三角形知识点及其配套练习题
认识三角形(练习题)
认识三角形一、知识点梳理1、三角形的有关概念(1）三角形的定义：由不在上的三条线段首尾相连所组成的图形。
(2）三角形的基本构造:①组成三角形的三条线段叫做三角形的②两条边相接的点叫做三角形的③相邻两边组成的角叫做三角形的2、三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和第三边（2）三角形任意两边之差第三3、三角形的角平分线、中线、高（1）、在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做（2）、在三角形中，的线段,叫做这个三角形的中线。
（3）、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，之间的线段叫做三角形的高。
4：三角形按角分类⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形直角三角形钝角三角形5、三角形内角和与外角和定理(1）三角形三个内角的和等于180（2）直角三角形两锐角互余.（3）三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。
（4)三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
（5)三角形三个外角的和等于360。
6：认识直角三角形：直角三角形的表示方法、性质：直角三角形两锐角互余。
二、经典例题例1、下面各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能组成三角形。
( ）（1）1 ；4 ；5 （2)3 ；3 ；5w（3）3x ；5x ；7x（x为正数) （4)三条线段长度之比为4：7：6..例2、 小明要制作一个三角形铁丝架，已知有两根铁丝长度分别是3cm ，5cm（1） 他该如何选择第三根铁丝？你能帮助小明确定它的长度或范围吗? （2） 如果要求第三根铁丝的长度是整数，那么小明有几种选择？例3、 如图所示,在小河的同侧有A,B,C 三个村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A 村送信到B 村，总是走经过C 村的道路,不走经过D 村的道路，这是为什么呢？ 请利用你所学的数学知识加以证明。
拓展：1、若设,,a b c 是△ABC 的三边，则a b c a b c +++--= 2、已知,,a b c 是△ABC 的三边，2,5a b ==，且三角形的周长是偶数,（1）求c 的值;（2）判断△ABC 的形状。
四年级三角形专题训练
四年级三角形专题训练一、三角形的认识基础题。
1. 由三条（）围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
- 答案：线段。
- 解析：三角形的定义就是由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。
2. 三角形有（）条边，（）个角，（）个顶点。
- 答案：3，3，3。
- 解析：这是三角形的基本特征，三条边、三个角和三个顶点。
3. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（）。
- 答案：高。
- 解析：这是三角形高的定义，三角形的高是从一个顶点向对边作的垂线段。
4. 一个三角形有（）条高。
- 答案：3。
- 解析：因为三角形有三个顶点，过每个顶点都可以作对边的高，所以一个三角形有3条高。
二、三角形的分类题。
5. 三角形按角分类可以分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。
- 答案：锐角、直角、钝角。
- 解析：锐角三角形是三个角都是锐角（小于90°）的三角形；直角三角形是有一个角是直角（等于90°）的三角形；钝角三角形是有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。
6. 一个三角形中最大的角是89°，这个三角形是（）三角形。
- 答案：锐角。
- 解析：因为最大角是89°，小于90°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。
7. 一个三角形中至少有（）个锐角。
- 答案：2。
- 解析：直角三角形有2个锐角，钝角三角形也有2个锐角，锐角三角形有3个锐角，所以一个三角形至少有2个锐角。
8. 等腰三角形的两腰（），两个底角（）。
- 答案：相等，相等。
- 解析：这是等腰三角形的重要特征，两腰长度相等，两底角的度数相等。
9. 等边三角形的三条边（），三个角也（），每个角都是（）度。
- 答案：相等，相等，60。
- 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，根据三角形内角和是180°，三个角相等，所以每个角都是180°÷3 = 60°。
八年级上册第一章三角形整章复习知识点和对应练习
T ——三角形一、知识梳理：专题一：三角形有关的线段；专题二：三角形有关的角；专题三：多边形及其内角和.二、考点分类专题一：三角形有关的线段考点一：三角形的边1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．2.三角形分类：（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 3．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【例1】【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cm ；B ．5cm ，6cm ，10cm ；C ．1cm ，1cm ，3cm ；D ．3cm ，4cm ，9cm 解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11 ；B ．4＜x ＜7 ；C ．－3＜x ＜11 ；D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x ＜11.故选A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．【类型三】等腰三角形的三边关系已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．考点二：三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．【例2】探究点一：三角形的高【类型一】三角形高的画法画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解：过点C 作边AB 的垂线段，即画AB 边上的高CD ，所以画法正确的是D.故选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【类型二】 根据三角形的面积求高如图所示①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值为________．解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．① ② ③ ④ 探究点二：三角形的中线【类型一】 应用三角形的中线求线段的长如图②在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图③，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点三：三角形的角平分线如图④，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数．解析：根据AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，得出∠BAD ＝30°，再利用CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数．解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°.方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．考点三：三角形的稳定性【例3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n 边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n 边形的一个顶点可以作(n －3)条对角线，把多边形分成(n －2)个三角形，所以，要使一个n 边形木架不变形，至少需要(n －3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．