2006(2)工科高数试卷参考答案

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2006考研数二真题及解析

2006考研数二真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为(2) 设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续,则a =(3) 广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰(4) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是(5) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则x dy dx==(6) 设2112A ⎛⎫= ⎪- ⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .二、选择题:9-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的增量,y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分,若0x >,则( ) (A)0dy y << (B)0y dy <<(C)0y dy <<(D)0dy y <<(8) 设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则0()xf t dt ⎰是( )(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数(C)在0x =间断的奇函数(D)在0x =间断的偶函数(9) 设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( )(A)ln31-(B)ln31--(C)ln21--(D)ln21-(10) 函数212x x xy c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( )(A)23xy y y xe '''--= (B)23xy y y e '''--=(C)23xy y y xe '''+-=(D)23xy y y e '''+-=(11) 设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,)xdx f x y dy ⎰(B)(,)dx f x y dy ⎰(C)(,)yf x y dx ⎰(D)(,)f x y dx ⎰(12) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是( ) (A)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 (B)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则(C)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13) 设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (D)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(14) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭,则( )(A)1.C P AP -=(B)1.C PAP -= (C).TC P AP =(D).TC PAP =三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)试确定常数,,A B C 的值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求arcsin xxe dx e⎰ (17)(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ (18)(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,)n n x x n +==(I) 证明lim n n x →∞存在,并求该极限;(II) 计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (19)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. (20)(本题满分12分)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂(I)验证()()0f u f u u'''+=; (II)若(1)0,(1)1f f '==, 求函数()f u 的表达式. (21)(本题满分12分)已知曲线L 的方程221,(0),4x t t y t t⎧=+≥ ⎨=-⎩(I) 讨论L 的凹凸性;(II) 过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III) 求此切线与L (对应0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积. (22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341,4351,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.(I) 证明此方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (Ⅱ) 求,a b 的值及方程组的通解. (23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(I) 求A 的特征值与特征向量;(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】15y =【详解】 由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知4sin lim lim 52cos x x x x y x x →∞→∞+=-4sin 1lim2cos 5x xx x x→∞+=-10lim 50x →∞+=-15= 0x →时1x 为无穷小量,sin x ,cos x 均为有界量. 故,15y =是水平渐近线.(2)【答案】13【详解】按连续性定义,极限值等于函数值,故lim ()x f x →23sin lim xx tx →=⎰220sin()lim 3x x x →洛220lim 3x x x →=13= 注:00型未定式,可以采用洛必达法则;等价无穷小量的替换22sin x x(3)【答案】12 【详解】222222001111(1)2(1)212xdx dx x x x +∞+∞+∞==-⋅=+++⎰⎰(4) 【答案】xCxe-.【详解】分离变量,(1)dy y x dx x-=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dx y x =-⎰⎰⎰ ⇒ln ln y x x c =-+ ⇒ln ln yx x cee-+= ⇒xy Cxe-=(5)【答案】e -【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令0(0)1x y =⇒= .将方程两边对x 求导得yyy e xe y ''=--,令0x =得(0)y e '=-(6) 【答案】 2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得,2BA E B -=⇒()2B A E E -=, 两边取行列式, 得()244B A E E E -===其中,2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 222E 4E == 因此,2422E B A E ===-.二、选择题. (7)【答案】A 【详解】方法1: 图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加;因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数,又0x >,画2()f x x =的图形y结合图形分析,就可以明显得出结论:0dy y <<. 方法2:用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--(前两项用拉氏定理)0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'', 其中000,x x x x ξηξ<<+<<由于()0f x ''>,从而0y dy ->. 又由于0()0dy f x x '=>,故选[]A 方法3: 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式:000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+,其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+. 此时n 取1代入,可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆> 又由0()0dy f x x '=∆>,选()A .(8)【答案】(B ) 【详解】方法1:赋值法特殊选取1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,满足所有条件,则0,0(),0x x x f t dt x x x ≥⎧==⎨-<⎩⎰ .它是连续的偶函数. 因此,选(B )方法2:显然()f x 在任意区间[],a b 上可积,于是0()()xF x f t dt =⎰记处处连续,又()()()()()s txxxF x f t dt f t dt f s ds F x =----==--==⎰⎰⎰即()F x 为偶函数 . 选 (B ) .(9)【答案】(C )【详解】利用复合函数求导法1()()g x h x e +=两边对x 求导⇒1()()()g x h x g x e +''=将1x =代入上式,⇒1(1)12g e+=⇒1(1)ln 1ln 212g =-=--. 故选(C ).(10)【答案】(C )【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解,反求二阶常系数非齐次微分方程,分两步进行,先求出二阶常系数齐次微分方程的形式,再由特解定常数项.因为212x x xy c e c e xe -=++是某二阶线性常系数非齐次方程的通解,所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2,于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=,对应的齐次微分方程为-20y y y '''+=所以不选(A )与(B ),为了确定是(C )还是(D ),只要将特解xy xe *=代入方程左边,计算得()()-23xy y y e ***'''+=,故选(D ). (11) 【答案】()C【详解】记14(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰,则区域D 的极坐标表示是:01r ≤≤ ,04πθ≤≤. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题,画出积分区间,结合图形可以看出,直角坐标的积分范围(注意 y x = 与 221x y +=在第一象限的交点是22,)),于是:0,2D y y x ≤≤≤≤所以,原式0(,)ydy f x y dx =. 因此选 ()C(12) 【答案】D 【详解】方法1: 化条件极值问题为一元函数极值问题。

2006考研数学二真题及答案解析

2006考研数学二真题及答案解析

2006年数学(二)考研真题及解答一、填空题(1)曲线4sin 52cos x x yxx的水平渐近线方程为.(2)设函数231sin ,0,(),xt dt xf x xa x在0x 处连续,则a.(3)广义积分22(1)xdxx .(4)微分方程(1)y x y x的通解是.(5)设函数()yy x 由方程1y yxe 确定,则A dy dx= .(6)设矩阵2112A,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2B A B E,则B = .二、选择题(7)设函数()yf x 具有二阶导数,且()0,()0f x f x ,x 为自变量x 在0x 处的增量,y 与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ,则(A )0.dy y (B )0.y dy (C )0.ydy(D )0.dyy 【】(8)设()f x 是奇函数,除0x 外处处连续,0x 是其第一类间断点,则0()x f t dt 是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x 间断的奇函数(D )在0x间断的偶函数.【】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x eh g ,则(1)g 等于(A )ln31.(B )ln3 1.(C )ln 2 1.(D )ln 2 1.【】(10)函数212xxxyC eC e xe 满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe (B )23.xy y y e (C )23.xyyyxe (D )23.xyyye (11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )df r r rdr 等于(A )22120(,).x xdxf x y dy (B )22120(,).x dxf x y dy (C )22120(,).y ydyf x y dx (D )22120(,).y dyf x y dx 【】(12)设(,)f x y 与(,)x y 均为可微函数,且1(,)0yx y . 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y 下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y . (B )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y . (C )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y . (D )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y .【】(13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n 矩阵,下列选项正确的是(A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. (C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记11001001P ,则(A )1.C P AP (B )1.C PAP (C ).TC P AP (D ).TCPAP 三解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe BxCx Ax o x ,其中3()o x 是当30x x 时比的高阶无穷小。

