探索勾股定理1
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
浙教版八年级上2.6.1探索勾股定理(1)课件
又∵x>0 ∴x=12
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
1、
5x 3x 8
斜边长=？
2、在数轴上表示√10
已知在△ABC中，∠C=Rt∠,BC=a， AC=b，AB=c. （1）若a=1，b=2，求c； （2）a=15，c=17，求b； （3）c=34，a：b=8：15，求a，b.
下图是一个长方形的结构图，根据所给的 尺寸（单位：m），求机器人从A地走到B地 最少需要走的距离。 40
知识运用：
看 17 看 8 谁 x 算 得 由勾股定理得： 快 2+x2=172 8 ！ ∴x2=172-82 =225 又∵x>0 ∴x=15
5
x
20
16
x
12
由勾股定理得：
由勾股定理得：
x2+162=202 ∴x2=202-162 =144
52+122=x2 ∴x2=52+122 =169 又∵x>0 ∴x=13
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
a c
a
2002年在北京召开的国际数学家大 会的会标就是依据我国古代数学家 赵爽的弦图制作的。
证明方法三
☞
c
b
a
b
a
1.1探索勾股定理1
一、情景导入
如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条 钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电 线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边 确定了，另外一条边也随之确 定，三边之间存在着一种特定 的数量关系，事实上，古人发 现，直角三角形的三边长度的 平方存在着一种特殊的关系.
（一）新知引入
黑 白 相 间 的 地 砖
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古希 腊著名的哲学家、数学 家、天文学家.
数学小故事
相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥 拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽 情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发 起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形 形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人 看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他， 谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个 正方形存在某种数学关系。
2 2
2
1.1 探索勾股定理(1)
八年级数学
张晓姣
伟大的公式
No.1 麦克斯韦方程组 Maxwell's equations No.2 欧拉公式 Eulers formula No.3 牛顿第二定律Newton's Second Law of Motion No.4 勾股定理、 毕达哥拉斯定理 Pythagorean theorem No.5 质能方程 mass-energy equation No.6 薛定谔方程 Schrodinger equation No.7 1+1=2 No.8 德布罗意方程组 No.9 傅里叶变换 No.10 圆的周长公式
请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表 格，探究规律。
2.7 探索勾股定理(1)浙教版八年级数学上册课件
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处．
达标测评
1.下列几组数据：（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，
15，20；（4）7，24，25．其中是勾股数组的有几组（ B ）
A．1 B．2 C．3
D．4
解：（1）∵82+152=64+225=289，172=289，
探索勾股定理
——第一课时
浙教版
八年级上
学习目标
1.了解拼图验证勾股定理的方法；
2.掌握勾股定理，会利用两边边长求直角三角形的另一边长；
3.会利用勾股定理解决实际问题．
观看下面图片
华罗庚教授建议向外
B
C
太空发射与外星人联
系的图案
A
合作学习
你知道这三个正方形的
面积分别是多少吗 ？
三个正方形A，B，C的面积之
C
A
A
a
图1
a
C
B
图2
合作学习
大正方形的面积:c²
小正方形面积:（b-a）²
阴影部分面积:4× ab
1
2
它们之间的关系是： c 4 ab (b a )
2
2
化简得： a2+b2=c2
直角三角形三边有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
讲解新知
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
A
∴AB=130（mm）
答：两孔中心A,B之间的距离
90
B
C
40
为130mm
160
即时演练
m
铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为
2024-2025学年度北师版八上数学1.1探索勾股定理(第一课时)【课件】
（即设出新的未知数），并用含 k 的式子把 a ， b 表示出来，再利用勾股定理建立方程，求出参数 k
的值，进而求出 a ， b 的值.
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数学 八年级上册 BS版
1. 求下列直角三角形中未知边 AB 的长度.
（1）
（2）
（1）解：在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，根据勾股定理，得AB2＋ BC2＝ AC2.
所以 AB2＝ AC2－ BC2＝202－122＝256.
因为 AB ＞0，所以 AB ＝16.
（2）解：在Rt△ ACB 中，∠ C ＝90°，根据勾股定理，得AB2＝ AC2＋ BC2＝72＋242＝625.
解：如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，
则∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°.
设 BD ＝ x cm，则 CD ＝（14－ x ）cm.
在Rt△ ABD 中，∠ ADB ＝90°，由勾股定理，得
在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c .
（1）若 a ＝8， b ＝15，则 c ＝
17
；
（2）若 a ＝9， c ＝15，则 b ＝
12
；
（3）若 a ∶ b ＝3∶4， c ＝10，则 a ＝
6
，b＝
8
.
【解析】（1）在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得 c2＝ a2＋ b2＝82＋152＝289.所以 c ＝17（负值舍
2
2
2
分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a ＋ b ＝ c
探索勾股定理(第1课时)课件
知
探
索
新
知
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，
得E = M + N ，
而M = A + B ，N = C + D ，
∴ E = A + B + C + D
= 122 + 162 + 92 + 122 = 625.