专题二：三角形有关的角考点四：三角形的内角1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余【例4】探究点一：三角形的内角和【类型一】 求三角形内角的度数已知，如图①，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，若∠A ＝46°，∠D ＝50°.求∠ACB 的度数．① ② 解析：在Rt △DFB 中，根据三角形内角和定理，求得∠B 的度数，再在△ABC 中求∠ACB 的度数即可．解：在△DFB 中，∵DF ⊥AB ，∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝40°.在△ABC 中，∵∠A ＝46°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°. 方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．【类型二】 判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用如图②，在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数．解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝180°－90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15°.方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．探究点二：直角三角形的性质【类型一】 直角三角形性质的运用如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF ，再根据三角形的内角和定理求出∠C ＋∠DBC ＝∠F ＋∠DEF ，然后求解即可．解：∵CE ⊥AF ，∴∠DEF ＝90°，∴∠EDF ＝90°－∠F ＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C ＋∠DBC ＋∠CDB ＝∠F ＋∠DEF ＋∠EDF ，∴30°＋∠DBC ＝40°＋90°，∴∠DBC ＝100°.方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．考点五：三角形的外角1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．【例5】探究点：三角形的外角【类型一】 应用三角形的外角求角的度数如图所示，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP ＝30°，求∠A 的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC ＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋50°＝110°，∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠1＝12∠ACD ＝55°，∠2＝12∠ABC ＝25°.∵∠E ＋∠2＝∠1，∴∠E ＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E ＝12∠A ； (3)∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2＝12∠CBD ，∠4＝12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠2＝12(∠A ＋∠ACB )，∠4＝12(∠A ＋∠ABC )．∵∠E ＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E ＋12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝180°，即∠E ＋12∠A ＋12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC )＝180°.∵∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴∠E ＋12∠A ＝90°. 方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E ＝12∠A ；图②中，∠E ＝90°－12∠A .考点六：多边形及其内角和多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形． 多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n －2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.(3).正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n ，外角的度数为360°n. 【例6】探究点一：多边形的概念【类型一】 多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D 的图形不是凸多边形．故选D. 方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】 确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A. 方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】 确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n 边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C. 方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．探究点一：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．。
初二数学八上三角形所有知识点总结和常考题型练习题
三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示:三角形用符号“△"表示,顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系:（1)三角形的任意两边之和大于第三边.（2)三角形的任意两边之差小于第三边。
(3)作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系：(1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类:（1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段:(1）三角形的角平分线:定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部.（2）三角形的中线：定义:在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.性质:三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线:定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质:三角形的三条高所在的直线交于一点。
锐角三角形的三条高线的交点在它的内部;直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积：三角形的面积=×底×高二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
解三角形知识点总结及典型例题
因为 ，所以
[例2 ] 若 、 、 是 的三边， ，则函数 的图象与 轴( )
A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点
【解析】由余弦定理得 ，所以 = ，因为 1,所以 0，因此 0恒成立，所以其图像与 轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A、 ， ， ；B、 ， ， ；
C、 ， ， ；D、 ， ， 。
题型3 面积问题
[例4] 的一个内角为 ，并且三边构成公差为 的等差数列，则 的面积为
【解析】设△ABC的三边分别： ，
∠C=120°，∴由余弦定理得： ，解得： ，
∴ 三边分别为6、10、14，
.
