， 可得－1－a ≤f (x )≤1＋a 恒成立， ∴－1－a ≤f (x )min ＝f (t )＝log 2t ＋at ＋b ， ①1＋a ≥f (x )max ＝f (t ＋2)＝log 2(t ＋2)＋a (t ＋2)＋b ， 即－1－a ≤－log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ，②①＋②可得－2－2a ≤log 2t ＋at ＋b －log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ， 化为log 2t t ＋2≥－2，解得t t ＋2≥14，解得t ≥23，则t 的最小值为23.3.函数f (x )＝⎝⎛⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________. 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________.答案 26－6解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小典例 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式典例 若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8)答案 B解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)， 由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.命题点3 求参数范围典例 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.a ＝－3B.a ＜3C.a ≤－3D.a ≥－3 答案 C解析 y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.∴a 的取值范围是a ≤－3.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1答案 C解析 由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )0f x >的解集为________________.答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增.∴19(log )f x ＞f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x ＞f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴191log 2x ＞或191log 0,2x -＜＜解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.1.(2018届台州路桥中学检测)如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( ) A.a ≤－3 B.a ≥－3 C.a ≤5 D.a ≥5答案 A解析 由题意得，函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，所以二次函数的单调递减区间为(－∞，1－a ]，又函数在区间(－∞，4]上单调递减，所以1－a ≥4，所以a ≤－3. 2.函数y ＝212log (6)x x -++的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3 B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若函数f (x )在R 上递增， 则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1， 所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件.4.(2017·衢州质检)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f ()f (x )－ln x ＝1，则f (e)等于( ) A.2 B.1 C.0 D.e 答案 A解析 由题意得f (x )－ln x 为常数，设为a ， 则f (a )－ln a ＝a ，又f (a )＝1，∴1－ln a ＝a ，∴a ＝1， 因此f (e)＝ln e ＋1＝2.5.(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <a D.c <a <b答案 C解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)， ∴a ＞b ＞c .故选C.6.(2017·浙江镇海中学竞赛)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x ≤3，2＋log a x ，x ＞3(a ＞0，且a ≠1)的值域为[3，＋∞)，则实数a 的取值范围为( )A.(1,3]B.(1,3)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞) 答案 A解析 当x ≤3时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3的值域为[3，＋∞)，当x ＞3时，2＋log a x ≥3，即x ＞3时，log a x ≥1＝log a a ，a ＞1，且x ＞3时x ≥a 恒成立.∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是(1,3].7.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________.答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________. 答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数g (x )的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1).9.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是______________. 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1.10.定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值为________.答案 6解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.11.已知f (x )＝xx －a (x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.(1)证明 设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增.(2)解 设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.12.函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值.解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数. ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去. ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数 答案 D解析 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在(|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x ).则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12. 令x ＝13， 可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝14.由③结合f ⎝⎛⎭⎫13＝12，可知f ⎝⎛⎭⎫23＝12，令x ＝23， 可得f ⎝⎛⎭⎫29＝12f ⎝⎛⎭⎫23＝14，因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34.16.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }.(2)设g (x )＝x ＋a x－2， 当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2， 所以a >2.。
高中数学步步高必修3学案第二章 2.2.2
