高中数学经典教案1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
高中数学1.4.2正弦、余弦函数的性质1教学设计
正弦、余弦函数的性质1教学设计一、教学目标1、理解正弦函数与余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值；2、会求正弦、余弦函数相关函数的单调性，奇偶性、单调区间和最值；3、进一步培养学生数形结合思想二、新课讲解1、周期函数的概念由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律的理论依据为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函数的最小正周期是多少？ 正、余弦函数是周期函数，2k π〔k ∈Z, k ≠0〕都是它的周期，最小正周期是2π2、求以下函数的周期sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈一般地：函数和 最小正周期都是 ，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用.其周期仅与x 的系数有关。
3、试一试：直接用公式，求以下函数的三、探究新知: 正弦、余弦函数的性质1、正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性()()()()13cos ;2sin 2;32sin ;264sin ;y x x R y x x Rx y x R y x x R π=∈=∈⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭=∈sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+(0,0)A ω≠≠2πω()()()()12sin 2422cos 3f x x f x x πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2、正弦、余弦函数的最值3、正弦、余弦函数的性质〔奇偶性〕3、正弦、余弦函数的奇偶性4、正弦函数的单调性5、余弦函数的单调性四、例题讲解:例1、求以下函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合：例2 比拟以下各组数的大小.x 2sin 2y 3x cos y -==⑵；⑴五、课堂小结:。
高中数学必修4教案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
高中数学优质教案2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、教学目标：知识与技能：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；过程与方法：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们感受研究和学习函数的一般方法，培养类比思想和抽象概括能力，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．二、重点难点重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用.三、教材与学情分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.创设情境思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．2.新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？ ⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质． 对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势． 对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(－∞，＋∞)〕． 对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明． ∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， ∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1. 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3 图4这个变化情况也可从下表中显示出来：就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ， ∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔． 讨论结果：①略． ②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1. ④单调性(略)． ⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变． 3. 应用示例例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么． (1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π.因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }．同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }．函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)．(2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向： 把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]．由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]，因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化． 当堂检测1．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2【解析】T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，可取θ＝π2.【答案】A2．求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间及单调递增区间．解：y ＝12sin(π4－2x 3)＝－12sin(2x 3－π4)．由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2，可得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，为单调减区间；由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2，可得3k π＋9π8≤x ≤3k π＋21π8(k ∈Z )，为单调增区间．所以原函数的单调减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )；原函数的单调增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z ). 六、课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．七、课后作业1.课时练与测2.课本习题A组3，B组3.3.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．八、教学反思1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．。
人教版高中数学高一A版必修4教学设计 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
教学设计1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质．正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．重点难点教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深入研究函数性质的思想方法．教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律．这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sin x又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上，来理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗？如果是，又是怎样周期性变化的？问题②阅读教材并思考：怎样从代数的角度定义周期函数？活动：教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现？再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的．通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数．怎样变化呢？从图1中也能看出是每隔2π就重复一次．对问题①，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一时很难回答．教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的？对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究．对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路．图1问题②，从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度．在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，k ∈Z .这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k >0时)或减少(k <0时)一个定值2k π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f (x )对于其定义域内的每一个值，都有：f (－x )＝－f (x )，那么f (x )叫做奇函数；f (－x )＝f (x )，那么f (x )叫做偶函数；f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是非零常数，那么f (x )叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映．讨论结果：①正弦函数、余弦函数是周期函数，每隔2π就重复一次．②略．定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义？并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期？活动：对问题①，学生一时可能难以理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )，那么T 就不是f (x )的周期．例如，分别取x 1＝2k π＋π4(k ∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2k π＋π4＋π2)≠sin(2k π＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f (x ＋120°)＝f (x )，所以120°不是f (x )的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一，例如2π，4π，6π，8π，……都是它的周期，有无穷多个，即2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f (x )的周期，那么对于任意的k ∈Z ，k ≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．讨论结果：①略．②定义法、公式法和图象法．应用示例思路1例1求下列函数的周期：(1)y＝3cos x，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(3)y＝2sin(x2－π6)，x∈R.活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．(1)因为3cos(x＋2π)＝3cos x，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢？让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x＋π)＝－3cos x≠3cos x，所以π不是周期．(2)教师引导学生观察2x，可把2x看成一个新的变量u，那么cos u的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u＋2π时，函数cos u的值重复出现，而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x 增加到x＋π且必须增加到x＋π时函数值重复出现．因为sin2(x＋π)＝sin(2x＋2π)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)因为2sin[12(x＋4π)－π6]＝2sin[(x2－π6)＋2π]＝2sin(x2－π6)．所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.解：(1)周期为2π；(2)周期为π；(3)周期为4π.点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到，f (x ＋T )＝f (x )中，T 是相对于自变量x 而言的，让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.可以按照如下的方法求它的周期： y ＝A sin(ωx ＋φ＋2π)＝A sin[ω(x ＋2πω)＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)． 于是有f (x ＋2πω)＝f (x )， 所以其周期为2πω.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y ＝sin x 的周期为2π. 