2016年四川初二数学联赛(初赛)参考答案及评分细则
四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案
2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日 上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（ ）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。
(2021年整理)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案
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F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名： 成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。
2016年全国初中数学联赛试题及参考答案_第一试_
解 设 Ｒｔ△ＡＢＣ 的 直 角 边 为ａ，ｂ，斜 边 为ｃ，
．
［答］１６７３３４．
设 两 个 三 位 数 分 别 为 和 ｙ，由 题 设 知
１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ
①
由①式 得 ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝ （３ｙ－１０００）
ｘ，故ｙ 是ｘ 的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整
数），代 入 ① 式 得 １０００＋ｔ＝３ｔｘ，所 以 ｘ ＝
１００３０ｔ＋ｔ．因 为 是 三 位 数，所 以 ｘ＝１００３０ｔ＋ｔ≥
［答］（Ｄ）．
作 ＡＨ ⊥ＢＤ 于 点 Ｈ ，易 知 △ＡＭＨ ∽
△ＣＭＤ，所
以ＡＨ ＣＤ
＝ＣＡＭＭ
，又
ＣＤ＝１，所 以
ＡＨ ＝ＣＡＭＭ
①
设 ＡＭ＝ｘ，则 ＣＭ＝槡５－ｘ．
在 Ｒｔ△ＡＢＭ 中，可得
ＡＨ ＝ＡＢＢ·ＭＡＭ
＝
槡５ｘ 槡５＋ｘ２
．
所以，由①式得 槡５ｘ ＝ ｘ ， 槡５＋ｘ２ 槡５－ｘ
奇数的立 方 差，则 称 这 个 正 整 数 为 “和 谐 数 ”。 如：２＝１３ － （－１）３，２６＝３３ －１３，２ 和 ２６ 均 为 “和谐数”．那 么，不 超 过 ２０１６ 的 正 整 数 中，所 有 的 “和 谐 数 ”之 和 为 （ ）．
（Ａ）６８５８ （Ｂ）６８６０ （Ｃ）９２６０ （Ｄ）９２６２． ［答］（Ｂ）． 注意到 （２ｋ＋１）３ － （２ｋ－１）３ ＝２（１２ｋ２ ＋ １），由 ２（１２ｋ２ ＋１）≤２０１６ 得｜ｋ｜＜１０． 取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即 得 所 有 的 不 超 过 ２０１６ 的 “和 谐 数 ”，它 们 的 和 为 ［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋ （５３－６３）＋ … ＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０． ４．已 知 ⊙Ｏ 的 半 径 ＯＤ 垂 直 于 弦 ＡＢ，交 ＡＢ 于点Ｃ，连接 ＡＯ 并延长交 ⊙Ｏ 于 点Ｅ，若 ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ 的面积为（ ）． （Ａ）１２ （Ｂ）１５ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８ ［答］（Ａ）． 设 ＯＣ＝ｘ，则 ＯＡ＝ ＯＤ＝ｘ＋２，在 Ｒｔ△ＯＡＣ 中，由勾 股 定 理 得 ＯＣ２ ＋ ＡＣ２＝ＯＡ２，即 ｘ２ ＋４２ ＝ （ｘ＋２）２，解 得 ｘ＝３．又 ＯＣ 为 △ＡＢＥ 的 中 位 线， 所以 ＢＥ＝２ＯＣ＝６． 所以直角 △ＢＣＥ 的 面 积 为 １２ＣＢ·ＢＥ＝ １２． ５．如 图，在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中，∠ＢＡＣ＝
2016初中数学联赛(初二组)初赛及答案
2016年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、A2、B3、D4、C5、A6、D二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、1275 8、1 9、6 10、13三、解答题（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，共70分）11、若关于x 的方程01)32()23(=-++++x n x m x 有无数多个解，求n m ,的值．解：原方程整理得：0132)123(=-++++n m x n m ， ………………5分由题意有：⎩⎨⎧=-+=++01320123n m n m ，………………………………………15分 解得⎩⎨⎧=-=11n m . ………………………………………………………20分12、已知实数a 、b 、c ，满足0≠abc 且0))((4)(2=----b a c b c a ，求b c a +的值． 解：因为222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+--+-=-+- （1）……5分222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+----=---（2）…………10分（1）-（2）得))((4)]()[()]()[(22b a b c b a b c b a b c --=-----+- 即：))((4)()2(22b a c b a c b c a ---=---+故0)2())((4)(22=-+=----b c a b a c b a c ， …………………20分即02=-+b c a ，故2=+bc a . …………………………………………25分 13、已知如图，在△ABC 中，C B ∠=∠2，且BD AB AC +=，求证：AD 是BAC ∠的平分线.