宁夏回族自治区银川市兴庆区一中2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

宁夏回族自治区银川市兴庆区一中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：1.已知回归方程为ˆ32yx =-，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（ ） A. 增加2个单位 B. 减少2个单位 C. 增加3个单位 D. 减少3个单位【答案】B 【解析】分析：由回归方程ˆy=3﹣2x 的斜率为﹣2，得出解释变量与预报变量之间的关系． 详解：回归方程为ˆy=3﹣2x 时， 解释变量增加1个单位，则预报变量平均减少2个单位． 故选B ．点睛：本题考查了线性回归方程一次项系数的实际意义，属于基础题. 2.一质点的运动方程为cos s t =，则1t =时质点的瞬时速度为( ) A. 2cos1 B. sin1- C. sin1 D. 2sin1【答案】B 【解析】 【分析】 求1t s -'，就是1t =时质点的瞬时速度.详解】sin s t '=-，当1t =时，1sin1t s ==-'，所以当1t =时质点的瞬时速度为sin1-. 故选：B【点睛】本题考查利用导数求质点的瞬时速度，属于简单题型.3.点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（ ）A. (B. (,(2,)-∞+∞C. (2,2)-D. (1,1)-【解析】 【分析】根据点在椭圆内部得不等式，解不等式得结果.【详解】因为点(),1A a 在椭圆22142x y +=的内部，所以21142a +<,解得(a ∈,选A.【点睛】本题考查点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基础题. 4.下列推理是类比推理的是（ ）A. A ，B 为定点，动点P 满足2PA PB a AB +=>，则P 点的轨迹为椭圆B. 由11a =，31n a n =-，求出1S ，2S ，3S ，猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C. 由圆222x y r +=的面积2r π，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前3个S 1，S 2，S 3的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．C 选项由圆x 2+y 2=r 2的面积S =πr 2，猜想出椭圆22221x y a b+= 的面积S =πab ，用的是类比推理，不符合要求． 本题选择C 选项.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．5.用反证法证明命题“若220a b +=，则a 、b 全为0(),a b R ∈”，其反设正确的( ) A. a 、b 至少有一不为0 . B. a 、b 至少有一个为0 C. a 、b 全部为0D. a 、b 中只有一个为0【解析】 【分析】由已知，a ，b 全为0的反面即为0a ≠或0b ≠，结合各选项，即可得出结论. 【详解】因为要用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立， 所以用反证法证明命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”时， 应假设0a ≠或0b ≠，a ，b 不全为零，即a ，b 至少有一个不为0. 故选A.【点睛】本题是一道关于反证法的题目，关键是掌握反证法的定义，属于基础题. 6.已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）A. 12e +B. 12e -C. 2e -D. 2e【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()121,121xf x e f f e f =+=+''''，所以()1f e '=-，()()00212f e e e =+⋅-=-'．考点：函数导数．7.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：根据以上数据，则（ ） A. 种子经过处理跟否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关 C. 种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的【答案】A 【解析】计算出2K 的观测值，借助临界值表可得出结论.【详解】由表格中的数据可得()225383221319210122.45910.828224314133405K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，种子经过处理跟是否生病有关. 故选：A.【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，考查学生处理数据的能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A. 2B. 1:2C. D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C 的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0）， ∴直线FA 为：x +2y-2=0， 当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FPFN∴==， :FM MN=【此处有视频，请去附件查看】9.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. f (b )>f (c )>f (d )B. f (b )>f (a )>f (e )C. f (c )>f (b )>f (a )D. f (c )>f (e )>f (d ) 【答案】C 【解析】 【分析】由图象判断函数的单调性，利用单调性可得结果., 【详解】导函数()'f x 的图象可得：()'f x 在(),a c 上为正数，()f x 在(),a c 上为增函数，所以f (c )>f (b )>f (a )． 故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及导函数图象的应用，属于基础题.10.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ） A.36B.13C.123 【答案】D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|3m ，故离心率e ＝1212233223F F c m a PF PF m m ===++选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 【此处有视频，请去附件查看】11.若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A. 1(,0][,)4-∞⋃+∞ B. 1(,][0,)4-∞-⋃+∞C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. (,1]-∞【答案】B 【解析】 【分析】由求导公式和法则求出()'f x ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围．