函数的规律探究
用一次函数探究规律
例 １ （ 东 ） 同 样 规 格 的 黑 自 两 种 颜 色 的 正 方 形 瓷 砖 ， 下 面 的 广 用 按
方 式 铺 地 板 ， 第 ３个 图 形 中 有 黑 色 瓷 砖 则 瓷 砖 块 （ 含 ｎ的 代 数 式 表 示 ） 用 ． 块 ， ｎ 个 图 形 中 有 黑 色 第
幅 图 中有 菱 形 ２ 一 ｎ １个 ． 例 ３ （ 东 南 ） 校 生 物 教 师 李 老 师 在 生 物 实 验 室 做 试 验 时 ， 水 黔 某 将
稻 种 子 分 组 进 行 发 芽 试 验 ． １组 取 ３粒 ， ２组 取 ５粒 ． ３组 取 ７粒 第 第 第
… …
每 组 所 取 种 子 数 目 比 前 一 组 增 加 ２粒 ． 此 规 律 ， 么 第 ｎ 组 的 种 按 那
例 ４ （ 西 ） 列 图 案 是 晋 商 大 院 窗 格 的 一 部 分 ， 中 … 代 表 窗 山 下 其 ０’
格 上 所 贴 的 剪 纸 － ｑ ｎ个 图 中 所 贴 剪 纸 的 个 数 为 贝第
圜圈
第 １个
第 ２个
一
第 ３个
图 ３ 解 析 ： 第 ｎ个 图 中 的 剪 纸 的 个 数 是 ｓ， 设 Ｓ ｋ ｂ． 第 １个 图 中 若 可 ＝ ｎ＋ 由
擎＿｝ 生 娌 ． 中 链 ● － 效 化． 考 接 ● 学 － ． ． ．
第 １ 个 第 ２个
图 １
圉髑 豳
第 ３个
解 析 ： 第 ｎ 个 图 形 中 有 黑 色 瓷 砖 ｓ块 ， 设 ｓ ｋ ＋ ． 第 １个 图 形 若 可 ＝ ｎ ｂ由 巾 有 黑 色 瓷 砖 ４块 ， ２个 图 形 中 有 黑 色 瓷 砖 ７块 可 知 ： ｎ ｌ时 ，＝ 第 当 ＝ ｓ ４；
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题广泛存在于各种数学题型中，包括数列、几何、方程等多个方面。
解决这类问题需要灵活运用数学知识和思维方法，下面将就规律探究问题的类型及解题技巧进行分析。
（一）数列型规律探究问题1. 根据已知的数列前几项，找出数列的通项公式。
首先观察数列的前几项，如果发现相邻两项之间的差或比具有规律性，那么可以尝试构建通项公式。
对于等差数列，可以通过计算相邻两项的差值来确定数列的公差，从而得到通项公式。
同理，对于等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来确定数列的公比，从而得到通项公式。
2. 根据数列的规律，推断数列中某一位置上的数值。
有时候，问题并没有直接给出数列的前几项，而是给出了数列的规律，并要求求解数列中某一位置上的数值。
这时候，可以根据已知的规律，通过迭代或递推的方式来推断数列中任意位置上的数值。
1. 根据已知的图形形状，找出图形的特点。
有时问题给出了一个图形，需要根据图形的特点找到规律。
这时可以通过观察图形的边数、角度等特征来确定规律。
正多边形的内部角度和是固定的，可以根据这个规律，计算某个正多边形的内部角度和。
2. 根据图形的特点，求解未知的参数。
有时问题给出了一个图形的部分信息，需要求解图形的某些未知参数。
问题给出了一个三角形的三个角度，需要求解这个三角形的形状。
根据三角形的内角和等于180°的性质，可以得到这个三角形的剩余角度，从而确定三角形的形状。
1. 根据已知的关系式，建立方程解决问题。
有时问题给出了一个数学关系，需要找到满足这个关系的解。
问题可能给出了两个数的和或差，需要求解这两个数。
可以通过设一元方程，利用方程的解来求解这个问题。
在解决规律探究问题时，可以运用以下一些技巧：1. 观察法：通过观察题目给出的信息或图形，找出规律，再推测未知的信息或图形。
2. 假设法：根据已知条件进行一些假设，然后进行推理、计算，最后验证假设的结果是否符合题目要求。
人教版九年级数学下册第26章：反比例函数相关的规律探究题优秀教学案例
1.设计具有挑战性和实际意义的作业：布置一些与反比例函数相关的习题，让学生在作业中巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
2.引导学生进行作业反思：鼓励学生在完成作业后进行反思，发现自己的优点和不足，提高自我认知。
3.教师批改作业：教师及时批改学生的作业，给予评价和反馈，帮助学生纠正错误，提高学生的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入真实的生活情境，如购物、交通等，使学生能够更加直观地理解反比例函数的实际意义，增强了学生对知识点的兴趣和记忆。这种情境创设不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.问题导向的教学策略：在教学过程中，我设计了一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生主动思考、探究反比例函数的性质和应用。这种问题导向的教学策略能够有效激发学生的思维，培养学生的探究意识和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活情境导入：通过展示一幅交通流量图，引导学生观察和分析图中的反比例关系，引发学生对反比例函数的思考。
2.利用问题导入：提出一个问题：“如果一辆汽车的油耗与行驶速度成反比例关系，那么当速度增加时，油耗会如何变化？”引发学生的思考和探究欲望。
3.利用复习导入：回顾已学过的正比例函数知识，引导学生发现正比例函数与反比例函数的关系，为学生学习反比例函数打下基础。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：结合学生的生活实际，创设与反比例函数相关的情境，如购物、交通、生产等，让学生在情境中感受到反比例函数的实际意义。
2.问题情境：设计一系列具有挑战性和探究性的问题，引导学生主动思考、探究反比例函数的性质和应用。
3.互动情境：通过师生互动、生生互动，营造轻松愉快的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，促进学生对反比例函数知识的理解。
高中数学探究函数的性质和图像的变化规律
高中数学探究函数的性质和图像的变化规律函数作为数学中重要的概念之一，是数学建模和问题求解中常见的工具，具有很强的实际应用价值。
本文将探究函数的性质以及图像的变化规律，帮助高中数学学习者更好地理解和应用函数。
一、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的取值范围，也即自变量的取值范围。
而函数的值域则是指函数输出的值所在的范围，也即因变量的取值范围。
通过研究函数的定义域和值域，可以帮助我们确定函数的可行性和实际应用的范围。
2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性。
如果对于函数中的任意一个值x，有f(-x) = f(x)成立，则称该函数为偶函数；如果对于函数中的任意一个值x，有f(-x) = -f(x)成立，则称该函数为奇函数。
通过研究函数的奇偶性，可以帮助我们简化计算和图像的绘制。
3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。
如果对于函数中的任意两个不同的值x1和x2，有x1 < x2蕴含着f(x1) < f(x2)成立，则称该函数为严格递增函数；如果对于函数中的任意两个不同的值x1和x2，有x1 < x2蕴含着f(x1) > f(x2)成立，则称该函数为严格递减函数。
通过研究函数的单调性，可以帮助我们判断函数的趋势和求解不等式。
二、图像的变化规律1. 平移变换函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的操作。
平移可以分为水平平移和垂直平移。
通过水平平移可以改变函数图像的位置，通过垂直平移可以改变函数图像与坐标轴的相对位置。
2. 翻折变换函数图像的翻折是指将函数图像围绕某个点或某条线进行对称的操作。
常见的翻折变换包括对称于x轴、y轴、原点等。
通过翻折变换可以改变函数图像的形态和特征。
3. 缩放变换函数图像的缩放是指将函数图像按比例进行拉伸或压缩的操作。