题型4 判断三角形形状
[例5] 在 中，已知 ,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：
由正弦定理，即知
由 ，得 或 ,
即 为等腰三角形或直角三角形.
方法二：同上可得
由正、余弦定理，即得：
即
或 ,
即 为等腰三角形或直角三角形.
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在 中， 分别为角 的对边，且 且
（1）当 时，求 的值；
（2）若角 为锐角，求 的取值范围。
三角形知识点与对应习题资料
三角形知识点与对应习题一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．六、多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°与三角形有关的线段一、选择题：1.如图,在△ABF中，∠B的对边是（）A.ADB.AEC.AFD.AC2.关于三角形的边的叙述正确的是（）A.三边互不相等B.至少有两边相等C.任意两边之和一定大于第三边D.最多有两边相等3.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A.3cm, 4cm, 8cmB.8cm, 7cm, 15cmC.13cm, 12cm, 20cmD.5cm, 5cm, 11cm4.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( )A.13B.17C.13或17D.不能确定5.在平面直角坐标系中，点A（-3，0），B（5，0），C（0，4）所组成的三角形ABC的面积是（）A.32B.4C.16D.86.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A.3B.5C.7D.97.下列说法错误的是( ).A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点8.给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。
三角形基础知识及习题
三角形基础知识及习题三角形是几何学中最基本的图形之一，其基础知识对于学习几何学和解决几何问题至关重要。
本文将介绍三角形的基本定义、分类和性质，并提供一些习题供读者练习。
一、三角形的定义和分类1. 定义：三角形是由三条线段（边）所围成的图形。
三角形的三个顶点（角）和三个边缘（边）都相互连接。
2. 分类：根据三个角的大小，三角形可以分为三种类型：a. 锐角三角形：三个角都小于90度。
b. 直角三角形：其中一个角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个角大于90度。
二、三角形的性质1. 角度和：三角形的三个角的角度和总是等于180度。
无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，其内角之和都是180度。
2. 边长关系：a. 等边三角形：三个边的长度都相等。
b. 等腰三角形：两个边的长度相等。
c. 直角三角形：满足毕达哥拉斯定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 角度关系：a. 锐角三角形：三个角都是锐角。
b. 直角三角形：其中一个角是直角。
c. 钝角三角形：其中一个角是钝角。
三、三角形的习题下面是几个关于三角形的习题，供读者练习运用三角形的基础知识与技巧。
1. 题目：已知三角形的两边长分别为5厘米和8厘米，夹角为60度，求第三条边的长度。
解法：利用余弦定理，可以得到第三条边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
带入数值计算得到c≈7.53厘米。
2. 题目：在直角三角形ABC中，AB = 3厘米，BC = 4厘米，求AC的长度。
解法：根据毕达哥拉斯定理，可以得到AC的长度：AC^2 =AB^2 + BC^2。
带入数值计算得到AC = 5厘米。
3. 题目：已知三角形的两边长分别为6厘米和8厘米，以及夹角为30度，求第三条边的长度。
解法：利用正弦定理，可以得到第三条边的长度：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
带入数值计算得到第三条边的长度约为7.61厘米。
4. 题目：在锐角三角形ABC中，AB = 7厘米，BC = 9厘米，夹角为45度，求角度C的大小。
三角形 知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
初中三角形有关知识点总结及习题大全,带答案
11.（2010·兰州中考）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为．
【解析】过点E作EF⊥AF交AD的延长线于点F，过点D作DM⊥BC交BC于点M，因此四边形ABMD是矩形，则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM，从而△EDF≌△MCD,CM=EF,因为△ADE的面积为3，AD = 2，所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.