2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)

2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)

2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知向量=(4,2),向量=(x,3),且∥,则x=()A.9 B.6 C.5 D.32.(5分)已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=()A.∅B.{x|0<x<3}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x<3}3.(5分)函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.4.(5分)如果函数y=f(x)的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称,则y=f(x)的表达式为()A.y=2x﹣3 B.y=2x+3 C.y=﹣2x+3 D.y=﹣2x﹣35.(5分)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()A.B.6 C.D.126.(5分)已知等差数列{a n}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10=()A.100 B.210 C.380 D.4007.(5分)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB:A′B′=()A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:38.(5分)已知函数f(x)=lnx+1(x>0),则f(x)的反函数为()A.y=e x+1(x∈R)B.y=e x﹣1(x∈R)C.y=e x+1(x>1)D.y=e x﹣1(x>1)9.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.10.(5分)若f(sinx)=2﹣cos2x,则f(cosx)等于()A.2﹣sin2x B.2+sin2x C.2﹣cos2x D.2+cos2x11.(5分)过点(﹣1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为()A.2x+y+2=0 B.3x﹣y+3=0 C.x+y+1=0 D.x﹣y+1=012.(5分)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有()A.150种B.180种C.200种D.280种二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)在的展开式中常数项为(用数字作答).14.(4分)圆O1是以R为半径的球O的小圆,若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1:S=2:9,则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1:R=.15.(4分)过点的直线l将圆(x﹣2)2+y2=8分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.16.(4分)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出人.三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)在△ABC中,∠B=45°,AC=,cosC=,(1)求BC的长;(2)若点D是AB的中点,求中线CD的长度.18.(12分)设等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=1,S8=17,求通项公式a n.19.(12分)某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率.20.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.(I)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(II)设,求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小.21.(14分)设a∈R,二次函数f(x)=ax2﹣2x﹣2a.若f(x)>0的解集为A,B={x|1<x<3},A∩B≠∅,求实数a的取值范围.22.(12分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.2006年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知向量=(4,2),向量=(x,3),且∥,则x=()A.9 B.6 C.5 D.3【分析】本题考查向量共线的充要条件,坐标形式的充要条件容易代错字母的位置,只要细心,这是一道送分的题目,但一些考试中会考到.【解答】解:∥,∴4×3﹣2x=0,∴x=6,故选:B.【点评】向量平行、垂直是经常考到的问题,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.2.(5分)已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=()A.∅B.{x|0<x<3}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x<3}【分析】解出集合N,结合数轴求交集.【解答】解:N={x|log2x>1}={x|x>2},用数轴表示可得答案D故选:D.【点评】考查知识点有对数函数的单调性,集合的交集,本题比较容易3.(5分)函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.【分析】将函数化简为:y=Asin(ωx+φ)的形式即可得到答案.【解答】解:所以最小正周期为,故选:D.【点评】考查知识点有二倍角公式,最小正周期公式本题比较容易4.(5分)如果函数y=f(x)的图象与函数y′=3﹣2x的图象关于坐标原点对称,则y=f(x)的表达式为()A.y=2x﹣3 B.y=2x+3 C.y=﹣2x+3 D.y=﹣2x﹣3【分析】先假设函数f(x)上的点(x,y),∵(x,y)关于原点对称的点为(﹣x,﹣y)在函数y′=3﹣2x上代入即可得到答案.【解答】解:设(x,y)为函数f(x)上的点,∵(x,y)关于原点对称的点为(﹣x,﹣y)在函数y′=3﹣2x上∴以﹣y,﹣x代替函数y'=3﹣2x中的y′,x,得y=f(x)的表达式为y=﹣2x﹣3故选:D.【点评】本题主要考查根据函数对称性求函数解析式的问题.根据求谁设谁的原则,先假设函数f(x)上的点,根据对称性找关系式即可得到答案.5.(5分)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()A.B.6 C.D.12【分析】由椭圆的定义:椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得△ABC的周长.【解答】解:由椭圆的定义:椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得△ABC的周长为4a=,故选:C.【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等6.(5分)已知等差数列{a n}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10=()A.100 B.210 C.380 D.400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差,写出等差数列前n项和公式,代入n=10得出结果.【解答】解:d=,a1=3,∴S10==210,故选:B.【点评】若已知等差数列的两项,则等差数列的所有量都可以求出,只要简单数字运算时不出错,问题可解.7.(5分)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB:A′B′=()A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度,即可得到两线段的比值.【解答】解:连接AB'和A'B,设AB=a,可得AB与平面α所成的角为,在Rt△BAB'中有AB'=,同理可得AB与平面β所成的角为,所以,因此在Rt△AA'B'中A'B'=,所以AB:A'B'=,故选:A.【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系,要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系.有一定的难度8.(5分)已知函数f(x)=lnx+1(x>0),则f(x)的反函数为()A.y=e x+1(x∈R)B.y=e x﹣1(x∈R)C.y=e x+1(x>1)D.y=e x﹣1(x>1)【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化,求函数的值域;将y=lnx+1看做方程解出x,然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可.【解答】解:由y=lnx+1解得x=e y﹣1,即:y=e x﹣1∵x>0,∴y∈R所以函数f(x)=lnx+1(x>0)反函数为y=e x﹣1(x∈R)故选:B.【点评】由于是基本题目,解题思路清晰,求解过程简捷,所以容易解答;解答时注意函数f(x)=lnx+1(x>0)值域的确定,这里利用对数函数的值域推得.9.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【分析】由题意设出双曲线的方程,得到它的一条渐近线方程y=x即y=x,由此可得b:a=4:3,结合双曲线的平方关系可得c与a的比值,求出该双曲线的离心率.【解答】解:∵双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,∴设双曲线的方程为,(a>0,b>0)由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x,结合题意一条渐近线方程为y=x,得=,设b=4t,a=3t,则c==5t(t>0)∴该双曲线的离心率是e==.故选:A.【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题.10.(5分)若f(sinx)=2﹣cos2x,则f(cosx)等于()A.2﹣sin2x B.2+sin2x C.2﹣cos2x D.2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法,根据已知中f(sinx)=2﹣cos2x,结合倍角公式对解析式进行凑配,不难得到函数f(x)的解析式,然后将cosx 代入,并化简即可得到答案.【解答】解:∵f(sinx)=2﹣(1﹣2sin2x)=1+2sin2x,∴f(x)=1+2x2,(﹣1≤x≤1)∴f(cosx)=1+2cos2x=2+cos2x.故选:D.【点评】求解析式的几种常见方法:①代入法:即已知f(x),g(x),求f(g (x))用代入法,只需将g(x)替换f(x)中的x即得;②换元法:已知f(g (x)),g(x),求f(x)用换元法,令g(x)=t,解得x=g﹣1(t),然后代入f (g(x))中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x))的表达式较简单时,可用“配凑法”;③待定系数法:当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.④方程组法:方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说,当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时,均可用此法.在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)的方程组,求得f(x).11.