缩放操作可以分为水平缩放和垂直缩放。
通过缩放变换可以改变函数图像的幅度和形状。
通过以上对函数性质和图像变化规律的探究，我们可以更进一步地理解和应用函数。
数学规律探究课的实践与思考
数学规律探究课的实践与思考数学规律探究是一种以探究数学规律为核心内容的课程形式，它旨在培养学生的数学思维和探究能力，同时提高学生对数学的兴趣和认识。
在我的实践中，我发现数学规律探究可以从以下方面进行思考和实践：一、培养学生的问题意识在数学规律探究课中，老师可以通过提出一些有趣的数学问题，引发学生的好奇心和探究欲望。
学生们将会逐渐形成敏感的问题意识，善于从问题中发现数学规律和关系，进行探究和发现。
二、发展学生的观察与表达技能在探究过程中，学生需要观察数据、图像和数学公式等信息。
通过观察，学生可以在数据中发现规律，用图像来展示和说明规律。
同时，在探究的过程中，学生还需要通过口头和书面表达来概括和总结规律和结论。
这不仅有助于提高学生的观察和表达能力，还有助于提高学生的合作与沟通能力。
三、以发现和探究为主导数学规律探究课程中，学生不仅需要掌握基本数学知识和技能，还需要主动发现和探究规律，并进行推演和延伸。
在课程中，教师应该尽可能地抛给学生一些问题，而不是完成他们的思维和解答过程，鼓励学生通过思考和发现解决问题。
让学生在探究中感受到知识的美妙，同时能够坚定他们对数学探究的信心和动力。
四、借助数学软件来辅助课程数学软件的应用能够极大地帮助学生发现数学规律。
例如，利用地图或者镜面反射等方式，可以让学生更好地理解平面几何的规律；利用动态几何软件来展示数学公式的变幻和演化过程，可以帮助学生更好地理解和掌握数学中的知识点。
总之，数学规律探究是一种非常值得推广和发展的课程形式。
通过在课堂中，培养学生的问题意识、观察与表达技能、以发现和探究为主导和借助数学软件来辅助课程，使得学生能够更全面、更深入地掌握数学的知识和规律，并对数学产生更大的兴趣和热情。
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究一、引言数学是一门抽象而又具体的学科，它需要学生在学习和探索中培养逻辑思维和抽象思维能力，这其中又不可或缺的是规律探究。
规律探究问题是初中数学教学中的重要一环，不仅能够锻炼学生的思维能力，还能提高他们的解决实际问题的能力。
本文将探讨规律探究问题在初中数学教学中的类型和解题技巧，并提出一些有效的教学方法和策略。
二、规律探究问题的类型在初中数学教学中，规律探究问题的类型有很多种，下面我们就来列举一些常见的类型：1. 数列的规律探究：这是最基本的规律探究问题类型，学生需要根据给定的数列，找出规律并继续下去。
1，3，6，10，15，21, ...问下一个数是多少？2. 几何图形的规律探究：几何图形的规律探究也是一种常见的类型，比较常见的有拼图问题、几何图形面积和周长的关系、正多边形内角和外角的规律等。
4. 函数图像的规律探究：这类问题需要学生观察函数的图像，从中找出规律。
y=x^2的图像是怎样的？这些都是规律探究问题的常见类型，而在教学中我们需要根据具体情况来设计相应的解题技巧。
面对不同类型的规律探究问题，学生需要掌握不同的解题技巧。
下面我们将分别讨论不同类型规律探究问题的解题技巧。
1. 数列的规律探究：学生在解决数列的规律探究问题时，一般需要观察数列中相邻项的差值，找出它们之间的规律。
也可以观察数列中的乘积或者其他变化规律。
有时通过列出数列的前几项，找出它们之间的变化规律也是一个有效的解题技巧。
2. 几何图形的规律探究：对于拼图问题，学生需要根据图形本身的特点来进行拼图，这就需要他们对几何图形有一定的认识。
而对于面积和周长的关系、内角和外角的规律等问题，则需要学生掌握相关几何知识来解决。
3. 字母的规律探究：对于字母的规律探究问题，学生可以通过列举和找规律的方式来解决。
也可以通过字母之间的位置关系和字母的组合来找规律。
这需要学生具有一定的逻辑思维和抽象思维能力。
一次函数的图像平移对称垂直规律探究
例题：直线y=-2x-3向左平移3个单位得到的解析式为（ 单位得到的直线解析式为（ ）
），向右平移6个
一次函数图象平移垂直对称变化
2、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的垂直规律：
若一次函数直线
y
k
x
1
b1
与直线
y
k
x
2
b2
互相垂直，
则斜率
k
1.k
2
1
，即：k
,
1
k
2
互为负倒数。
b1
与
b2之间
例题：直线y=3x+5向上平移3个单位得到的解析式为（ 单位得到的直线解析式为（ ）
），向下平移6个
（2）左右平移；直线y=kx+b向左平移m（m＞0）个单
位长度得到直线y=k（x+m）+b；直线y=kx+b向右平移 m（m＞0）个单位长度得到直线y=k（x-m）+b ；简记
为：左加右减（只改变x）
没有关系
例题:若一次函数直线 y=3x-2与直线y=kx-5互相垂直， 则3×k=-1，则k=-1/3。
一次函数图象平移垂直对称变化
3、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）对称的规律： （1）关于x轴对称的直线的解析式为-y=kx+b： （2）关于y轴对称的直线的解析式为y=-kx+b （3）关于原点对称的直线的解析式为-y=-kx+b （4）关于y=x对称的直线的解析式为x=ky+b
老张讲数学
一次函数图象平移垂直对称变化
一次函数图象平移垂直对称变化
1、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的平移规律：
专题07一次函数的规律探究问题(解析版)
专题07一次函数的规律探究问题例1．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，…，n A 在x 轴上，点1B ，2B ，…，n B 在直线33y x =上，若点1A 的坐标为(1,0)，且112A B A ，223A B A ，…，1n n n A B A + 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为1S ，2S ，．．，n S ，则n S 可表示为（）A．22B ．22n -C ．22n -D ．22n -【答案】D【解析】∵112A B A △，223A B A △，…，1n n n A B A +△都是等边三角形，∴112233////////n n A B A B A B A B ⋅⋅⋅，1223341////////n n B A B A B A B A +⋅⋅⋅，∵直线3y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=o ，11120OA B ∠=o，∴1130∠=︒OB A ，∴111OA A B =，∵()11,0A ，∴111A B =，同理2230OB A ∠=o ，…，30n n OB A ∠=o ，∴2222B A OA ==，334B A =，…，12n n n B A -=，易得1290OB A ∠=o，…，190n n OB A +∠=o，∴12B B =23B B =…，12n n B B +=∴11331224S =⨯⨯=，2122S =⨯=…，1212222n n n nS --=⨯⨯=；故选：D ．例2如图,已知直线b 的解析式为y x =,在点)1A 作x 轴的垂直交直线b 于点1B ,以11A B 为边作第1个正在方形1112A B C A ,2A 在x 轴上,21A C 的延长线交直线b 于点2B ,以22A B 为边作第2个正在方形2223A B C A ,……;按此作法继续下去,则第2021个正在方形2021202120212022A B C A 的边长20212021A B 为________．【答案】20202【解析】由题意可知:点1B ,2B ,3B , ,n B 在直线y x =的图象上,即11121==A B A A OA ,22232==A B A A OA ,33343A B A A OA ==, ,1n n n n n A B A A OA +==,又∵点1A 的坐标为)1A ,∴111==OA A B222112A B OA OA A A ==+=+=23332232A B OA OA A A ==+=+==⋅;34443342A B OA OA A A ==+=+==⋅，22111222n n n n n n n n n A B OA OA A A -----==+=⋅+⋅=⋅,∴2021202121202002122-==A B ,故答案为:20202例3.