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如例1中的第(3)小题：T ＝2πω＝4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法.例1判断函数f (x )＝2sin 2x ＋|cos x |，x ∈R 的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f (x ＋T )＝f (x )成立的T 的值．学生可能会很容易找出4π，2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cos x|＝f(x)．所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代等都代入试一试．实际上，在f(x)＝2sin2x＋|cos x|，x∈R 替后看看函数值变不变．为此需将π，π2中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期.知能训练课本本节练习解答：1．成立．但不能说12°是正弦函数的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立． 例如sin(20°＋120°)≠sin20°.点评：理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义．2．(1)8π3；(2)π2；(3)2π；(4)6π. 点评：利用周期函数的图象和定义求周期，体会周期与自变量x 的系数有关．3．可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域．点评：了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质．可让学生课堂讨论，然后归纳总结．课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些？〔周期函数的概念，最小正周期的定义，正弦、余弦函数的周期性，y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期〕．并思考总结本节都用了哪些数学方法？(观察与归纳，特殊到一般，定义法，数形结合，辩证的观点)作业1．课本习题 A 组3，B 组3.2．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么，以后有些题就会很难做．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律．让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势． 对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来：就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]． 当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }． 同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }． 函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)． 活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数， 所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数， 所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)． 点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判． 例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]． 由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z . 由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]， 因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]． 点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )． 点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( ) A ．[π2，π] B ．[0，π4] C ．[－π，0] D ．[π4，π2]活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的． 解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]． 取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]， 故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]． 点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函数取得最小值1.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第1课时) 精品教案
1.4.2正弦、余弦函数的性质
【课题】：正弦、余弦函数的性质（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1．正弦函数的图象 2．余弦函数的图象 二、过程与方法
1．会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象 2．用诱导公式画出余弦函数的图象
3．会用“五点法”画出正、余弦函数的图象 三、情感态度与价值观
1．培养学生的数形结合思想 2．渗透由抽象到具体的思想 3．使学生理解动与静的辩证关系 【教学重点】：正弦、余弦函数的周期性 【教学难点】：正、余弦函数周期性的理解与应用 【教学突破点】：通过观察函数图象，引导学生发现规律，突破教学难点。
【教法、学法设计】：多媒体辅助教学，启发引导教学；观察归纳法，小组讨论法。
【课前准备】：多媒体、实物投影仪 内容：正弦曲线和余弦曲线
– π 2π
2π- 2π
5π
π- 2π- 5π- O x y 1 1。
高中数学 必修四 教案：1.4.2正弦、余弦函数的性质
1.4.2正弦、余弦函数的性质 正弦、余弦函数的性质(一)教学过程： 一、复习引入：1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：正弦函数()s i n f x x=性质如下： （观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒ 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每–– π2π2π-2π5ππ-2π-5π-Ox y1 1-一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2、说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期） 从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3、例题讲解例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()26y x π=-，x R ∈．解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π． （3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626x x x πππππ-+=+-=-， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π． 练习1。
高中数学 (1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质)示范教案 新人教A版必修4[001]
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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课.思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始〞的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始〞的变化规律的.要求学生用日常语言表达这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始〞变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?问题②阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数?活动:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何表达在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何表达“周而复始〞的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.图1问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始〞的变化规律作出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如: sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z.这说明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ,它的函数值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念.如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值,都有:f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数;f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;f(x+T)=f(x),其中T是非零常数,那么f(x)叫做周期函数.从上述定义可以看到,函数的性质是对函数的一种整体考察结果,反映了同一类函数的共同特点,它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映.讨论结果:①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.②略.定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义?并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期?活动:对问题①,学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R)是周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别强调:(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时〞这句话,要特别注意“每一个值〞的要求.如果只是对某些x 有f(x+T)=f(x),那么T就不是f(x)的周期.例如,分别取x 1=2kπ+4π(k∈Z ),x 2=6π,那么由sin(2kπ+4π+2π)≠sin(2kπ+4π),sin(6π+2π)≠sin 6π,可知2π不是正弦函数的周期.又如s in(30°+120°)=sin30°,但不是对所有x 都有f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无穷多个,即2kπ(k∈Z ,k≠0)都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映,也可以从代数上给以证明:设T 是函数f(x)的周期,那么对于任意的k∈Z ,k≠0,kT 也是函数f(x)的周期.(3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函数f(x)=c(c 为常数,x∈R),所有非零实数T 都是它的周期,由于T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小值,即最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.(4)正弦函数中,正周期无穷多,2π是最小的一个,在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.对问题②,教师要指导学生紧扣定义,可先出一些简单的求周期的例子,如:假设T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…呢?怎样求?实际上,由于T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…也是它的周期.因为f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).这样学生就会明白,数学中的周期函数,其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数.讨论结果:①略.②定义法、公式法和图象法.应用示例思路1例1 求以下函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R ;(2)y=sin2x,x∈R ; (3)y=2sin(2x -6π),x∈R . 活动:教师引导学生紧扣定义,一切从定义出发来求.(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π). 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;(2)周期为π;(3)周期为4π.点评:通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关,关键是让学生认识到,f(x+T)=f(x)中,T 是相对于自变量x 而言的,让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R )的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期: y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x), 所以其周期为ωπ2.