【详解】由题意得，()211'f x a x x=+-， 因为()f x 在[)1,+∞上是单调函数，所以()'0f x ≥或()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立， 当()'0f x ≥时，则2110a x x+-≥在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≥-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当11x=时，()g x 取到最大值为0， 所以0a ≥；当()'0f x ≤时，则2110a x x+-≤在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≤-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当112x =时，()g x 取到最小值为14-， 所以14a -≤，综上可得，14a -≤或0a ≥，所以数a 的取值范围是][1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故选B.【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式. 【详解】构造函数()()xf xg x e=，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>， 所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：13.双曲线22236x y -=的焦距是________________．【答案】【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，即可求出该双曲线的焦距.【详解】双曲线22236x y -=的标准方程为22132x y -=，因此，该双曲线的焦距为=故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，解题时要将双曲线的方程化为标准方程，考查计算能力，属于基础题.14.设函数()xf x xe =，则()f x 的极值为_________. 【答案】1e- 【解析】 【分析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，并分析导数的符号变化，将极值点代入函数()y f x =的解析式即可计算出结果. 【详解】()x f x xe =，定义域为R ，()()1x f x x e '=+，令()0f x '=，可得1x =-.列表如下：所以，函数()xf x xe =在1x =-处取得极小值，且极小值为()11f e-=-. 故答案为：1e-.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在解题时要注意分析导数符号的变化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.对任意的x ∈R ，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是__________.【答案】021a ≤≤ 【解析】 【分析】求出导数()2327f x x ax a '=++，可得出0∆≤，从而可求解出实数a 的取值范围.【详解】()327f x x ax ax =++，()2327f x x ax a '∴=++，由于函数()y f x =在R 上不存在极值点，则24840a a ∆=-≤，即2210a a -≤， 解得021a ≤≤.因此，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是021a ≤≤.故答案为：021a ≤≤.【点睛】本题考查利用函数极值点求参数，解题时理解函数的极值点与导数零点之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题. 16.已知函数()([1,))x xf x ax x e=-∈+∞，其图象上存在两点M ，N ，在这两点处的切线都与x 轴平行，则实数a 的取值范围是____． 【答案】21(,0)e - 【解析】【分析】先对函数求导，由题意函数图象上存在两点M ，N 的切线都与x 轴平行，即是()´0fx =在[)1,+∞上有两不等实根，再由导数的方法求解即可.【详解】因为()x xf x ax e=-，所以()´1x xfx a e-=-，由函数图象上存在两点M ，N 的切线都与x 轴平行，所以()´10x x f x a e -=-=在[)1,+∞上有两不等实根，即1x xa e-=在[)1,+∞上有两不等实根；即直线y a =与曲线()1g x xxe -=在[)1,+∞上有两个不同交点. 因()´2g x xx e-+=，由()´g x 0>得2x >，由()´g x 0<得12x ≤<; 所以函数()1g x x xe-=在[)1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()g x 有最小值()21g 2e =-；又()g 10=，当1x >时，()1g x 0x xe-=<，所以为使直线y a =与曲线()1g x x x e -=在[)1,+∞上有两个不同交点，只需210a e-<<.故答案为21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域即可求解，属于常考题型. 三、解答题：17.已知函数2()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若过点()0,0的直线l 与函数()y f x =图象相切，求l 的方程. 【答案】（1）1y x =-（2）1y x e=- 【解析】【试题分析】（1）对函数解析式2ln y x x =求导，再运用导数的几何意义求出切线的斜率'1y =，然后运用直线的点斜式方程求解；（2）先设切点坐标()2000,ln x x x ，再对函数2ln y x x =求导，借助导数的几何意义求出切线的斜率0002ln x x x +，然后运用直线的点斜式方程求由l 过点()0,0，∴()()2000000ln 2ln x x x x x x -=+-，∴00ln 2ln 1x x =+，∴0ln 1x =-，∴01x e =，求出l 切线的方程为1y x e=-： 解：（1）'2ln y x x x =+，1x =时，0,'1y y ==，∴这个图象在1x =处的切线方程为1y x =-. （2）设l 与这个图象的切点为()2000,ln x x x ，l 方程为()()2000000ln 2ln y x x x x x x x ==+-，由l 过点()0,0，∴()()2000000ln 2ln x x x x x x -=+-，∴00ln 2ln 1x x =+，∴0ln 1x =-，∴01x e=， ∴l 方程为1y x e=-. 18.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第x 周）和市场占有率（%y ）的几组相关数据如下表：（1）根据表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：2211ni ii ini x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）0.0360.008y x =-；（2）预测在第12周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%. 【解析】【分析】（1）计算出x 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出a 和b 的值，即可得出回归直线方程；（2）在回归直线方程中，令0.40y >，解出x 的范围，即可得出结论. 【详解】（1）由题中的数据可得1234535x ++++==，0.030.060.10.140.170.15y ++++==，则22222210.0320.0630.140.1450.17530.10.0361234553b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯， 所以0.10.03630.008a y bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.0360.008yx =-； （2）由（1）知0.0360.008y x =-，令0.0360.0080.40y x =->，解得11.33x >， 所以预测在第12周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%．