如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【解析】如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M ，将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°，∴1ON NM =∵1ON NM ⊥，∴11OM MM ==，∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0），同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0），∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.例4.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【解析】∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21=129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：3875．课后训练1．如图，直线l 的函数表达式为y ＝x ﹣1，在直线l 上顺次取点A 1（2，1），A 2（3，2），A 3（4，3），A 4（5，4），…，A n （n +1，n ），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 2021＝___．【答案】4044．【解析】根据题意，∵A 1（2，1），A 2（3，2），A 3（4，3），A 4（5，4），…，A n （n +1，n ），∴11135(12)1(23)142222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，21157(23)1(34)162222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，31179(34)1(45)182222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，……∴22n S n =+；∴20212202124044S =⨯+=．故答案为：4044．2．如图，正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…按其所示放置，点1A ，2A ，3A ，…和1C ，2C ，3C ，…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2021B 的横坐标是______．【答案】202121-【解析】当x =0时，y =x +1=1，∴A （0，1），∴直线与x 轴的交点（-1，0），∵四边形111A OC B 是正方形，∴11111190OC C B OC B ==∠=︒，，∴B 1（1，1），易得112223334445A B A A B A A B A A B A ⋯⋯ 、、、均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B 2的横坐标为1+1×2=1+2=20+21=3=22-1，B 3的横坐标为1+1×2+2×2=1+2+4=20+21+22=7=23-1，B 4的横坐标为24-1，B 5的横坐标为25-1，……B 2021的横坐标为22021-1，故答案为：22021-1．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，点A 1的坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点D 1，以A 1D 1为边作正方形A 1B 1C 1D 1；过点C 1作直线l 的垂线，垂足为A 2，交x 轴于点B 2，以A 2B 2为边作正方形A 2B 2C 2D 2；过点C 2作x 轴的垂线，垂足为A 3，交直线l 于点D 3，以A 3D 3为边作正方形A 3B 3C 3D 3，……依此类推，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为___________；正方形AnBnCnDn 的面积为__________．【答案】92（92）n −1，【解析】∵直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，∴∠D 1OA 1＝45°，∴D 1A 1＝OA 1＝1，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积＝1＝（92）1−1，由勾股定理得，OD 1，D 1A 2＝22，∴A 2B 2＝A 2O =2，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积＝92＝（92）2−1，同理，A 3D 3＝OA 3＝92，∴正方形A 3B 3C 3D 3的面积＝814＝（92）3−1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n 的面积＝（92）n −1，故答案是：92，（92）n −1．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1y x =+交y 轴于点1A ，点2A ，3A ，…，n A 在直线l 上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在x 轴的正半轴上，若11OA B ，212A B B △，323A B B ，…，1n n n A B B -△，依次均为等腰直角三角形，点n B 的坐标是______．【答案】()21,0-n【解析】直线1y x =+与x 轴、y 轴的交点分别为（-1，0），（0，1），∴OA 1=1，∵△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，∴B 1（1，0），∴A 2（1，2），∴A 2B 1=2，∴B 2（3，0），A 3（3，4），∴A 3B 2=4，∴B 3（7，0），……B n （2n -1，0），5．如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3(4,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B 按此规律作下去，则2021B 的坐标为______．【答案】（22020，22021）【解析】∵11A B x ⊥轴交直线2y x =于1B ，且1(1,0)A ，∴1(1,2)B 同理，可分别得2(2,4)B ，3(4,8)B ，4(8,16)B ，一般地，可得：1(2,2)n n n B -当n =2021时，则2021B 的坐标为20202021(2,2)故答案为：20202021(2,2)6．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y x =的图像，点1A 的坐标为(1，0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1D ，以11A D 为边作正方形1111D C B A ；过点1C 作直线l 的垂线，垂足为2A ，交x 轴于点2B ，以22A B 为边作正方形2222A B C D ；过点2C 作x 轴的垂线，垂足为3A ，交直线l 于点3D ，以33A D 为边作正方形3333A B C D ，…，按此规律操作下所得到的正方形2021202120212021A B C D 的面积是______．