例如,在第(3)小题,y=2sin(21x-6π),x∈R 中,ω=21,所以其周期是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx 的周期为2π.根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T=ωπ2=4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法. 变式训练1.f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:因为5是函数f(x)在R 上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.奇函数f(x)是R 上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判断函数f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少?活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)成立的T 的值.学生可能会很容易找出4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.解:因为f(x+π)=2sin 2(x+π)+｜cos(x+π)｜=2sin 2x+｜cosx ｜=f(x).所以原函数是周期函数,最小正周期是π.点评:此题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期〞,那就要多加小心了.虽然将4π,2π带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x 以x+π代替后看看函数值变不变.为此需将π, 2π等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而π肯定是原函数的一个周期.变式训练1.求函数y=2sin31(π-x)的周期. 解:因为y=2sin 31(π-x)=-2sin(31x-3π), 所以周期T=6π.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2π.由于2π是它的一个周期,所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期.假设T 是正弦函数的周期,且0<T <2π,那么根据周期函数的定义,当x 取定义域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.令x=2π, 代入上式,得sin(2π+T)=sin 2π=1, 但sin(2π+T)=cosT,于是有cosT=1. 根据余弦函数的定义,当T∈(0,2π)时,cosT<1.这说明上述cosT=1是不可能的.于是T 必须等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.知能训练课本本节练习解答:1.成立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x 的一切值都成立. 例如sin(20°+120°)≠sin20°.点评:理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时〞的“每一个值〞的含义. 2.(1)38π; (2)2π; (3)2π; (4)6π. 点评:利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x 的系数有关.3.可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质,再利用函数的周期性,将所研究的性质扩展到整个定义域.点评:了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质.可让学生课堂讨论,然后归纳总结.课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些?〔周期函数的概念,最小正周期的定义,正弦、余弦函数的周期性,y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期〕.并思考总结本节都用了哪些数学方法?(观察与归纳,特殊到一般,定义法,数形结合,辩证的观点)作业1.课本习题 A 组3,B 组3.2.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.设计感想1.本节课的设计思想是:在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么,以后有些题就会很难做.通过探究让学生找出周期这个规律性的东西,并明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的广度.2.本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律.让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.3.根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解,多题合一,变式思考的训练,培养他们求同思维、求异思维能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性,鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线,观察它们的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么;③观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;④观察正弦曲线和余弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?(1)(2)图2活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,表达了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.对问题②,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕. 对问题③,学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,∴｜sinx ｜≤1,｜cosx ｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),(1)当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1. 对于余弦函数y=cosx(x∈R ),(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-2π,23π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来: x-2π … 0 … 2π … π … 23π sinx -1↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 就是说,函数y=sinx,x∈［-2,2］.当x∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].图5引导学生列出下表: x-π … -2π … 0 … 2π … π cosx -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2k π,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出:正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明?由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,余弦曲线还关于点(2π,0)对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.讨论结果:①略.②定义域为R .③值域为[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.④单调性(略).⑤奇偶性(略).当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线,所以它们的定义域相同,都为R ,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同;它们的周期相同,最小正周期都是2π;它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴.但是由于y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现,也是由于y 轴的位置改变,使增减区间的位置有所不同,也使奇偶性发生了改变.应用示例思路1例1 数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R ;(2)y=-3sin2x,x∈R .活动:通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质.容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.课堂上可放手让学生自己去探究,教师适时的指导、点拨、纠错,并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R 取得最大值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最大值的x 的集合{x|x=2kπ,k∈Z };使函数y=cosx+1,x∈R 取得最小值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最小值的x 的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z }.函数y=cosx+1,x∈R 的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z =2x,使函数y=-3sin Z ,Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是{Z |Z =-2π+2kπ,k∈Z }, 由2x=Z =-2π+2kπ,得x=-4π+kπ. 因此使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+kπ,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+kπ,k∈Z }. 函数y=-3sin2x,x∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设Z =ωx+φ化归为y=Asin Z +B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.例2 函数的单调性,比较以下各组数的大小: (1)sin(-18π)与sin(-10π);(2)cos(523π-)与cos(417π-). 活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较,充分利用学生的知识迁移,有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦或余弦,只需将角化为同一个单调区间内,然后根据单调性比较大小即可.课堂上教师要让学生自己独立地去操作,教师适时地点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:(1)因为2π-<10π-<18π-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π. 因为0<4π<53π<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cos 4π>cos 53π,即cos(523π-)<cos(417π-). 点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4π>0,cos 53π<0,显然大小立判. 例3 函数y=sin(21x+3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向:把21x+3π看成Z ,这样问题就转化为求y=sin Z 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令Z =21x+3π.函数y=sin Z 的单调递增区间是 ［2π-+2kπ,2π+2kπ］. 由-2π+2kπ≤21x+3π≤2π+2kπ,得35π-+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z . 由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是121-≤k≤125,由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3π］［-2π,2π］, 因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π］. 点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.思路2例1 求以下函数的定义域:(1)y=xsin 11+;(2)y=cosx . 活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图象,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.解:(1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x ｜x≠23π+2kπ,k∈Z }. (2)由cosx≥0,得2π-+2kπ≤x≤2π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为［2π-+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z ). 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果.本例分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.例2 在以下区间中,函数y=sin(x+4π4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］ 活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的. 解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在[2kπ-2π,2kπ+2π](k∈Z )上是递增的,故令2kπ-2π≤x+4π≤2kπ+2π. ∴2kπ-43π≤x≤2kπ+4π. ∴y=sin(x+4π)的递增区间是[2kπ-43π,2kπ+4π]. 