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.知识点一 众数、中位数、平均数思考 平均数、中位数、众数中,哪个量与样本的每一个数据有关,它有何缺点？【参考答案】平均数与样本的每一个数据有关,它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息,但是平均数受数据中极端值的影响较大. 梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果n 个数x 1,x 2,…,x n ,那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示.s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差.s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数).(3)标准差(或方差)越小,数据越稳定在平均数附近.s ＝0时,每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,那么mx 1＋a ,mx 2＋a ,mx 3＋a ,…,mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)设数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2,则 a .s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]； b .数据x 1＋a ,x 2＋a ,…,x n ＋a 的方差也为s 2； c .数据ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2.1.中位数是一组数据中间的数.(×)2.众数是一组数据中出现次数最多的数.(√)3.一组数据的标准差越小,数据越稳定,且稳定在平均数附近.(√)类型一众数、中位数、平均数的应用命题角度1众数、中位数、平均数的计算例1某公司的各层人员及工资数构成如下：人员：经理1人,周工资22 000元；高层管理人员6人,周工资均为1 800元；高级技工5人,周工资均为1 500元；工人10人,周工资均为1 000元；学徒1人,周工资为500元.(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中,平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？考点众数、平均数、中位数的综合题点具体数据中的众数、平均数、中位数解(1)众数为1 000,中位数为1 500,平均数为22 000×1＋1 800×6＋1 500×5＋1 000×10＋500×1≈2 209.1＋6＋5＋10＋1(2)虽然平均数为2 209,但由给出的数据可见,只有经理的周工资在平均数以上,其余的都在平均数以下,故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平.反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.(2)众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中部分数据多次重复出现时,众数往往更能反映问题.(3)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位数可能在所给的数据中,也可能不在所给的数据中.(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.(5)因为平均数与每一个样本数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数不具有的性质,也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.跟踪训练1在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.考点众数、平均数、中位数的综合题点具体数据中的众数、平均数、中位数解在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m).答17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m. 命题角度2用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数例2已知一组数据：125121123125127129125128130129 126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 考点众数、平均数、中位数的综合题点频率分布直方图中的众数、平均数、中位数解(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数126,事实上,众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25,事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3, 平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征 ①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； ②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致.跟踪训练2 一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 众数＝39.99＋40.012＝40；中位数为39.99＋0.225＝39.998；四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2.平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996. 类型二 标准差、方差的应用例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1). 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90；②计算x i －x (i ＝1,2,…,8),得各数据为－1,3,－2,1,4,0,－2,－3； ③计算(x i －x )2(i ＝1,2,…,8),得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； ④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5；⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5,标准差约为2.3.反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小.(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小,标准差越小,表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的两边越分散. (3)若样本数据都相等,则s ＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其质量,分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车间产品比较稳定. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；s 2甲＝17[[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57. 所以s 2甲＜s 2乙,故甲车间产品较稳定.1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23 考点 中位数题点 求茎叶图中的中位数 【参考答案】B【试题解析】由茎叶图知,平均气温在20℃以下的有5个月,在20℃以上的也有5个月,恰好是20℃的有2个月,由中位数的定义知,这组数据的中位数为20.故选B.2.