知
二 利用勾股定理进行计算
例1：分别以直角三角形三边为边长的正方形的面积如下
图，问另外一个正方形的面积.
81
∟
625
A
∟
400
144
B
225
225
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积
和等于以斜边长的正方形面积。
探
索
新
例2：如图，图中所有的三角形都是直
角三角形，四边形都是正方形.已知正方
形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，
你是如何得到呢？
探
索
新
知
思考：等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
斜边的平方等于两直
a
b
c
角边的平方和.
c2=a2+b2
你能说一形有上述性质，其他的直角三角形也有这
个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，
请分别算出图中正方形A，B，C，
A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13,
∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52,
∵CD=5.BC=14,
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
探索勾股定理 【完整版】
§探索勾股定理（一）教学目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，了解并掌握勾股定理的内容。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生在探索过程中发现问题、总结规律的意识和能力。
重点难点：重点：勾股定理的内容及探究。
难点：勾股定理的发现教学方法：讲练结合、合作交流。
教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 章前的图文）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影第一节首电线杆拉线问题，出示课题。
二、做一做1、各学习小组在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边的长，看看三边长的平方之间又怎样的关系小组内进行交流。
教师强调所画三角形尽量是任意三角形。
2、出示P2 书中的P2 图1—2）并回答：（1)观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
(2)你是怎样得出上面的结果的在学生交流回答的基础上教师直接发问：(3)图1—2中，A,B,C之间的面积之间有什么关系学生交流后形成共识，教师板书：A+B=C。
3、出示（书中P2图1—3）提问：（1）图1—3中，A,B,C之间有什么关系（2）从图1—2，1—3，中你发现什么学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
4、学生讨论：（1）图1—2、1—3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗（2）你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，a2＋b2=c2,我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
探索勾股定理 (1)
C
B
∴ AB2=62+82 ∴ AB2 ∴ AB2
=36+64 =100
∵AB>0 ∴ AB=10
问题三
美丽的勾股树
1
1
美丽的勾股树
趣味探索
如图, 正方形Ⅰ的面积为7，你能求出正方形Ⅱ、 Ⅲ面积之和吗？A、B、C、D的面积之和呢？
规律：在勾股树中，每一层的正方形面积和都相等。
1. 课本67-68页，第１、２、3题；
5cm
.
（2）再画一个两直角边为6和8的Rt△ABC，
用刻度尺量AB的长为 10cm .
探究新知（二）：
如图，小方格的面积为1.
P C A
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积 9 16 ？
Q R B
怎么求SR的大小？
有几种方法？
P Q C R
（1）用“补”的方法
1 SR = 49 - 4 创 ( 4 3) 2 = 25
P Q C R
（2）用“割”的方法
1 （ 创 4 3） SR = 4 +1 2
=25
归纳总结
通过计算正方形的面积为：
P C A
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
9 16 25
Q R B
（1） SP+SQ=SR (2)你能用文字语言总结 一下直角三角形三边之间 存在的关系吗？
勾股定理
A
b c
——直角三角形三边关系
B
济宁学院附中 李涛
C
a
情景引入：
在一个施工工地，工人师傅需要从电线杆 离地面8m处向地面拉一条钢索，这条钢索在 地面的固定点距离电线杆底部6m，那么他需 要准备多长的钢索？Aຫໍສະໝຸດ 8 米CB
探索勾股定理(1)
(四)探究升级，提高能力
1、某楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼 4.5米的地方搭建云梯，升起云梯到达火灾窗 口。已知云梯长20.5米，问发生火灾的窗口 距离地面多高？(不计消防车的高度）
c2 a 2 b2
公式变形
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2
利用平方差公式简 化计算.
图 1 图2
图2 图3
A、B、 C 面积 关系
1 4 9
1 4 9
2 8 18
SA+SB=SC
图3
直角三 角形三 边数量 关系
a2+b2=c2
自主探索1
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
自主探索2
观察右边两 幅图：
4.需要注意：教材顺序、上下衔接
三、教学目标
1.理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单 的计算和实际运用． 2.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股 定理的探索过程，让学生经历“观察—猜想—归 纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊 到一般的思想方法． 3.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快 乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发 学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励 学生发奋学习．
四、教法学法
教学方法： 引导——探究——发现; 学习方法： 观察——猜想——归纳，自主探究和合作交 流相结合.