取k=-1、0、1分别得[411π-,47π]、[43π-,4π]、[45π,49π], 对照选择肢,可知应选B.答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,假设此题运用对称轴方程求单调区间,那么是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出.解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( ) A.T=2,θ=2π B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2π 解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=2π. 答案:A。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)教案 新人教A版必修4(1)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)1.知识与技能(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义.(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期.(3)会判断三角函数的奇偶性.2.过程与方法让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性,并借助诱导公式一给予代数论证这一过程,使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法.3.情感、态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,激发学生学习数学的兴趣.重点:周期函数的定义,以及求函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的周期.难点:正弦函数和余弦函数的周期性,以及周期函数、(最小正)周期的意义.1.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lg x,设a=f,b=f,c=f,则()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b解析:a=f=f=f=-f,b=f=f=f=-f,c=f=f=f.∵当0<x<1时,f(x)=lg x,∴c<0,0<a<b.答案:D2.已知函数f(x)=sin,使f(x)的周期在内,求正整数k的最小值和最大值分别是多少?解:函数f(x)的最小正周期为,故,解得<k<9π,所以k的最小值为15,最大值为28.3.设有函数f(x)=a sin和g(x)=b cos(a>0,b>0,ω>0),若它们的最小正周期之和为,且f=g,f=--1,求这两个函数的解析式.解:∵f(x)的周期T1=,g(x)的周期T2=,∴T1+T2=.∴ω=2.∴f(x)=a sin,g(x)=b cos.又f=a sin a,f=a sin,g=b cos b,g=b cos=- b.又∵f=g,f=--1,∴有解得a=b=1.∴f(x)=sin,g(x)=cos.。
人教A版必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教案
------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------1．正弦函数、余弦函数的性质课题教课目标要点难点1． 4. 2五点法作正弦函数、余弦函数性质课型新讲课1.知识与能力目标(1) 理解余弦函数y=cosx 的图象可由正弦函数y=sinx的图象向左平移/2 获取；(2)认识正弦曲线、余弦曲线的观点；(3)掌握五点法作图；(4)能够运用图像变换画较复杂的图像。
2.过程与方法目标经过对余弦函数的图象和五点法的研究，让学生体验图象生成过程；在教师指引下的师生、生生沟通、合作与研究中，培育学生的察看能力、剖析能力与归纳能力，以及合情推理的能力，并获取成功体验，领会到数学知识运用的价值，3.感情态度价值观目标经历图象生成的过程，领会到数学学习的乐趣，感觉数学之美，培育学生学习数学的主动性和勇于研究的精神，增进学生学好数学的自信心。
1.要点：余弦函数的图像和五点法。
2.难点：余弦函数图象和五点法的研究过程温故知新上节课我们学习了作函数图像的方法：描点法、图像变换法察看y=Sinx ， x∈ [0 ， 2π ] 的图象，在作图连线过程中起要点作用的是哪几个点？可否利用这些点作出正弦函数的简图？教师活动-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------问题 1：同学们，上节课我们学习了正弦函数的图像，它的图像是如何的呢？还记得是用什么方法画出来的吗？（与学生一同回首正弦函数图像的作法，并在黑板上一步一步演示正弦函数的图像，如图1）图 1问题 2：我们学了指数函数、对数函数、幂函数和正弦函数等的图像，想不想学余弦函数的图像呢？板书课题：余弦函数的图像和五点法（二）层层递进，研究新知（估计24 分钟）1. 研究余弦函数的图像（估计10 分钟）问题 3：要画余弦函数的图像，能够类比正弦函数图像的作法，能够想到什么方法呢？（余弦线的方法）问题 4：可是余弦线的方法有点繁琐，有没有比较简易的方法呢？问题 5：回忆引诱公式，正弦和余弦有什么等量关系呢？能不可以把它们列出来呢？（如：sin x=cos(- x)，cos x=sin(- x)，sinx=-cos(+x)，cos x=sin(+x) ，sin x=-cos(- x)，cos x=-sin（- x））问题 6：最好采纳哪一条公式来推出余弦函数的图像呢？为何？（指引学生自己先思虑，再与其余同学进行沟通和议论， 5 分钟后，请同学来分享成就，教师作评论。
1.4.2正弦函数余弦函数的性质说课稿
∴该函数既是奇函数，又是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵函数 y＝x2，y＝cos x 的图象都关于 y 轴对称， 则 x2≠cos x 的解集关于原点对称， ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间， 又 f(－x)＝－－xx22＋－ccooss －－xx＝xx22－＋ccooss xx＝f(x)， ∴该函数是偶函数． (3)由1co－s cxo－s 1x≥≥00，， 得 cos x＝1，故 f(x)＝0， ∴函数 f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1既是奇函数也是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法三：观察法(图象法)． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法 求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同 名同角三角函数，且函数的次数为 1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法 (1)把 ωx＋φ 看成一个整体，由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π(k∈Z) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ ＋32π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减区间． (2)在求函数 y＝Asin (ωx＋φ)或 y＝Acos (ωx＋φ)的单调区间时， 当 ω<0 时，必须利用诱导公式转化成－ω>0 后再进行求解．
y∈[－1,1] 2π
y∈[－1,1] 2π
奇偶性
奇函数
偶函数
在[2kπ－π，2kπ]
单调性 在2kπ－2π，2kπ＋2π(k∈Z)上递增； (k∈Z) 上递增；
在2kπ＋2π，2kπ＋32π(k∈Z)上递减
(人教高中课标必修四精品教案)1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学目的：1、掌握正弦函数和余弦函数的性质；2、会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3、了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。
教学重点、难点重点：正、余弦函数的性质难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2.正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： （0，0） （2π，1） （32π，-1） （2π，0）余弦函数y=cosx x ∈[0，2π]的五个点关键是（0，1） （2π，0） （π，-1）（32π，0） （2π，1）二、讲授新课：1．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sinx ，x ∈R y ＝cosx ，x ∈R2．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。
其中正弦函数y=sinx,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。
②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1。
而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。
②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1。
3．周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)≠f (x0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。
高中数学 1.4.2(第一课时)《正弦函数、余弦函数的性质——余弦函数的图象及性质》教案人教版必修4
(第一课时)余弦函数的图象及性质一、教学目标1.知识目标〔1〕学会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函数的图象；〔2〕根据余弦函数图象的特征，结合正弦函数的性质学习余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2、能力目标〔1〕让学生进一步学会作图；〔2〕引导学生利用类比的思想分析同类函数的图象与性质；〔3〕培养学生独立研究问题，提炼性质的能力。
3、情感目标〔1〕渗透数形结合的数学思想；〔2〕培养学生静与动的辨证思想；〔3〕培养学生欣赏数学美的素质。
二、教学重、难点重点：本节内容旨在利用正弦函数的特征来学习余弦函数的图象、性质，引导学生学会应用旧知解决新问题。
难点：从正弦函数到余弦函数的变换；学生自主探究余弦函数性质。
三、教学方法结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。
适当借助多媒体等教学辅助手段。
四、教学过程复习引入1、正弦函数的图象——解决的方法：用单位圆中的正弦线〔几何画法〕。
2、“五点描图法〞作图。
3、)2sin(cosπ+=xx1、教师提问，学生回答；2、学生在草稿纸上推理。
1、引导学生复习巩固“五点描图法〞作图；2、回顾诱导公式；3、回顾平移。
概念形成1、利用五点描图法画出]2,0[),2sin(ππ∈+=xxy的图象。
2、图象向两边延伸于是得到余弦函数的图象。
余弦函数xy cos=的图象叫做余弦曲线。
通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：(0，1)，(2π，0)、(π，－1)，(23π，0)，(2π，1).3、类比正弦函数的性质及余弦函数的图象，得余弦函数图象的性质：1、学生自己动手描点作图，请1到两个学生到黑板上演排；2、引导学生观察图形的特征，并提炼出特征；3、教师给出启发，诱导学生类比正弦函数的性质，得到1、培养学生动手作图的能力；2、培养学生观察能力和总结问题的能力；3、培养学生类比得结论的能力；(1) 定义域：y =cos x 的定义域为R (2) 值域：①引导回忆单位圆中的三角函数线，结论： |cos x |≤1 〔有界性〕再看正弦函数线〔图象〕验证上述结论：值域为[－1，1] ②对于y =cos x 当且仅当x =2k k Z 时y ma x =1当且仅当x =2k +k Z 时y min =－1③观察R 上的y =cos x 的图象可知当2k－2π<x <2k +2π(k Z)时y =cos x >0当2k +2π<x <2k+23π(k Z)时y =cos x <0(3).周期性： 〔观察图象〕①余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；②规律是：每隔2重复出现一次〔或者说每隔2k ,k Z 重复出现〕 ③这个规律由诱导公式 cos(2k +x )=cos x 也可以说明余弦函数的最小正周期是T =2π. (4). 奇偶性由诱导公式:cos(－x )=cos x 得余弦函数是偶函数。
高中数学新人教版A版精品教案《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》