证明1：延长AB 至G ，使BD BG =，则AC BD AB BG AB AG =+=+=， 所以ACG AGC ∠=∠； ………………………………5分又BDG BGD ∠=∠，所以ACB ABC AGD ∠=∠=∠21， 故DCG ACB ACG BGD AGC CGD ∠=∠-∠=∠-∠=∠；所以DC DG =； …………………15分又AD 是公共边，所以△AGD ≌△ACD ， …………………20分 所以CAD GAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.…………………25分证明2：作ABC ∠的平分线交AC 于E ，过D 作BE 的平行线交AC 于F ，交AB 的延长线于G ，则： 因为C ABC ∠=∠2，DF 平行BE ，所以FDC C EBC ∠=∠=∠，所以FD FC =，且ABC FDC C AFD ∠=∠+∠=∠…………5分 又BDG FDC C ABC ABE AGD ∠=∠=∠=∠=∠=∠21， 所以BG BD =，所以AC BD AB BG AB AG =+=+=， …………10分又ABC AFG C G ∠=∠∠=∠,，所以△AFG ≌△ABC ， …………………15分所以AB AF =，DB FC DF ==， …………………20分所以△ABD ≌△AFD ，故FAD BAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.……25分。
2016年全国初中数学联合竞赛(初二年级组)四川组试题参考答案
D. 3 ．
【答】A. ∵t
1 2 3 ，而 3 2 3 4 ，∴ a t 3 3 1 . 2 3
又∵ t 2 3 ，而 4 2 3 3 ，∴ b t (4) 2 3 . ∴
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
1 1 k 1 1 1 1 ，故 1 2 2 k (k 1) k k 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 3 4 n (n 1)2
所以 1
Sn 1
1 1 ( ∠ BPC ∠ A ) ＝ (120 70) 95 . 2 2 S 1 1 1 1 1 1 ，则 2016 ＝ 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 3 n (n 1) 2016
B. （ ）
2016 ． 2017
2017 ． 2016
2016 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
1 A E ( A B 2
A)D 1 3， . 5BE AB AE 1.5 ，所以
2 2 2
AE 13.5 9. BE 1.5
2．已知整数 a, b, c 满足不等式 a 2b c 211 ab 28b 20c ，则 a b c ＝_______． 【答】 2 . 因 为 整 数 a, b, c 满 足 不 等 式 a 2b c 211 ab 28b 20c ， 所 以 a 2b c 212
2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷
2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是（ ） A 、2- B 、2- C 、2 D 、22、关于x 的方程42312=++-x x ，其所有解的和是（ ） A 、1- B 、52-C 、53D 、1 3、若()b a a b bb a ≠-=43，则2222232b ab a b ab a +--+的值是（ ） A 、3- B 、31- C 、51D 、54、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形()b a ，沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形，则小正方形的边长为（ ）A 、2bB 、2aC 、2ba -D 、b a - 5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为（ ）A 、4B 、6C 、12D 、4或12 6、已知正数m ，满足01724=+-m m ，则mm 1+的值为（ ） babbA 、2B 、5C 、7D 、3 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是 .8、若0132=+++x x x ，则20162015321x x x x x ++++++ 的值为 . 9、设|5||4||3||2||1|+++++++++=x x x x x m ，则m 的最小值为 .10、如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 点在BC 边上，满足：4=BD ，5=DC ，若28=+AD AB ，则AD 等于 .三、（本大题满分20分）11、若关于x 的方程()()013223=-++++x n x m x 有无数多个解，求实数m 、n 的值。
(整理)初二初赛参考解答与评分标准
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）nm bnam ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若A B O ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设xS ADO=∆。
由2:1:::===∆∆C D O A D O S S OC AO BC AD ，故x S C D O2=∆，同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
2016年全国初中数学联赛参考答案及评分标准(八年级) (1)