五、教学过程设计
(一).创设情境，引入新课 (二).探究发现，归纳结论
(三).简单应用，巩固三基
(四). 探究升级，提高能力
(五). 梳理知识，课堂小结
(六). 布置作业
1.1 探索勾股定理(1)(含答案)
1.1 探索勾股定理（1）【学习目标】了解勾股定理的探索过程,掌握勾股定理． 【基础知识演练】1．在△ABC 中，若∠C =90°，则它的三边满足关系式a 2+b 2=c 2. 在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”. (1)若a =3，b =4，则c =_________； (2)若 c =10，b =6，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =20，则a =_________，b =_________. 2．已知等腰ABC ∆的腰AB ＝AC ＝10cm ，底边BC=12cm,则A∠的平分线的长是 cm.3．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，AD=10cm ，AC=8cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm. 4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25B.14C.7D.7或256．若线段a ，b ，c 能组成直角三角形，则它们的长度之比可能是（ ） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶77．在Rt △ABC 中，∠B ＝9O°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝12，b ＝13，求c .D C BA8．请你取两个同样的直角三角板，并按如图所示摆放.(1)连结AE ，请你判断△ACE 和四边形ABDE 的形状.(2)设AB =CD =a ,BC =DE =b ,AC =CE =c ,请用两种不同的方法求四边形ABDE 的面积. （3）由（2）你能得到什么结论？DC B AE【思维技能整合】9．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．10.如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S 1 ＝S 2 B ．S 1 ＜S 2 C ．S 1＞S 2 D ．无法确定11．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则以第n 个三角形的斜边长为边长的正方形的面积为 .12．请你作一个直角三角形ABC ，使它的两条直角边AB =6 cm,AC =8 cm.(1)请你先测量斜边BC 的长.（2）你能用其他方法探索这个直角三角形斜边的长吗？这个直角三角形的三边长有什么关系吗？（3）若使AB =AC =3 cm ，请你探索这个直角三角形的三边长有什么关系？A A A A O01231111【发散创新尝试】13.有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？请说明理由.【回顾体会联想】14.直角三角形三边之间有怎样的关系？生：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a ，b, c 的关系是 .即直角三角形两直角边的平方和等于 的平方.参考答案1． (1) 5.(2) 8.(3) 12,16 2．8 3．6 4．4 5．D 6．C 7．5 8．(1)∵△ABC ≌△CDE ,∴∠ACB =∠DEC ,而∠DCE +∠DEC =90°,∴∠ACB +∠DCE =90°,∴∠ACE =90°, ∴△ACE 为直角三角形.又∵∠ABC －90°=∠EDC , ∴四边形ABDE 为直角梯形. (2)方法一：S 梯形=21(AB +DE )·(BC +CD )=21(a +b )(a +b )=21(a +b )2.方法二：S 梯形=S △ABC +S △ECD +S △ACE =21ab +21ab +21c ·c =ab +21c 2.(3)∵S 梯形相等，∴21(a +b )2=ab +21c 2,∴a 2+b 2=c 2.9．30 10.A 11．n+112．(1)10 cm (2)AB2+AC2=BC2,另参考课本方法(3)AB2+AC2=BC2，探索方法同(2) 13.由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′，△AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.14.a2+b2=c2，斜边.。
浙教版初中数学八年级上册探索勾股定理课件(1)
B A
C D
7cm
议一议
以直角三 角形三边为边 作等边三角形, 这3个等边三 角形的面积之 间有什么关系？
例1：如图，你能计算出下列直角三角形中未知
边的长吗？
5x
1
2 1
0
2
2
5
3 -1x3
0
解:由勾股定理得 x²=1²+2²=5
小∵结x>：0 利用勾股定理可以解决直角三角形的边长。
∴x= 5
2.7 探索勾股定理 (1)
C
（1）图1中正方形A的面积
A
是 16 个单位面积。
(2) 正方形B的面积是
B
9 个单位面积。
图1 (3)正方形C的面积是
25 个单位面积。
探索1 你能发现图1中三个正方形A，B，C的面 积之间有什么关系吗？
结论1 SA+SB=SC
即：两条直角边上的 正方形面积之和等于斜 边上的正方形的面积。
由勾股定理，得
C 120
B
40
AB2 AC 2 BC 2
160
502 1202 16900(mm2 )
构造直角三角形
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
可以解决实际问题。
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm。
1.小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的
绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5
(5)直角三角形的两条边为3和4，则斜边上的高
是 12 或 3 7 。
5
4
例2：一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单位 mm),求两孔中心A、B之间的距离.
解：过A作铅垂线，
过B作水平线， 两线交于点C， 则∠ACB=90°
探索勾股定理(第1课时) 课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册
方法二：补
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积.
方法三：拼
将几个小块拼成若干 个小正方形，图中两 块红色（或绿色）可 拼成一个小正方形.
归总结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
图形语言：
北师大·数学·八上册
第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理(第1课时)
创设情境 引入新课
为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从 电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若 这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？你能帮他解决 这个问题吗？
探究活动一
(1)观察图2-1，图2-2，完成下表：
课堂练习 3. 求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 x2=225 x=15
解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 y2=25 y=5
课堂练习
分类讨论
4. 已知一个直角三角形的两边分别是3和4，则第三边的平方是（ ）
A. 25
B. 14
C. 7
D. 7或25
谈谈你的收获
作业布置
习题1.1第1--2题
如图，以 Rt△ABC 的三边长 为直径分别向外作半圆. 三个 半圆面积分别为S1，S2，S3 。 求证：S1+S2=S3.
制作4个全等的直角三角形，为下节课证明 勾股定理做准备
感谢聆听！
a2＋b2＝c2
探究活动二
下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？
怎样计算正方形 C 的面积呢？
SA=
=