高一数学人教A版必修四正弦函数、余弦函数的性质（二）长春汽车经济技术开发区第三中学孙佳欣一、教材分析对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与质因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究学生已经有些经验了其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法这也是数形结合思想方法的应用由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可二、教学目标1基础目标：借助图象理解正弦函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间2提高目标：体会数形结合思想及整体换元思想．三、教学重点通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质四、教学难点整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法五、教学资源微课预习、多媒体教学六、教学过程（一）复习引入，展示目标1、正、余弦函数图象“五点法”作图的过程是什么？2、正、余弦函数的周期是什么？3、一般来说，我们是从哪些方面来研究函数的性质？4、回顾上学期我们学习指、对、幂函数性质的过程，是如何进行研究的？【师】通过观察他们的图象，数形结合，从图像的特征获得了函数的性质那么，对于正、余弦函数的性质，我们仍然采取同样的方法来进行研究（三）新知应用，典例分析例1、求函数x y 2cos 3=的最值，并写出取得最大值、最小值时自变量x 的集合例2、求函数)321sin(π+=x y 的单调递增区间 变式1、求函数)321sin(π+=x y ，]2,2[ππ-∈x 的单调递增区间变式2、求函数)321sin(π+-=x y 的单调递增区间【设计意图】通过例题的讲解，使学生感受整体换元的数学思想通过练习巩固学生对知识、方法的掌握，不刻意的增加难度，培养学生的应用意识和举一反三的能力（四）梳理归纳，总结提升数学知识？掌握了哪些数学方法？【师】当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同都为R，值域也相同都是]1,1[-；最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大或最小值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是π2；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象与x轴的交点为对称中心，以过最值点且垂直于轴的直线为对称轴，但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同；它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变【设计意图】学生发言交流自己的收获，其他同学补充通过本环节，培养学生归纳概括的能力，进一步加深对重难点知识的理解，同时提高数学素养（五）拾遗巩固，布置作业A级：教材P46-A组第5题七、教学反思本节课始终是通过观察正、余弦函数的图象，从图象的特征获得它们的性质，反过来根据性质进一步认识三角函数的图象，充分体现了数形结合的思想方法，由形到数，再由数到形，这样设计通俗易学，容易被学生接受存在的问题是由于知识点较多，基础知识生成所用的时间较长，练习较少，课后应加强基础知识的应用练习。
289.高中数学 (1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质)教案 新人教A版必修4
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课.思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?问题②阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数?活动:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.图1问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如: sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z.这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ,它的函数值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念.如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值,都有:f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数;f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;f(x+T)=f(x),其中T是非零常数,那么f(x)叫做周期函数.从上述定义可以看到,函数的性质是对函数的一种整体考察结果,反映了同一类函数的共同特点,它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映.讨论结果:①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.②略.定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义?并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期?活动:对问题①,学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R)是周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别强调:(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x 有f(x+T)=f(x),那么T就不是f(x)的周期.例如,分别取x 1=2kπ+4π(k∈Z ),x 2=6π,则由sin(2kπ+4π+2π)≠sin(2kπ+4π),sin(6π+2π)≠sin 6π,可知2π不是正弦函数的周期.又如sin(30°+120°)=sin30°,但不是对所有x 都有f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无穷多个,即2kπ(k∈Z ,k≠0)都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映,也可以从代数上给以证明:设T 是函数f(x)的周期,那么对于任意的k∈Z ,k≠0,kT 也是函数f(x)的周期.(3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函数f(x)=c(c 为常数,x∈R),所有非零实数T 都是它的周期,由于T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小值,即最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.(4)正弦函数中,正周期无穷多,2π是最小的一个,在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.对问题②,教师要指导学生紧扣定义,可先出一些简单的求周期的例子,如:若T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…呢?怎样求?实际上,由于T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…也是它的周期.因为f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).这样学生就会明白,数学中的周期函数,其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数.讨论结果:①略.②定义法、公式法和图象法.应用示例思路1例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R ;(2)y=sin2x,x∈R ; (3)y=2sin(2x -6π),x∈R . 活动:教师引导学生紧扣定义,一切从定义出发来求.(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为si n2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π). 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;(2)周期为π;(3)周期为4π.点评:通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关,关键是让学生认识到,f(x+T)=f(x)中,T 是相对于自变量x 而言的,让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R )的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期: y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ωπ2.例如,在第(3)小题,y=2sin(21x-6π),x∈R 中,ω=21,所以其周期是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx 的周期为2π.根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T=ωπ2=4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法.变式训练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:因为5是函数f(x)在R 上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函数f(x)是R 上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判断函数f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少?活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)成立的T 的值.学生可能会很容易找出4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.解:因为f(x+π)=2sin 2(x+π)+｜cos(x+π)｜=2sin 2x+｜cosx ｜=f(x).所以原函数是周期函数,最小正周期是π.点评:本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽然将4π,2π带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x 以x+π代替后看看函数值变不变.为此需将π, 2π等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而π肯定是原函数的一个周期.变式训练1.求函数y=2sin31(π-x)的周期. 解:因为y=2sin 31(π-x)=-2sin(31x-3π), 所以周期T=6π.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2π.由于2π是它的一个周期,所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期.假设T 是正弦函数的周期,且0<T<2π,那么根据周期函数的定义,当x 取定义域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.令x=2π, 代入上式,得sin(2π+T)=sin 2π=1, 但sin(2π+T)=cosT,于是有cosT=1. 根据余弦函数的定义,当T∈(0,2π)时,cosT<1.这说明上述cosT=1是不可能的.于是T 必须等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.知能训练课本本节练习解答:1.成立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x 的一切值都成立. 例如sin(20°+120°)≠sin20°.点评:理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义. 2.(1)38π; (2)2π; (3)2π; (4)6π. 点评:利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x 的系数有关.3.可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质,再利用函数的周期性,将所研究的性质扩展到整个定义域.点评:了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质.可让学生课堂讨论,然后归纳总结.课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些?〔周期函数的概念,最小正周期的定义,正弦、余弦函数的周期性,y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期〕.并思考总结本节都用了哪些数学方法?(观察与归纳,特殊到一般,定义法,数形结合,辩证的观点)作业1.课本习题 A 组3,B 组3.2.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.设计感想1.本节课的设计思想是:在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么,以后有些题就会很难做.通过探究让学生找出周期这个规律性的东西,并明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的广度.2.本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律.让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.3.根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解,多题合一,变式思考的训练,培养他们求同思维、求异思维能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性,鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线,观察它们的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么;③观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;④观察正弦曲线和余弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?(1)(2)图2活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.对问题②,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕. 对问题③,学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,∴｜sinx ｜≤1,｜cosx ｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),(1)当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1. 对于余弦函数y=cosx(x∈R ),(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-2π,23π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来:x-2π … 0 … 2π … π … 23π sinx -1↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 就是说,函数y=sin x,x∈［-2,2］.