第七课时：圆的有关性质
人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章22.1圆的有关性质说课稿
人教版九年级上册第24章第1节《弧、弦、圆心角》说课稿各位老师：我今天说课的课题是人教版九年级上册第24章第1节《弧、弦、圆心角》。
接下来，我将从教材，学情，教法，学法，教学过程五个方面来说课。
教材分析1.地位与作用本节课是在学习了旋转，圆的有关知识和垂径定理的基础上进行的。
整节课是以圆的旋转不变性为主线。
通过感性认识到理性认识的转化，展开对弧、弦、圆心角之间关系的研究的。
是对圆的性质的进一步学习。
它将为证明线段相等、角相等提供重要依据，将为今后学习圆的有关内容打下基础，在本章中起着承上启下的重要作用。
2.教学目标知识与技能：1.理解圆的旋转不变性和圆心角的概念.2.掌握弧、弦、圆心角关系定理及推论并能解决有关问题.过程与方法：1.培养学生观察、分析、归纳的能力.2.向学生渗透旋转变换思想及由特殊到一般的认识规律.情感与态度：通过引导学生对图形的观察，激发学生探究，发现数学问题的兴趣和欲望.3.教学重难点重点: 掌握弧、弦、圆心角关系定理及推论并能解决相关问题.难点: 利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角关系定理及推论.弧、弦、圆心角的关系定理的灵活运用.学情分析九年级学生已初步具备数学分析、解决问题的能力，但学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨弧、弦、圆心角之间的相等关系时可能感到困难。
学生尽管逻辑思维能力很强，但对于圆的认识还很浅肤，对圆的相关概念很少接触，故而在掌握知识的深度和灵活性方面还有欠缺。
本节课引导学生积极参与探究活动，充分理解圆的旋转不变性，同时通过变式训练，让学生能够灵活应用定理来解决问题。
教法分析本节课采取观察，猜想，证明，归纳的教学模式。
采用引导发现，探究证明的教学方法。
学法分析本节课采取动手操作，猜想验证，归纳总结，反思拓展的学习方法。
接下来，重点说一说本节课的教学过程。
教学过程一.创设情境导入新课导语：古希腊数学家这样描述圆：在一切平面图形中，圆是最美的！我们知道圆是轴对称图形，并由圆的轴对称性得到了垂径定理及推论。
圆的基本性质课件
圆与直线的位置关系
判定直线与圆的位置关系：直线与圆有三种可能的位置关系，相离（直线与 圆没有交点），相切（直线与圆有一个切点），相交（直线与圆有两个交 点）。
圆与圆的位置关系
判定两个圆的位置关系：两个圆之间有四种可能的位置关系，相离（两个圆 没有交点），外切（两个圆相切于外面的一点），相交（两个圆相交于两个 不重合的交点），内切（一个圆位于另一个圆的内部且相切于内面）。
切线和弧长
切线是与圆相切且只有一个交点的直线。 弧长是弧上的一段弧的长度，它与整个周长之间的关系为弧长 = 圆心角度数 / 360° × 周长。
圆的判定定理
判定两个圆是否相交：两个圆的半径之和大于它们的圆心之间的距离即可。 判定一点与圆的位置关系：如果点到圆心的距离小于半径，则该点在圆的内部；如果点到圆心的距离等于半径， 则该点在圆上；如果点到圆心的距离大于半径，则该点在圆的外部。
圆的基本性质
欢迎来到本次PPT课件，我们将介绍圆的基本性质。让我们一起探索圆的定 义、周长和面积公式，圆心角和圆周角，切线和弧长，圆的判定定理，以及 圆与直线、圆与圆的位置关系。
圆的定义和元素
圆由一组等距离于圆心的点组成，圆心为圆的中心点。 元素有半径（圆心到圆上任一点的距离）和直径（通过圆心而且两端落在圆上的线段）。
圆的周长和面积公式
圆的周长是圆上的一段弧的长度，它与圆的直径之间的关系为周长 = 直径 ×半径之间的关系为面积 = 半径²× π。
圆心角和圆周角
圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。 圆周角是以圆上两点和圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
圆的有关性质课件.ppt
23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC， ∠A=20o,求∠DOE的度数.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
以OA为半径的圆上。
矩形－－四点共圆
练一练 1.如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固 定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒 以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是 所画的圆.
