高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 北师大版
2019大一轮高考总复习理数北师大版文档：第11章 第3节 模拟方法几何概型概率的应用 含答案 精品
第三节 模拟方法(几何概型)——概率的应用1．模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.3．几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).提醒：易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(4)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为13.( ) (5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2．(教材习题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案：A3．已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}，B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }．若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( )A ．1－π8B ．π4C ．π4－1D ．π8答案：A4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4解析：选B 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B ．与长度、角度有关的几何概型问题 [明技法]1．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．[提能力]【典例】 (1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )A ．45B ．35C ．π60D ．π3解析：选A 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.(2)在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为锐角三角形的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23解析：选C 如图，当∠AD 1B 为直角时，BD 1＝1，当∠D 2AB 为直角时，BD 2＝4， 所以当点D 取在D 1D 2之间时，△ABD 为锐角三角形．∴根据几何概型公式得P ＝4－16＝12.[刷好题]1．(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]． 如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5， ∴P ＝59.答案：592．在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求AM ＜AC 的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．解：(1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使AC ′＝AC ，连接CC ′.由题意，知AB ＝2AC .由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB .所以P (AM ＜AC )＝AC ′AB ＝AC 2AC ＝22.(2)由于在∠ACB 内作射线CM ，等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (AM ＜AC )＝∠ACC ′∠ACB＝π－π42π2＝34.与面积、体积有关的几何概型问题 [明技法]解决与面积体积有关的几何概型的方法求解与面积体积有关的几何概型时关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．[提能力]【典例】 (1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝()A ．4πB ．1πC ．2D ．2π解析：选D 豆子落在正方形EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH 的边长是2，则正方形EFGH 的面积是2，又圆的面积是π，所以P (A )＝2π.(2)有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：23[刷好题]1．(2015·陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A ．34＋12πB ．14－12πC ．12－1πD ．12＋1π解析：选B 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π. 2．若在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不大于a 的概率为________．解析：满足条件的点在以A 为球心，半径为a 的18球内，所以所求概率为P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 答案：π6生活中的几何概型问题 [明技法]生活中的几何概型度量区域的构造方法 (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息． (2)解模：利用相关信息的特征，建立概率模型． (3)建模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论． [提能力]【典例】 (2018·西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解：这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}． A 为图中阴影部分，全部结果构成集合U 为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积U 的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152. [刷好题]1．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．解析：设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.答案：9322．在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．解：设x 、y 表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应有0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y ＜1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞1－x －y ，1－x －y ＞x －y ，1－x －y ＞y －x ，所以x ＜12，y ＜12，且x ＋y ＞12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.。
高三数学第一轮复习第十一章概率教师用书
高三数学第一轮复习第十一章概率教师用书【知识概要】1．互斥事件：若事件A 与B 不可能同时发生，则事件A 与B 为互斥事件。
AB φ=2．对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。
事件A 的对立事件记作A ，A A φ=，A A U =（U 为全集）； 3．互斥事件与对立事件的区别与联系，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件； 4．互斥事件的加法公式：()()()P A B P A P B +=+；()()1P A P A +=；()1()P A P A =-； 【基础训练】1．从装有2个红球和2个白球的的口袋内任了两个球，那么下列事件中互斥的个数是（C ） ①至少有1个红球，都是白球；②至少有一个白球，至少有一个红球； ③恰有1个白球，恰有两个白球；④至少有一个白球；都是红球； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，则甲胜的概率为（A ） A ．0.3 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.43．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是574．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将锁打开的概率为1745【典型例题】例1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出一个黑球；解（1）22315353448837C C C C P C C =+= （2）45481114C P C =-=例2．袋中有9个编号分别为1，2，…，9的小球，从中随机地取出2个，求至少有一个球的编号为奇数的概率。
解：记“从9个球中任取2个，其中恰有一个编号是奇数”为事件A ，“恰有两个球的编号是奇数”为事件B ，则1154295()9C C P A C ==，25295()18C P B C ==则555()()()9186P A B P A P B +=+=+= 例3．有4位同学，每人买一张彩票，求至少有两位同学彩票号码的末位数字相同的概率。
(江苏专用)2019版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 苏教版
（江苏专用）2019版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 苏教版1．几何概型的概念设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间的长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12log ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 由－1≤12log ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34. 3．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.4．(2017·盐城模拟)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________． 答案π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 5．(高考改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________．(2)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 (1)58 (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12. 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷改编)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)12 (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷改编)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________． 