(5分)过点(﹣1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为()A.2x+y+2=0 B.3x﹣y+3=0 C.x+y+1=0 D.x﹣y+1=0【分析】这类题首先判断某点是否在曲线上,(1)若在,直接利用导数的几何意义,求函数在此点处的斜率,利用点斜式求出直线方程(2)若不在,应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标,进而求出切线方程.此题属于第二种.【解答】解:y'=2x+1,设切点坐标为(x0,y0),则切线的斜率为2x0+1,且y0=x02+x0+1于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=(2x0+1)(x﹣x0),因为点(﹣1,0)在切线上,可解得x0=0或﹣2,当x0=0时,y0=1;x0=﹣2时,y0=3,这时可以得到两条直线方程,验正D正确.故选:D.【点评】函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y﹣y0=f′(x0)(x﹣x0)12.(5分)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有()A.150种B.180种C.200种D.280种【分析】根据题意,分析可得人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3;分别计算两种情况下的情况数目,相加可得答案.【解答】解:人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3若是1,1,3,则有=60种,若是1,2,2,则有=90种所以共有150种,故选:A.【点评】本题考查组合的运用,难点在于分组的情况的确定.二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)在的展开式中常数项为45(用数字作答).【分析】利用二项式的通项公式(让次数为0,求出r)就可求出答案.【解答】解:要求常数项,即40﹣5r=0,可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为:45.【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.14.(4分)圆O1是以R为半径的球O的小圆,若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1:S=2:9,则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1:R=1:3.【分析】利用两个圆的面积之比,推出半径比,结合圆心O1到球心O的距离与球半径、圆心O1的半径满足勾股定理,即可求出结果.【解答】解:设圆O1的半径为r,则S1=πr2,S=4πR2,由S1:S=2:9得r:R=:3又r2+OO12=R2,可得OO1:R=1:3故答案为:1:3【点评】本题考查球的表面积,球的截面知识,考查计算能力,是基础题.15.(4分)过点的直线l将圆(x﹣2)2+y2=8分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.【分析】由劣弧所对的圆心角最小弦长最短,及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直,易得到解题思路.【解答】解:由题意,点P(1,)在圆(x﹣2)2+y2=8的内部,圆心为C(2,0),要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l⊥CP,所以k=﹣=,故答案为.【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理,要求大家熟练掌握,垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.相关推论,过圆内一点垂直于该点直径的弦最短,且弦所在的劣弧最短,优弧最长,弦所对的圆心角、圆周角最小.16.(4分)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出25人.【分析】直方图中小矩形的面积表示频率,先计算出[2500,3000)内的频率,再计算所需抽取人数即可.【解答】解:由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为:25【点评】本题主要考查直方图和分层抽样,难度不大.三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)在△ABC中,∠B=45°,AC=,cosC=,(1)求BC的长;(2)若点D是AB的中点,求中线CD的长度.【分析】(1)先由cosC求得sinC,进而根据sinA=sin(180°﹣45°﹣C)求得sinA,再由正弦定理知求得BC.(2)先由正弦定理知求得AB,进而可得BD,再在△ACD中由余弦定理求得CD.【解答】解:(1)由由正弦定理知(2)由余弦定理知=【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用.属基础题.18.(12分)设等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=1,S8=17,求通项公式a n.【分析】设出数列的公比,由题意知公比不为0,根据题目所给的两个前几项的和,列出方程求出公比有两个值,对于这两种情况分别写出数列的通项公式.【解答】解:设{a n}的公比为q,由S4=1,S8=17知q≠1,∴得①②由①和②式整理得解得q4=16所以q=2或q=﹣2将q=2代入①式得,∴将q=﹣2代入①式得,∴,综上所述或【点评】本题是一个等比数列的基本量的运算,这种问题是数列中最容易出的一种小型题目,多出在选择和填空中,是考查数列的基础知识的一道送分的题目,只要解题认真就可以得分.19.(12分)某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率.【分析】(1)由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值,结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率,写出分布列和期望.(2)由上一问做出的分布列可以知道,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,这两个事件是互斥的,根据互斥事件的概率公式得到结果.【解答】解(1)由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0,1,2,3==,∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)=(2)∵P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,这两个事件是互斥的∴P(ξ≥2)=【点评】本题主要考查分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题,题目做起来不难,运算量也不大.20.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.(I)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(II)设,求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小.【分析】(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线,只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交,根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1,而ED⊥BB1,即可证得;(Ⅱ)连接A1E,作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角,在三角形A1FE中求出此角即可.【解答】解:(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,则EO C1C,又C1C B1B,所以EO DB,EOBD为平行四边形,ED∥OB.(2分)∵AB=BC,∴BO⊥AC,又平面ABC⊥平面ACC1A1,BOÌ面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,∴ED⊥平面ACC1A1,ED⊥AC1,ED⊥CC1,∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.(6分)(Ⅱ)连接A1E,由AA1=AC=AB可知,A1ACC1为正方形,∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角.不妨设AA1=2,则AC=2,AB=,ED=OB=1,EF==,tan∠A1FE=,∴∠A1FE=60°.所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°.(12分)【点评】本题主要考查了异面直线公垂线的证明,二面角的度量,以及空间想象能力和推理能力,属于基础题.21.(14分)设a∈R,二次函数f(x)=ax2﹣2x﹣2a.若f(x)>0的解集为A,B={x|1<x<3},A∩B≠∅,求实数a的取值范围.【分析】解:注意到△=4+8a2>0,则函数有两个零点,由a的正负,确定不等式解集的形式.结合着数轴分类讨论.【解答】解:由题意可知二次函数a≠0,令f(x)=0解得其两根为由此可知x1<0,x2>0(i)当a>0时,A={x|x<x1}∪{x|x>x2},则A∩B≠ϕ的充要条件是x2<3,即解得(ii)当a<0时,A={x|x1<x<x2}A∩B≠ϕ的充要条件是x2>1,即解得a<﹣2综上,使A∩B≠ϕ成立的a的取值范围为【点评】在对集合的相关问题进行求解时,分类讨论时经常考查到的思想方法,另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点,要熟练掌握.22.(12分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x o,y o),根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程,设直线方程与抛物线方程联立消去y,根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2,根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=,可得切线AM和BM的方程,联立方程求得交点坐标,求得和,进而可求得•的结果为0,进而判断出AB⊥FM.(2)利用(1)的结论,根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式,进而求得弦长AB,可表示出△ABM面积.最后根据均值不等式求得S的范围,得到最小值.【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x o,y o),焦点F(0,1),准线方程为y=﹣1,显然AB斜率存在且过F(0,1)设其直线方程为y=kx+1,联立4y=x2消去y得:x2﹣4kx﹣4=0,判别式△=16(k2+1)>0.x1+x2=4k,x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=,则易得切线AM,BM方程分别为y=()x1(x﹣x1)+y1,y=()x2(x﹣x2)+y2,其中4y1=x12,4y2=x22,联立方程易解得交点M坐标,x o==2k,y o==﹣1,即M(,﹣1)从而,=(,﹣2),(x2﹣x1,y2﹣y1)•=(x1+x2)(x2﹣x1)﹣2(y2﹣y1)=(x22﹣x12)﹣2[(x22﹣x12)]=0,(定值)命题得证.这就说明AB⊥FM.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=|AB||FM|.∵,∴(﹣x1,1﹣y1)=λ(x2,y2﹣1),即,而4y1=x12,4y2=x22,则x22=,x12=4λ,|FM|====.因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=()2.于是S=|AB||FM|=()3,由≥2知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.【点评】本题主要考查了抛物线的应用.抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点,故应重点掌握.。