根据圆的形成定义
练一练
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以 很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年 树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉 树的半径每年增加多少?.
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22 在 Rt △AOE中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
圆的有关概念和性质
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
圆的方程及性质
教案学生姓名 _______ 科目______ 年级_______ 编号_____授课老师______ 授课时间___________上课日期__________ 总课时 ______ 本次课时_____ 剩余课时______教学重难点：1、圆的定义及方程（1）圆的定义（2）圆的标准方程（3）圆的一般方程2、点与圆的位置与关系教学过程(内容)：1、课前基础知识梳理，（问答式、填空式、回顾式）；2、学生自行完成基础自测环节，旨在检验基础知识应用情况；3、教师进行课堂考点讲解，使学生明确考点，有的放矢；4、考题演练，难度系数较第二环节高，可检验本次课教学情况；作业：1、本节所学课后务必再多加练习以期全部掌握；2、重在熟练解题思路、掌握解题模式、体会相关思想方法、习得突破口技能。
3、课时作业（四十五）课堂反馈：家长反馈意见：学生签字：家长签字：人的一生会经历风风雨雨，不是每一件事都由我们所控制，有些事的结果甚至会出乎我们的意料。
无论结果怎样，这对我们都不是最重要的，重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过，只要有这个过程，我们就不会后悔。
第四节 圆的方程 知识梳理1、圆的定义及方程⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .其中圆心为(,)22DE--，半径为22142r D E F =+-.2、点与圆的位置与关系 第一部分 基础自测1、方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（）A.2a <-或23a >B. 203a -<<C. 20a -<<D. 223a -<<2、当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（）A. 22240x y x y +-+=B. 22240x y x y +++=C. 22240x y x y ++-=D. 22240x y x y +--=3、过点(1,1)A -，(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程( )A. 22(3)(1)4x y -++=B. 22(3)(1)4x y ++-=C. 22(1)(1)4x y -+-=D. 22(1)(1)4x y +++=4、圆22410x y x ++-=关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为_________.5、已知直线:40l x y -+=与圆22:(1)(1)2C x y -+-=,则C 上各点到l 的距离的最小值为_________.第二部分课堂考点讲解1、根据下列条件求圆的方程：（1）经过点(1,1)P和坐标原点，并且圆心在直线2310++=上；x y（2）圆心在直线4P-；+-=相切于点(3,2)l x yy x=-上，且与直线:10（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)A B C-.2、求经过点(2,4)B的圆+-=相切于点(8,6)l x yA--，且与直线:3260的方程.3、已知实数,x y满足方程22410x y x+-+=.（1）求y x-的最大值和最小值；（2）求22+的最大值和最小值.x y4、已知实数,x y 满足方程22410x y x +-+=，求1y x +的最大值和最小值为何值？5、设定点(3,4)M -,动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.6、已知圆224x y +=上一定点(2,0),(1,1)A B 为圆内一点，,P Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若90PBQ ∠= ,求线段PQ 中点的轨迹方程.第三部分 考题演练1、若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是（）A.22(5)5x y -+=B. 22(5)5x y ++=C. 22(5)5x y -+=D. 22(5)5x y ++=2、点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（）A.22(2)(1)1x y -++=B. 22(2)(1)4x y -++=C. 22(4)(2)4x y ++-=D. 22(2)(1)1x y ++-=3、圆心在原点且与直线20x y +-=相切的圆的方程为_________.4、方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（）A. 114m <<B. 14m <或1m >C. 14m <D. 1m >5、若实数,x y 满足22(2)3x y -+=，则y x的最大值为_________.6、已知(22cos ,22sin ),OP R ααα=++∈ ，O 为坐标原点，向量OQ 满足0OP OQ += ,则动点Q 的轨迹方程是_________.。
与圆有关的性质
圆的性质辅导教案学生姓名性别年级九年级学科数学授课教师上课时间第（）次课共（）次课课时：3课时科组长签名教学主任签名教学课题圆的性质教学目标熟悉圆的基本概念与性质学会运用性质解决基本题目教学重点与难点圆周角定理的应用一、知识点讲解考点1 圆的有关概念圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.定义2：圆是到定点的距离①定长的所有点组成的图形.弦连接圆上任意两点的②叫做弦.直径直径是经过圆心的③，是圆内最④的弦.弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤之分，能够完全重合的弧叫做⑥.等圆能够重合的两个圆叫做等圆.同心圆圆心相同的圆叫做同心圆.考点2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦的直线.圆是中心对称图形，对称中心为⑧.垂径定理定理垂直于弦的直径⑨弦，并且平分弦所对的两条⑩.推论平分弦(不是直径)的直径⑪弦，并且⑫弦所对的两条弧.圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量⑬，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.考点3 圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且⑭都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮.推论1 同弧或等弧所对的圆周角⑯.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是○17；90°的圆周角所对的弦是○18.推论3 圆内接四边形的对角○19.考点解读【易错提示】由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解.1.