答案4mn解析 由题意得 (x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4m n.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·徐州模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·泰州模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．(2)(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 (1)3π64 (2)14解析 (1)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B (43，－43)，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π4163＝3π64.(2)由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32，∴P ＝326＝14.题型三 与体积有关的几何概型例4 (1)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是________．答案 (1)127 (2)78解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.11．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________．错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)12现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a＝33. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33 (2)34纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．1．(2016·南通模拟)在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则△PAB 的面积大于等于14的概率是______． 答案 12解析 设△PAB 的高为h ， 则12×1×h ≥14，故h ≥12. 又因为0<h <1，故△PAB 的面积大于等于14的概率是121＝12.2．(2016·南京模拟)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为________． 答案 35解析 方程有实数根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)，故所求概率为P ＝5－25－0＝35. 3．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________． 答案 45解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.4.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．若向正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．答案 83解析 ∵向正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形. 又∵S 正方形＝4，∴S 阴影＝83.5．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.6.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．答案 1－2π解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.10．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案 1－π24解析 由题意作图，如图，则点P 应落在深色阴影部分，S △＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝1－π24.11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部． 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 新人教版
2018版高考数学大一轮复习第十一章概率 11.3 几何概型教师用书文新人教版1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A.12B.13C.14D．1答案 B解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤121log()2x+≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14答案 A解析由－1≤121log()2x+≤1，得12≤x＋12≤2，∴0≤x≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝32－02－0＝34.3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．4．(2017·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )A.π180B.π150C.π120D.π90答案 C解析屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案π4解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710B.58C.38D.310(2)(2017·太原调研)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x，则cos x的值介于0到12之间的概率为________．答案(1)B (2)13解析(1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.(2)当－π2≤x≤π2时，由0≤cos x≤12，得－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12. 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( )A.413B.513C.825D.925(2)(2015·福建)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x≥0，－12x＋1，x＜0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12答案(1)D (2)B解析(1)作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.∴P＝S△AEFS△ABC＝12×6×312×10×5＝925.(2)由图形知C(1,2)，D(－2,2)，∵S四边形ABCD＝6，S阴＝12×3×1＝32，∴P＝326＝14.题型三与体积有关的几何概型例4 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.16C.127D.38(2)已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得V P—ABC<12V S—ABC 的概率是( )A.78B.34C.12D.14 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.12．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34 D.78 错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°，∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a＝33. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300， 故S ＝16.32.2．(2016·南平模拟)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 C解析 方程有实数根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)， 故所求概率为P ＝5－25－0＝35，故选C.3．(2016·四川宜宾筠连中学第三次月考)如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.13 答案 B解析 正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形. 又∵S 正方形＝4，∴S 阴影＝83，故选B.4.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.1－2πB.12－1πC.2πD.1π 答案 A解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.5．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π·322＝49π. 7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于π4的概率为______．答案12＋1π解析半圆区域如图所示．设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝A的面积半圆的面积＝14πa2＋12a212πa2＝12＋1π.10．(2016·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．答案1－π24解析由题意作图，如图，则点P应落在深色阴影部分，S△＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝1－π24.11．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b＝－1得－2x＋y＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝24－12×12＋24－22×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
高三数学一轮(北师大版)第十一章+计数原理与概率(理)概率(文)：课件+基础达标+专题整合+阶段测试
又 x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N＋，即 x＝8.
3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取 出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
()
A．4种
B．10种
C．18种
D．20种
[答案] B [解析] 可分为两种情况：①画册 2 本，集邮册 2 本，则
不同的赠送方法有 C24＝4×2 3＝6 种．②画册 1 本，集邮册 3 本，
(3)排列数公式：Amn ＝_n_(_n_－__1_)_(n_－__2_)_…__(_n_－__m_＋__1_)__. (4)全排列：n 个不同的元素全部取出的__排__列____，叫作 n
个___n不_！_同__元_.于素是的排一列个数全公式排写列成，阶A乘nn ＝的形n·(式n －为1_A)_·nm(_n＝_－__n_2－_)n·_！…m__·！2_·，1 这＝ 里规定 0！＝__1__.