【答案】202092⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵直线l 为正比例函数y =x 的图象，∴∠D 1OA 1=45°，∴D 1A 1=OA 1=1，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积=1=（92）1-1，由勾股定理得，OD 1，D 1A 2=2，∴A 2B 2=A 2O =322，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积=92=（92）2-1，同理，A 3D 3=OA 3=92，∴正方形A 3B 3C 3D 3的面积=814=（92）3-1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n 的面积=（92）n -1，∴正方形2021202120212021A B C D 的面积是202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝1122x +在x 轴上相交于点P （﹣1，0）．直线l 1与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，一照此规律运动，动点依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…则当动点C 到达B 6处时，点B 6的坐标为_____．【答案】（63，32）【解析】 直线l 1为1y x =+,∴当0x =时,1y =∴A 点坐标为()0,1,则1B 点的纵坐标为1,设B 1()1x ,1,111122∴=+x ,解得11x =1B ∴点的坐标为()1,1;则1A 点的橫坐标为1,设()111,A y ,1112∴=+=y 1A ∴点的坐标为()1,2,则2B 点的纵坐标为2,设()22,2B x 211222∴=+x ,解得23x =,2B ∴点的坐标为()3,2,即()221,2-同理，可得B ()37,4，即()3221,2- ,B ∴n 的坐标为()n n 121,2--∴点6B 的坐标为()6521,2-,即6(63,B 32)故答案为(63,32)．8．如图，直线y ＝x +4与y 轴交于A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，点A 1，A 2，A 3…在直线y ＝x +4上，点C 1，C 2，C 3，…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3…，S n ，则S n 的值为______（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】22n +1【解析】∵直线y ＝x +4的k ＝1，∴直线与x 轴的夹角为45°，∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，当x ＝0时，y ＝4，所以，OA 1＝4，即第一个正方形的边长为4，所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，第三个正方形的边长为8+8＝16，…，第n 个正方形的边长为2n +1，∴S 1＝12×4×4＝422，S 2＝12×8×8＝622，S 3＝12×16×16＝822，…，S n ＝12×2n +1×2n +1＝2222n +＝22n +1．故答案为22n +1．。
三角函数的平移与伸缩规律探究
三角函数的平移与伸缩规律探究三角函数是高中数学中的重要内容，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在学习三角函数的过程中，我们不仅要了解其定义和性质，还需要深入研究平移与伸缩规律。
本文将就三角函数的平移和伸缩规律展开探究，并给出相应的例子进行说明。
一、平移规律1. 正弦函数的平移正弦函数表示为y = A*sin(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；例如，对于y = sin(x+π/2)这个函数，其图像相对于y = sin(x) 的图像向左平移π/2 个单位。
2. 余弦函数的平移余弦函数表示为y = A*cos(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；例如，对于y = cos(x-π/3)这个函数，其图像相对于y = cos(x) 的图像向右平移π/3 个单位。
3. 正切函数的平移正切函数表示为y = A*tan(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；例如，对于y = tan(x-π/6)这个函数，其图像相对于y = tan(x) 的图像向右平移π/6 个单位。
二、伸缩规律1. 正弦函数的伸缩正弦函数表示为y = A*sin(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。
其中A决定了函数的纵向伸缩效果，具体规律如下：- 当|A| > 1时，纵坐标增幅变大，图像纵向收缩；- 当0 < |A| < 1时，纵坐标增幅变小，图像纵向拉伸；例如，对于y = 2*sin(x)这个函数，其图像相对于y = sin(x) 的图像纵向收缩了2倍。
探究一次函数与反比例函数图像交点的一个规律
探究一次函数与反比例函数图像交点的一
个规律
一次函数和反比例函数的图形的交点是一个很重要的主题，学习
它可以更好地理解和应用图形和函数之间的关系。
一次函数是一种线
性函数，它定义为y=ax+b，其中a是斜率，b是一次函数的截距。
反
比例函数定义为y=a/x，其中a为系数。
在反比例函数的图形中，有两个反对称的对称轴，在这两个轴的两侧，其曲线的斜率是相反的。
当一次函数和反比例函数的图像相交时，有一个明显的特征和规律：两个函数的斜率是相等的。
可以将一次函数的斜率表示为a，反比例函数的斜率表示为b，则a=b。
交点处，也就是x=a/b，因此，整个
过程就结束了。
这里有一个简单的例子来解释这个规律：一次函数定义为y=2x+1，反比例函数定义为y=3/x，由此可以得知两个函数的斜率相同，即
a=2=b。
据此，可以得出它们的交点x=2/3。
函数的交点可以用以上的
规律来求出，这里的规律是：的两个函数的斜率是相等的，则它们的交点为x=a/b。
以上，就是一次函数和反比例函数图像交点的规律。
学会这一规律后可以帮助我们更好地应用函数图形，也可以更方便地求解交点的位置。
了解规律有助于更好地快速求解。
(沪教版)八年级数学专题训练专题07 一次函数的规律探究性问题(解析版)
专题07 一次函数的规律探究性问题（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =+交x 轴于点A ,交y 轴于点1A ,2A ,3A ,…在直线l 上,点1B ,2B ,3B ,…在x 轴的正半轴上,若11AOB ,212A B B △,323A B B △,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第10个等腰直角三角形是10910A B B ,其点10B 的横坐标为（ ）A ．512B ．1023C ．2047D ．2048【标准答案】B 【思路指引】先求出B 1、B 2、B 3…的坐标,探究其规律,即可得到答案． 【详解详析】解：直线y ＝x ＋1与x 轴、y 轴的交点分别为（-1,0）,（0,1）, 由题意得OA =OA 1=1,∵1A OB ∆,212A B B ∆,323A B B ∆,…均为等腰直角三角形,∴OB 1=OA 1=1, ∴点B 1（1,0）, ∴B 1B 2=B 1A 2=1+1=2,∴OB2=OB1+B1B2=1+2=3,∴点B2（3,0）,∴B2A3=B2B3=3+1=4,∴OB3=OB2+B2B3=3+4=7,∴点B3（7,0）,∴B1（1,0）,B2（3,0）,B3（7,0）…,∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,…,∴B n的横坐标为2n-1,∴当n=10时, 210-1=1024-1=1023故选择B．