2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)

2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)

2006高考理科数学试题全国II 卷一.选择题(1)已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>,则M N =(A )∅ (B ){}|03x x << (C ){}|13x x << (D ){}|23x x <<(2)函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是(A )2π (B )4π (C )4π (D)2π (3)23(1)i =- (A )32i (B )32i - (C)i (D )i - (4)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为(A )316 (B )916 (C )38 (D )932(5)已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则ABC ∆的周长是(A)(B)6 (C)(D )12(6)函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为(A )1()x y e x R +=∈ (B )1()x y e x R -=∈(C )1(1)x y e x +=> (D)1(1)x y e x -=>(7)如图,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6π.过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为'A 、',B 则:''AB A B =(A)2:1 (B )3:1 (C )3:2 (D )4:3(8)函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称,则()f x 的表达式为(A )21()(0)log f x x x =>(B )21()(0)log ()f x x x =<-(C )2()log (0)f x x x =-> (D )2()log ()(0)f x x x =--<(9)已知双曲线22221x y -=的一条渐近线方程为4y x =,则双曲线的离心率为A'B'A B βα(A )53 (B )43 (C )54 (D )32(10)若(sin )3cos 2,f x x =-则(cos )f x =(A )3cos2x - (B )3sin 2x - (C )3cos2x + (D )3sin 2x +(11)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若361,3S S =则612SS =(A )310 (B )13 (C)18 (D)19(12)函数191()n f x x n ==-∑的最小值为(A )190 (B)171 (C )90 (D )45二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上.(13)在4101()x x+的展开式中常数项是_____。

2006考研数学二真题及答案解析

2006考研数学二真题及答案解析

2006年数学(二)考研真题及解答一、填空题(1)曲线4sin 52cos x x yxx的水平渐近线方程为.(2)设函数231sin ,0,(),xt dt xf x xa x在0x 处连续,则a.(3)广义积分22(1)xdxx .(4)微分方程(1)y x y x的通解是.(5)设函数()yy x 由方程1y yxe 确定,则A dy dx= .(6)设矩阵2112A,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2B A B E,则B = .二、选择题(7)设函数()yf x 具有二阶导数,且()0,()0f x f x ,x 为自变量x 在0x 处的增量,y 与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ,则(A )0.dy y (B )0.y dy (C )0.ydy(D )0.dyy 【】(8)设()f x 是奇函数,除0x 外处处连续,0x 是其第一类间断点,则0()x f t dt 是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x 间断的奇函数(D )在0x间断的偶函数.【】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x eh g ,则(1)g 等于(A )ln31.(B )ln3 1.(C )ln 2 1.(D )ln 2 1.【】(10)函数212xxxyC eC e xe 满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe (B )23.xy y y e (C )23.xyyyxe (D )23.xyyye (11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )df r r rdr 等于(A )22120(,).x xdxf x y dy (B )22120(,).x dxf x y dy (C )22120(,).y ydyf x y dx (D )22120(,).y dyf x y dx 【】(12)设(,)f x y 与(,)x y 均为可微函数,且1(,)0yx y . 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y 下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y . (B )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y . (C )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y . (D )若00(,)0x f x y ,则00(,)0y f x y .【】(13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n 矩阵,下列选项正确的是(A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. (C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记11001001P ,则(A )1.C P AP (B )1.C PAP (C ).TC P AP (D ).TCPAP 三解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe BxCx Ax o x ,其中3()o x 是当30x x 时比的高阶无穷小。

2006考研数学(二)真题及参考答案

2006考研数学(二)真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2B A BE =+,则B = . 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 (A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln 31-. (B )ln 3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--= (B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )22120(,).x xdx f x y dy -⎰⎰(B )22120(,).x dx f x y dy -⎰⎰(C )22120(,).y ydy f x y dx -⎰⎰(D )22120(,).y dy f x y dx -⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.(C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16.arcsin xxe dx e ⎰求. 17.{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域,221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分 18.{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限;211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算. 19.sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=;(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩(Ⅰ)讨论L 的凹凸性;(Ⅱ)过点(-1,0)引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (Ⅲ)求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.真题解析一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x(5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆(B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<<(D )0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] (A )ln 31- (B )ln 31--(C )ln 21--(D )ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=,1(1)12g e+= g (1)= ln 21--(10)函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] (A )23x y y y xe '''--= (B )23x y y y e '''--=(C )23xy y y xe '''+-=(D )23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C](A )2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰(B )2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C )2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰(D )2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰(12)设(,)(,)f xyxy ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则(B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = (16)求arcsin xxe dx e ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令21arcsin arcsin ()1t dttd t t t t =-=-+-⎰⎰2222arcsin arcsin 1(2)12(1)1t tdt t udu t u t t u u t t -=-+-==-+--⎰⎰令2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++22arcsin arcsin 111ln 211x x x x x x e e e dx C e e e --∴=-++-+⎰. (17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解:用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. (18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且()22Z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I )()()22222222;zx zy f x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()()()22222223222222zx y f x yf x yx x y x y ∂'''=+++∂++()()()()22222223222222zy x f x yf x yy x y x y ∂'''=+++∂++()2222222222()0()()0f x y z zf x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,设2001x t =+,20004y t t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+(III )设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰ ()224024241t t y y x y -+==±-=±-+解出t 得由于(2,3)在L 上,由()232241()y x x y g y ===--+=得可知()30944(1)S y y y dy ⎡⎤=-----⎣⎦⎰ 3300(102)44y dy ydy =---⎰⎰3333220002(10)44(4)214(4)3y y yd y y =-+--=+⨯⨯-⎰8642213333=+-=- (22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4,x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0。

