行列式的性质
行列式的性质
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则 行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .
§1.2 行列式的性质
§1.2 行列式的性质
1、 n 阶行列式的质
定义1
将行列式 D 的行和列交换后得到的 行列式称为 D 的转置行列式，记为
D T 或 D ，即若
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann , 则D D
T
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
说明
①此定理称为按 k 个行展开，若将行变成 列，则行列式按 k 个列展开。 ②此定理证明的方法与定理1一样，这里证 略。 ③在计算行列式时，常常按一行或一列展开。 若在行列式 D 中某些行或某些列含多个零， 就按这些行或这些列展开，可能更方便。
an1 an 2 ann .
性质1 性质2
将行列式转置，行列式不变，即 DT D . 用数 k 乘行列式 D 的一行（列），等 于以数 k 乘以行列式 D ，即
a11 a1n a11 a1n ain kD ann
D1 kai1 an1
kain k ai1 ann an1
性质3
若行列式 D 的一行（列）每一个元素都
M ij
Aij 1
i j
。而
M ij
称为 aij
的代数余子式.
引理
一个 n 阶行列式 D ，若 i 行元素除 aij 外都为零，则 D 等于 aij 与它的代数余子 式的乘积，即
D aij Aij
（1.12）
定理1
n 阶行列式
D aij
等于其任意一行的 (1.13)
各元素与对应代数全子式乘积之和，即
性质5 若行列式有两行（列）元素成比列，则 行列式为零. 性质6 把行列式一行（列）的倍数加到另一行 （列），行列式不变. 性质7 互换行列式的两行（列），行列式变号.
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
第五节行列式的性质
1 2
0 0 0 1 0
0 0 0 2 6
1 1 2 3 1
r5 + 2r4
0 0
2 0
0 1
4 0
1 2 12
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
例2: 计算 n 阶行列式
a b b b
b a b b
D b b a b .
b b b a
解: 将第2, 3, ···, n 列都加到第一列得:
行列式:
p11
0
D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对D2作列运算 ci+kcj , 把D2化为下三角形行列式:
q11
0
D2
q11 qnn .
qn1 pnk
先对D的前k行作行运算 ri+trj , 然后对D的后n列 作列运算 ci+kcj , 把D化为下三角形行列式:
p11
0
D
35 8
538
推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列 式为零.
证明: 互换相同的两行, 则有D = – D, 所以D = 0. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以
同一数k, 等于用数k乘此行列式.
即 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n
an1 (ani kanj ) anj ann
引入记号: 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在计算行列式时, 我们经常利用性质2,3,6对行列
式进行变换.
利用性质2交换行列式的第 i, j 两行(列), 记作
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
§5 行列式的性质
(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
1 2 3
例如 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1 2
性质5 (拆分) 若行列式的某一列（行）的元素 都是两数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n a 21 a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 例如 2 D a n1 a n 2 (a ni a ) a nn ni
证明
D D1 D2 .
1 2
0
0
3 4 0 0 如D = ? 0 0 -1 3 0 0 5 1
a 0 0 b 0 a b 0 例5 D = 0 c d 0 c 0 0 d
看P15例11
三、小结
行列式的6个性质
同样成立). 计算行列式常用方法 (1) 利用定义;
(行列式中行与列具有同
等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
= a4
看P13例9
例4
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
a11
n
a12 a22
a1n a2 n
a21 an1
an 2 ann
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零；行列式的某一行（列） 元素全为零，则行列式为零．
1 2 3 例如 4 5 6 2 4 6 1 2 3
1 24 1
2 5 2
1.2 行列式的性质
1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 1 1
1 3 2
0 0 0 1 0 4 0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
两行相同，行列式的值为0
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann
D D,
D 0.
6
引例
例如：
a1 a2 kb1 kb2
k (a1b2 a2b1 ) k
a1 a2 b1 b2
n阶行列式也有此性质
性质3 行列式一行的共因数可以提出去，即
a11 ... ... a n1 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ...