【名师指路】此题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题．2．如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为（4-,5）,点B坐标为（0,3）,点D在x轴上．若线段DB交直线12y x=-于点C,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,△ABC面积的变化趋势是（）A．先变大再变小B．先变小再变大C．无法确定D．保持不变【标准答案】D【思路指引】根据点A、点B坐标求出所在直线解析式为132y=x-+,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,点C始终在线段DB交直线12y x=-上,在△ABC中,始终以AB边为底边,过C点作直线AB的垂线为高,根据两直线斜率可得出平行关系,利用平行线间距离处处相等可知无论点D运动到哪一点高不变,因此△ABC面积保持不变．【详解详析】解：设直线AB 的解析式为y=kx b +, 将点A （4-,5）,点B （0,3）代入可得：5=4k b3=b -+⎧⎨⎩, 得出直线AB 的解析式为：132y=x -+,又∵点C 所在直线解析式为：12y x =-,∴//AB OC ,∵点C 始终在线段DB 交直线12y x =-上,在△ABC 中,以AB 边为底边, 则点D 运动过程中高不变, 故△ABC 面积保持不变． 故选：D ． 【名师指路】本题考查了求一次函数的解析式、斜率的性质、利用平行线间的距离解决问题等性质及定理,熟练运用以上性质定理是解题的关键．3．如图,在直角坐标系中,正方形111A B C O 、2221A B C C 、…、1n n n n A B C C -按如图所示的方式放置,其中点1A 、2A 、3A 、…、n A 均在一次函数1y x =+的图象上,点1C 、2C 、3C 、…、n C 均在x 轴上,则点2021A 的坐标为（ ）A ．()2021202121,2-B ．()2020202021,2-C ．()2021202021,2-D ．()2020202121,2-【标准答案】B 【思路指引】首先分别求得A 1,A 2,A 3,A 4…的坐标,由此得到一定的规律,据此求出点2021A 的坐标． 【详解详析】解：把x =0代入1y x =+得,y =1,∴A 1的纵坐标是：1＝20,A 1的横坐标是：0＝20﹣1, 把x =1代入1y x =+得,y =2,∴A 2的纵坐标是：1+1＝21,A 2的横坐标是：1＝21﹣1,同理,A 3的纵坐标是：2+2＝4＝22,A 3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1, ∴A 4的纵坐标是：4+4＝8＝23,A 4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1, 据此可以得到A n 的纵坐标是：2n ﹣1,横坐标是：2n ﹣1﹣1． 即点2021A 的坐标为()2020202021,2-．故选：B ． 【名师指路】此题主要考查了坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．4．如图所示,已知点1B ,2B ,3B ……在直线2y x =-+上,点1A ,2A ,3A ……在x 轴上,点1C ,2C ,3C ……分别在y 轴、11A B 、22A B 上,四边形111A B C O 、2221A B C A 、3332A B C A ……都是正方形,则下列说法：①点1B 的坐标是(1,1)；②11222A B A B =；③点n B 的横坐标是112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭；④正方形1n n n n A B C A -的边长是112n -⎛⎫⎪⎝⎭其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【标准答案】A 【思路指引】根据2y x =-+,求出(0,2),(2,0)E F ,然后利用已知结合一次函数及正方形的性质,推出1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,的规律,及推出正方形边长的规律111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,然后利用规律依次进行判断．【详解详析】 解：如图：2y x =-+,(0,2),(2,0)E F ∴,2OE OF ∴==,又90EOF ∠=︒, 45OEF OFE ∴∠=∠=︒,又四边形111OA B C 为正方形,1111111,90OC C B EC B B C O ∴=∠=∠=︒, 1145C B E OEF ∴∠=∠=︒, 111B C C E ∴=,1111OC C B ∴==,1(1,1)B ∴,故①正确； 又11//A B OE ,1145A B F OEF ∴∠=∠=︒,又四边形1222A A B C 为正方形,1222122122,90AC B C B C B AC B ∴=∠=∠=︒, 22121245C B B C B B ∴∠=∠=︒, 212221C B C B C A ∴==,2122111122C A C B A B ∴===, 11122222A B AC A B ∴==,故②正确；1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,∴点n B 的横坐标是12111111++22222n n --⎛⎫++=- ⎪⎝⎭,故③错误；111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,故④正确； 综上所述：③错误, 故选：A ． 【名师指路】本题考查点的坐标规律,解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点,结合正方形的性质,寻找到点的坐标规律是解题的关键．5．如图所示,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,…都在x 轴上,点1B ,2B ,3B ,…都在直线y x=上,△11OA B ,△112B A A ,△212B B A ,△223B A A ,△323B B A ,…都是等腰直角三角形,如果11OA =,则点2021B 的坐标是（ ）A ．()2021202122，B ．()2020202022，C ．()2019201922，D ．()2018201822，【标准答案】B 【思路指引】利用直线y ＝x 上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质,可分别求得B 1、B 2、B 3的坐标,由此归纳总结即可求得B 2021的坐标． 【详解详析】解：∵11OA B 是等腰直角三角形,11OA =, ∴A 1B 1＝OA 1＝1, ∴点B 1的坐标为（1,1）, ∵112B A A 是等腰直角三角形,∴A 1A 2＝A 1B 1＝1, 又∵212B B A 是等腰直角三角形,∴22OA B 是等腰直角三角形, ∴A 2B 2＝OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝2, ∴点B 2的坐标为（2,2）, ∵323B B A 是等腰直角三角形,∴33OA B 是等腰直角三角形, ∴A 3B 3＝OA 3＝OA 2＋A 2A 3＝22, ∴点B 3的坐标为（22,22）,同理可得：A 4B 4＝OA 4＝23,点B 4的坐标为（23,23）, A 5B 5＝OA 5＝24,点B 5的坐标为（24,24）, ……∴B 2021的坐标为（22020,22020）, 故选：B ． 【名师指路】本题主要考查一次函数图象上点的坐标,利用等腰直角三角形的性质求得B 1、B 2、B 3的坐标是解题的关键． 6．