必修2期末复习-专题六 (7)

由a3＝a1q2 ＝4a1 =2, 得a1＝
例5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn, S3, S9 ,S6.成等差数 列，求证a2, a8, a5 成等差数列.
证明： S3, S9 ,S6.成等差数列 S3＋S6=2S9,
若q=1:
S3=3a1,
S6=6a1,
S9=9a1,
S3＋S6≠2S9
q 1;
lg 2(1 2 ) n 2n 1 (2 1)lg 2 lg 2 1 2
n
Tn 2
2n 1
.
数列{lg(1＋an)}是首项lg2, 公比2的等比数列。
例8. 等差数列{an}的各项为正数a1=3,前n项和为Sn,数 列{bn}为等比数列,b1=1, b2S2=64, b3S3=960, 1 1 1 (1)求an和bn; （） 2 求和： ... S1 S2 Sn
(2) Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| Sn=a1+a2+a3+…+an
2 n 9 : Tn -a1 - a2 ... - an - Sn -n 18n
19 an 2n -19 0得：n 2
n 10 : Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
(2) Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| Sn=a1+a2+a3+…+an
2 n 9 : Tn -a1 - a2 ... - an - Sn -n 18n
19 an 2n -19 0得：n 2
n 10 : Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
a1 (1 q 3 ) a1 (1 q 6 ) 2a1 (1 q 9 ) 1 q 1 q 1 q 1 q3 1 q 6 2 2q9
q q 2q
3 6
9
q0
1 q3 2q6
a1q a1q4 2a1q7
a2＋a5=2a8
例6. 各项非零的数列{an},a1=1, 2Sn2=2anSn－an.
∴ q=8,
例10.已知数列{an}的通项公式为an=2n－19
(1)求数列{an}的前n项和Sn及Sn最小值 ;
(2)求数列{|an|}的前n项和公式Tn;
解： (1) an 2n -19,
数列{an}是等差数列
n(-17 2n - 19) 2 a1 -17, Sn n -18n; 2 当n=9时, ( Sn )min 92 -18 9 81.
an=a1＋(n－1)d =3＋(n－1) ×2 =2n＋1, bn=8n-1 n(a1 an ) n(3 2n 1) n( n 2) (2) Sn 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ( ) Sn n( n 2) 2 n n 2 S1 S2 Sn
1 Sn 2n 1
1 是首项为 Sn
1， 公差为2的等差数列,
例6. 各项非零的数列{an},a1=1, 2Sn2=2anSn－an.
1 (1)求证数列{ }是等差数列；并求Sn; Sn
(2)求数列{an}的通项公式an. (2):当n=1: 当n>1: a1=1,
-n2 18n
( n 9)
Tn=
n -18n 162 ( n 10)
2
2 n 9 : Tn -a1 - a2 ... - an - Sn -n 18n
本节课到此结束，请同学们课 后再做好复习与作业。谢谢！
再见!
好好学习 天天向上
D78∶71
21(a1 a21 ) S21 a11 2a11 a1 a21 2 = 21(b b ) T21 b11 2b11 1 21 b1 b21 2 7 21 1 148 4 a n S 2 n -1 4 21 27 111 3
bn
T2 n -1
S200 200(a1 a200 ) 2
=100
例4. 已知正项递增等比数列{an}中, a1a5＋2a2a6＋a3a7=100, a2a4－2a3a5＋a4a6＝36, 求数列{an}的通项an和前n项和Sn. 法一：∵a1a5 ＝a2a4＝a32, a2a6 ＝a3a5, a3a7 ＝a4a6＝a52
1 (1)求证数列{ }是等差数列；并求Sn; Sn
(2)求数列{an}的通项公式an. 证明: 2Sn2=2an Sn－an
an=Sn－Sn－1 (n>1)
2Sn2 =2(Sn－Sn－1)Sn －(Sn－Sn－1) 2Sn2=2Sn2－2Sn－1Sn－Sn＋Sn－1 Sn－1－Sn =2Sn－1Sn 1 1 1 1 (n 1) 2 ==2 常数 S n S n 1 Sn
-a1 - a2 ... - a9 a10 ... an
-2a1 - 2a2 ... - 2a9
Sn n2 -18n;
(a1 a2 ... a9 a10 ... an )
2 2 ( n -18n) -2(9 18 9) 2S9 Sn n2 -18n 162.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 n1 n1 2 n n 2
3n2 5n 1 1 1 1 . (1 ) d=2, 4(n 1)(n 2) 2 2 n1 n 2
解:设{an}的公差为d, b2S2=64 b3S3=960 设{bn}的公比为q,
q (6＋d ) =64
q2 (9＋3d ) =960
q2(6＋d )2 =642
15
5(6＋d )2 =64(3＋d )
15(6＋d )2 =64(9＋3d )
-a1 - a2 ... - a9 a10 ... an
-2a1 - 2a2 ... - 2a9
Sn n2 -18n;
(a1 a2 ... a9 a10 ... an )
2 2 ( n -18n) -2(9 18 9) 2S9 Sn n2 -18n 162.