2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)

2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)

2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=()A.∅B.{x|0<x<3}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x<3}2.(5分)函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.3.(5分)=()A.B.C.i D.﹣i4.(5分)如图,PA、PB、DE分别与⊙O相切,若∠P=40°,则∠DOE等于()度.A.40 B.50 C.70 D.805.(5分)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()A.B.6 C.D.126.(5分)已知函数f(x)=lnx+1(x>0),则f(x)的反函数为()A.y=e x+1(x∈R)B.y=e x﹣1(x∈R)C.y=e x+1(x>1)D.y=e x﹣1(x>1)7.(5分)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB:A′B′=()A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:38.(5分)函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为()A. B.C.f(x)=﹣log2x(x>0)D.f(x)=﹣log2(﹣x)(x<0)9.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.10.(5分)若f(sinx)=2﹣cos2x,则f(cosx)等于()A.2﹣sin2x B.2+sin2x C.2﹣cos2x D.2+cos2x11.(5分)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=()A.B.C.D.12.(5分)函数的最小值为()A.190 B.171 C.90 D.45二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)在的展开式中常数项为(用数字作答).14.(4分)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为.15.(4分)过点的直线l将圆(x﹣2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.16.(4分)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出人.三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)已知向量,,.(1)若,求θ;(2)求的最大值.19.(12分)某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率.20.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.(I)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(II)设,求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小.24.(12分)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.25.(14分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.27.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)猜想数列{S n}的通项公式,并给出严格的证明.2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=()A.∅B.{x|0<x<3}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x<3}【分析】解出集合N,结合数轴求交集.【解答】解:N={x|log2x>1}={x|x>2},用数轴表示可得答案D故选D.2.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.【分析】将函数化简为:y=Asin(ωx+φ)的形式即可得到答案.【解答】解:所以最小正周期为,故选D3.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)=()A.B.C.i D.﹣i【分析】化简复数的分母,再分子、分母同乘分母的共轭复数,化简即可.【解答】解:故选A.4.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)如图,PA、PB、DE分别与⊙O相切,若∠P=40°,则∠DOE等于()度.A.40 B.50 C.70 D.80【分析】连接OA、OB、OP,由切线的性质得∠AOB=140°,再由切线长定理求得∠DOE的度数.【解答】解:连接OA、OB、OP,∵∠P=40°,∴∠AOB=140°,∵PA、PB、DE分别与⊙O相切,∴∠AOD=∠POD,∠BOE=∠POE,∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°.故选C.5.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()A.B.6 C.D.12【分析】由椭圆的定义:椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得△ABC的周长.【解答】解:由椭圆的定义:椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得△ABC的周长为4a=,故选C6.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=lnx+1(x>0),则f(x)的反函数为()A.y=e x+1(x∈R)B.y=e x﹣1(x∈R)C.y=e x+1(x>1)D.y=e x﹣1(x>1)【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化,求函数的值域;将y=lnx+1看做方程解出x,然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可.【解答】解:由y=lnx+1解得x=e y﹣1,即:y=e x﹣1∵x>0,∴y∈R所以函数f(x)=lnx+1(x>0)反函数为y=e x﹣1(x∈R)故选B7.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB:A′B′=()A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度,即可得到两线段的比值.【解答】解:连接AB'和A'B,设AB=a,可得AB与平面α所成的角为,在Rt△BAB'中有AB'=,同理可得AB与平面β所成的角为,所以,因此在Rt△AA'B'中A'B'=,所以AB:A'B'=,故选A.8.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为()A. B.C.f(x)=﹣log2x(x>0)D.f(x)=﹣log2(﹣x)(x<0)【分析】先设函数f(x)上的点为(x,y),根据(x,y)关于原点的对称点为(﹣x,﹣y)且函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,得到x与y的关系式,即得答案.【解答】解:设(x,y)在函数f(x)的图象上∵(x,y)关于原点的对称点为(﹣x,﹣y),所以(﹣x,﹣y)在函数g(x)上∴﹣y=log2(﹣x)⇒f(x)=﹣log2(﹣x)(x<0)故选D.9.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【分析】由题意设出双曲线的方程,得到它的一条渐近线方程y=x即y=x,由此可得b:a=4:3,结合双曲线的平方关系可得c与a的比值,求出该双曲线的离心率.【解答】解:∵双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,∴设双曲线的方程为,(a>0,b>0)由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x,结合题意一条渐近线方程为y=x,得=,设b=4t,a=3t,则c==5t(t>0)∴该双曲线的离心率是e==.故选A.10.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)若f(sinx)=2﹣cos2x,则f(cosx)等于()A.2﹣sin2x B.2+sin2x C.2﹣cos2x D.2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法,根据已知中f(sinx)=2﹣cos2x,结合倍角公式对解析式进行凑配,不难得到函数f(x)的解析式,然后将cosx 代入,并化简即可得到答案.【解答】解:∵f(sinx)=2﹣(1﹣2sin2x)=1+2sin2x,∴f(x)=1+2x2,(﹣1≤x≤1)∴f(cosx)=1+2cos2x=2+cos2x.故选D11.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=()A.B.C.D.【分析】根据等差数列的前n项和公式,用a1和d分别表示出s3与s6,代入中,整理得a1=2d,再代入中化简求值即可.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由等差数列的求和公式可得且d≠0,∴,故选A.12.(5分)(2006•全国卷Ⅱ)函数的最小值为()A.190 B.171 C.90 D.45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解.【解答】解法一:f(x)==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1,2,3,…,19的距离之和,可知x在1﹣19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C.解法二:|x﹣1|+|x﹣19|≥18,当1≤x≤19时取等号;|x﹣2|+|x﹣18|≥16,当2≤x≤18时取等号;|x﹣3|+|x﹣17|≥14,当3≤x≤17时取等号;…|x﹣9|+|x﹣11|≥2,当9≤x≤11时取等号;|x﹣10|≥0,当x=10时取等号;将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90(当且仅当x=10时取得最小值)故选C.二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)(2006•全国卷Ⅱ)在的展开式中常数项为45(用数字作答).【分析】利用二项式的通项公式(让次数为0,求出r)就可求出答案.【解答】解:要求常数项,即40﹣5r=0,可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为:45.14.(4分)(2006•全国卷Ⅱ)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为.【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值,进而利用AD为边BC上的中线求得BD,最后在△ABD中利用余弦定理求得AD.【解答】解:∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2,由余弦定理定理可得故答案为:15.