如图,正方形AOCD 、正方形111A CC D 、正方形2122A C C D 的顶点A 、1A 、2A 和O 、C 、1C 、2C 分别在一次函数1y x =+的图象和x 轴上,若正比例函数y kx =则过点5D ,则k 的值是（ ）A ．6332B ．3263C ．3116D ．1631【标准答案】B【思路指引】根据正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特征求得点5D 的坐标,代入函数解析求得k 的值． 【详解详析】解：当0x =时,1y =,则(0,1)A ,1OC OA ∴==,则(0,1)C ,(1,1)D把1x =代入1y x =+知,2y =,则12A C =,则112CC AC ==． 此时1(12,12)D +⨯,即(3,2) 同理,2(124,22)D ++⨯,即(7,4)．3(1248,222)D +++⨯⨯,即(15,8)． 4(124816D ++++,42),即(31,16)． 5(12481632D +++++,52),即(63,32)．把5(63,32)D 代入y kx =, 得3263k =, 故选：B ． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的规律探究题、及正方形的性质,解题的关键是解答时按形成各点的形成顺序依次求出,从而找出规律．7．在平面直角坐标系中,直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示,依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C ,、正方形1n n n n A B C C -,使得点123,,,A A A 在直线l 上,点123,,,C C C 在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标为（ ）A ．()201920202,21-B ．()202020202,2C ．()202020212,21-D ．()201920202,21+【标准答案】C 【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标的变化可找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论． 【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标为（22020,22021-1）． 故选：C ． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键． 8．如图,直线1:1l y x =+与直线211:22l y x =+相交于点()1,0P -．直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发,先沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点1B 处后,改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点1A 处后,再沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点2B 处后,又改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点2A 处后,仍沿平行于x 轴的方向运动,…照此规律运动,动点C 依次经过点1B ,1A ,2B ,2A ,3B ,3A ,…,2014B ,2014A ,…则当动点C 到达2021A 处时,运动的总路径的长为（ ）A ．22021B ．202122-C ．202021+D ．202222-【标准答案】D 【思路指引】由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,则B 1纵坐标为1,代入直线l 2：y =12x +12中,得B 1（1,1）,又A 1、B 1横坐标相等,可得A 1（1,2）,则AB 1=1,A 1B 1=2-1=1,可判断△AA 1B 1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得△A 1A 2B 2、△A 2A 3B 3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式,分别求AB 1+A 1B 1,A 1B 2+A 2B 2的长,得出一般规律． 【详解详析】解：由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式可知,B 1（1,1）,AB 1=1, A 1（1,2）,A 1B 1=2-1=1,AB 1+A 1B 1=2,B 2（3,2）,A 2（3,4）,A 1B 2=3-1=2,A 2B 2=4-2=2,A 1B 2+A 2B 2=2+2=4=22, …,由此可得A n -1B n +A n B n =2n ,所以,当动点C 到达A n 处时,运动的总路径的长为2+22+23++2n =2n +1-2,所以,当动点C 到达A 2021处时,运动的总路径的长为22022-2, 故选：D ． 【名师指路】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x 轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y 轴的直线上点的横坐标相等,得出点的坐标,判断等腰直角三角形,得出一般规律．9．如图,在平面直角坐标系中,四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ,…都是菱形,点123,,A A A …都在x 轴上,点123,,C C C ,…都在直线3333y x =+上,且11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==︒=,则点n C 的横坐标是（ ）A ．2321n -⨯-B ．2321n -⨯+C ．1321n -⨯-D ．1321n -⨯+【标准答案】A【思路指引】分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D,利用勾股定理及根据菱形的边长求得1A 、2A 、3A ⋯的坐标然后分别表示出1C 、2C 、3C ⋯的坐标找出规律进而求得n C 的坐标． 【详解详析】解：分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D 如下图：11OA =,11OC ∴=,1121232360C OA C A A C A A ∴∠=∠=∠=⋯=︒,在11Rt OC D 中,111122OD OC ==根据勾股定理得：2221111OD OC C D =-,即222111()2OD =-,解得：13OD =1C ∴3横坐标为12,11(2C ∴3),四边形111OA B C ,1222A A B C ,2333A A B C ,⋯都是菱形, 122A C ∴=,234A C =,348A C =,⋯,2C ∴的纵坐标为：22122122413A C D D AC =--代入3333y x =+,求得横坐标为2,2(2,3)C ∴,3C 的纵坐标为：2223233316423C D A A C D =-=-=,代入3333y x =+,求得横坐标为5, 3(5C ∴,23), 4(11C ∴,43),5(23C ,83), 6(47C ∴,163)；,⋯,2(321n n C -⨯-,223)n -则点n C 的横坐标是：2321n -⨯-, 故选：A ． 【名师指路】本题是对点的坐标变化规律的考查,主要利用了菱形的性质,解直角三角形,根据已知点的变化规律求出菱形的边长,得出系列C 点的坐标,找出规律是解题的关键． 10．