注意在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角和圆周角等量关系的互相转化；利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.2.圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件.二、重点题型讲解命题点1 圆的有关概念例1 下列说法中，正确的是( )A.直径是弦B.弧是半圆C.长度相等的弧是等弧D.弦是圆上两点间的部分方法归纳：解答这类试题的关键是结合图形理解圆的有关概念的内涵.1.如图，MN为⊙O的弦，∠M=30°，则∠MON等于( )A.30°B.60°C.90°D.120°2.下列说法中，结论错误的是( )A.直径相等的两个圆是等圆x k b 1B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3.到定点O的距离为3 cm的点的集合是以点为圆心，为半径的圆. 命题点2 垂径定理例2 如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，求圆心O到弦CD的距离.【思路点拨】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可.【解答】方法归纳：利用垂径定理进行计算或证明时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为( )A.2B.4C.6D.82.如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为.3.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是.4.如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半径.命题点3 圆心角、弧、弦之间的关系例3 如图，在⊙O中，AB= AC，∠A＝30°，则∠B＝( )A.150°B.75°C.60°D.15°方法归纳：在求圆中角的度数时，通常要利用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系进行求解.1.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是( )A.40°B.60°C.80°D.120°2.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为( )A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm3.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度.4.如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，AC=BC，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.命题点4 圆周角定理例4 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=( )A.25°B.35°C.55°D.70°【思路点拨】因为AB是直径，所以∠BDA=90°，再根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可求得∠ADC的度数.方法归纳：在圆中，出现直径时，一般都联想到直径所对的圆周角是直角.圆周角与圆心角之间的转化也是解决问题的关键点.1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.80°2.从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )3.如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为.4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为AC上一点，∠ABC=∠BDC=60°，AC=3 cm，求△ABC的周长.三、课堂小测1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )2.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是( )A.35°B.45°C.55°D.65°3.下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )A.160°B.150°C.140°D.120°5.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( )A.4 mB.5 mC.6 mD.8 m6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( )A.3B.3C.23D.47.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.70°8.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是( )A.AE=BEB.AD=BDC.OE=DED.∠DBC=90°9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )A.95B.245C.185D.5210.如图，已知三点A、B、C都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB= .11.在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为.12.如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，则∠AOD= .13.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为.14.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB= .15.如图，AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径.若AC=3，则DE= .16.如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，求∠AEB的度数.17.已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.如图，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD,CD的长.18.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=4，AC=3，求DE的长.19.如图，已知点A，B，C在⊙O上, ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C20.如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的动点，在以下判断中，不正确的是( )A.当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC.当PO⊥AC时，∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时，△BCP是直角三角形21.如图，半径为6 cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为cm2.22.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数.四、课后作业1．圆内接五边形各边相等，各边所对的圆心角的度数是．，∠B=70°，则∠C= ．2．如图1，在⊙O中，AB AC3．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为22，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是．4．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°，则∠BAC= ．5．如图2所示，弦AB过圆心O，∠A=30°，⊙O的半径长为23，弦CD⊥AB于E，则CD 的长为．D. 4＜OM＜5。