即bij a ji 按定义
D 1 b1 p1 b2 p2 L bnpn 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
T
又因为行列式D可表示为
D 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
故
D DT .
3
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 引例 例如
a11 b12 a21 b22
b11 b12 b21 b22
2.2 行列式的性质
2
1
2
0
0 1
1 1 2
0 1 1
2 2 0
×1 ×(-2)
2 1 10
2 1 10
1 1 0 2
1 1 1 2
0 1 1 2
×1
×3
0 1 1 2
0 1 1 2
0 0 2 4 ×(-1)
0 3 1 4
0 0 2 2
二、行列式的计算举例
第2章 方阵的行列式 18
如 a1 b1 c1 2 1
a2 b2 c2 3 0
a3 b3 c3 1 5
a1 2 1
b1 2 1
a2 3 0 b2 3 0
a 3 1 5
b31 5
c1 2 1 c2 3 0
c3 1 5
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 15
性 质5 行列式某一行(列)的所有元素乘以同一数，加到 另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 16
证明
a11
L
ai1 kas1 L
as1 L
an1
a11 a12 LL
ai1 ai2
L L
as1 as 2 LL
an1 an 2
a12
L
a1n
LLL
ai2 kas2 L ain kasn LLL
as 2
L
asn
LLL
an 2
L
ann
L a1n LL
对列也成立
a1 b1 2 1 a2 b2 3 0 a3 b3 1 5
a1 2 1 b1 2 1 a2 3 0 b2 3 0
1章3节 行列式的性质
a13 a23 =1 a33 10a13 5a23 5a33
-3 c1 5 c3
6a11 求 3a21 3a31
2a12 a22 a32
2a11
10a13 5a23 。 5a33
2a12 a22 a32 2a13 a23 a33
a31 6a11
解 3a21 3a31
2a12 a22 a32
a11
kc j
a12 kai 2 an 2
ka1 j kaij kanj
a1, n1 kai ,n1 an,n 1
a1n ain ann
a1n kain ann
即 k ai1 ai 2
an1 an 2
a11 k ai1 an1 a1 j aij anj
an,n1 ann
a1n ain ann
a12 0 a23 L a2 n
a13 a23 0 L
L L L L
a1n a2 n a3n L 0
转置值不变
a3n L
则有 D DT
0 a12 a13 L a1n a12 0 a23 L a2 n a13 L a23 L 0 L L a3n L L a1n a2 n a3n L 0
25 12
例
3
25 1 12 1 3
75 36 2 25 3 12 3 2 50 24 3 25 2 12 2 3
25 c1 12 c 2
c1 = c 2
1 1 3 25 12 3 3 2 2 2 3
25 12 0
=0
6、两行(列)成比例，值为零。
推论2
a b d e g h
c f i
c f i
d
§1.3 行列式的性质
第三节 行列式的性质考虑nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=将它的行依次变为相应的列，得nnn nn n T a a a a a a a a a D 212221212111=称D T 为D 的转置行列式 .性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D=D T 。
例1 计算行列式nnn n a a a a a a D2122211100=解 nn nnn n Ta a a a a a a a a D D2211222121110=== 证 事实上，若记)det(ij T b D = 则),,2,1,(n j i a b ji ij ==∑-=∴n n np p p p p p T b b b D 212121)()1(τ Da a a n p p p p p p n n =-=∑ 21)(2121)1(τ性质2 互换行列式的两行(r i ↔r j )或列(c i ↔c j )，行列式的值变号 . 推论 若行列式D 的两行（列）完全相同，则D=0 .性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k ，等于数k 乘以此行列式，即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211= 推论1 行列式D 中一行(列)所有元素的公因子可提到D 的外面；推论2 行列式D 中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值等于零。