【解析】 ,由 得 =
答案：
9、（2009·怀化中考）如图，已知 ， ，要使 ≌ ，可补充的条件是（写出一个即可）．
【解析】如AE=AC或∠B＝∠D．
答案：AE=AC（答案不唯一）；
10、（2009·龙岩中考）如图，点B、E、F、C在同一直线上．已知∠A=∠D，∠B=∠C，要使
△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是（写出一个即可）．
A.20° B. 35° C. 45° D.55°
【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55º，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55º；
7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形
【解析】由EP平分∠AEF,∠PEF=30 得∠AEF=60 ，由A B//CD得∠EFC=120 ，由FP⊥EP得∠P=90 ，
数学中考三角形知识加例题（含答案）
a60第4题图题图NPOA三角形复习★知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
顺次相接组成的图形叫做三角形。
★知识点2.三角形的分类（1） 按角分类按角分类(2) 按边分类按边分类例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（么这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形、锐角三角形B 、直角三角形、直角三角形C 、钝角三角形、钝角三角形D 、正三角形、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。
答案B 练习：如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON ＝600，填空：，填空：（1）当OP ＝ 时，△AOP 为等边三角形；为等边三角形； （2）当OP ＝ 时，△AOP 为直角三角形；为直角三角形； （3）当OP 满足满足 时，△AOP 为锐角三角形；为锐角三角形； （4）当OP 满足满足 时，△AOP 为钝角三角形。
为钝角三角形。
答案：（1）a ；（2）a 2或2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2a或OP ＞a 2 ◆知识点3.三角形三条重要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点：握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点：三角形三角形锐角三角形锐角三角形 直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形三角形三角形 不等边三角形不等边三角形等腰三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角等边三角形等边三角形2A 1A 3题图题图DC B A（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。
解三角形知识点总结及典型例题
课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的正弦公式,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.2两角和与差的余弦公式,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ3两角和、差的正切公式tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!解三角形知识点总结及典型例题2+=(A x c恒成立，所以其图像与x轴没有交点。
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是=30A；︒B；=30︒S=ABC题型4 判断三角形形状5] 在【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
人教版八年级上册第十一章 三角形知识点复习及习题练习
第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。
2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。
边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。
夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。
练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。
（2）写出△ABD的三个内角。
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
解三角形知识点总结及典型例题
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式，sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B,sin( -a )=sin a cco $ a sin B ・2两角和与差的余弦公式，cos( a + B )=cos a -^os B sin B cos(诩)=cos a cos+sin a sin B3两角和、差的正切公式⑶ tan22ta n 1 tan 2默写上述公式，检查上次的作业 课本上的 !解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1、正弦定理及其变形(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式)(2) si nA —,si nB — ,si nC —(角化边公式)2R2R2R/、a sin A a sin Ab sin B(3) a:b: c sinA:sinB:sin C (4) — ---- ，一 ---- ,- ---课前复习⑴ sin22sin cos .1 si n22 2sincos 2 sin cos(sincos )22⑵ cos2 cos.2sin 22cos1 1 2si n 2升幕公式1 cosc 22cos —,1 cos2sin 2—2 2cos 2 1 . 