人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义
合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？知识讲解定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作O,读作“圆O〞.定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.注意〔1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.(3) 定点是圆心，定长是半径.(4) “圆〞指的是“圆周〞，而不是“圆平面〞.典例剖析例1 以下说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。
(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然半径,但P点不是圆心，实际上也只是一个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，应选A答案 A错因分析导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。
类题打破1 以O点为圆心画圆，可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.答案无数无数点拨确定圆的条件:一是圆心，二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的局部AB.读作“圆弧AB〞或“弧AB〞，圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
注意 (1)弦和弧是有区别的，弦是线段，而弧是曲线。
(2)直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。
圆的有关性质集体备课
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后1位）。
（分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形。
）例题2：在⊙O中，A⌒B=A⌒C, ∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。
在圆中，除圆心角外，还有一类角，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。
探究3：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它的度数，它们之间有什么关系？由此你能发现什么规律？例题3：如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC,AD,BD的长。
解：如下图所示，连接OD。
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt △ABC 中，BC ＝22AC AB -＝22610-＝8（cm ） ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD, ∴AD=BD又在Rt △ABC 中，AD 2=BD 2=AB 2，∴AD=BD=22AB=52（cm ）思考：圆内接四边形的四个角有什么关系？由此可知：1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；2.垂径定理及其推论。
3.在同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系。
4.圆周角定理及其推论。
5.圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补。
练习题：(1)如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝24°，则∠BOC＝________。
第(1)题第(2)题(2)如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是________。
(3)如图是一条直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深处为________米。
第(3)题第(4)题(4)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD ⊥AB于E，则下列结论中不成立的是________。
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
6．若⊙O 的半径为 6 cm，则⊙O 中最长的弦为____1_2___cm.
第七页，共二十页。
8
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD， 若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD、AC的长．
第八页，共二十页。
9
解：连接 OC．∵AB＝5 cm，∴OC＝OA＝12AB＝52 cm.在 Rt△CDO 中，由勾股
A．AB＞0
B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D．0＜AB≤10
4．如图，⊙O 的半径为 1，分别以⊙O 的直径 AB 上的两个四等分点 O1、O2 为
圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( B )
A．π
B．12π
C．14π
D．2π
第六页，共二十页。
7
5. 如图，分别延长⊙O 的弦 AB 与半径 OC 交于点 D，BD＝OA．若∠AOC＝120°， 则∠D 的度数是_____2_0°____.
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
圆
第一页，共二十页。
2
以练助学 名师点睛
知识点1 圆的意义及其表示 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作“圆O”． 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小．
《圆的有关性质》1精品PPT课件
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
教学重点、难点
• 教学重点：圆的有关性质的综合运用。 • 教学难点：典型题型的解题思路与方法。
教学方法：
启发式、讨论式
教学准备：
• 学生复习整理教材第62~102页的知识结 构。
教学过程：
• （一）复习 师生共同整理知识结构，使知识网络 化。
圆的有关性质
圆（等圆、同圆、同心圆）
概念 弦（直径）、弦心距 弧（半圆、劣弧、优弧、等弧、弓形）
C
• B.复习巩固运用“中
C
间化”进行证明题的
思路˛方法.
(3)如图4,若AC垂直BD,此时 有:EH⊥BC⇔AM=MD.若AM=MD,则OM=BC.