结 论： D 中一行(列)所有元素为零，则D=0；性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即=+++nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211 +nnn n in i i na a a a a a a a a 212111211nnn n in i i n a a a b b b a a a212111211证 由行列式定义∑+-=n i i n np ip ip p p p p p a b a a a D )()1(212121)(τ∑∑-+-=ni n ni n np ip p p p p p np ip p p p p p a b a a a a a a 2121212121)(21)()1()1(ττ性质5 行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变)(D D ji kr r +=，即ji kr r nnn n in i i n a a a a a a a a a +=212111211nnn n jn in j i j i na a a ka a ka a ka a a a a21221111211+++推论 D 的两行（列）对应元素成比例，则D=0.例2 计算行列式2413635104---。
行列式的性质及其运用
1111
解： D 1
3
1
1 r1 r2 r3 r4
1
3
1
11 6
3
1
r2 r1
1 6 0 r3 r1
2
0
0
1131
1131
1 1 3 1 r4 r1 0 0 2 0
1113
1 1 1 3 1113
0002
6 23 48 ．
1.2 行列式性质的运用
例题
ab
c
d
例 5 计算行列式 D a a b a b c
0 0 a 2a b
0 0 3a 7a 3b
00 0
a
1.2 行列式性质的运用
例题
方法二：
ab
c
a ab abc D
a 2a b 3a 2b c
d abcd 4a 3b 2c d
ab c
d
0 a r4 r3
r3 r2
ab
abc
r2 r1 0 a 2a b 3a 2b c
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 D
a j1 a j2
ain
ai1 ka j1 ai2 ka j2
ri krj
a jn
a j1
aj2
ain ka jn a jn
an1 an2
ann
an1
an2
ann
1.1 行列式的性质
性质
性质 2、性质 3 和性质 5 常用来计算行列式，它们的标记如下． ① 互换 i,j 两行（列）： ri rj (ci c j ) ． ② 第 i 行（列）乘以某非零常数 k： kri (kci ) ． ③ 将第 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列）上： ri krj (ci kcj ) ．
初数数学中的行列式公式详解
初数数学中的行列式公式详解行列式是初等数学中非常重要的概念之一，它在线性代数、线性方程组以及向量空间等领域具有广泛的应用。
本文将详细解析行列式的定义、性质和相关公式，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的标量量，它的值为一个数。
对于一个n阶方阵A=[a[i,j]]，它的行列式记为|A|或det(A)。
行列式的计算需要按照一定的规则进行，下面将介绍常用的行列式计算方法。
二、行列式的计算方法1. 一阶行列式对于一个1×1的行列式，例如A=[a]，它的值就是a。
2. 二阶行列式对于一个2×2的行列式，例如A=[a11,a12;a21,a22]，它的值可以通过交叉相乘再相减的方法进行计算：|A|=a11·a22-a12·a21。
3. 三阶及以上的行列式对于三阶及以上的方阵，可以使用拉普拉斯展开或三角形法则进行计算。
拉普拉斯展开的思想是：把一个n阶行列式按照某一行（或列）的元素展开，然后递归地计算这些元素的(n-1)阶行列式，直到计算到二阶行列式为止。
三、行列式的性质行列式具有多种重要的性质，下面将介绍几条常用的性质。
1. 行列互换性质行列式的值不变，当互换它的任意两行（或两列）时。
2. 行列式倍乘性质行列式中的一行（或一列）的每个元素都乘上同一个数k，行列式的值也同样乘以k。
3. 行列式的展开性质行列式可以按任意一行（或一列）展开，得到的结果相同。
4. 行列式的转置性质一个方阵与其转置阵的行列式相等。
5. 行列式的相似性质相似矩阵的行列式相等。
四、常见的行列式公式1. 三阶行列式的展开式对于一个三阶行列式A=[a[i,j]]，可以使用拉普拉斯展开进行计算：|A|=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32。
第2讲 行列式性质
… ………
… ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
性质4 如果行列式有两行(列)的对应元素成
比例，则此行列式的值为零
15 6
例1 D= 2 3 8 =0
4 6 16
例2 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 =1，求 3a21 a22 5a23 。