2 1 cos2降幕公式cos 2sin2 2简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式: tan tantan( a +=B1 tan tan(tan ta n tan 1 tan tan )；tan( -B )=tan tan. ( tan1 tan tantan tan tan tan ).a b c sin A sin B sin C2R （R 为三角形外接圆半径）b sin Bc sin C c sin C2、正弦定理适用情况： (1) 已知两角及任一边(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知a , b 和A ,求B 时的解的情况： 如果si nA si nB ，则B 有唯一解；如果si nA si nB 1，贝U B 有两解; 如果sin B 1,贝U B 有唯一解；如果si nB 1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论4、 余弦定理适用情况：(1)已知两边及夹角；(2)已知三边.5、 常用的三角形面积公式6、三角形中常用结论二、典型例题 题型1边角互化2 ,2 2贝 U cosC = a---- —2ab因为0 C ，所以C(b 2 c 2 a 2)x c 2，则函数f(x)的图象与x 轴()2ab 22 c b 2 2 a 2a 2c2 c b 22bccosA2accosB2abcosC ■ 2 2 2A b c a cosA ------ 2bc s ^^\ c 2 b 2 co --_____z2ac … a b c cosC---------------- 2ab(1)S ABC (2 ) S ABC1 1底高 21 —absi nC 21 1bcsi nA easin B (两边夹一角) 2(1) a b c, ba,a b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) (2) 在 ABC 中， (3) 在厶 ABC 中,.A B Csin -------- cos , cos2 2BB CA B 2 b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边)，所以 sin (A B) si nC ; cos( A B) cosC ; tan(A B) tanC . .C sin —.2［例1 ］在ABC 中，若 【解析】由正弦定理可得sin A: sin B: sinC 3:5:7， a: b :c 3:5:7，,令 a 、b 、 则角C 的度数为c 依次为3、5、7，32 52 7 = 1 2 3 5 2 ABC 的三边，f(x) b 2x 2A 、有两个交点B 、有一个交点C 、没有交点D 、至少有一个交点【解析】由余弦定理得 b 2c 2a 22bccosA ，所以f(x) b 2x 2 2bccos Agx c 2 = (bx ccos A)2 c 2 c 2 cos 2 A ，因为 cos 2 A 1,所以 c 2 c 2 cos 2 A 0，因止匕 f(x) 0恒成立，所以其图像与 x 轴没有交点。
第七章《三角形》知识点归纳与练习
第七章 三角形知识点一： 三角形1、定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。
2、分类：（1）按角分：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形；（2）按边分：不等边三角形；等腰三角形；等边三角形；3、角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
4、中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
注意：三角形的角平分线、中线和高都有三条。
6、三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
7、三角形的内角：三角形的内角和等于180。
如图：180321=∠+∠+∠ 8、三角形的外角（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。
18041=∠+∠（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
324∠+∠=∠ （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4∠＞2∠或4∠＞3∠6、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。
（1）如图1：C △A BC =AB ＋BC ＋AC 或C △A BC = a ＋b ＋c 。
四个量中已知其中三个能求第四个。
（2）如图2：AD 为高，S △ABC =·BC ·AD三个量中已知其中两个能求第三个。
（3）如图3：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，则有：4321S △ABC =·AB ·CD=·AC ·BC 即：AB ·CD=AC ·BC四条线段中已知其中三条能求第四条。
知识点二：多边形及其内角和1、n 边形的内角和=()2180-⨯n ；2、n 边形的外角和=360。
3、一个n 边形的对角线有()23-n n 条，过n 边形一个顶点能作出()3-n 条对角线，把n 边形分成了()2-n 个三角形。
(完整版)小学三角形知识点及配套练习题
概念：按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（其他两个角必定是锐角）有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