则不同的赠送方法有 C14＝4 种，∴共有 6＋4＝10 种．
4．(2014·辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任
何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144
B．120
C．72
D．24
[答案] D [解析] 就座 3 人占据 3 张椅子，在其余 3 张椅子形成的
四个空位中，任意选择 3 个，插入 3 张坐人的椅子，共有 A34＝
2．组合 (1)组合的定义：从 n 个_不__同___的元素中取出 m(m≤n)个元 素为_一__组___叫作从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的一 个组合． (2)组合数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元 素的__所__有__组__合__的个数，叫作从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素的组合数，用 Cnm表示．
2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义第十一章 概率 第3讲 几何概型.3 Word版含答案
§ 几何概型．几何概型向平面上有限区域(集合)内随机地投掷点，若点落在子区域的概率与的面积成正比，而与的形状、位置无关，即(点落在)＝，则称这种模型为几何概型．比．之长度之比或体积．几何概型中的也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是可以估计随机事件发生的概率．模拟方法．借助题组一 思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)()几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)()在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)()随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)()与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)()从区间[]内任取一个数，取到的概率是＝.(×)题组二 教材改编．在线段[]上任投一点，则此点坐标小于的概率为()． 答案解析坐标小于的区间为[)，长度为，[]的区间长度为，故所求概率为.．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案解析∵()＝，()＝，()＝，()＝，∴()>()＝()>()．．设不等式组(\\(≤≤，≤≤))表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是()答案解析如图所示，正方形及其内部为不等式组表示的平面区域，且区域的面积为，而阴影部分表示的是区域内到坐标原点的距离大于的区域．易知该阴影部分的面积为－π.因此满足条件的概率是，故选.题组三易错自纠．在区间[－]上随机地取一个数，若满足≤的概率为，则＝.答案解析由≤，得－≤≤.当<≤时，由题意得＝，解得＝，矛盾，舍去．当<<时，由题意得＝，解得＝.．在△中，∠＝°，过直角顶点作射线交线段于点，则>的概率为．答案解析设事件为“作射线，使>”．在上取点′使′＝，因为△′是等腰三角形，所以∠′＝＝°，。
高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型教师用书 文 北师大版(2021年最新整理)
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北师大版1．基本事件的特点（1)任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型,简称古典概型．(1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性相同．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是错误!；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A）＝错误!。
4．古典概型的概率公式P(A)＝错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”．（×)（2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反"“两个反面"，这三个结果是等可能事件．( ×）（3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量,属于古典概型．( ×）(4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13。
高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.1 随机事件的概率学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学
§11.1随机事件的概率最新考纲考情考向分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．3．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(A)．知识拓展互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．( ×)(2)随机事件和随机试验是一回事．( ×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √)(6)两互斥事件的概率和为1.( ×)题组二教材改编2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案 D解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．答案 12解析 由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约是3366＝12.题组三 易错自纠4．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定答案 B解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D解析 基本事件的个数为5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.6．(2018·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______． 答案 0.35解析 ∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65， ∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.题型一 事件关系的判断1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： ①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④恰有1个白球与都是黄球． 其中互斥而不对立的事件共有( )A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组 答案 B解析 ①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件；②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥；③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件；④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡答案 A解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A ＝“取出的两个球同色”，B ＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C ＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D ＝“取出的两个球不同色”，E ＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ＋E )＝1；⑤P (B )＝P (C )．答案 ①解析 当取出的两个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，③不正确；显然A 与D 是对立事件，①正确；C ＋E 不一定为必然事件，P (C ＋E )≤1，④不正确；P (B )＝45，P (C )＝35，⑤不正确．思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．题型二 随机事件的频率与概率典例 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． (2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．跟踪训练 (2016·全国Ⅱ)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据，得调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .题型三 互斥事件、对立事件的概率命题点1 互斥事件的概率典例经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.命题点2 对立事件的概率典例一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.思维升华求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．跟踪训练某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5人外出家访的概率；(2)求至少有3人外出家访的概率．解(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.用正难则反思想求对立事件的概率典例 (12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[9分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为是( ) A ．两事件是互斥但非对立事件 B ．两事件是对立事件C ．