123
例2 计算行列式的值 D= ○3 1 2 ○2 ○3 1
化成上三角式
解
123
123
D= 0 5 7 =- 0 1 5 =-
123
0 1 5
=18
0 1 5
0 5 7
0 0 18
r2 3r1 r3 2r1
r2 r3
120 1 例3 计算行列式的值 D= 1 3 5 0
r2 r1 r4 r1
a31 a32 a33
3a31 a32 5a33
解：
6a11 2a12 10a13 3a21 a22 5a23 3a31 a32 5a33
3a11 a12 5a13 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32 5a33
a11 a12 a13 2(3)5 a21 a22 a23
a31 a32 a33
第二讲 行列式的性质
一 行列式的性质（6条） 二 一些特殊的行列式
行列式的转置：
第1行变为第1列， 第2行变为第2列,
… 第n行变为第n列
将行列式D的同号数的行换为同号数的列得到
的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D
a11 a12 … a1n
D=
a21 …
a22 …
行列式性质详解及应用
行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。
本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。
设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。
根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。
若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。
二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。
2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。
通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。
三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。
1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。
对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。
2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。
矩阵论基础1.4行列式的性质
矩阵论基础1.4⾏列式的性质第四节⾏列式的性质⾏列式有如下7条性质n阶⾏列式：，若把D的⾏变为列得到新⾏列式如下，⾏列式D T (或D′)称为⾏列式D的转置⾏列式.注意:转置⾏列式也可以看作以主对⾓线为轴,⾏列式翻转180°的结果.性质1 ⾏列式D=D T证明: ,应⽤数学归纳法,当n=2时,结论显然成⽴,即假设n-1时结论成⽴,即n-1阶⾏列式与它的转置⾏列式相等,将n阶⾏列式D按第⼀⾏展开,有将n阶⾏列式D T按第⼀列展开,有所以n阶⾏列式D=D T由⾏列式的性质1可以看出,⾏列式的⾏和列的地位相同,⾏所具有的性质对于列也成⽴,反之亦然.性质2 若⾏列式中有某⼀⾏(或列)为零,则这个⾏列式的值等于零.说明:把⾏列式按此⾏(或列)展开即可.性质3 ⾏列式中任何两⾏(或两列)互换位置, ⾏列式的值变号.证明: ,第⼀⾏与第三⾏互换位置后,⾏列式变为将D按第⼀⾏展开,得将D1按第三⾏展开,得此性质对于n阶⾏列式也成⽴.推论: 如果⾏列式有两⾏(列)完全相同, 则此⾏列式等于零.说明:交换这两⾏(列)⾏列式D化为D1,由性质2知,-D=D1,由于交换的两⾏(列)相同,故D=D1,因此,-D=D,D=0性质4 ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素都乘以同⼀数λ, 等于⽤数λ乘此⾏列式.反之, ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素有公因数,则可以把这个公因数从⾏列式中提出来,即说明:上⾯两个⾏列式若按第i⾏展开,结果是相同的.推论:⾏列式中如果有两⾏(列)元素对应成⽐例, 则此⾏列式等于零.性质5 若⾏列式的某⼀⾏(列)的每个元素都是两个数之和, 例如第i⾏的元素都是两数之和: 即,则D等于下列两个⾏列式之和:.说明:记三个⾏列式为D,D1,D2,则性质6 把⾏列式的某⼀⾏(列)的各元素乘以同⼀数然后加到另⼀⾏(列)对应的元素上去, ⾏列式不变. 即.说明:性质5和性质4可得性质6,这个性质在⾏列式的计算中⾮常重要.性质7 ⾏列式每⼀⾏(或列)的每个元素与另⼀⾏(或列)对应元素的代数余⼦式的乘积的和等于零,即说明: n阶⾏列式按第j⾏展开,于是得下⾯结论 , 或在处理和计算⾏列式时,常⽤上述7条性质,为了表达简洁,引⼊下列记号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例如,例9 计算⾏列式解:利⽤⾏列式的性质,把D化为相等的上(下)三⾓⾏列式,再写出结果,这是计算⾏列式的常⽤⽅法.