∴ n 14 或 7 或 2 或 5。
第二试（C）
一、（本题满分 20 分） 三只蚂蚁同时从点 A 出发，沿三角形道路 A B C A 爬行，已知第一只蚂蚁在
AB, BC , CA 上爬行速度分别为 12 厘米/秒，10 厘米/秒，15 厘米/秒；第二只蚂蚁在此三
段道路上的速度分别为 15 厘米/秒，15 厘米/秒，10 厘米/秒；第三只蚂蚁在此三段上的 速度分别为 10 厘米/秒，20 厘米/秒，12 厘米/秒。若三只蚂蚁同时回到 A 点，求 ABC 的 值。 解：记 AB c, BC a, CA b ， 则
由 2 x 2 y a ，可知 a 必为偶数， 又 1
22 为整数，所以 a 0, 4, 24, 20 。 a2
故选 C。 （ ）
2．定义运算 a b A.720 C.240 【答案】B。 代入求值的结果。
a ( a 1)( a 2) ( a b 2)( a b 1) ，则 10*7 b(b 1)(b 2) 2 1
c 2a 2b a : b : c 3 : 5 : 4 ，……………………………………………………（15） c 3a b
∴ ABC 90 。………………………………………………………………………（20）
二、（本题满分 25 分）
如图，在 ABC 中， ABC 59 , ACB 30.5 ，延长 ABC 的内角平分线 BD 至 E ， 使得 DE DA ，求 E 的值。 证明：在 BC 上取一点 G ，使得 AB BG 。………………………………（5）
20142 2015 2016 20162 2017 2018 2015! 2017!
2022年全国初中数学联赛(初二组四川赛区)初赛试题参考解答与
2022年全国初中数学联赛(初二组四川赛区)初赛试题参考解答与试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、B3、B4、D5、D6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、4n12、43、14、3三、（本大题满分20分）解不等式|某2|3某1解：（1）当某2时，不等式化为2某3某1，解此不等式得某（10分）（2）当某2时，不等式化为某23某1，解此不等式得某33故此时某2；44,1此时某2．（15分）2,综上所述，不等式的解为：某3．（20分）4四、（本大题满分25分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，DEBC于E.若DE3,BD5，求梯形ABCD的面积．解：在直角△BDE中，由勾股定理有：BEBD2DE24；（5分）AD过D作AC的平行线交BC的延长线于F，连接DF、CF，则ACFD是平行四边形，故CF=AD，DFACBD，所以DE是等腰△DBF底边上的高，故BF2BE8（15分）所以SABCD11(BCAD)DEBFDE12（25分）．22233BECF五、（本大题满分25分）已知正整数a、b满足(ab)ab，试求a、b的值．解：由已知得aabbab，（5分）则(ab)(a1)(b1)2．（10分）因为a、b均为正整数，故a10，b10，（1）当a=b时，(a1)(b1)1，即a=b=2；（15分）（2）当ab时，(ab)1，从而(a1)1且(b1)0；或者(a1)0且(b1)1；所以，a2,b1，或者a1,b2．（20分）222222222222综上所述，所求a,b的值是：ab2；或者a1,b2；或者a2,b1．（25分）2。
四川省八年级数学联赛初赛试题
一 ．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四 ．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五 ．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。
2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则
2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 1 页 共 3 页2016年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、C ． 2、C ． 3、D ． 4、C ． 5、B ． 6、A ． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 78、18．9、3．10三、（本大题满分20分）11、解：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分） 配方得(3a -c )2+(2a -b )2+(3b -2c )2=0， ············································· （10分） 所以3a -c =0，2a -b =0，3b -2c =0，即c =3a ，b =2a ． ······································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）解法二：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）5[c 2-2(365a b +)c +(365a b +)2]+13a 2+10b 2-4ab -2(36)5a b +=0，5(c -365a b +)2+565a 2+145b 2-565ab =0，所以5(c -365a b +)2+145(2a -b )2=0， ··············································· （10分） 由此得，c -365a b+=0，2a -b =0， 解得b =2a ，c =3a ． ···································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x 2+2(m +1)x +m +3=0有两个不相同的实数解， 所以∆=[2(m +1)]2+4(m +3)= 4m 2+12m +16=(2m +3) 2+3＞0，可知m 是任意实数． ································································· （5分） 又因为点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上． 