(4分)(2006•全国卷Ⅱ)过点的直线l将圆(x﹣2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系,及直线与圆的相关性质,要处理本题我们先要画出满足条件的图形,数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系,由劣弧所对的圆心角最小弦长最短,及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直,易得到解题思路.【解答】解:如图示,由图形可知:点A在圆(x﹣2)2+y2=4的内部,圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l⊥OA,所以.16.(4分)(2006•全国卷Ⅱ)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出25人.【分析】直方图中小矩形的面积表示频率,先计算出[2500,3000)内的频率,再计算所需抽取人数即可.【解答】解:由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为:25三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)(2006•全国卷Ⅱ)已知向量,,.(1)若,求θ;(2)求的最大值.【分析】(1)利用向量垂直的充要条件列出方程,利用三角函数的商数关系求出正切,求出角.(2)利用向量模的平方等于向量的平方,利用三角函数的平方关系及公式,化简,利用三角函数的有界性求出范围.【解答】解:(1)因为,所以得又,所以θ=(2)因为=所以当θ=时,的最大值为5+4=9故的最大值为319.(12分)(2006•全国卷Ⅱ)某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率.【分析】(1)由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值,结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率,写出分布列和期望.(2)由上一问做出的分布列可以知道,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,这两个事件是互斥的,根据互斥事件的概率公式得到结果.【解答】解(1)由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0,1,2,3==,∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)=(2)∵P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,这两个事件是互斥的∴P(ξ≥2)=20.(12分)(2006•全国卷Ⅱ)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.(I)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(II)设,求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小.【分析】(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线,只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交,根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1,而ED⊥BB1,即可证得;(Ⅱ)连接A1E,作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角,在三角形A1FE中求出此角即可.【解答】解:(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,则EO C1C,又C1C B1B,所以EO DB,EOBD为平行四边形,ED∥OB.(2分)∵AB=BC,∴BO⊥AC,又平面ABC⊥平面ACC1A1,BOÌ面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,∴ED⊥平面ACC1A1,ED⊥AC1,ED⊥CC1,∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.(6分)(Ⅱ)连接A1E,由AA1=AC=AB可知,A1ACC1为正方形,∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角.不妨设AA1=2,则AC=2,AB=,ED=OB=1,EF==,tan∠A1FE=,∴∠A1FE=60°.所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°.(12分)24.(12分)(2006•全国卷Ⅱ)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x ≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.【分析】令g(x)=(x+1)ln(x+1)﹣ax对g(x),求导得g'(x)=ln(x+1)+1﹣a,令g'(x)=0⇒x=e a﹣1﹣1,当a≤1时,对所有的x>0都有g'(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上为单调增函数,又g(0)=0,所以对x≥0时有g(x)≥g(0),即当a≤1时都有f(x)≥ax,所以a≤1成立,当a>1时,对于0<x<e a﹣1﹣1时,g'(x)<0,所以g (x)在(0,e a﹣1﹣1)上是减函数,又g(0)=0,所以对于0<x<e a﹣1﹣1有g (x)<g(0),即f(x)<ax,所以当a>1时f(x)≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围.【解答】解法一:令g(x)=(x+1)ln(x+1)﹣ax,对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1﹣a令g′(x)=0,解得x=e a﹣1﹣1,(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.(ii)当a>1时,对于0<x<e a﹣1﹣1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,e a﹣1﹣1)是减函数,又g(0)=0,所以对0<x<e a﹣1﹣1,都有g(x)<g(0),即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.综上,a的取值范围是(﹣∞,1].解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)﹣ax,于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1﹣a令g′(x)=0,解得x=e a﹣1﹣1,当x>e a﹣1﹣1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,当﹣1<x<e a﹣1﹣1,g′(x)<0,g(x)为减函数,所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a﹣1﹣1≤0.由此得a≤1,即a的取值范围是(﹣∞,1].25.(14分)(2006•全国卷Ⅱ)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x o,y o),根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程,设直线方程与抛物线方程联立消去y,根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2,根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=,可得切线AM和BM的方程,联立方程求得交点坐标,求得和,进而可求得•的结果为0,进而判断出AB⊥FM.(2)利用(1)的结论,根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式,进而求得弦长AB,可表示出△ABM面积.最后根据均值不等式求得S的范围,得到最小值.【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x o,y o),焦点F(0,1),准线方程为y=﹣1,显然AB斜率存在且过F(0,1)设其直线方程为y=kx+1,联立4y=x2消去y得:x2﹣4kx﹣4=0,判别式△=16(k2+1)>0.x1+x2=4k,x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=,则易得切线AM,BM方程分别为y=()x1(x﹣x1)+y1,y=()x2(x﹣x2)+y2,其中4y1=x12,4y2=x22,联立方程易解得交点M坐标,x o==2k,y o==﹣1,即M(,﹣1)从而,=(,﹣2),(x2﹣x1,y2﹣y1)•=(x1+x2)(x2﹣x1)﹣2(y2﹣y1)=(x22﹣x12)﹣2[(x22﹣x12)]=0,(定值)命题得证.这就说明AB⊥FM.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=|AB||FM|.∵,∴(﹣x1,1﹣y1)=λ(x2,y2﹣1),即,而4y1=x12,4y2=x22,则x22=,x12=4λ,|FM|====.因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=()2.于是S=|AB||FM|=()3,由≥2知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.27.(12分)(2006•全国卷Ⅱ)设数列{a n}的前n项和为S n,且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)猜想数列{S n}的通项公式,并给出严格的证明.【分析】(1)验证当n=1时,x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义,可求得a1,同理,当n=2时,也可求得a2;(2)用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤,第一步,先证明当当n=1时,已知结论成立,第二步,先假设n=k时结论成立,利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时,结论也成立即可.【解答】解:(1)当n=1时,x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1,于是(a1﹣1)2﹣a1(a1﹣1)﹣a1=0,解得a1=.当n=2时,x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣,于是(a2﹣)2﹣a2(a2﹣)﹣a2=0,解得a2=.(2)由题设(S n﹣1)2﹣a n(S n﹣1)﹣a n=0,S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0.当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,S n﹣2S n+1=0.①代入上式得S n﹣1由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=.由①可得S3=.由此猜想S n=,n=1,2,3,.下面用数学归纳法证明这个结论.(i)n=1时已知结论成立.(ii)假设n=k时结论成立,即S k=,当n=k+1时,由①得S k+1=,即S k+1=,故n=k+1时结论也成立.综上,由(i)、(ii)可知S n=对所有正整数n都成立.。