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的平均数和方差分别为1和4,若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数,i ＝1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的平均数和方差分别为( ) A.1＋a,4 B.1＋a,4＋a C.1,4 D.1,4＋a考点 平均数题点 由两组数的关系求平均数和方差 【参考答案】A【试题解析】∵x 1,x 2,…,x 10的平均数x ＝1,方差s 21＝4, 且y i ＝x i ＋a (i ＝1,2,…,10),∴y 1,y 2,…,y 10的平均数 y ＝110·(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ,其方差s 22＝110·[(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y 10－y )2]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝s 21＝4. 故选A.3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示,由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是( )A.73.3,75B.73.3,80C.70,70D.70,75考点 中位数题点 求频率分布直方图中的中位数 【参考答案】A【试题解析】由图可知小于70的有24人,大于80的有18人,则在[70,80)之间的有18人,所以中位数落在[70,80)这组内,且为70＋103≈73.3；众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标,即70＋802＝75.4.若样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为8,则数据2x 1－1,2x 2－1,…,2x 10－1的标准差为________. 考点 方差与标准差 题点 求标准差 【参考答案】16【试题解析】设样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为s ,则s ＝8, 可知数据2x 1－1,2x 2－1,…,2x 10－1的标准差为2s ＝16. 5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 利用定义求平均数与方差解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于中间的两个数是71,72,∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为 s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11, 这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71,中位数为71.5,方差为11,标准差为11.1.标准差的平方s 2称为方差,有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的,在实际应用中一般多采用标准差.2.现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数与标准差是未知的,我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差,但要求样本有较好的代表性.3.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的数字特征也有随机性,用样本的数字特征估计总体的数字特征,是一种统计思想,没有唯一答案.一、选择题1.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,则该小组数学成绩的平均数,众数,中位数分别为( ) A.85分,85分,85分 B.87分,85分,86分 C.87分,85分,85分D.87分,85分,90分考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 【参考答案】C【试题解析】平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87,众数为85,中位数为85,故选C.2.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：则次品数的平均数为()A.1.1B.3C.1.5D.2考点平均数题点由表或图估计平均数【参考答案】A【试题解析】设数据x i出现的频率为p i(i＝1,2,…,n),则x1,x2,…,x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1,故选A.3.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为()A.65 B.65C.2D. 2 考点方差与标准差题点求方差与标准差【参考答案】D【试题解析】∵样本a,0,1,2,3的平均数为1,∴a＋65＝1,解得a＝－1.则样本的方差s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2,故标准差为 2.故选D.4.某省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究,将连续5年棉花产量(千克/亩)的统计数据用茎叶图表示,如图所示,则平均产量较高与产量较稳定的分别是()A.甲棉种；甲棉种B.乙棉种；甲棉种C.甲棉种；乙棉种D.乙棉种；乙棉种考点用样本数字特征估计总体数字特征题点平均数与方差的综合应用【参考答案】C【试题解析】根据茎叶图的数据知,甲棉种产量为68,69,70,71,72；乙棉种产量为68,68,69,69,71. ∴甲棉种的平均值x 甲＝15×(68＋69＋70＋71＋72)＝70；乙棉种的平均值x 乙＝15×(68＋68＋69＋69＋71)＝69.甲的方差s 2甲＝15×[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2, 乙的方差s 2乙＝15×[(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2＋(69－69)2＋(71－69)2]＝1.2. ∴甲棉种平均产量较高,乙棉种产量较稳定.故选C.5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值为( )A.62,62.5B.65,62C.65,62.5D.62.5,62.5考点 众数、中位数的综合应用 题点 频率分布直方图中的众数、中位数 【参考答案】C【试题解析】∵最高的矩形为第三个矩形, ∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4. ∵0.5－0.4＝0.1,0.10.4×10＝2.5,∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.故选C.6.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ,则有( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 【参考答案】D【试题解析】由已知得a ＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7,b ＝12×(15＋15)＝15,c ＝17,∴c ＞b ＞a .故选D. 7.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则|x －y |的值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 【参考答案】D【试题解析】由题意得,x ＋y ＋105＋109＋1105＝108,①(x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2,②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D.8.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6D.62.8,3.6考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 【参考答案】D【试题解析】每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不变.9.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲,x 乙,则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义【参考答案】A【试题解析】甲同学的成绩为78,77,72,86,92,乙同学的成绩为78,82,88,91,95, 所以x 甲＝15×(78＋77＋72＋86＋92)＝81,x 乙＝15×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8.所以x 甲＜x 乙,从叶在茎上的分布情况来看,乙同学的成绩更集中于平均值附近,这说明乙比甲成绩稳定. 二、填空题10.一组数据2,x,4,6,10的平均数是5,则此组数据的标准差是________. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 【参考答案】2 2【试题解析】∵一组数据2,x,4,6,10的平均数是5, ∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5,解得x ＝3,∴此组数据的方差s 2＝15×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8,∴此组数据的标准差s ＝2 2.11.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分),若甲、乙两组学生的平均成绩一样,则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义 【参考答案】5 甲组【试题解析】由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a5＝76＋85＋89＋98＋975＝89,解得a ＝5.因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝3145,s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305, 所以s 2甲＜s 2乙,故成绩相对整齐的是甲组.12.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到－1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数为________,方差为________. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 求平均数与方差 【参考答案】5743【试题解析】∵－1,0,4,x,7,14的中位数为5, ∴4＋x2＝5,∴x ＝6. ∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5,这组数据的方差是16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝743.三、解答题13.现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据,根据这些数据,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？ 考点 用样本的数字特征估计总体的数字特征的综合应用 题点 众数、平均数、中位数的综合应用解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5, 故直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数为220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5,∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a ,由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5,得a ＝224,即月平均用电量的中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的有0.012 5×20×100＝25(户),月平均用电量在[240,260)内的有0.007 5×20×100＝15(户),月平均用电量在[260,280)内的有0.005×20×100＝10(户),月平均用电量在[280,300]内的有0.002 5×20×100＝5(户), 抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15,∴月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户).四、探究与拓展14.如图,样本A 和B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为x A 和x B ,样本标准差分别为s A 和s B ,则( )A.x A ＞x B ,s A ＞s BB.x A ＜x B ,s A ＞s BC.x A ＞x B ,s A ＜s BD.x A ＜x B ,s A ＜s B考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差的综合应用 【参考答案】B【试题解析】由题图知,A 组的6个数分别为 2.5,10,5,7.5,2.5,10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10,所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254,x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353.显然x A ＜x B .又由图形可知,B 组数据的分布比A 组的均匀,变化幅度不大,故B 组数据比较稳定,方差较小,从而标准差较小,所以s A ＞s B .15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时,980小时,1 030小时,估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.考点平均数题点由表或图估计平均数【参考答案】50 1 015【试题解析】由分层抽样可知,第一分厂应抽取100×50%＝50(件).由样本的平均数估计总体的平均数,可知这批电子产品的平均使用寿命为 1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).。
【步步高】高中数学 第二章 习题课配套课件 苏教版必修3
试一试·双基题目、基础更牢固
4．为了解 1 200 名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中 抽取一个容量为 30 的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间
40 隔 k 为________ ．
题型三
分层抽样
例3 某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收 入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取 990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100 户，进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住 房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数 据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套 以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．
解析 在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分 N 段，k＝ n (N为总体的容量，n为样本的容量)．
N 1 200 ∴k＝ ＝ n 30 ＝40.
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 例1
简单随机抽样
今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量
为2的样本．问： (1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？ (2)个体a不是在第1次被抽到，而是在第2次被抽到的概率是 多少？ (3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？
试一试·双基题目、基础更牢固
3．某大型超市销售的乳类商品有4类：鲜奶、酸奶、婴幼儿 奶粉、成人奶粉，且鲜奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶 粉分别有45种、10种、25种、20种不同的品牌，现从中 抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺的安全检测，若 采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶
2019年步步高资料高中数学选修2-3第二章 2.3.1