所以方程，-x 2+2(m +1)x +m +3=0的两根一正一负， 所以- (m +3)＜0，解得m ＞-3．所以所求m 的取值范围是m ＞-3． ··············································· （10分） （2）解法一：设点A (a ，0)，B (b ，0)，a ＞0，b ＜0，2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 2 页 共 3 页则a =-3b ，且a +b =2(m +1)，ab =-(m +3)， 解得m =0．函数解析式为y =-x 2+2x +3． ······················································· （15分） 所以A (3，0)，B (-1，0)，C (0，3)。
2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷及其解答
2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷及其解答2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷（3月4日下午3:00——5:00）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。
将你选择的答案的代号填在题后的括号内。
每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是（）A 、2-B 、CD 、22、关于x 的方程21324x x -++=，其所有解的和是（）B 、25-C 、35D 、1 3、若34()a b a b b b a =≠-，则2222232a ab b a ab b+--+的值是（） A 、3- B 、13- C 、15D 、54、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形（a b >），沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形（右图），则小正方形的边长为（） A 、2b B 、2a C 、2a b- D 、a b -5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为（）A 、4B 、6C 、12D 、412或6、已知正数m ，满足42710m m -+=，则1+的值为（）28分，每小题7分）本大题共有4小题，要求直接将答案写在横线上。
7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是.106318、若2310x x x+++=，则23201520161x x x x x++++++的值为.9、设12345m x x x x x=+++++++++，则m的最小值为。
10、如图，在△ABC中，∠C=90°，D点在BC边上，满足：BD=4，DC=5，若AB+AD=28，则AD等于 .三、解答题（本题共3小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）11、若关于x的方程322310()()x m x n x++++-=有无数多个解，求实数m n、的值.12、已知实数a b c、、，满足0abc≠且240()()()a cbc a b----=，求a cb+的值.B13、如图，在△ABC中，∠B=2∠C, 且AC=AB+BD. 求证：AD是∠BAC的平分线.CB2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）参考答案一、选择题：1、D 2、B 3、D 4、C 5、A 6、D 二、填空题：7、1275 8、 1 9、 6 10、 13 三、解答题：11题：解：由322310()()x m x n x ++++-=，整理为3212310()m n x m n ++++-=，∵ 方程有无数多个解∴32102310m n m n ++=??+-=? 解之，11m n =-??=? 12题：解：240()()()a c b c a b ----=222244440a c ac ab b ac bc +--++-= 22242440a c b ac ab bc +++--=220()a c b +-= ∴ 2a c b +=∵ 0abc≠ ∴2a cb+= 13题：（法一）延长AB 至E ，使AE=AC ，连结DE 、CE.∵ AE=AB+BE AC=AB+BD∴ BD=BE ∴ ∠BED=∠BDE 又∠ABD=∠BED+∠BDE即∠ABD=2∠BED∵ ∠ABD=2∠ACD ∴ ∠BED=∠ACD ①∵ AE=AC∴ ∠AEC=∠ACE ② 由①、②可得∠DEC=∠DCE ∴ DE=DC ∵AE AC AD AD DE DC =??=??=?∴ △AED ≌△ACD (SSS)∴ ∠DAE=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线.（法二）延长DB 至E ，使BE=BA ，连结AE ∴ ∠E=∠EAB∵ ∠ABD=2∠E 又∵∠ABD=2∠C ∴ ∠E=∠C=∠EAB ∴ AE=AC EC∴ AC=BE+BD=DE∴AE=DE ∴∠EAD=∠EDA∵∠EAD=∠EAB+∠BAD ∠EDA=∠DAC+∠C∴∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠C∵∠C=∠EAB∴∠BAD=∠DAC ∴ AD是∠BAC的平分线.。
