正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》
教学目标：1、理解正弦函数的周期性；
2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；
3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；
4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；
教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；
2、利用函数图像观察正弦函数的性质；
3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想
教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学过程： Ⅰ 知识回顾
终边相同角的诱导公式：
)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα
所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2
Ⅱ 新知识
1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象
x y sin =，[]π2,0∈x
（1）、列表
（2）、描点
（3）、连线
因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，
[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相
同
2、正弦函数的奇偶性
由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-
所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππ
ππ
k k 22,
22
是增函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-
Ⅲ 知识巩固
例1 作下列函数的简图 （1）
x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x
解：（1）①列表
②描点
③连线
（2）①列表
②描点 ③连线
例2 求下列函数的单调区间
（1）)sin(x y -= （2）)4
sin(π
-=x y
解：（1）因
x x y sin )sin(-=-=
所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππ
ππ
k k 22,
22
是减函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数 （2）由题知：ππ
π
ππ
k x k 22
4
22
+≤
-
≤+-
ππππ
k x k 24
3
24
+≤
≤+-
⇒ πππ
ππ
k x k 2234
22
+≤
-
≤+ππππk x k 24
7243+≤≤+⇒
所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππππ
k k 243,24是增函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数
求函数)4
sin(π
+=x y 的单调性
解：由题知：
ππ
π
ππ
k x k 22
4
22
+≤
+≤+-
ππ
ππk x k 24
243+≤≤+-
⇒ πππ
ππ
k x k 2234
22
+≤
+
≤+ππππk x k 24
5
24+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数
Ⅳ 小结
用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇
偶性、单调性、周期性等
正弦函数的图象与性质（二）
目标：
1、理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律;
2、会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； 重点：掌握函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)图象的作法和性质 一、基础梳理：
1、形如sin()y A x ωϕ=+的函数，通常叫做正弦型函数，其周期T=__________，频率f=_________，初相为________，值域为________，_________也称为振幅，振幅反映了sin()y A x ωϕ=+的波动幅度的大小。

2、正弦型函数图象的变换方式
（1）振幅变换：当A 发生变化时称为振幅变换，它改变的是图象上各点的____________. （2）周期变换：当ω发生变化时称为周期变换，它改变的是图象上各点的____________. （3）相位变换：当ϕ发生变化时称为相位变换，它改变的是这个图象左右的位置。

（4）上下平移变换：对于函数y=sinx+b 的图象，可以看做是把y=sinx 的图象上所有的点_____(当b>0时)或_______(当b<0时)平行移动b 个单位而得到，y=sinx+b 的值域是_______________.
3、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的性质：定义域__________，值域___________，周期_______,单调
增区间由_________x ωϕ≤+≤_________求得，单调减区间由_________x ωϕ≤+≤_________求得。

练习：
1、函数
)的最小正周期是（ ） （A ）
2
π （B ）π
（C ）2π
（D ）3π
2、将函数1
2sin
2
y x =的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的一半，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式是（ ） （A ）1sin
4y x =（B ）4sin y x =（C ）sin y x =（D ）12sin 2
y x = 3、sin()y A x ωϕ=+（A>0, ω>0）的最大值是3，最小正周期是27π，初相是6
π
，则这个函数的解析式为________________________.
三、典例剖析：
例1画出函数y=2sinx x ∈R ；y=2
1
sinx x ∈R 的图象
例2 画出函数y=sin2x x ∈R ；y=sin 2
1
x x ∈R 的图象
例3 画出函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R ；y ＝sin(x －4
π
)，x ∈R 的简图
例4 画出函数y ＝3sin(2x ＋3
π
)，x ∈R 的简图
练习
1．如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分， 它的振幅、周期、初相各是( )
A 3，34π，－6
π B ，34π，－43π
C 1，
32π，－43πD 1，34π，－6
π
2．如图c 是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析
式为( )
图c
A )32sin(32π+=
x y B )4
2sin(32π+=x y C )3sin(32π-=
x y D )3
22sin(32π+=x y 3．如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜
2
π
的
一段图象，则f （x ）的表达式为
4．如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式
当x ＝
3
5π5．函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋ｋ（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，
时，y 有最大值为
37π，当x ＝3
11π时，y 有最小值 －
3
2
，求此函数的解析式 1．如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分， 它的振幅、周期、初相各是( )
A 3，
34π，－6
π
B ，34π，－43π
C 1，
32π，－43πD 1，34π，－6
π
2．如图c 是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解
析
式为( )
A )32sin(32π+=
x y B )4
2sin(32π+=x y C )3sin(32π-=
x y D )3
22sin(32π+=x y 3．如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜
2
π
的
一段图象，则f （x ）的表达式为
4．如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式5．函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋ｋ（A ＞0，ω＞0）在同一周期
内，
当x ＝
35π时，y 有最大值为37π，当x ＝311π时，y 有最小值 －3
2
，求此函数的解析式
图e
图f
图c
图e
图f。