5d 2 ＋60d＋180
=64d ＋192 ∴ q=8,
5d
2 －4d－12=0
6 d=2, d (舍) 5
例8. 等差数列{an}的各项为正数a1=3,前n项和为Sn,数 列{bn}为等比数列,b1=1, b2S2=64, b3S3=960, 1 1 1 (1)求an和bn; （） 2 求和： ... S1 S2 Sn
专题十 等差(比)数列
期末复习
例1. 已知等差数列{an}中, 3(a3＋a5) ＋2(a3＋a7＋a11)=24,则{an}的前10项和是( B ) A.15 B.20 C.25 D.30
3(a3＋a5) ＋2(a3＋a7＋a11)=24 3(a4＋a4) ＋2(a7＋a7＋a7) =24 6a4 ＋6a7 =24 a4＋a7=4
an=Sn－Sn－1 (n>1)
1 1 a n =S n － S n － 1 2n 1 2(n 1) 1 2 (2n 1)(2n 3)
1 an -2 (2n -1)(2n 3)
n1 n2
1 Sn 2n 1
例7 (P82:16T). 已知a1=1,点(an ,a n＋1)在函数f(x)=x2＋2x的 图像上，n∈N*. (1)求证:数列{lg(1＋an)}是等比数列; (2)若Tn=(1＋a1)(1＋a2) …(1＋an),求Tn及数列{an}的通项 公式. 解(1): 点(an ,a n＋1)在函数f(x)=x2＋2x的图像上, a n＋1= an 2 ＋2an
例3、①数列 中，an=an-1+
前n项和Sn=－
1 d 2
15 2
1 2
(n≥2)，an=
， n＝
3 2
,
。
, 则a1＝
3 an 2
15 Sn 2
1 3 a1 ( n 1) 2 2 n( n 1) 1 15 na1 2 2 2
n 2a n2 a 1 14 1 3
an ＋ 1 2
2n1
an 2
2n1
1.
数列{lg(1＋an)}是首项lg2, 公比2的等比数列。
例7 (P82:16T). 已知a1=1,点(an ,a n＋1)在函数f(x)=x2＋2x的 图像上，n∈N*. (1)求证:数列{lg(1＋an)}是等比数列; (2)若Tn=(1＋a1)(1＋a2) …(1＋an),求Tn及数列{an}的通项 公式. 解(2): Tn=(1＋a1)(1＋a2) …(1＋an) lgTn=lg(1＋a1)(1＋a2) …(1＋an) =lg(1＋a1) ＋lg(1＋a2) ＋…＋lg(1＋an )
a32 +2a3a5 +a52=100 a32 －2a a +a52=36 3 5
a3=2, a5=8,
(a3+a5)2=100 (a3－a5)2=36
2
a3＋a5=10 a3－a5=－6
a5 a3 q
q2＝4, ∵q>0, ∴q＝2,
1 , 2
1 n (1 2 ) 1 1 n1 an a1q 2 n 1 2n 2 , Sn 2 (2n 1). 2 2 1 2
a n＋ 1 ＋ 1 = a n 2 ＋ 2 a n ＋ 1 a n＋1 ＋1=( an ＋1 )2