【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程解决实际问题，考查运算求解能力，属于基础题.19.某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示．（1）求这4000名考生的平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）记70分以上为合格，70分及以下为不合格，结合频率分布直方图完成下表，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关？ 不合格 合格 合计 男生 720女生 1020合计4000附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 【答案】（1）70.5x =；（2）填表见解析，能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关. 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，相加即可得出这4000名考生的平均成绩x ；（2）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，利用临界值表可对题中结论进行判断.【详解】（1）由题意，得：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）， ∴这4000名考生的平均成绩x 为70.5分；（2）22⨯列联表如下：()22254000720102011801080400054000073.82 6.63518002200190021001822192110K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关．【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算，同时也考查了独立性检验基本思想的应用，考查计算能力，属于基础题.20.已知函数()ln 3f x x ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 的极大值为2，无极小值；（2）)2,e ⎡+∞⎣.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数求出该函数的极值点，并分析导数符号的变化，然后将极值点代入函数解析式即可得出该函数的极值； （2）由()0f x ≤，利用参变量分离法得出ln 3x a x +≥，构造函数()ln 3x g x x+=，0x >，可得出()max a g x ≥，利用导数求出函数()y g x =的最大值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()0,x ∈+∞.()111xf x -'=-=，令()0f x '=，得1x =，列表如下：∴函数()y f x =的极大值为()12f =，无极小值；（2）0x，由()ln 30f x x ax =-+≤，可得ln 3x a x+≥， 构造函数()ln 3x g x x +=，0x >，则()max a g x ≥，且()2ln 2x g x x +'=-，令()0g x '=，解得21x e=，列表如下：x210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21e 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =在21x e =取得极大值，亦即最大值，即()22max1g x g e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2a e ∴≥，因此，实数a 的取值范围是)2,e ⎡+∞⎣.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，在含单参数的函数不等式问题中，可利用分类讨论思想或参变量分离法求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21.已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左右焦点为,上顶点为,且为面积是1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y x m =-+与椭圆E 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值. 【答案】（1）（2）6m = 【解析】 试题分析：（1）由题意可得M ，12,F F 的坐标，由等腰直角三角形得2112a =，b=c ，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设A ()11,x y B ()22,x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，可得AB 中点坐标，运用弦长公式可得|AB|，AB 为直径的圆与y 轴相切可得半径1223r AB m ==，解方程即可得到m 的值试题解析：（1）由已知为面积是1的等腰直角三角形得所以椭圆E 的方程（2）设1122(,)(,)A x y B x y联立则AB 中点横坐标为以AB 为直径的圆半径r=整理得考点：椭圆方程及直线与椭圆相交的位置关系 22.已知函数()()321132f x ax x x a R =-++∈的定义域为()0,∞+. （1）当2a =时，若函数()f x 在区间()2,6t t-上有最大值，求t 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调区间. 【答案】（1）[)0,1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数求出该函数的极大值点1x =，并分析该函数在区间()0,∞+上的单调性，根据题意得出()21,6t t ∈-以及()()2,60,t t -⊆+∞，可得出关于实数t 的不等式组，解出即可；（2）求出函数()y f x =的导数()21f x ax x '=-++，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导函数()y f x '=在区间()0,∞+上符号的变化，即可得出该函数的单调区间. 【详解】（1）当2a =时，则()322132f x x x x '=-++，可得()()2210f x x x x '=-++>. 解得1x =或12x =-（舍），当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =在1x =时取得极大值， 函数()y f x =在区间()2,6t t-上要有最大值，2016t t t≥⎧∴⎨<<-⎩，解得01t ≤<.因此，实数t 的取值范围是[)0,1； （2）()321132f x ax x x =-++，则()21f x ax x '=-++.①当0a ≤时，0x，则()0f x '>，此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+；②当0a >时，令()0f x '=得210ax x -++=，且140a ∆=+>.方程210ax x --=的两个实根分别为10x =<（舍），2x =. 此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间为12a⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为10,2a⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭； 当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间．【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，同时也考查了含参函数单调区间的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。