两事件的和事件是不可能事件D ．两事件的积事件是必然事件 答案 A解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．2．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( ) A.15 B.16 C.56 D.3536答案 C解析 设a ，b 分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有36种不同的结果，满足a ＝b 的基本事件共有6种．所以摸出编号不同的概率P ＝1－636＝56.3．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56 B.25 C.16 D.13答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 4．(2017·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》、《十年》、《父亲》、《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56答案 B解析 分别记《爱你一万年》、《十年》、《父亲》、《单身情歌》为A 1，A 2，A 3，A 4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能的结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 2A 3，A 2A 4，A 3A 4，共6个，其中A 1未被选取的结果有3个，所以所求概率P ＝36＝12.故选B.5．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④答案 B解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．6．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 掷一个骰子的试验有6种可能的结果． 依题意知P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，∵B 表示“出现5点或6点”，因此事件A 与B 互斥， 从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.7．(2017·武汉模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43，所以54<a ≤43.9．(2017·池州模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是______． 答案112解析小明输入密码后两位的所有情况为(4，A)，(4，a)，(4，B)，(4，b)，(5，A)，(5，a)，(5，B)，(5，b)，(6，A)，(6，a)，(6，B)，(6，b)，共12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112.10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．答案0.74解析由表格可得至少有2人排队的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74. 11．(2017·武汉调研)某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量落入各组区间的频率视为概率.(1)求这30天中日销售量低于100枝的概率；(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天做促销活动，求这2天恰好是在销售量低于50枝时的概率．解(1)设日销售量为x枝，则P(0≤x<50)＝330＝110，P(50≤x<100)＝530＝16，所以P(0≤x<100)＝110＋16＝415.(2)日销售量低于100枝的共有8天，从中任选2天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝的共有3天，从中任选2天做促销活动，共有3种情况．所以所求概率P＝328.12．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ＋B ＋C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.13．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________． 答案 35 1315解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率也是512，试求取到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”分别是A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14， 因此取到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二 设红球有n 个，则n12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又取到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又取到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)． 因此取到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14.15．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问了50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制出的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100)．频率分布直方图中a的值为________；该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为________；从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，此2人的评分都在[40,50)的概率为________．答案0.006 0.4 1 10解析(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率P＝1 10 .16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：X 123 4Y 51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．解(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝69015＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝215，P(Y＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝215＋415＝25.。
2021高三数学北师大版(文)一轮教师用书：第11章 第3节 模拟方法——概率的应用
第三节 模拟方法——概率的应用[最新考纲] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第193页)1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝，则称这种模型为几何概型．G 1的面积G 的面积(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[常用结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝.( )19[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)×二、教材改编1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A. B. C. D ．1121314B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.]132．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C D A [∵P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝，38282613∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．故选A.]3．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )A. B.3545C. D.2515C [试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P ＝.]254．已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方体ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.B ．1－π4π4C.D ．1－π8π8B [如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝＝＝1－.]S 阴影S 长方形ABCD 2－π22π4(对应学生用书第194页)⊙考点1 与长度(角度)有关的几何概型 长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．(1)在区间上随机取一个数α，使tan 2α＞1的概率为( )[π12，π6]A. B. C. D.14131223(2)在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为( )A. B.1233C. D.2332(3)在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．(1)C (2)B (3) [(1)∵α∈，34[π12，π6]∴2α∈，[π6，π3]由tan 2α＞1，得＜2α＜，则＜α＜，π4π3π8π6∴tan 2α＞1的概率为＝，故选C.