§2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量取值水平,解决一些相关的实际问题.知识点一离散型随机变量的均值设有12个西瓜,其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.思考1任取1个西瓜,用X表示这个西瓜的重量,试问X可以取哪些值？答案X＝5,6,7.思考2X取上述值时,对应的概率分别是多少？答案P(X＝5)＝412＝13,P(X＝6)＝312＝14,P(X＝7)＝512.思考3如何求每个西瓜的平均重量？答案5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512＝7312.梳理(1)离散型随机变量的均值若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值的性质若Y＝aX＋b,其中a,b为常数,X是随机变量,①Y也是随机变量;②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.知识点二两点分布、二项分布的均值1.两点分布：若X服从两点分布,则E(X)＝p.2.二项分布：若X～B(n,p),则E(X)＝np.1.随机变量X 的均值E (X )是个变量,其随X 的变化而变化.( × )2.随机变量的均值与样本的平均值相同.( × )3.若随机变量X 的均值E (X )＝2,则E (2X )＝4.( √ )类型一 离散型随机变量的均值命题角度1 利用定义求随机变量的均值例1 袋中有4个红球,3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X 的均值.考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算解 X 的所有可能取值为5,6,7,8.X ＝5时,表示取出1个红球3个白球,此时P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435;X ＝6时,表示取出2个红球2个白球,此时P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835;X ＝7时,表示取出3个红球1个白球,此时P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235;X ＝8时,表示取出4个红球,此时P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.所以X 的分布列为所以E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.反思与感悟 求随机变量X 的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X 的意义,写出X 所有可能的取值. (2)求出X 取每个值的概率P (X ＝k ). (3)写出X 的分布列. (4)利用均值的定义求E (X ).跟踪训练1 现有一个项目,对该项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元,1.18万元,1.17万元的概率分别为16,12,13,随机变量X 表示对此项目投资10万元一年后的利润,则X 的均值为( ) A.1.18 B.3.55 C.1.23D.2.38考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 A解析 因为X 的所有可能取值为1.2,1.18,1.17, P (X ＝1.2)＝16,P (X ＝1.18)＝12,P (X ＝1.17)＝13,所以X 的分布列为所以E (X )＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.命题角度2 两点分布、二项分布的均值 例2 (1)设X ～B (40,p ),且E (X )＝16,则p 等于( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3D.0.4 (2)一次单元测试由20个选择题组成,每个选择题有4个选项,其中仅有1个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分.一学生选对任意一题的概率为0.9,则该学生在这次测试中成绩的均值为________.考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 (1)D (2)90 解析 (1)∵E (X )＝16, ∴40p ＝16,∴p ＝0.4.故选D.(2)设该学生在这次测试中选对的题数为X ,该学生在这次测试中成绩为Y ,则X ～B (20,0.9),Y ＝5X .由二项分布的均值公式得E (X )＝20×0.9＝18. 由随机变量均值的性质得E (Y )＝E (5X )＝5×18＝90.反思与感悟 (1)常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则①两点分布E(X)＝p;②二项分布E(X)＝np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量,提高解题速度.(2)两点分布与二项分布辨析①相同点：一次试验中要么发生要么不发生.②不同点：a.随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2,…,n.b.试验次数不同,两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验.跟踪训练2根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的均值.考点二项分布、两点分布的均值题点二项分布的均值解设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p×(1－0.5)＝0.3,解得p＝0.6.(1)设所求概率为P1,则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.∴X～B(100,0.2),∴E(X)＝100×0.2＝20.∴X的均值是20.类型二离散型随机变量均值的性质例3已知随机变量X的分布列为：若Y＝－2X,则E(Y)＝________.考点离散型随机变量的均值的性质题点离散型随机变量的均值性质的应用答案17 15解析由随机变量分布列的性质,得14＋13＋15＋m ＋120＝1,解得m ＝16, ∴E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.由Y ＝－2X ,得E (Y )＝－2E (X ), 即E (Y )＝－2×⎝⎛⎭⎫－1730＝1715. 引申探究本例条件不变,若ξ＝aX ＋3,且E (ξ)＝－112,求a 的值.解 E (ξ)＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－1730a ＋3＝－112,所以a ＝15.反思与感悟 若给出的随机变量ξ与X 的关系为ξ＝aX ＋b ,a ,b 为常数.一般思路是先求出E (X ),再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (ξ).也可以利用X 的分布列得到ξ的分布列,关键由X 的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E (ξ).跟踪训练3 已知随机变量ξ和η,其中η＝12ξ＋7,且E (η)＝34,若ξ的分布列如下表,则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 离散型随机变量的均值性质的应用 答案 A解析 因为η＝12ξ＋7, 则E (η)＝12E (ξ)＋7,即E (η)＝12⎝⎛⎭⎫1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＋7＝34. 所以2m ＋3n ＝53,①又14＋m ＋n ＋112＝1, 所以m ＋n ＝23,②由①②可解得m ＝13.1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的均值E (X )等于( ) A.32 B.2 C.52D.3 考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得－1分,则得分X 的均值为( ) A.0 B.12C.1D.－1考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 A解析 因为P (X ＝1)＝12,P (X ＝－1)＝12,所以由均值的定义得E (X )＝1×12＋(－1)×12＝0.3.若p 为非负实数,随机变量ξ的分布列为则E (ξ)的最大值为( ) A.1 B.32 C.23D.2考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 B解析 由p ≥0,12－p ≥0,得0≤p ≤12,则E (ξ)＝p ＋1≤32.故选B.4.