当x∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].图5引导学生列出下表: x-π … -2π … 0 … 2π … π cosx -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出:正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明?由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,余弦曲线还关于点(2π,0)对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.讨论结果:①略.②定义域为R .③值域为[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.④单调性(略).⑤奇偶性(略).当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线,所以它们的定义域相同,都为R ,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同;它们的周期相同,最小正周期都是2π;它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴.但是由于y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现,也是由于y 轴的位置改变,使增减区间的位置有所不同,也使奇偶性发生了改变.应用示例思路1例1 数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R ;(2)y=-3sin2x,x∈R .活动:通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质.容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.课堂上可放手让学生自己去探究,教师适时的指导、点拨、纠错,并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R 取得最大值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最大值的x 的集合{x|x=2kπ,k∈Z };使函数y=cosx+1,x∈R 取得最小值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最小值的x 的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z }.函数y=cosx+1,x∈R 的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z =2x,使函数y=-3sin Z ,Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是{Z |Z =-2π+2kπ,k∈Z }, 由2x=Z =-2π+2kπ,得x=-4π+kπ. 因此使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+kπ,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+kπ,k∈Z }. 函数y=-3sin2x,x∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设Z =ωx+φ化归为y=Asin Z +B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)sin(-18π)与sin(-10π);(2)cos(523π-)与cos(417π-). 活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较,充分利用学生的知识迁移,有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦或余弦,只需将角化为同一个单调区间内,然后根据单调性比较大小即可.课堂上教师要让学生自己独立地去操作,教师适时地点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:(1)因为2π-<10π-<18π-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π. 因为0<4π<53π<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cos 4π>cos 53π,即cos(523π-)<cos(417π-). 点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4π>0,cos 53π<0,显然大小立判. 例3 函数y=sin(21x+3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向:把21x+3π看成Z ,这样问题就转化为求y=sin Z 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令Z =21x+3π.函数y=sin Z 的单调递增区间是 ［2π-+2kπ,2π+2kπ］. 由-2π+2kπ≤21x+3π≤2π+2kπ,得35π-+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z . 由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是121-≤k≤125,由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3π］［-2π,2π］, 因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π］. 点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.思路2例1 求下列函数的定义域:(1)y=xsin 11+;(2)y=cosx . 活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图象,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.解:(1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x ｜x≠23π+2kπ,k∈Z }. (2)由cosx≥0,得2π-+2kπ≤x≤2π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为［2π-+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z ). 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果.本例分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.例2 在下列区间中,函数y=sin(x+4π4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］ 活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的. 解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在[2kπ-2π,2kπ+2π](k∈Z )上是递增的,故令2kπ-2π≤x+4π≤2kπ+2π. ∴2kπ-43π≤x≤2kπ+4π. ∴y=sin(x+4π)的递增区间是[2kπ-43π,2kπ+4π]. 取k=-1、0、1分别得[411π-,47π]、[43π-,4π]、[45π,49π], 对照选择肢,可知应选B.答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出.解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( ) A.T=2,θ=2π B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2π 解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=2π. 答案:A。
高中数学必修4公开课教案1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质全体规划教育分析关于函数性质的研讨,在高一必修中现已研讨了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因而作为高中最终一个根本初等函数的性质的研讨,学生现已有些经历了.其间,经过调查函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个根本办法,这也是数形结合思想办法的使用.由于三角函数是描写周期改动现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的当地,并且关于周期函数,咱们只需知道清楚它在一个周期区间上的性质,那么就彻底清楚它在整个界说域内的性质.正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确了解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象调查,仍是由诱导公式进行证明,都很简略.单调性只需求由图象调查,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值能够作为单调性的一个推论,只需留意引导学生使用周期进行正确概括即可.三维方针1.经过创设情境,如单摆运动、波涛、四季改动等,让学生感知周期现象;了解周期函数的概念;能熟练地求出简略三角函数的周期,并能依据周期函数的界说进行简略的拓宽运用.2.经过本节的学习,使同学们对周期现象有一个开端的知道,感触日子中处处有数学,然后激起学生的学习积极性,培育学生学好数学的决心,学会运用联络的观念知道事物.要点难点教育要点:正弦、余弦、正切函数的首要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深化研讨函数性质的思想办法.教育难点:正弦函数和余弦函数图象间的联络、图象改换,以及周期函数概念的了解,最小正周期的意义及简略的使用.课时组织2课时教育进程第1课时导入新课思路1.人的心情、膂力、智力都有周期性的改动现象,在日常日子和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时分膂力充沛,心情愉快,思想灵敏;有的时分却疲倦乏力,灰心丧气,反应迟钝;也有的时分思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,模糊健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的终身,这便是人体节律.这种有规则性的重复,咱们称之为周期性现象.请同学们举出日子中存在周期现象的比如,在学生火热的争辩中引进新课.思路2.取出一个挂钟,实际操作,咱们发现挂钟上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.咱们这节课要研讨的首要内容便是周期现象与周期函数.那么咱们怎样从数学的视点研讨周期现象呢?在图形上让学生调查正弦线“循环往复”的改动规则,在代数式上让学生考虑诱导公式:si n(x+2kπ)=sinx又是怎样反映函数值的“循环往复”的改动规则的.要求学生用日常言语叙说这个公式,经过对图象、函数解析式的特色的描绘,使学生建立在比较结实的了解周期性的认知基础上,来了解“循环往复”改动的代数描写,由此引出周期函数的概念.推动新课新知根究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?假如是,又是怎样周期性改动的?问题②阅览教材并考虑:怎样从代数的视点界说周期函数?活动:教师可先引导学生查阅考虑上节学过的正弦函数图象,让学生调查正弦线的改动规则,有什么新的发现?再让学生描绘这种规则是怎么表现在正弦函数的图象上的,即描绘正弦函数图象是怎么表现“循环往复”的改动规则的.经过研讨图象,学生很简略看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样改动呢?从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描绘,学生一时很难答复.教师可引导学生考虑评论,正弦函数图象是怎样重复呈现的?关于答复对的学生给予必定,鼓舞持续根究.关于找不到思路的学生给予提示,辅导其正确的根究思路.图1问题②,从图象上能够看出,但要害是怎样对“循环往复”的改动规则作出代数描绘,这对学生有必定的难度.在引进正式界说之前,能够引导学生先从不同视点进行描绘.例如:关于函数f(x)自变量每添加或削减一个定值(这样的定值能够有许多个),函数值就重复呈现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也能够引导指点学生从诱导公式进行描绘.例如:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z.这标明,正弦函数、余弦函数在界说域内自变量每添加(k>0时)或削减(k<0时)一个定值2kπ,它的函数值就重复呈现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还能够经过类比奇函数、偶函数、周期函数的研讨办法来加深了解周期性概念.假如函数f(x)关于其界说域内的每一个值,都有:f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数;f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;f(x+T)=f(x),其间T对错零常数,那么f(x)叫做周期函数.从上述界说能够看到,函数的性质是对函数的一种全体调查成果,反映了同一类函数的一起特色,它们能够从代数视点得到一致描写.这种一起特色还能够从函数的图象上得到反映.评论成果:①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.②略.界说:关于函数f(x),假如存在一个非零常数T,使妥当x 取界说域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.提出问题①怎样正确了解三角函数是周期函数的界说?并举例阐明.②经过根究考虑怎样求一些简略三角函数的周期?活动:对问题①,学生一时或许难于了解周期的代数描写.教师在引导学生阅览、评论、考虑问题时可多举些详细比如,以使抽象概念详细化.如常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R)是周期函数,全部非零实数T都是它的周期.一起应特别侧重:(1)对周期函数与周期界说中的“当x取界说域内每一个值时”这句话,要特别留意“每一个值”的要求.