π6－π8π6－π1212(2)在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形，令AB ＝BC ＝1，则AC ＝.2在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝，33在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝＝，故选B.BPBC 33(3)过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝＝67.5°90°.]34 本例(2)易把∠BAC 当作试验的结果构成的区域，本例(3)易把线段AB 当作试验的结果构成的区域．[教师备选例题]1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A. B.1613C. D.2345C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝＝.]10－212232．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )A. B.2358C. D.1338 D [该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P ＝＝，故选D.154038] 1.某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.13122334B [如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝＝，故选B.]10＋1040122．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径3作四分之一个圆弧，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共DE 点的概率为________． [因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是13∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为＝＝.]∠CAB∠DAB 30°90°13⊙考点2 与体积有关的几何概型 与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝，构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积．(1)在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )A. B.1656C.D ．1－π6π6(2)已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC ＜V S ABC 的概率是( )12A. B. 7834C. D.1214(1)D (2)A [(1)符合条件的点在边长为2的正方体内部，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外，则所求概率P ＝1－＝1－，故选D.1843π8π6(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－＝.]1878 解答本例(2)时，应利用V P ABC ＝V S ABC 求出点P 的临界值位置，再12结合题意确定点P所在的区域． 1.在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A. B.π 6π32C. D.3π233πD [由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝，球的体积32V 2＝π×＝π，43(32)3 32则此点落在正方体内部的概率P ＝＝.]V 1V 2233π2．在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．1－ [如图，与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半π12球面，其体积V 1＝×π×13＝.12432π3事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，2π3根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝＝1－23－2π323.]π12⊙考点3 与面积有关的几何概型 与面积有关的几何概型问题解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的区域面积，其解题流程为：与平面几何相结合 (1)(2019·南昌模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的3图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134(2)(2019·武汉模拟)把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在阴影内的概率为( )A.－1B.4ππ－1πC.D ．2－π－244π(1)D (2)D [(1)设勾为a ，则股为a ，从而弦为2a ，3图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(－1)2a 2＝(4－2)a 2，则33图钉落在黄色图形内的概率为P ＝＝1－，所以落在黄色图形内的图(4－23)a 24a 232钉数大约为1 000≈134，故选D.(1－32)(2)标注图形并作辅助线如图：S 圆＝π×22＝4π，S 阴影＝×8＝×8＝8π－16(14S 圆－S △COD )(14×4π－12×2×2)，则所求概率为P ＝＝2－，故选D.]8π－164π4π 解答此类问题的关键是利用平面几何的知识求出相关平面图形的面积．[教师备选例题] 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A. B. C. D.141838316B [不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1,1，，两个大等腰直角三角形的边长为2,2,2，即最大正方形的边长为2，222则较大等腰直角三角形的边长分别为，，2，故所求概率P ＝1－22＝.]12×2＋1＋1＋2×2818 与线性规划相结合 已知关于x ，y 的不等式组Error!表示的平面区域为M ，在区域M内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A. B. C. D.56343513C [作出不等式组表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示(△ABC 及其内部)，由题意可知所求概率P ＝，易得A (0,4)，B (0，－2)，C (2,0)，D ，S △ABDS △ABC (65，85)则S △ABC ＝×[4－(－2)]×2＝6，S △ABD＝×[4－(－2)]1212×＝，所以P ＝＝，故选C.]65185S △ABDS △ABC 35 解答本题的关键是作出平面区域M ，及使3x 0－y 0－2≤0的区域，并正确求出它们的面积． 1．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的π3概率是( )A ．2－B ．4－33π63πC ．－－ D.1332π23B [设圆的半径为r ，如图所示．12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为S 弓形AmB ＝πr 2－r 2·sin ＝πr 2－r 2，1612π31634因此所求概率为P ＝＝＝4－，故选B.]24S 弓形AmB S 圆24(16πr 2－34r 2)πr 263π2．在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足Error!的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A. B.1814C. D.1234C [作出约束条件Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积S ＝×a ×2a ＝a 2＞1，∴1＜a ＜2，根据几何概型的概率计12算公式得所求概率为＝.]2－12－012课外素养提升⑨ 数学建模——数学文化与概率(对应学生用书第196页)高中新课标把“体现数学文化价值”作为高中数学课程的十项理念之一，强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容．古典概型、几何概型中常常这样考查数学文化．古典概型中的数学文化【例1】 (2019·赤峰模拟)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是( )A. B. C. D.23355934A [设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A ，B ，C ，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9种，根据题设其中Ab ，Ac ，Bc 是田忌胜，共三种可能，则齐王的马获胜有6种情况，所以齐王获胜的概率为P ＝＝，故选A.]6923[评析] 据题意，设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A ，B ，C ，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，可得齐王胜出的情况，由等可能事件的概率计算可得答案．【例2】 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )A. B. 1814C. D.3812C [从八卦中任取一卦，基本事件总数n ＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m ＝3，∴这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为P ＝＝，故选C.]m n 38[评析] 从八卦中任取一卦，基本事件总数n ＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m ＝3，由此能求出这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率．【素养提升练习】1．(2019·烟台模拟)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为( )A. B. 1314C. D.1516A [依题意，10以内的素数共有4个，分别是2,3,5,7，从中选两个共6个基本事件，分别是(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)．而10以内的孪生素数有(3,5)，(5,7)两对，包含2个基本事件，所以从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率P ＝＝，故2613选A.]