（其他两个角必定是锐角）每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)等边三角形是特殊的等腰三角形。
练习一、选择1、两个三角形有（）几条边。
A、1B、3C、62、一个直角三角形一定也是（）。
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形3、所有的等边三角形都是（）三角形。
A、锐角B、钝角C、直角二、填空.1、三角形有（）条边，（）个角。
2、等边三角形的三条边（）。
3、按照三角形中角的不同可以把三角形分为（）三角形，（）三角形和（）三角形。
4、一个三角形中至少有（）个锐角。
5、用长分别是5厘米、7厘米和（）厘米的三根小棒一定能摆出一个三角形。
三、判断题。
（正确的画“√”，错误的画“×”）1、等边三角形也叫正三角形。
……………………………………………（）2、等腰三角形可以是直角三角形。
………………………………………（）3、所有的等边三角形都是等腰三角形。
………………………（）4、三角形任意两边的和大于第三边。
……………………………（）5、一个三角形可能有两个钝角。
………………………………（）四、按要求做一做。
1、是三角形的打“√”，不是三角形的画“X”。
（）（）（）（）（）2、在能拼成三角形的小棒下面画“√”。
（单位：厘米）（）（）（）3、按要求分一分。
锐角三角形有（）钝角三角形有（）直角三角形有（）等腰三角形有（）4、下面是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？。
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【三角形】
1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法。
3、三角形的特性：1、物理特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、边的特性：任意两边之和大于第三边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
6、三角形的分类：
按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形
7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（其他两个角必定是锐角）
9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
（其他两个角比定是锐角）
10、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)
12、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)
13、等边三角形是特殊的等腰三角形
14、三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°
15、图形的拼组：用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大
等腰三角形。
18、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
19、密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。
课堂巩固练习
一、用心选一选。
1、一个三角形有（）条高。
A、1
B、3
C、无数
2、如果直角三角形的一个锐角是20°，那么另一个角一定是（）。
A、20°
B、70°
C、160°
3、自行车的三角架运用了三角形的（）的特征。
A、稳定性
B、有三条边的特征
C、易变形
4、所有的等边三角形都是（）三角形。
A、锐角
B、钝角
C、直角
5、在一个三角形中，∠1=120°∠2=36°，∠3=（）
A、54°
B、24°
C、36°
二、填空.
1、三角形有（）条边，（）个角，（）个顶点。
三角形的内角和是（）。
2、等边三角形的每一个内角是（）度。
3、一个等腰三角形的顶角是700，它的一个底角是（）。
4、按照三角形中角的不同可以把三角形分为（）三角形，
（）三角形和（）三角形。
5、一个三角形中至少有（）个锐角。
6、等腰三角形的一个底角是400，它的顶角是（）度。
7、一个直角与一个锐角的和一定是一个（）角。
8、在一个三角形中，∠1＝42°，∠2＝29°，∠3＝（）。
这是一个（）三角形。
9、在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是
（）三角形，又是（）三角形。
10用长分别是5厘米、7厘米和（）厘米的三根小棒一定能摆出一个三角形。
三、判断题。
（正确的画“√”，错误的画“×”）
1、等边三角形也叫正三角形。
……………………………………………（）
2、等腰三角形可以是直角三角形。
………………………………………（）
3、所有的等边三角形都是等腰三角形。
………………………（）
4、一个顶角是80度的等腰三角形，一定是一个钝角三角形。
……（）
5、三角形任意两边的和大于第三边。
……………………………（）
6、任何两个相同的三角形都能拼成一个四边形。
………………（）
7、锐角三角形都有三条高。
…………………………………………（）
8、一个三角形可能有两个钝角。
………………………………（）
四、按要求做一做。
1、是三角形的打“√”，不是三角形的画“○”。
（）（）（）（）（）2、在能拼成三角形的小棒下面画“☆”。
（单位：厘米）
（）（）（）
3、按要求分一分。
锐角三角形有（）钝角三角形有（）
直角三角形有（）等腰三角形有（）
4、画出下面每个三角形底边上的高。
5.在点子图上画出一个等腰三角形、一个直角三角形和一个等边三角形。
五、求出三角形各个角的度数。
6、下面是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？
7.解决问题
1、你能解释为什么吗？
2、等腰三角形的周长是40厘米，它的一条腰长12厘米，那么，它的底边长多少厘米？
3、从学校到少年宫有几种走法？哪条路最近？为什么？
4、一个一块等腰三角形广告牌，它的一个底角是65°，它的顶角是多少度？。