说明:(1)利⽤性质6,先把a11下⾯的所有元素化为零;(2) 再把a22下⾯的所有元素化为零;(3)重复操作,直到化为三⾓⾏列式为⽌;(4)对于列也可以采⽤同样的处理⽅法,化为其它类型的三⾓⾏列式,再求值.求⾏列式的值时,常⽤的⽅法还有按某⾏(列)展开,达到降阶的⽬的,从⽽化简⾏列式,直到求出结果为⽌.例10 计算⾏列式解:要善于⽤两种⽅法求⾏列式的值:1.化为三⾓⾏列式(四种结果)2.按某⼀⾏(列)展开(选零较多的⾏(列)).例11 计算⾏列式解:因第⼀列与第三列对应元素成⽐例,所以D=0.例12 计算⾏列式解:例13 计算⾏列式解:D1中每⾏提出公因⼦(-1),得所以D1=0D2按第⼀⾏展开,得例14 计算⾏列式解:同理可得例15 计算三阶Vandermonde⾏列式解:同理可得n阶Vandermonde⾏列式例16 计算（m+n）阶零块⾏列式解：记，对|A|作若⼲次r i+λr j操作，化为下三⾓⾏列式，设为对|B|作若⼲次c i+λc j操作，化为下三⾓⾏列式，设为把对|A|的操作全部施于D的前n⾏，再把对|B|的操作全部施于D的后m列，得同理可知以下三个零块⾏列式的值（1）（2）注：（3）说明：1.(2)中⾏列式D可化为下三⾓⾏列式,利⽤前⾯的结论,可推得2. 四种结果要牢记.。
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⊕
解
−1 2 −3 3 −7 D= 2 0 4 1
−3 9
1 ×3 −5 1
⊕
−2 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 1 −3 0 0 −1 0 −2
r2 + 3r1 2 0 4 3 −5 7 4 − 4 10
−2 − 14 − 10
1 6 2
1 × (− 2 ) −1 2 −3 0 −1 0 −2 ⊕ r2 + 3r1 2 0 4 1 −2 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 0
性质４ 行列式中如果有两行（ 性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 则此行列式为零． 例，则此行列式为零． 证明 a11
a12 L a1n a i 2 L a in
a11 ai1
a12 L a1n a i 2 L a in
LLLLLLL ai1 LLLLLLL
LLLLLLL
= k LLLLLLL = 0. ka i 1 ka i 2 L ka in a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn
设排列 p1 L p j L pi L p n 的逆序数为 t1 , 则有
( − 1) = − ( − 1) , t 故 D1 = − ∑ (− 1) a1 p Laip La jp Lanp = − D .证毕
t t1
1 1 j i n
例如 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
一、行列式的性质
记
a11 a12 L a1n a11 a21 a21 a22 L a2n a12 a22 T D= D = O M M M an1 an2 L ann a1n a2n
T
L an1 L an2 O M
L ann
的转置行列式. 行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式 性质1 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式与它的转置行列式相等.
1 1 = [a + (n − 1)b] 1 L 1 1 b a−b =[a+(n−1)b]
b a b L b b a−b
b b a L b L
L L L L L b
b b b L a
0
O a −b
= [a + (n−1)b](a − b)n−1.
0
a1 C 2 + C1 0 D == 0 1
0 a2 0 2
1 3 2 0 ×4 ⊕ −6 1 3 2 = −(− 2)(− 1)(− 6) = 12. 0 −6
a b b L b b a b L b 例2 计算 n 阶行列式 D = b b a L b L L L L L b b b L a 解 将第 2,3,L, n 都加到第一列得
a + (n − a + (n − D = a + (n − L a + (n − 1 )b 1 )b 1 )b 1 )b b a b L b b b a L b L L L L L b b b L a
等于下列两个行列式之和： 则D等于下列两个行列式之和： 等于下列两个行列式之和 ′ a11 L a1i L a1n a11 L a1i L a1n ′ a 21 L a 2 i L a 2 n a 21 L a 2 i L a 2 n D= + L L L L L L L L ′ a n1 L a ni L a nn a n1 L a ni L a nn
= 0.