• 说明:强调图中两 个重要直角三角形. 复习证明线段倍分 的常用方法.
B
A A
E D
C
D C
(2)如图6,若AB=AD=BD,则有①CB+CD=CA; ②
圆心角、圆周角
过一点的圆 点与圆 过两点的圆
过三点的圆（三角形外心的定义、 位置、性质）
等对等定理 垂径定理及推论 重要性质 圆周角定理及推论 圆内接四边形性质
（二）举例与练习
• 例题：如图1，圆内接四边 形ABCD的对角线相交于 点E。
• （1）找出相等的圆周角 • （2）写出相似的三角形
B
A A
初中平面几何
《圆的有关性质》复习课
教学内容
圆的有关性质ppt课件
7.1.4 圆周角定理及推论
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. （2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所 对 的弦是直径.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
【例1】如图，在⊙O中， A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直 径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
【例1】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，
位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以
为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、
（3）正多边形的有关计算：
①边长：an=2Rn·sin180°/n
②周长：Pn=n·an
③边心距：rn=Rn·cos180°/n
④面积：Sn=
1 2
an·rn·n
⑤内角：n 2180
n
⑥外角：360
n
⑦中心角： 36n0（Rn为正多边形的半径，rn为边心距，an为边长）
7.3.2 圆的周长与弧长公式
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：弧,弦,圆心角》
听课记录：2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：弧，弦，圆心角》教学目标（核心素养）1.知识与技能：理解弧、弦、圆心角的概念及其相互关系，掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”这一定理，并能应用于解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，培养学生的观察能力和逻辑思维能力，体验数学定理的发现与证明过程。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨的科学态度和探索精神，增强学习数学的自信心。
导入教师行为•在黑板上画出一个圆，并标出圆上的一些点、弦和圆心角。
•提问：“同学们，我们在圆中看到了哪些基本元素？它们之间可能存在怎样的关系呢？”•引导学生观察图形，鼓励他们提出自己的猜想和疑问。
学生活动•认真观察图形，尝试识别圆上的点、弦和圆心角等基本元素。
•思考并回答教师的提问，提出自己对弧、弦、圆心角之间关系的猜想。
过程点评•导入环节通过直观的图形展示和启发式的提问，有效地吸引了学生的注意力，激发了他们的探究欲望，为后续的学习做了良好的铺垫。
教学过程1.1 概念讲解与关系探索教师行为•明确弧、弦、圆心角的概念，通过图示和举例帮助学生理解。
•引导学生探索弧、弦、圆心角之间的关系，提出“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的猜想。
•讲解定理的证明过程，注意逻辑清晰，步骤详细，适时提问引导学生思考。
学生活动•认真听讲，理解弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
•积极参与讨论，尝试用自己的语言复述定理内容，并提出疑问和见解。
•跟随教师的思路理解证明过程，思考每一步的推理依据。
过程点评•通过概念讲解和关系探索，学生不仅掌握了弧、弦、圆心角的基本概念，还初步理解了它们之间的相互关系，为后续定理的学习打下了坚实的基础。
1.2 定理应用与练习教师行为•设计几道与定理相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生独立完成。
•巡视学生的解题情况，给予必要的指导和帮助，特别是针对理解有困难的学生。
《圆的有关性质》课件
3
圆的运用：建筑、导航、地理、数学等
圆在许多领域的应用广泛，包括建筑、导航、地理以及数学等。
五、小结
全文总结
在本课程中，我们研究了圆的各种定义、定理、性 质和应用。
圆的学习要点
重点包括圆的定义、基本定理以及圆的应用。请确 保理解这些重要概念。
课后习题
通过课后习题练习巩固你的圆的知识源，可以帮助你 进一步探索和学习。
2 圆周角等于180度
一个圆周角的度数永远是180度。
3 圆内角等于半圆角
一个圆的内角是半圆角。
4 圆内任意一点与圆心连线，所得的
线段等于半径
无论你从圆内的任何一点到圆心画一条线， 这条线段的长度都等于半径。
四、圆的应用
1
圆的测量
通过测量半径、直径或弧长，可以计算圆的属性。
2
圆的面积与周长
了解如何计算圆的面积和周长，并在实际问题中应用。
圆的元素
圆的元素包括圆心、半径、 直径、弧、弦、切线以及割 线。
二、圆的基本定理
圆的切线定理
切线与半径垂直，且 切点在圆上。
圆的割线定理
割线与切线相交，且 切点在圆上。
相交弧定理
相交弧所对圆心角相 等。
圆心角定理
圆心角的度数是弧所 对圆周角度数的两倍。
三、圆的性质
1 同弧度的圆周角相等
如果两个弧度相等，则其对应的圆周角也相 等。
《圆的有关性质》P P T 课 件
欢迎来到《圆的有关性质》PPT课件。在本课程中，我们将探索圆的定义、基 本定理、性质以及应用。让我们一起来探索这个神奇的几何形状吧！
一、圆的定义
什么是圆？
圆是一个平面上所有点与一 个固定点（圆心）的距离相 等的形状。
圆的有关概念和性质教案