假如仅仅对某些x有f(x+T)=f(x),那么T就不是f(x)的周期.例如,别离取x1=2kπ+(k∈Z),x2=,则由sin(2kπ++)≠sin(2kπ+),sin(+)≠sin,可知不是正弦函数的周期.又如sin(30°+120°)=sin30°,但不是对全部x都有f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)从上述界说还能够看到周期函数的周期不只有,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无量多个,即2kπ(k∈Z,k≠0)都是正弦函数的周期.这一点能够从周期函数的图象上得到反映,也能够从代数上处以证明:设T是函数f(x)的周期,那么关于恣意的k∈Z,k≠0,kT也是函数f(x)的周期.(3)关于周期函数来说,假如全部的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但周期函数不必定存在最小正周期,例如,关于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),全部非零实数T都是它的周期,由于T能够是恣意不为零的常数,而正数调集中没有最小值,即最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.(4)正弦函数中,正周期无量多,2π是最小的一个,在咱们学习的三角函数中,假如不加特别阐明,教科书说到的周期,一般都是指最小正周期.对问题②,教师要辅导学生紧扣界说,可先出一些简略的求周期的比如,如:若T是f(x)的周期,那么2T、3T、…呢?怎样求?实际上,由于T是f(x)的周期,那么2T、3T、…也是它的周期.由于f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).这样学生就会了解,数学中的周期函数,其实便是在独立变量上加上一个确认的周期之后数值重复呈现的函数.评论成果:①略.②界说法、公式法和图象法.使用示例思路1例1 求下列函数的周期:1.y=3cosx,x∈R;2.y=sin2x,x∈R;3.y=2sin(-),x∈R.活动:教师引导学生紧扣界说,全部从界说动身来求.1.由于3cos(x+2π)=3cosx,依据周期函数的界说可知,原函数的周期为2π.有的学生或许会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的了解.由于3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生调查2x,可把2x当作一个新的变量u,那么cosu的最小正周期是2π,便是说,当u添加到u+2π时,函数cosu的值重复呈现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x添加到x+π且有必要添加到x+π时函数值重复呈现.由于sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的界说可知,原函数的周期为π.(3)由于2sin［(x+4π)-］=2sin［(-)+2π］=2sin(-).所以由周期函数的界说可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;2.周期为π;3.周期为4π.点评:经过本例咱们看到函数周期的改动仅与自变量的系数有关,要害是让学生知道到,f(x+T)=f(x)中,T是相关于自变量x而言的,让学生总结概括一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其间A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期为T=.能够依照如下的办法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+)+φ］=Asin(ωx+φ).所以有f(x+)=f(x),所以其周期为.例如,在第(3)小题,y=2sin(x-),x∈R中,ω=,所以其周期是4π.由上述解法能够看到,考虑的根本依据仍是y=sinx的周期为2π.依据这个定论,咱们能够由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T==4π.这是求简略三角函数周期的最根本办法,即公式法.变式操练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:由于5是函数f(x)在R上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判别函数f(x)=2sin2x+｜cosx｜,x∈R的周期性.假如是周期函数,最小正周期是多少?活动:本例的难度较大,教师可引导学生从界说动身,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)建立的T的值.学生或许会很简略找出4π,2π,这的确是原函数的周期,可是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.假如学生很快求出,教师给予表彰鼓舞;假如学生做不出,教师指点学生的根究思路,首要让学生自己评论处理.解:由于f(x+π)=2sin2(x+π)+｜cos(x+π)｜=2sin2x+｜cosx｜=f(x).所以原函数是周期函数,最小正周期是π.点评:本题能很简略判别是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加当心了.尽管将4π,2π带入公式后也契合要求,但还有必要进一步变形,即f(x)中的x以x+π替代后看看函数值变不变.为此需将π, 等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin2x+｜cosx｜,x∈R中,学生应看到平方与绝对值的作用是相同的,与负号没有联络.因而π必定是原函数的一个周期.变式操练1.求函数y=2sin(π-x)的周期.解:由于y=2sin(π-x)=-2sin(x-),所以周期T=6π.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2π.由于2π是它的一个周期,所以只需证明恣意一个小于2π的正数都不是它的周期.假定T是正弦函数的周期,且0<T<2π,那么依据周期函数的界说,当x取界说域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.令x=,代入上式,得sin(+T)=sin=1,但sin(+T)=cosT,所以有cosT=1.依据余弦函数的界说,当T∈(0,2π)时,cosT<1.这阐明上述cosT=1是不或许的.所以T有必要等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.知能操练讲义本节操练答复:1.建立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,由于此等式不是对x的全部值都建立.例如sin(20°+120°)≠sin20°.点评:了解周期函数概念中“当x取界说域内每一个值时”的“每一个值”的意义.2.(1); (2); (3)2π; (4)6π.点评:使用周期函数的图象和界说求周期,领会周期与自变量x的系数有关.3.能够先在一个周期的区间上研讨函数的其他性质,再使用函数的周期性,将所研讨的性质扩展到整个界说域.点评:了解怎么使用函数的周期性来知道周期函数的其他性质.可让学生讲堂评论,然后概括总结.讲堂小结由学生回想本节所学的数学常识有哪些?〔周期函数的概念,最小正周期的界说,正弦、余弦函数的周期性,y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期〕.并考虑总结本节都用了哪些数学办法?(调查与概括,特别到一般,界说法,数形结合,辩证的观念)作业1.讲义习题 A组3,B组3.2.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.规划感触1.本节课的规划思想是:在学生的根究活动中打破正弦、余弦函数的周期性这个教育难点.因而一开端要让学生从图形、代数两方面深化根究,不要让开端的根究成为一种铺排.假如学生一开端没有很好的了解,那么,往后有些题就会很难做.经过根究让学生找出周期这个规则性的东西,并清晰常识依附于问题而存在,办法为处理问题的需求而发生.将周期性概念的构成进程自然地遵循到教育活动中去,由此把学生的思想推到更高的广度.2.本节规划的特色是从形到数、由特别到一般、由易到难,这契合学生的认知规则.让学生在根究中堆集常识,开展才能,对构成科学的根究不知道国际的谨慎风格有着杰出的启导.但由于学生常识水平的约束,本节不能扩展太多,主张让学有余力的学生持续评论函数的周期性的规则及一般三角函数的周期的求法.3.依据本节课的特色可考虑分层推动、照料全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解,多题合一,变式考虑的操练,培育他们求同思想、求异思想才能,以及思想的灵活性、深刻性与创造性,鼓舞他们独立考虑,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以必定,对露出出来的问题要及时引导、分析纠正,使讲堂学习成为再发现再创造的进程.(规划者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)咱们在研讨一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往经过它们的图象来研讨.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、调查图象下手,由此打开正弦函数、余弦函数性质的根究.思路2.(直接导入)研讨函数便是要评论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数,咱们当然也要评论它们的一些性质.本节课,咱们就来研讨正弦函数、余弦函数最根本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,咱们是从哪些方面去研讨一个函数的性质的呢(界说域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐个进行根究.推动新课新知根究提出问题①回想并画出正弦曲线和余弦曲线,调查它们的形状及在坐标系中的方位;②调查正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的界说域各是什么;③调查正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;④调查正弦曲线和余弦曲线,函数值的改动有什么特色?⑤调查正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?1.图2活动:先让学生充沛考虑、评论后再答复.对答复正确的学生,教师可鼓舞他们按自己的思路持续根究,对找不到考虑方向的学生,教师可参加到他们中去,并当令的给予指点、辅导.在上一节中,要求学生不只会画图,还要识图,这也是学生有必要熟练把握的根本功.因而,在研讨正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充沛发掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研讨三角函数性质是最理想的,由于单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的联络,是研讨三角函数性质的好东西.用三角函数线研讨三角函数的性质,表现了数形结合的思想办法,有利于咱们从全体上把握有关性质.对问题①,学生不必定画精确,教师要求学生尽量画精确,能画出它们的改动趋势.对问题②,学生很简略看出正弦函数、余弦函数的界说域都是实数集R〔或(-∞,+∞)〕.对问题③,学生很简略调查出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].教师要引导学生从代数的视点考虑并给出证明.∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,∴｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也便是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.关于正弦函数y=sinx(x∈R),1.当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,获得最大值1.2.当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,获得最小值-1.关于余弦函数y=cosx(x∈R),1.当且仅当x=2kπ,k∈Z时,获得最大值1.2.当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,获得最小值-1.对问题④,教师可引导、指点学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,经过学生充沛评论后确认,选图象上的［-,］(如图4)这段.教师还要侧重为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他相似.图3图4这个改动状况也可从下表中显示出来:x - …0 ……π…sinx -1 ↗0 ↗ 1 ↘0 ↘-1便是说,函数y=sinx,x∈［-,］.当x∈［-,］时,曲线逐步上升,是增函数,sinx的值由-1增大到1;当x∈［,］时,曲线逐步下降,是减函数,sinx的值由1减小到-1.相似地,相同可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调改动状况.教师要当令指点、引导学生先怎么恰当地选取余弦曲线的一段来研讨,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].图5引导学生列出下表:x -π…- …0 ……πcosx -1 ↗0 ↗ 1 ↘0 ↘-1结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1添加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出:正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称.在R上,y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的常识办法给予证明?由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,∴y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数.至此,一部分学生现已看出来了,在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=对称,余弦曲线还关于点(,0)对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步评论,为往后的学习打下伏笔.评论成果:①略.②界说域为R.