若随机变量ξ～B (n,0.6),且E (ξ)＝3,则P (ξ＝1)的值是( ) A.2×0.44 B.2×0.45 C.3×0.44D.3×0.64考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 C解析 因为ξ～B (n,0.6),所以E (ξ)＝n ×0.6, 故有0.6n ＝3,解得n ＝5.则P (ξ＝1)＝C 15×0.6×0.44＝3×0.44.5.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n (n ＝1,2,3,4)个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值; (2)若η＝aξ＋4,E (η)＝1,求a 的值. 考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量均值与其他知识点的综合 解 (1)ξ的分布列为ξ的均值E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(2)E (η)＝aE (ξ)＋4＝1,又E (ξ)＝32,则a ×32＋4＝1,∴a ＝－2.1.求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值; (2)写出分布列,并检查分布列的正确与否; (3)根据公式写出均值.2.若X ,Y 是两个随机变量,且Y ＝aX ＋b ,则E (Y )＝aE (X )＋b ;如果一个随机变量服从两点分布或二项分布,可直接利用公式计算均值.一、选择题1.设15 000件产品中有1 000件废品,从中抽取150件进行检查,则查得废品数X 的均值为( )A.20B.10C.5D.15考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 B解析 废品率为115,所以E (X )＝150×115＝10.2.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数ξ的均值是( ) A.0.6 B.1 C.3.5 D.2 考点 题点 答案 C解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5.3.离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4,P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4),E (X )＝3,则a ＋b 等于( ) A.10 B.5 C.15D.110 考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 离散型随机变量的均值性质的应用 答案 D解析 易知E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＋4×(4a ＋b )＝3,即30a ＋10b ＝3.① 又(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1,即10a ＋4b ＝1,② 由①②,得a ＝110,b ＝0.4.设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5,则E (η)等于( ) A.76 B.176 C.173 D.323考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量的均值性质的应用 答案 D解析 E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176,E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.5.一个课外兴趣小组共有5名成员,其中3名女性成员,2名男性成员,现从中随机选取2名成员进行学习汇报,记选出女性成员的人数为X ,则X 的均值是( ) A.65 B.310 C.45D.15考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 A解析 由题意得,P (X ＝0)＝C 22C 25＝110,P (X ＝1)＝C 12×C 13C 25＝610＝35,P (X ＝2)＝C 23C 25＝310. ∴E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65,故A 正确.6.同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为X ,则X 的均值是( ) A.20 B.30 C.25 D.40考点 离散型随机变量均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 C解析 抛掷一次正好出现3枚反面向上,2枚正面向上的概率为C 2525＝516,所以X ～B ⎝⎛⎭⎫80，516,故E (X )＝80×516＝25.7.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X ,则E (X )等于( ) A.0.765 B.1.75 C.1.765D.0.22考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 B解析 P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15 ＝0.015,P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22, P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.8.在某校篮球队的首轮选拔测试中,参加测试的5名同学的投篮命中率分别为35,12,23,34,13,每人均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立,则晋级下一轮的大约有( ) A.1人 B.2人 C.3人D.4人考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 C解析 5名同学投篮各10次,相当于各做了10次独立重复试验,他们投中的次数服从二项分布,则他们投中的均值分别为10×35＝6,10×12＜6,10×23>6,10×34>6,10×13＜6,故晋级下一轮的大约有3人. 二、填空题9.已知某一随机变量X 的分布列如下表：且E (X )＝6,则a ＝________,b ＝________. 考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 离散型随机变量的均值性质的应用 答案 0.3 6解析 由0.2＋0.5＋a ＝1,得a ＝0.3.又由E (X )＝3×0.2＋b ×0.5＋8×a ＝6,得b ＝6.10.设离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·⎝⎛⎭⎫13k ·⎝⎛⎭⎫23300－k (k ＝0,1,2,…,300),则E (X )＝________.考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 100解析 由P (X ＝k )＝C k 300·⎝⎛⎭⎫13k ·⎝⎛⎭⎫23300－k , 可知X ～B ⎝⎛⎭⎫300，13,∴E (X )＝300×13＝100. 11.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验,若试验失败,再重新试验一次,若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为23,则此人试验次数ξ的均值是________.考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案139解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3, 则P (ξ＝1)＝23,P (ξ＝2)＝13×23＝29,P (ξ＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19. 所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.三、解答题12.盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池.现无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X 的分布列及均值. 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值解 X 的可能取值为1,2,3, 则P (X ＝1)＝35,P (X ＝2)＝25×34＝310,P (X ＝3)＝25×14×1＝110.所以抽取次数X 的分布列为所以E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.13.在有奖摸彩中,一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元？ 