06高数下(含答案)2022

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2006(2)华南农业大学工科高数期末考试试卷(A )卷 一.填空题(每题3分,共15分)1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→,若→→b a //,则=k _____2.设2),(y xy y x y x f -=-+,则=),(y x f _____3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____ 二.选择题(每题3分,共15分)1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是( ) A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ,则=⎰⎰Dxydxdy xe ( ) A. 0 B. e C. e 1 D. e11+3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是( )A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界,则=-⎰Lydx xdy 2( )A.1B.2C.3D.4 5.下列级数中为条件收敛的级数是( )A.∑∞=+-11)1(n n n n B.∑∞=-1)1(n n n C.∑∞=-11)1(n n n D.∑∞=-121)1(n n n 三.计算题(每题7分,共49分)1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 2.设z e z y x =-+2,求y z x z ∂∂∂∂, 3.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(y dx y x dy I4.求二重积分⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++D y x dxdy xey )(21221的值,其中D 是由直线1,1,=-==x y x y 围成的平面区域5.求微分方程01122=--+dy yx dx 的通解6.试将函数x 3展开成x 的幂级数,并求其收敛域7.计算曲面积分⎰⎰∑+dxdz x 2)1(,:∑半球面2222R z y x =++)0(≥y 的外侧 四.解答题(每题7分,共21分)1.设⎪⎭⎫⎝⎛=23x y f x z ,其中f 为可微函数,证明z y z yx z x 32=∂∂+∂∂ 2.在所有对角线为d 的长方体中,求最大体积的长方体的各边之长 3.设函数)(x ϕ连续可微,且21)0(=ϕ,试求)(x ϕ,使曲线积分[]⎰-+Lxdy x ydx x e)()(ϕϕ与路径无关华南农业大学期末考试试卷(A )卷2006学年第2学期高等数学(工科) 考试时间:120分钟一.填空题(每题3分,共15分)1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→,若→→b a //,则=k _____解答:32123432//=⇔==⇔k k b a2.设2),(y xy y x y x f -=-+,则=),(y x f _____解答:令v y x u y x =-=+,,则2,2vu y v u x -=+=,从而 2)(),(v u v y y x v u f -=-=,即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答:积分区域为以原点为球心,半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域,在球面坐标下,区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ,所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr r d d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答:特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1 因此通解为)sin cos (212x C x C e y x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____解答:121)1()1(21)1(lim 1=-+--∞→nn n nn ,因此收敛半径1=R二.选择题(每题3分,共15分)1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是( )A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 解答:直线的方向向量为)1,1,3(-,因此点向式方程为141332-+=-=-z y x 选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ,则=⎰⎰Dxydxdy xe ( )A.0B. eC. e 1D. e11+解答:从被积函数角度考虑,将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--101011)1(e dx e dy xe dx xxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是( )A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答:选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界,则=-⎰Lydx xdy 2( )A.1B.2C.3D.4解答:由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdy ydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是( )A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nn C. ∑∞=-11)1(n nn D. ∑∞=-121)1(n n n解答:选项A 一般项不趋于0,因此不收敛;选项B 一般项不趋于0,也不收敛;选项D 绝对收敛 选C三.计算题(每题7分,共49分) 1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 解答:11231lim 232lim 21231lim =+=+=+∞→∞→∞→nn n n n n n n ,因此该级数与等比∑∞=121n n 同敛散性,而级数∑∞=121n n收敛,因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2,求yzx z ∂∂∂∂,解答:两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy eydx e dz zz +++=1211 因此zz e y y z e x z +=∂∂+=∂∂12,11 3.计算二次积分⎰⎰-+=110222)sin(y dx y x dy I解答:积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。

(完整版)2006考研数学二真题及答案解析

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2006年数学(二)考研真题及解答一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B =.二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln31-. (B )ln3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--=(B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )(,).xf x y dy ⎰⎰(B )(,).f x y dy ⎰⎰(C )(,).yf x y dx ⎰⎰(D )(,).f x y dx ⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a L 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a L 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关. (B )若12,,,,a a a L 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.(C )若12,,,,a a a L 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关.(D )若12,,,,a a a L 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关. 【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小。

2006年考研数学二真题及答案

2006年考研数学二真题及答案

2006年考研数学二真题一、填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。

) (1)曲线y =x+4sinx 5x−2cosx的水平渐近线方程为_________。

【答案】y =15。

【解析】limx→∞x+4sinx5x−2cosx=limx→∞1+4sinxx 5−2cosx x=15故曲线的水平渐近线方程为y =15。

综上所述,本题正确答案是y =15【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (2)设函数f (x )={1x 3∫sint 2dt,x ≠0,x 0a,x =0在x =0处连续,则a =_________。

【答案】13。

【解析】a =lim x→01x 3∫sint 2dt x 0=limx→0sinx 23x 2=13.综上所述,本题正确答案是13【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 (3)反常积分∫xdx (1+x 2)2+∞=_________。

【答案】12。

【解析】∫xdx (1+x 2)2+∞=lim b→+∞∫xdx(1+x 2)2b0=lim b→+∞12∫d (1+x 2)(1+x 2)2=12b 0lim b→+∞(−11+x 2)|0b=12lim b→+∞(1−11+b 2)=12综上所述,本题正确答案是12【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)微分方程y′=y(1−x)x的通解为__________。

【答案】y=Cxe−x,C为任意常数。

【解析】dyy =1−xxdx⇒ln|y|=ln|x|−lne x+ln|C|即y=Cxe−x,C为任意常数综上所述,本题正确答案是y=Cxe−x。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(5)设函数y=y(x)由方程y=1−xe y确定,则dydx |x=0=__________。