圆的有关概念和性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够理解圆的概念及其相关术语（如圆心、半径、直径等）；（2）能够运用圆的性质解决一些实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和操作，培养学生的空间想象能力和直观表达能力；（2）学会用圆规和直尺画圆，掌握圆的基本画法。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆的概念及其相关术语的理解；（2）圆的性质及运用。
2. 教学难点：（1）圆的性质的理解和运用；（2）圆的基本画法的掌握。
三、教学准备1. 教具准备：（1）黑板、粉笔；（2）圆规、直尺、圆形的实物等。
2. 学具准备：（1）每个学生准备一套圆规和直尺；（2）准备一些圆形的实物，如圆纸片、硬币等。
四、教学过程1. 导入新课（1）利用实物展示，引导学生观察和描述圆的特征；（2）提问：你们在生活中哪里见过圆形？圆有什么特点？2. 自主探究（1）让学生用圆规和直尺尝试画圆，并观察圆的性质；（2）引导学生发现圆的性质，如直径、半径等。
3. 课堂讲解（1）讲解圆的概念及其相关术语；（2）讲解圆的性质，如圆的对称性、周长和面积的计算等。
4. 巩固练习（1）让学生运用圆的性质解决一些实际问题；（2）进行一些有关圆的练习题，检查学生的掌握情况。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固圆的概念和性质；2. 收集生活中的圆形物品，下节课进行展示和交流。
六、教学策略1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的性质；2. 利用直观教具，帮助学生形象地理解圆的概念；3. 运用实例分析，使学生能够将圆的性质应用于实际问题。
七、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况等；2. 练习题评价：检查学生在练习题中的解答情况，以检验其对圆的性质的掌握程度；3. 作业评价：查看学生作业的完成质量，了解其对圆的概念和性质的掌握情况。
八、教学拓展1. 引导学生进一步研究圆与其他几何图形的联系和区别；2. 鼓励学生探索圆在自然界和生活中的应用；3. 推荐学生阅读有关圆的数学故事或科普书籍，增强其对圆的兴趣。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：圆》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：圆》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解圆的基本概念，掌握确定圆的条件（圆心和半径），认识圆上的点、圆内的点、圆外的点，以及理解点与圆的位置关系。
2.数学思维：通过探究圆的性质，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学抽象能力，加深对圆这一几何图形的理解。
3.问题解决：能够运用圆的基本性质解决简单的数学问题，如判断点与圆的位置关系、计算圆的半径等。
4.情感态度：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨的数学态度和探索精神。
教学重点•圆的基本概念及其确定条件（圆心和半径）。
•点与圆的位置关系。
教学难点•如何引导学生通过观察和推理发现圆的基本性质。
•如何将圆的基本性质应用于解决实际问题。
教学资源•九年级人教版数学上册第二十四章教材。
•多媒体课件（包含圆的图形、动态演示等）。
•实物模型（如圆形纸片、圆规等）用于直观展示。
•练习题和例题集。
教学方法•直观演示法：利用实物模型和多媒体课件直观展示圆的性质。
•讲授与讨论结合法：在讲授新知识的同时，引导学生参与讨论，加深对圆的理解。
•练习巩固法：通过课堂练习巩固所学知识。
教学过程导入新课•情境创设：展示一系列生活中的圆形物体图片（如车轮、硬币、太阳等），引导学生观察并思考这些物体的共同特征，引出“圆”的概念。
•明确目标：告知学生本节课将学习圆的基本性质及其相关概念，并强调这些性质在日常生活和数学中的重要性。
新课教学1.圆的基本概念•定义：圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
•圆心与半径：介绍圆心和半径的概念，并说明它们是如何确定一个圆的。
•展示：利用多媒体课件或实物模型展示不同大小的圆，引导学生观察并理解圆心和半径对圆的影响。
2.点与圆的位置关系•介绍：圆上的点、圆内的点、圆外的点三种位置关系。
•演示：通过动态演示或实物操作，展示点与圆的位置关系，并引导学生总结规律。
圆的有关概念及性质
圆的有关概念及性质之马矢奏春创作【根本常识回忆】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O扭转一周,另一个端点A随之扭转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上随便率性两点的叫做弦弧：圆上随便率性两点间的叫做弧,弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴⑵中央对称性：圆是中央对称图形,对称中央是【提醒：1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦,弦不必定是直径；3、圆不但是中央对称图形,并且具有扭转性,即绕圆心扭转随便率性角度都被与本来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径,并且等分弦所对的.2、推论：等分弦（）的直径,并且等分弦所对的.【提醒：1、垂径定理及其推论本质是指一条直线知足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶等分弦⑷等分弦所对的优弧⑸等分弦所对的劣弧五个前提中的两个,那么可推出其余三个,留心解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的关心线是过圆心作弦的线（即弦心距）.3、垂径定理经常运用作计算,在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知个中两个量可求别的两个量.】