轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求;其过程是建系设点;列出几何等式;坐标代换;化简整理;主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1已知直角坐标平面上点Q 2;0和圆C ：122=+y x ;动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ如图;求动点M 的轨迹方程;说明它表示什么曲线． 解析：设Mx ;y ;直线MN 切圆C 于N ;则有

λ=MQ MN ;即λ=-MQ ON MO 22;λ=+--+2222)2(1

y x y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ;这就是动点

M 的轨迹方程．若1=λ;方程化为45=

x ;它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1;方程化为2222222

)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（;它表示以)0,1

2(22-λλ为圆心;13122

-+λλ为半径的圆．

二、代入法

若动点Mx;y 依赖已知曲线上的动点N 而运动;则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件;从而求得动点M 的轨迹方程;此法称为代入法;一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 已知抛物线12+=x y ;定点A 3;1;B 为抛物线上任意一点;点P 在线段AB 上;且有BP :PA =1:2;当点B 在抛物线上变动时;求点P 的轨迹方程;并指出这个轨迹为哪种曲线．

解析：设),(),,(11y x B y x P ;由题设;P 分线段AB 的比2==PB

AP λ;∴ .2121,212311++=++=y y x x 解得2

123,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上;其坐标适合抛物线方程;∴ .1)2

323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),3

1(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义;则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程;在高考中常填空、选择题的形式出现．

例3 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切;则动圆圆心的轨迹方程是

A 012122=+-x y

B 012122=-+x y

C 082=+x y

D 082=-x y

解析：如图;设动圆圆心为M ;由题意;动点M 到定圆圆心－2;0的距离等于它到定直线x =4的距离;故所求轨迹是以－2;0为焦点;直线x =4为准线的抛物线;并且p =6;顶点是1;0;开口向左;所以方程是)1(122--=x y ．选B ．

例4 一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切;则动圆圆心轨迹为 A 抛物线 B 圆 C 双曲线的一支 D 椭圆

解析：如图;设动圆圆心为M ;半径为r ;则有.

1,2,

1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距

离之差为1;由双曲线定义知;其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支;选C ．

四、参数法

若动点Px ;y 的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到;而动点变化受到另一变量的制约;则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程;再化为普通方程．

例5设椭圆中心为原点O ;一个焦点为F 0;1;长轴和短轴的长度之比为t ．1求椭圆的方程；2设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ;点P 在该直线上;且

12-=t t OQ OP ;当t 变化时;求点P 的轨迹方程;并说明轨迹是什么

图形． 解析：1设所求椭圆方程为).0(122

22＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=.11.12222

2t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．

2设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,

,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,

2,2,2222t y t x t y t x 或 其中t ＞1．消去t ;得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线2

2=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线2

2-=x 在侧的部分． 五、交轨法

一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数;求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式;再消去参数;即得所求动点轨迹的方程．

例6 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ;设长为2的线段AB 在直线λ上移动;求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．

解析：PA 和QB 的交点Mx ;y 随A 、B 的移动而变化;故可设)1,1(),,(++t t B t t A ;则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(1

12-≠+-=-t x t t y 消去t ;得.082222=+-+-y x y x 当t =－2;或t =－1时;PA 与QB 的交点坐标也满足上式;所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x

以上是求动点轨迹方程的主要方法;也是常用方法;如果动点的运动和角度有明显的关系;还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法;都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．