③值域为[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.④单调性(略).⑤奇偶性(略).当咱们细心比照正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有许多一起之处.咱们无妨把两个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是相同形状的曲线,所以它们的界说域相同,都为R,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的方位不同,使获得最大(或最小)值的时间不同;它们的周期相同,最小正周期都是2π;它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.可是由于y轴的方位不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具有单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间距离呈现,也是由于y轴的方位改动,使增减区间的方位有所不同,也使奇偶性发生了改动.使用示例思路1例1 数有最大值、最小值吗?假如有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的调集,并说出最大值、最小值别离是什么.1.y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.活动:经过这道例题直接稳固所学的正弦、余弦的性质.简略知道,这两个函数都有最大值、最小值.讲堂上可放手让学生自己去根究,教师当令的辅导、指点、纠错,并领会对应获得最大(小)值的自变量为什么会有无量多个.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R获得最大值的x的调集,便是使函数y=cosx,x∈R获得最大值的x的调集{x|x=2kπ,k∈Z};使函数y=cosx+1,x∈R获得最小值的x的调集,便是使函数y=cosx,x∈R获得最小值的x的调集{x|x=(2k+1)π,k∈Z}.函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.2.令Z=2x,使函数y=-3sin Z,Z∈R获得最大值的Z的调集是{Z|Z=-+2kπ,k∈Z},由2x=Z=-+2kπ,得x=-+kπ.因而使函数y=-3sin2x,x∈R获得最大值的x的调集是{x|x=-+kπ,k∈Z}.同理,使函数y=-3sin2x,x∈R获得最小值的x的调集是{x|x=+kπ,k∈Z}.函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.点评:曾经咱们求过最值,本例也是求最值,但对应的自变量x的值却不只有,这从正弦函数的周期性简略得到解说.求解本例的根本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质,关于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数,一般经过变量代换(如设Z=ωx+φ化归为y=Asin Z+B的方式),然后进行求解.这种思想关于使用正弦函数、余弦函数的其他性质处理问题时也适用.例2 函数的单调性,比较下列各组数的巨细:1.sin(-)与sin(-);(2)cos()与cos().活动:学生很简略回想起使用指数函数、对数函数的图象与性质进行巨细比较,充沛使用学生的常识搬迁,有利于学生才能的快速进步.本例的两组都是正弦或余弦,只需将角化为同一个单调区间内,然后依据单调性比较巨细即可.讲堂上教师要让学生自己独登时去操作,教师当令地指点、纠错,对考虑办法不对的学生给予帮助辅导.解:(1)由于<<<0,正弦函数y=sinx在区间[,0]上是增函数,所以sin()>sin().2.cos()=cos=cos,cos()=cos=cos.由于0<<<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cos>cos,即cos()<cos().点评:推动本例时应提示学生留意,在往后遇到的三角函数值巨细比较时,有必要将已知角化到同一个单调区间内,其次要留意首要大致地判别一下有没有符号不同的状况,以便快速解题,如本例中,cos>0,cos<0,明显巨细立判.例3 函数y=sin(x+),x∈[-2π,2π]的单调递加区间.活动:能够使用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的考虑方向:把x+当作Z,这样问题就转化为求y=sin Z的单调区间问题,而这就简略多了.解:令Z=x+.函数y=sin Z的单调递加区间是［+2kπ,+2kπ］.由-+2kπ≤x+≤+2kπ,得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤+4kπ且+4kπ≤2π,所以≤k≤,由于k∈Z,所以k=0,即≤x≤,而［,］［-2π,2π］,因而,函数y=sin(+),x∈[-2π,2π]的单调递加区间是［, ］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即使用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后经过解不等式得到所求的单调区间,要让学生了解并灵活运用这一数学思想办法,长于将杂乱的问题简略化.思路2例1 求下列函数的界说域:1.y=;(2)y=.活动:学生考虑操作,教师提示学生充沛使用函数图象,依据实际状况进行恰当的辅导指点,纠正呈现的一些过错或书写不标准等.解:(1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠+2kπ(k∈Z).∴原函数的界说域为{x｜x≠+2kπ,k∈Z}.2.由cosx≥0,得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).∴原函数的界说域为［+2kπ,+2kπ］(k∈Z).点评:本例实际上是解三角不等式,可依据正弦曲线、余弦曲线直接写出成果.本例分作两步,第一步转化,第二步使用三角函数曲线写出解集.例2 在下列区间中,函数y=sin(x+)的单调增区间是( ) A.［,π］ B.［0,］ C.［-π,0］ D.［,］活动:函数y=sin(x+)是一个复合函数,即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+,欲求y=sin(x+)的单调增区间,因φ(x)=x+在实数集上恒递加,故应求使y随φ(x)递加而递加的区间.也可从转化与化归思想的视点考虑,即把x+当作一个全体,其道理是相同的.解:∵φ(x)=x+在实数集上恒递加,又y=sinx在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上是递加的,故令2kπ-≤x+≤2kπ+.∴2kπ-≤x≤2kπ+.∴y=sin(x+)的递加区间是[2kπ-,2kπ+].取k=-1、0、1别离得[,]、[,]、[,],对照挑选肢,可知应选B.答案:B点评:像这类题型,上述解法属惯例解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般定论,由一般到特别求解,既快又精确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又精确、牢靠的办法.当然作为挑选题还可使用特别值、图象改换等手法更快地解出.解题规则:求复合函数单调区间的一般思路是:1.求界说域;(2)确认复合进程,y=f(t),t=φ(x);(3)依据函数f(t)的单调性确认φ(x)的单调性;(4)写出满意φ(x)的单调性的含有x的式子,并求出x的规模;(5)得到x的规模,与其界说域求交集,便是原函数的单调区间.定论:关于复合函数的单调性,能够直接依据构成函数的。
教学设计3：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、教学目标知识目标：观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题. 能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力.情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦. 二、教材分析本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。
该内容共两课时，这里讲的是第二课时。
正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。
通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础.三、教学重难点教学重点： 正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值.教学难点: 确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用. 四、教学过程 复习引入： （1）单调性： 正弦曲线下面是正弦函数sin ()=∈y x x R 图象的一部分：sin ()=∈y x x R 在ππ2π2π22[-,]()++∈k k k Z 上单调增，函数值从-1增加到1，在π3π2π2π22[,]()++∈k k k Z 上单调减，函数值从1减小到-1.余弦曲线cos ()=∈y x x R cos ()=∈y x x R 在π2π2π[-+,]()∈k k k Z 上单调增，函数值从-1增加到1，在2ππ2π[,]()+∈k k k Z 上单调减，函数值从1减小到-1.（2）最值：正弦函数sin ()=∈y x x R ①当且仅当x =π2π2+k ,∈k Z 时,取得最大值； ②当且仅当x =π2π2-+k ,∈k Z 时,取得最小值.余弦函数cos ()=∈y x x R ，①当且仅当x =2πk ,∈k Z 时,取得最大值； ②当且仅当x =2ππ+k ,∈k Z 时,取得最小值. 应用一：利用单调性比大小 例1 不通过求值，比较sin()sin()1810与ππ--的大小. 分析：比较大小，一般可通过做差法比较，做商法比较，或者利用函数单调性比较（其中三角函数的大小，还可以通过三角函数线来进行比较）.如果用单调性比较同名三角函数值的大小，关键是考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)教案 新人教A版必修4(20
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1.4。
2正弦、余弦函数的性质（一)教学目的：知识目标:要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期. 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点:正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入：1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几?过了十四天呢？…… （2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律: 自变量x 2π-32π-π-2π-2π π 32π2π函数值sin x0 1 0 1- 0 11- 0正弦函数()sin f x x =性质如下： （观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2 规律是：每隔2重复出现一次(或者说每隔2k，kZ 重复出现）3这个规律由诱导公式sin （2k +x ）=sinx 可以说明– –π2π2π-2π5ππ-2π-5π-O x y11-结论:象这样一种函数叫做周期函数。
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)教案数学教案
小结 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
跟踪训练1 比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin π；(2)cos 870°与sin 980°.
例2 求函数y＝1＋sin ，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
正弦曲线：
余弦曲线：
教学内容
教学环节与活动设计
二、正、余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再ห้องสมุดไป่ตู้广到整个定义域．
(1)函数y＝sin x，x∈ 的图象如图所示：
(2)函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A>0)的单调性
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)单调区间的方法是：当ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，视为X.若把ωx＋φ代入到y＝sin X的单调增区间，则得到2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的增区间．
若把ωx＋φ代入到y＝sin X的单调减区间，则得到2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ π(k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的减区间．
小结 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ视为一个整体．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．
跟踪训练2 求函数y＝ (cos 2x)的单调递增区间．
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§1.4.2正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】
《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】
1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数
c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域
2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．
3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．
【教学重点难点】
教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域
【学情分析】
知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。