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也辨别【提醒：留心：该定理的前提前提是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中,假如两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是【提醒：1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,是类,它们的关系是,2、作直径所对的圆周角是圆中常作的关心线】五、圆内接四边形：定义：假如一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做.性质：圆内接四边形的对角.【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2015•舟山）如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,贯串连接AO 并延长交⊙O于点E,贯串连接EC．若AB=8,CD=2,则EC的长为（）A．215B．8 C．210D．213对应演习1．（2015•南宁）如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=1∠BOD,则⊙O的半径为（）2A．42B．5 C．4 D．3考点二：圆周角定理例2 （2015•自贡）如图,在平面直角坐标系中,⊙A经由原点O,并且辨别与x轴、y轴交于B、C两点,已知B（8,0）,C（0,6）,则⊙A 的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．8对应演习2．（2015•珠海）如图,▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O 的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°（2015•威海）如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC, 7．垂足为点E,AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求暗影部分的面积．演习：1．（2015•张家界）如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD= 80°．2．（2015•盐城）如图,将⊙O沿弦AB折叠,使AB经由圆心O,则∠OAB= 30°．3．（2015•绥化）如图,在⊙O中,弦AB垂直等分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为．4．（2015•株洲）如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是48度．5．（2015•广州）如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为（6,0）,⊙P的半径为13,则点P的坐标为（3,2）．三、解答题1（2016·山东潍坊）正方形ABCD内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF,且AF与DE订交于点G,求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE．2、（2015•浙江省台州市,第22题）如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在对角线AC 上,EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°,求∠BAD 的度数（2）求证：∠1=∠23、AB 是⊙O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交⊙O 于点D ,点E 在⊙O 上．（1）若52AOD ∠=,求DEB ∠的度数； （2）若3OC =,5OA =,求AB 的长．4．（2015•贵阳）已知：如图,AB 是⊙O 的弦,⊙O 的半径为10,OE 、OF 辨别交AB 于点E 、F,OF 的延长线交⊙O 于点D,且AE=BF,∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当AE=OE时,求暗影部分的面积．（成果保存根号和π）22．（2015•黔西南州）如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 与点E,点P 在⊙O 上,∠1=∠C,（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3,sin∠P=35,求⊙O 的直径．常识点2：点和圆的地位关系如设⊙O的半径为r,点P 到圆的距离为d,则有：点P 在圆外⇔d ___ r点P 在圆上⇔d ___ r点P 在圆内⇔d ___ r①经由一点P 可以作_______个圆；经由两点P 、Q 可以作________•个圆,圆心在_________上；经由不在同一贯线上的三个点可以作E B DC A O r d d C B A O________个圆,圆心是________的交点．②直角三角形的外心是________的中点,锐角三角形外心在三角形的____________,钝角三角形外心在三角的___________．③经由三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的______圆．外接圆的圆心是三角形三条边________________线的交点,这个点叫做这个三角形的___________．1、例1 （1）已知⊙O的直径为10cm,有一点P到圆心O的距离为3cm,求点P与圆有何地位关系？（2）若有一点M到某圆的最大距离为8cm,最小距离为2cm,求这个圆的半径．3、不在同一条直线上的三个点确定一个圆经由三角形三个顶点可以画个圆,并且只能画个．