几何概型中的数学文化【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3A [法一：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积为S 1＝bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝π×＋π×1212(c 2)2 12(b 2)－＝π(c 2＋b 2－a 2)＋bc ＝bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，2181212故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝2，所以区2域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝×2×2＝2，区域Ⅲ的面积12S 3＝－2＝π－2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－(π－2)＝2.根据几何概型的π×(2)22概率计算公式，得p 1＝p 2＝，p 3＝，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，2π＋2π－2π＋2故选A.][评析] 先分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个区域的面积，再利用几何概型的概率公式对选项进行判断即可．【素养提升练习】2．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B.3π103π20C ．1－D ．1－3π103π20D [直角三角形的斜边长为＝17，设内切圆半径为r ，82＋152则8＋15－2r ＝17，解得r ＝3，从而内切圆的面积为S 内切＝9π.因此豆子落在内切圆外部的概率为P ＝1－＝1－，故选D.]9π12×8×153π20。
高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 苏教版(2021年最新整理)
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11.3 几何概型1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A）＝错误!.3．几何概型试验的两个基本特点（1）无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;（2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法（1）使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A）＝错误!作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")（1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √）（2）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)（3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)（6）从区间［1，10］内任取一个数，取到1的概率是P＝19。
2021高考数学一轮复习统考 第11章 概率 第3讲 几何概型学案(含解析)北师大版
第3讲几何概型基础知识整合1．几何概型（1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的错误!长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．（2）几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A）＝错误!错误!.几种常见的几何概型(1）与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3）与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．(2019·大连模拟)在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是( )A.错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段(不包括两个三等分点)时，点P到木棒两端点的距离都大于2 m，∴P＝错误!＝错误!。
2．（2019·湖南长沙统一检测)某人午觉醒来，发现表停了,他打开收音机，想听电台的整点报时,则他等待的时间不多于5分钟的概率为（)A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!答案B解析设距离电台的整点报时还有x分钟，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝错误!＝错误!,故选B.3．（2019·湖南株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点,若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665，则图形Ω面积的估计值为( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!答案C解析设图形Ω的面积为S，则由几何概型及题意，得错误!＝错误!≈错误!，所以S≈错误!＝0.3335≈错误!，即图形Ω面积的估计值为错误!.故选C.4．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O 内的概率是( )A.错误!B.错误!C。
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2018版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 北师大版1．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比． 3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.14 答案 A解析 由－1≤121log ()2x≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34. 3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4．(2017·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( ) A.π180 B.π150 C.π120 D.π90答案 C解析 屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310(2)(2017·太原联考)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)B (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12. 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825 D.925(2)(2016·江西吉安一中第二次质检)已知P 是△ABC 所在平面内一点，4PB →＋5PC →＋3PA →＝0，现将一粒红豆随机地撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是________． 答案 (1)D (2)14解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.(2)如图，令PD →＝4PB →， PE →＝5PC →，PF →＝3PA →，连接DE ，EF ，FD . ∵4PB →＋5PC →＋3PA →＝0， ∴PD →＋PE →＋PF →＝0， 即P 是△DEF 的重心，此时，△PDE ，△PEF ，△PDF 的面积相等， 则△PDE 的面积是△PBC 的面积的20倍， △PEF 的面积是△PAC 的面积的15倍， △PDF 的面积是△PAB 的面积的12倍，故△ABC 的面积是△PBC 的面积的4倍，将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是14.题型三 与体积有关的几何概型例4 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.12．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 错解展示解析 (1)因为∠C ＝90°，∠CAM ＝30°，所以所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a＝33. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300， 故S ＝16.32.2．(2016·南平模拟)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 C解析 方程有实数根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)， 故所求概率为P ＝5－25－0＝35，故选C.3．(2016·四川宜宾筠连中学第三次月考)如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.13 答案 B解析 正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形. 又∵S 正方形＝4，∴S 阴影＝83，故选B.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1π C.2π D.1π答案 A解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π322＝49π. 7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.10．(2016·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案 1－π24解析 由题意作图，如图，则点P 应落在深色阴影部分，S △＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝1－π24.11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y －x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。