(a + 4) 2 D= (b + 4) 2 (c + 4)
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 性质5 若行列式的某一列（ 数之和. 数之和. a a L (a + a ′ ) L a
11 12 1i 1i 1n
例如
D=
a 21 M a n1
a 22 M an2
′ L (a 2 i + a 2 i ) L a 2 n M M ′ L (a ni + a ni ) L a nn
= − 21
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + kr j 把行列式 计算行列式常用方法： 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
−1 2 −3 3 −7 例１ D = 2 0 4 1 3 4 −5 −4 7 10 −3 9 −2 − 14 − 10 1 ×3 −5 1 6 2
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r2 ↔ r4 − 0 2 0 4 −1 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r3 + r2 − 0 0 1 −1 2 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
r4 + r3
1 0 −0 0 0
证明
记 D = det (aij )的转置行列式
b11 b12 L b1n D =
T
b21
b22 L b2 n
LLLLLLL bn1 bn 2 L bnn
,
即 bij = a ji (i, j = 1,2, L , n ), 按定义
DT = ∑ (− 1) b1 p1 b2 p2 Lbnpn = ∑ (− 1) a p1 1a p2 2 La pnn .
ri + kr j
a n1 L a ni L a nj L a nj a11 L ( a1i + ka1 j ) L a1 j L a1n a21 L (a2 i + ka2 j ) L a2 j L a2 j M M M M L anj an1 L (ani + kanj ) L anj
1 2 0 1 D= 1 3 5 0 0 1 5 6p1 Lbipi Lb jp j Lbnpn
t
= ∑ (− 1) a1 p1 L aip j L a jpi L anpn
t
= ∑ (− 1) a1 p1 Laip j La jpi Lanpn ,
t
其中 1L i L j L n 为自然排列 , t为排列 p1 L pi L p j L pn 的逆序数 .
a11 ka i 1
a12 L a1n
a11
a12 L a1n
LLLLLLL
LLLLLLL
ka i 2 L ka in = k a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn
a n1
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 行列式的某一行（ 子可以提到行列式符号的外面． 子可以提到行列式符号的外面．
0 − a2 a3 1
0 a1 0 C3 + C 2 0 == − a3 0 1 1
0 a2 0 2
0 a2 a3 3
0 a1 0 C 4 + C3 0 == − a3 0 1 1
0 a2 0 2
0 0 a3 3
0 0 0 4
= 4a1a2 a3
a11 L a1k M M
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
t t
又因为行列式D可表示为 又因为行列式 可表示为
D = ∑ (− 1) a p1 1a p2 2 La pnn .
t
故
D = DT .
证毕
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2 互换行列式的两行（ 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 行列式变号. 证明 设行列式 b11 b12 L b1n
1 2 0 D =
r2 − r1
1
r4 − r1
1 2 0 = 0 1 5
．
1
r3 − r2
1 2 0 = 0 0 0 0 0 3
1 7 3
0 1 5 −1 0 1 5 1 2 3
1 2 0
0 1 5 −1 6 3 0 0 3
0 1 5 −1
6 4
1 3 7
r3 ↔ r4
= −
0 1 5 −1 0 0 3 0 0 0
D1 =
b21 b22 L b2 n LLLLLLL bn1 bn 2 L bnn
,
两行得到的, 是由行列式 D = det (aij ) 变换 i, j 两行得到的
即当 k ≠ i , j 时, bkp = akp ; 当 k = i , j 时,
bip = a jp , b jp = aip ,
思考题
计算4 计算 阶行列式
1 a + 2 a 1 2 b + 2 b D= 1 2 c + 2 c 1 2 d + 2 d
2
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 1 1
(已知 abcd = 1)
思考题解答
解
2
a
a b
D=
b
2
c2 d2
c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1
+ 1 1
性质６ 把行列式的某一列（ 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行 对应的元素上去 对应的元素上去， 同一数然后加到另一列 行)对应的元素上去，行 列式不变． 列式不变． a11 L a1i L a1 j L a1n 例如 a 21 L a 2 i L a 2 j L a 2 j k× M M M M
1 a2 1 b2 1 c2 1 d2