【答案】−e。

【解析】等式两边对x求导得y′=−e y−xe y y′将x=0代入方程y=1−xe y可得y=1。

06级高数(下)试题及答案-8页word资料

06级高数(下)试题及答案-8页word资料

一、 填空题(每空 3 分,共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r==,则当y =时, rr a b ⊥;当y = 时, //rr a b .2. 函数 (,,)u x y z z x y=--221的间断点是.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2.设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3.函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4.下列说法正确的是 ( ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则 级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5.微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1.设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.2.设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 2、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、 利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体:{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧.2、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.六、解下列各题(共2小题. 每小题8分, 共16分): 1、设幂级数11n n nx ∞-=∑. (1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数. 2、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.南昌大学 2019~2019学年第二学期期末考试试卷及答案 一、填空题(每空 3 分,共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r ==,则当y =-103时, rr a b ⊥;当y = 6时, //rr a b .2. 函数(,,)u x y z z x y=--221的间断点是{}(,,)|x y z z x y =+22.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =()xydx x y dy++222.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是P Q y x∂∂=∂∂.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2.设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( C ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3.函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( B ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4.下列说法正确的是 ( D ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则 级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5.微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( D ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1.设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632u u u ur r r .则(,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446. 取 (,,)n =-223r.故所求平面方程为:x y z +-=2230. 解法二: 设所求平面法向量(,,),n A B C =r则,(,,)n OM n ⊥⊥-412u u u ur r r .于是有 ,.A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩6320420解得: ,A B C B ==-32. 由平面的点法式方程可知,所求平面方程为Ax By Cz ++=0.将,A B C B ==-32代入上式,并约去()B B ≠0,便得:x y z +-=2230. 即为所求平面方程.2.设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.解:'.zy f x∂=⋅∂2 ()'''''z f y f f x x y∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 解:x y Ded d ed πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰2222240012122、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.解:,,Q P x x x y ∂∂=-=-∂∂2422 .Q P x y∂∂-=-∂∂2 由格林公式,有 原式().Dd σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、 利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体:{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧. 解:,,.P x Q y R z ===,,PQRxy z∂∂∂===∂∂∂111 则由高斯公式有原式().dv abc Ω=++=⎰⎰⎰11132、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.解:lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222Qlim .()n n n →∞+==<+311222所以原级数收敛.六、解下列各题(共2小题. 每小题8分, 共16分):1、设幂级数11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数.解: (1). limlim .n n n na n a n ρ+→∞→∞+===111 所以收敛半径.R =1当x =1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为:(,)-11.(2). 设和函数为:()n n S x nx ∞-==∑11. ()xx xn n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰110011 .x n nn n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭2111112、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.解:..r r r r ++===-2122101()x Y C C x e -∴=+12.λ=2Q 不是特征根,所以设特解为: *x y Ae =2.则(*)',(*)''x x y Ae y Ae ==2224,代入原方程得A =29. *xy e ∴=229.故通解为:().x x y C C x e e -=++21229七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.解: 依题意: ',().y x y y =+⎧⎨=⎩200则: x y x Ce =--+22.把()y =00 代入上式, 得C =2.故().x y e x =--21。

2006考研数学二真题及答案解析

2006考研数学二真题及答案解析

2006年数学(二)考研真题及解答一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B =.二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln31-. (B )ln3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--=(B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )(,).xf x y dy ⎰⎰(B )(,).f x y dy ⎰⎰(C )(,).yf x y dx ⎰⎰(D )(,).f x y dx ⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.(C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小。

06级 高等数学(II) (A,B)

06级 高等数学(II) (A,B)

高等数学(II )试题(A )一 填空 (每小题3分 共15分 )1 曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面的方程为____。

0624=--+z y x2 设隐函数),(y x z z =是由方程2=++yze xz e 确定的,则=∂∂==0y x xz _____。

03 设1:=++∑z y x 在第一卦限部分,则⎰⎰∑=++dS z y x )(___________。

23 4 设)(x f 周期为π2,且⎩⎨⎧<≤-<≤=0,0,)(x x x e x f x ππ,)(x S 是)(x f 的Fourier 级数的和函数,则 =)0(S ______________。

215 设幂级数∑∞=1n nn x a 在2=x 处条件收敛,则幂级数∑∞=13n nnn x a 的收敛半径=R _。

6 二 选择(每小题2分 共10分 )1 设D 是平面区域,则下面说法正确的是( D )A.若),(y x f 在D 上可微,则),(y x f 的一阶偏导在D 上一定连续B.若),(y x f 在D 上一阶偏导存在,则),(y x f 在D 上一定可微C.若),(y x f 在D 上一阶偏导存在,则),(y x f 在D 上一定连续D.若在D 上xy f 与yx f 均连续,则xy f yx f = 2 下列级数中绝对收敛的级数是 ( A )A.∑∞=-12)1(n n nn B.∑∞=+1)11ln(n n C.n n n1sin )1(1∑∞=- D.∑∞=+-11)1(n nn n 3 直线过点 )3,0,0(且与直线z y x ==垂直相交,则交点的坐标是( B ) A.)1,2,2(- B.)1,1,1( C.)2,1,1(-- D.)0,0,0( 4 方程08422=+-+x z y 表示 D 。

A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.锥面D.旋转抛物面 5 一阶微分方程0)(332=+-dy y x ydx x 的类型是( C )A.全微分方程B.可分离变量方程C.齐次方程D.一阶线性微分方程三(6)设)(r f u =是具有二阶连续导数的函数,222z y x r ++=,求22xu∂∂。

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2006学年第二学期高等数学(工科)试卷(A)答案
2
232
0002122(1)(2)(3)sin 32(4)(cos sin )(5)1
R x xy y d d d y e C x C x π
πϕθρθθ
-=+⎰⎰⎰一、
ACACC 二、
11
3
13212lim lim
lim (3)1(3)33222
211.n
n n n n n n n
n
u u ++→∞→∞→∞++===<++分分所以收三敛(、分)
2()()(1)2(3)212(1),112.1z z z z
z d x y z d e dx ydy dz e dz dx ydy z z y
dz e x e y e +-=+-=+∂∂===+∂+∂+分所以分解得分所以
1
220
1
22
sin (3)
sin (2)(1cos1)(2)
4
3.4
dr r rd r dr π
θπ
π
=⋅=
=
-⎰⎰⎰原式分分分2
22222
112
2
1111
2
2
2
1111
11
1
2
1
1
1
(1)
1()(2)2
22
()(2)4.0(2)
33
x y D
D
x x
x y x x
x ydxdy xe
ye
dxdy dx ydy xe
dx e
d y dx ydy x
e e
dx ----+---=+⋅=+=+-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式分分分分
(3)
arcsin arcsin )
54.(dy dx x y C =+=分两边积分,得分
2ln3ln320
1()(2)3(2),
2!!
(ln 3)(ln 3)
31l 6n 3(2)
2!!
(ln 3),(.)(1)
!x
n x
x x n
x n n
n x x e x x e e n x x x n x x x n ∞
==+++++-∞<<∞===+++++=∈-∞<<∞∑ 分分所以分分22222
2
2
002
2ZOX ,0(1)(1)(1)(2)(sin 1)(2)(1)(27.)
4zx
zx
R
B B x z R y x dxdz x dxdz d d R
R π
θρθρρπ∑
+≤=+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰右半球面在坐标平面上的投影区域记为它是一个圆分,所以
分分分 2332
222232222322223()'()(2)3()2'()(3)
'()'()(3)2(3()2'())2'()31(3(1).)z y y y y x f x f yx x f yf x x x x x z y y
x f x xf y x x z z y y y y
x y x x f yf yxf x f z x y x x x x
--∂=+-=-∂∂==∂∂∂+=-+==∂∂分分、分四
222222222222,,.,(1)()(2)2020200(2.3)(1).3
x y z V xyz x y z d L xyz x y z d L
L
L
yz x xz y xy z x
y
z
L x y z d x y z d λλλλλ=++==+++-∂∂∂=+==+==+=∂∂∂∂=++-====∂解:设长方体的棱长为则分构造拉格朗日含数分所以
分解之得,分
2(()),()
(),'()1
()'()(3)()()(3)
2
11
(0),1,()(1)
.22
3x x x x x x x P Q
P e x y Q x e x x y x
e x x x e C e C x e e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--∂∂=+=-=+=-∂∂+=-=-+===-解:所以分解之得:分又所以所以分。

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