2017全国初中数学联赛-四川初二初赛
2017全国初中数学联赛初赛试卷(四川初二初赛)1.若2a b-=,则222a bab+-的值为（）．A、1B、2C、3D、42.已知AD为ABC△的内角平分线,AE为ABC△的外角平分线(D、E均在直线BC上)，若130ADB∠=︒,则AEB∠的大小为（）．A、40︒B、45︒C、50︒D、60︒3.古希腊毕达哥拉斯学派把“一个正整数的正约数（不包含自身）之和等于自身的数称为完全数”，比如6的正约数（不包含自身）有1、2、3，而1236++=，所以6是完全数，那么以下是完全数的是（）．A、10B、20C、24D、284.如图ABC△的边BC为6，且BC边上的高也为6，BC上有三点D、E、F，且满足4DF=，则图中所有三角形的面积和为（）．A、30B、48C、96D、1205.已知关于x的不等式(2)20b a x a b--+>的解集为4x>，则关于x的不等式ax b>的解集为（）．A、27x>B、27x<C、32x>D、32x<6.如图，D 为等腰ABC △的底边BC 上一点，若4AB =，7BD DC ⋅=，那么AD 等于（ ）．A 、3B 、4C 、7D 、127.甲、乙两个工程队完成某项工程，若假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定的，工程总量为单位1，甲队单独做了10天后乙队加入合作完成剩下的全部工程，工程进度如图所示，，则图中x 的值为__________．8.若一个凸n 边形的一个外角与所有内角的和为2017︒，则n =__________．9.若x 、y 都是实数，则代数式2254224x xy y x y +++-的最小值为__________．10.如图，在ABC △中，BD 是ABC ∠的角平分线，延长BD 至E ，使AD DE =，若60ADB ∠=︒，78BAC ∠=︒，则BEC ∠的度数为__________．11.如图，在ABC △中，D 使BC 边上的一点，E 是AD 上的一点，且AD DC =，DEC ABC ∠=∠,求证：AB CE =.12.若一次函数(1)1y k k x =++和3(1)1y k k x =+-（k 为正整数）的图象与y 轴围成的三角形面积为k S ，求1232017S S S S ++++的值.13.若k 是整数关于x 的方程(2017)2016()k x k x -=-的解也是整数，求k 的所有可能的取值的和.。
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2016年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1、A
2、B
3、D
4、C
5、A
6、D
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7、1275 8、1 9、6 10、13
三、解答题（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，共70分）
11、若关于x 的方程01)32()23(=-++++x n x m x 有无数多个解，求n m ,的值． 解：原方程整理得：0132)123(=-++++n m x n m ， ………………5分
由题意有：⎩
⎨⎧=-+=++01320123n m n m ，………………………………………15分 解得⎩⎨⎧=-=1
1n m . ………………………………………………………20分 12、已知实数a 、b 、c ，满足0≠abc 且0))((4)(2=----b a c b c a ，求
b c a +的值． 解：因为222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+--+-=-+- （1）……5分
222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+----=--- （2）…………10分
（1）-（2）得))((4)]()[()]()[(22b a b c b a b c b a b c --=-----+-
即：))((4)()2(22b a c b a c b c a ---=---+
故0)2())((4)(22=-+=----b c a b a c b a c ， …………………20分 即02=-+b c a ，故2=+b
c a . …………………………………………25分 13、已知如图，在△ABC 中，C B ∠=∠2，且BD AB AC +=， 求证：AD 是BAC ∠的平分线.
证明1：
延长AB 至G ，使BD BG =，则AC BD AB BG AB AG =+=+=， 所
以ACG AGC ∠=∠； ………………………………5分 又BDG BGD ∠=∠，所以ACB ABC AGD ∠=∠=∠21， 故DCG ACB ACG BGD AGC CGD ∠=∠-∠=∠-∠=∠； 所以DC DG =； …………………15分 又AD 是公共边，
所以△AGD ≌△ACD ， …………………20分 所以CAD GAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.…………………25分
证明2：作ABC ∠的平分线交AC 于E ，过D 作BE 的平行线交AC 于F ，交AB 的延长线于G ，则：
因为C ABC ∠=∠2，DF 平行BE ，所以FDC C EBC ∠=∠=∠， 所以FD FC =，且ABC FDC C AFD ∠=∠+∠=∠…………5分 又BDG FDC C ABC ABE AGD ∠=∠=∠=∠=∠=∠21， 所以BG BD =，所以AC BD AB BG AB AG =+=+=， …………10分 又ABC AFG C G ∠=∠∠=∠,，所以△AFG ≌△ABC ， …………………15分 所以AB AF =，DB FC DF ==， …………………20分 所以△ABD ≌△AFD ，故FAD BAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.……25分。