考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 均值的计算解 设一张彩票的中奖额为随机变量X ,显然X 的所有可能取值为0,5,25,100.依题意,可得X 的分布列为所以E (X )＝0×391400＋5×150＋25×1500＋100×12 000＝0.2,所以一张彩票的合理价格是0.2元. 四、探究与拓展14.掷骰子游戏：规定掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用x ,y ,z 分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X ＝x ＋y ,则E (X )＝________.考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 3解析 将每一次掷骰子看作一次实验,实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种,且丙盒中投入球(成功)的概率为12,z 表示6次实验中成功的次数,则z ～B ⎝⎛⎭⎫6，12,∴E (z )＝3,又x ＋y ＋z ＝6, ∴X ＝x ＋y ＝6－z ,∴E (X )＝E (6－z )＝6－E (z )＝6－3＝3.15.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求X ≤3的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问：他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大？考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 均值在实际中的应用解 (1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ,则事件A 包含有“X ＝0”,“X ＝2”,“X ＝3”三个两两互斥的事件, 因为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15, P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫1－25＝25, P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215, 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115,即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1,都选择方案乙所获得的累计得分为X 2,则X 1,X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83,E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值较大.。
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§2.3 总体特征数的估计
2．3.1 平均数及其估计
一、基础过关
1． 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平
均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为________． 2． 下列说法错误的是________．(填序号)
①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体； ②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；
③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势； ④众数是一组数据中出现次数最多的数．
3． 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由
此求出的平均数与实际平均数的差等于________．
4． 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10，其中x 1，x 2，x 3的平均数为a ，x 4，x 5，x 6，…，x 10的
平均数为b ，则样本数据的平均数为____________．
5． 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同
学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M
N 为________．
6． 某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、
0.04、0.05、0.01、0.03(单位G/M 3) (1)求出这组数据的众数和中位数？
(2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025 G/M 3；问这一天城市空气是否符合标准？
7． 某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同
学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人． 请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率(60或60分以上均属合格)． 二、能力提升
8． 电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：
30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该电池的平均寿命估计为______小时．
9． 某商店的大米价格是3.00元/千克，面粉的价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别
是1 000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克．
10．若有一个企业，70%的员工收入1万，25%的员工年收入3万，5%的员工年收入11万，则该企业员工的年收入的平均数是______万，中位数是____万，众数是____万．11．有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：
[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；
[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5)，8,0.08.试估计总体的平均数．
三、探究与拓展
12．已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125 127126122124125126128
(1)填写下面的频率分布表：
(2)
(3)根据直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．
答案
1．c>b>a 2.② 3.－3 4.3a＋7b 105．1
6．解(1)由题知众数是0.03，中位数为0.03；
(2)这一天数据平均数是0.003，
∵0.03>0.025，
∴这一天该城市空气不符合国标．
7．解运用计算器计算得：
100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4
100
＝79.40，
(12＋30＋18＋24＋12)÷100＝96%，
所以样本的平均分是79.40分，合格率是96%，由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分，合格率是96%.
8．28 9．3.20 10．21 1
11．解由于每组数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数．
方法一总体的平均数约为
1
100(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋
23.5×10＋25.5×8)＝19.42.故总体的平均数约为19.42.
方法二求组中值与对应频率积的和13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.故总体的平均数约为19.42.
12．解(1)
(2)
(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5.图中虚线对应的数据为中位数，即124.5＋2×5
8＝125.75.使用“组中值”求平均数：
x ＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8.。