叫做三角形的外接圆．叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的．三角形的外心就是的交点,它到的距离相等4、例2．某地出土一明代完全圆形瓷盘,如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图顶用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．作法提醒：可联想垂径定理的逆定理：弦的垂直等分线必经由____________,并等分弦所对的两条_____________．5、例3、已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝5cm,BC＝12cm,求△ABC的外接圆半径．6、例4、如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC＝10cm,求△ABC外接圆的半径．。
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第七课时：圆的有关性质 一、概念：
1． 圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一
个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋
转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2． 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
两个意义：⑴圆上各
点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径的长r ）；⑵到定点的距离等于定长的点都在圆上。
3． 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的
外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
4． 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作：“圆
O ”。
5． 连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心
的弦叫做直径。
直径等于半径的2倍。
6． 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示。
以A 、B 为端点的弧记作⌒AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
7． 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做
半圆。
大于半圆的弧（用三个字母表示）叫做优弧，小于半圆的弧（用两个字母表示）叫做劣弧。
8． 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
9． 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
10.能够重合的两个圆叫做等圆。
半径相等的两个圆是等圆。
同圆或等圆的半径相等。
12.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
13.我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。
两层意思：⑴图形是由符合条件的那些点组成的，
即图形上的任何一点都符合条件；⑵图形包含了符合条件的所有的点，即符合条件的任何一点都在图形上。
14.⑴到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
⑵和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
⑶到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
15.到直线l 的距离等于定长d 的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线。
16.到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线。
二、例题：
1． 已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O 。
求证：A 、B 、C 、D4个点在以O
2． 已知：如图，在⊙O 中，AB 、CD 为直径。
求证：AD ∥
BC 。
3． ⊙O 过两个已知点A 、B 。
圆心O 的轨迹是什么？画出它的图
形。
A
B A
C
D
O
三、基础训练：
1．已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A和⊙O的位置关系：⑴OP=6cm，⑵
OP=10cm，⑶OP=14cm。
2．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=6cm，求OD的长。
3．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D为OA、OB的中点。
求证：AD=BC。
4．画图说明满足下面条件的点的轨迹：
⑴到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；
⑵到∠AOB的两边距离相等的点的轨迹；
⑶到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；
⑷已知直线AB∥CD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹。
5．已知线段AB=4cm。
画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于2cm的点的轨迹。
指出到点A的距离等于3cm、到点B的距离等于2cm的点，这样的点有几个？
6．求证：菱形各边的中点在同一个圆上。