如图所示,直线3333y x =+与y 轴相交于点D ,点1A 在直线3333y x =+上,点1B 在x 轴上,且11OA B 是等边三角形,记作第一个等边三角形；然后过1B 作121B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点2A ,点2B 在x 轴上,再以12B A 为边作等边三角形221A B B ,记作第二个等边三角形；同样过2B 作231B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点3A ,点3B 在x 轴上,再以23B A 为边作等边三角形332A B B ,记作第三个等边三角形；…依此类推,则第n 个等边三角形的顶点n A 纵坐标为（ ）A ．12n -B ．22n -C ．123n -D ．223n -【标准答案】D 【思路指引】可设直线与x 轴相交于C 点．通过求交点C 、D 的坐标可求∠DCO =30°．根据题意得△COA 1、△CB 1A 2、△CB 2A 3…都是等腰三角形,且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解． 【详解详析】解：设直线与x 轴相交于C 点．分别过A 1、A 2、A 3作x 轴的垂线,垂足分别为E 、F 、G令x =0,则y = 3y =0,则x =-1． ∴OC =1,OD =3 ∴2222CD OC OD OC +== ∴∠DCO =30°． ∵△OA 1B 1是正三角形, ∴∠A 1OB 1=60°． ∴∠CA 1O =∠A 1CO =30°, ∴OA 1=OC =1． ∴OE =12OA 1=12． ∴13A E =即A 13同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2,23A F 即A 23 第三个正三角形的边长=1+1+2=4,323A G =即A 3纵坐标为23 ∴第n 个正三角形的边长=12n -,A n 纵坐标为223n - 故选：D ． 【名师指路】此题考查一次函数的应用及正三角形的有关计算,综合性强,难度大．二、填空题11．如图在平面直角坐标系中,△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形,其直角顶点P 1(3,3),P 2,P 3…均在直线143y x =-+上,则点P 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】202032【思路指引】过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,分别求出23P P 、两点的纵坐标,找出规律,即可求解． 【详解详析】解：过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,如下图：△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形 则点123B B B 、、分别为线段11232OA A A A A 、、的中点,由直角三角形的性质可得1111PB A B =,221222P B A B A B ==,332333P B A B A B == 由()133P ，,则1B (30)，,1(6,0)A 设2(0)B a ，,则22126P B A B a ==-,2(,6)P a a - 又因为P 2,P 3…均在直线143y x =-+上所以1643a a -=-+,解得152a =,2153(,)22P同理可以求出3393(,)44P123P P P 、、的纵坐标分别为11332-=,2132-,3132- 可以得到n P 的纵坐标为132n -则点2021P 的纵坐标为202032故答案为202032【名师指路】此题考查了直角坐标系中点坐标规律的探索,涉及了等腰直角三角形的性质,一次函数的性质等,根据已知条件利用相关性质求出23P P 、的坐标,找到规律是解题的关键．12．正方形111A B C O ,2221A B C C ,3332A B C C ,…,按如图所示的方式放置,点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B ,则n B 的横坐标是_____．【标准答案】12n - 【思路指引】根据()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,……,即可归纳出n B 的横坐标． 【详解详析】解：∵点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B , ∴1A （0,1）,2A （1,2）,3A （3,4）,……, ∴()37,4B ,4A （7,8）,()415,8B ,∴()121,2n n n B --,故答案是：12n -． 【名师指路】本题主要考查一次函数图像和正方形的性质,根据点()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,找出n B 横坐标的变化规律,是解题的关键．13．如图,在平面直角坐标系中,点123,,,A A A ,都在x 轴正半轴上,点123,,,B B B ,都在直线y kx=上,1130B OA ∠=︒,112223334,,,A B A A B A A B A ∆∆∆,都是等边三角形,且11OA =,则点6B 的横坐标是_______．【标准答案】48 【思路指引】设△1n n n B A A +的边长为n a ,根据直线的解析式得出30n n A OB ∠=︒,再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出30n n OB A ∠=︒,190n n OB A +∠=︒,从而得出13n n n B B a +=,由点1A 的坐标为(1,0),得到11a =,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯,12n na ,即可解决问题．【详解详析】解：过1B 作1B C x ⊥轴于C ,过2B 作2B D x ⊥轴于D ,过3B 作3B E x ⊥轴于E ,如图所示：设△1n n n B A A +的边长为n a ,则121212AC A C A A ==,232312A D A D A A ==,⋯, 113BC ∴,223B D ,333B E ,⋯, 13(2B ∴3),点1B ,2B ,3B ,⋯是直线y kx =上的第一象限内的点, 3k ∴=30n n A OB ∠=︒,又△1n n n A B A +为等边三角形,160n n n B A A +∴∠=︒,30n n OB A ∴∠=︒,190n n OB A +∠=︒,13n n n n B B OB a +∴==,11OA =,∴点1A 的坐标为(1,0),11a ∴=,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯, 12n na ,632a ∴=,∴点6B 的横坐标为633324822a =⨯=, 故答案为：48． 【名师指路】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质等,解题的关键是找出规律13n n n n B B OB a +==．14．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -,使得点1A 、2A 、3A 、…在直线l 上,点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标是__________．【标准答案】（22020,22021-1） 【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质,可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标变化可找出变化规律：“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论． 【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标是（22020,22021-1）． 故答案为：（22020,22021-1）． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．15．正方形111A B C O ,正方形2221A B C C ,正方形3332A B C C ,…按如图所示放置,点1A ,2A ,3A ,…在直线y kx b =+上,1C ,2C ,3C ,…在x 轴上,已知()11,1B ,()23,2B ,则n B 的坐标为______．【标准答案】()121,2n n -- 【思路指引】首先利用待定系数法求得直线A 1A 2的解析式,然后分别求得B 1,B 2,B 3...的坐标,可以得到规律：B n (2n -1,2n -1),据此即可求解. 【详解详析】B 1的坐标为(1,1),点B 2的坐标为(3,2),..正方形111A BC O 边长为1,正方形2221A B C C 边长为2,∴A 1的坐标是(0,1),A 2的坐标是 (1,2),代入y kx b =+得：12b k b =⎧⎨+=⎩,解得：11k b =⎧⎨=⎩, 则直线A 1A 2的解析式是：1y x =+, A 1B 1= 1,点B 2的坐标为(3,2),∴点A 3的坐标为(3,4), ∴A 3C 2= A 3 B 3 = B 3C 3= 4,∴点B 3的坐标为(7,4),∴B 1的纵坐标是：1=20,B 1的横坐标是：1 =21 -1, ∴B 2的纵坐标是：2=21,B 2的横坐标是：3 =22-1, ∴B 3的纵坐标是：4=22,B 3的横坐标是7 =23-1, ∴B n 的纵坐标是：2n -1,横坐标是：2n -1,则B n ：( 2n -1 ,2n -1), 故答案为：( 2n -1 ,2n -1) 【名师指路】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律． 此题难度较大,注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.16．如图,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,⋯和1B ,2B ,3B ,⋯分别在直线15y x b =+和x 轴上,△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,如果点1(1,1)A ,那么点2020A 的纵坐标是__．【标准答案】20193()2【思路指引】 由题意易得1455y x =+,设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y ,则有221455y x =+,331455y x =+,…..,202020201455y x =+,然后根据等腰直角三角形的性质可得2122x y y =+,312322x y y y =++,….,进而将点的坐标依此代入即可求解．【详解详析】解：1(1,1)A 在直线15y x b =+, 45b ∴=, 1455y x ∴=+, 设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y , 则有221455y x =+,331455y x =+,⋯202020201455y x =+,又△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,2122x y y ∴=+, 312322x y y y =++,⋯2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++,将点坐标依次代入直线解析式得到：21112y y =+, 3121131222y y y =++= 2y , 432y = 3y , ⋯202032y =2019y , 又11y =,232y ∴=, 33(2y =2), 43(2y =3),⋯20203(2y =2019),故答案为：3(22019)． 【名师指路】本题主要考查一次函数的规律题,解题的关键是找到点的坐标规律．17．平面直角坐标系xOy 中,点A 1,A 2,A 3,……和B 1,B 2,B 3,……分别在直线y ＝13x +23和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,……都是等腰直角三角形,如果A 1（1,1）,则点A 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】22020 【思路指引】利用待定系数法可得A 1、A 2、A 3的坐标,进而得出各点的坐标的规律． 【详解详析】 解：∵A 1（1,1）,∵△OA 1B 1为等腰直角三角形 ∴点B 1 (0,2),∵直线OA 1,B 1A 2,B 2A 3互相平行,而已知直线OA 1的解析式为：y x = ∴直线12B A l 的解析式为：2y x =-, ∴设A 2（2+a ,a ）,则a =13（a +2）+23,解得a =2, ∴A 2（4,2）,∵△B 1A 2B 2为等腰直角三角形 ∴点B 2 (0,6),直线23B A l 的解析式为：6y x =- 设A 3（6+b ,b ）,则有b =13（6+b ）+23,解得b =4, ∴A 3（10,4）,由此发现点A n 的纵坐标为2n -1, 即点A 2021的纵坐标是22020,故答案为：22020． 【名师指路】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．如图,已知直线a ：y x =,直线b ：12y x =-和点()1,0P ,过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ,过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ,过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ,过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4P ,…,按此作法进行下去,则点2021P 的横坐标为________．【标准答案】21010． 【思路指引】点P （1,0）,P 1在直线y =x 上,得到P 1（1,1）,求得P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,得到P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,求得242nn P =,于是得到结论． 【详解详析】解：∵点P （1,0）,P 1在直线y =x 上, ∴P 1（1,1）, ∵P 1P 2∥x 轴,∴P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,∵P 2在直线12y x =-上,∴112x =-∴x =-2,∴P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,∴242nn P =,∴P 2020的横坐标为1202022⨯=21010, ∴P 2021的横坐标为21010, 故答案为：21010． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,规律型：点的坐标,正确的作出规律是解题的关键．19．如图,在平面直角坐标系中,点()11,1A 在直线y x =图象上,过1A 点作y 轴平行线,交直线y x =-于点1B ,以线段11A B 为边在右侧作正方形1111D C B A ,11C D 所在的直线交y x =的图象于点2A ,交y x =-的图象于点2B ,再以线段22A B 为边在右侧作正方形2222A B C D 依此类推,按照图中反应的规律,第2020个正方形的边长是_______．【标准答案】201923⨯ 【思路指引】通过计算可得第一个正方形的边长为2,第二个正方形的边长为6,……,通过探究规律,利用规律解决问题即可． 【详解详析】解：由题意,1(1,1)A ,1(1,1)B -,112A B ,∴第一个正方形的边长为2,112A D ∴=,2(3,3)A ∴,2(3,3)B -,2223=6A B ∴=⨯,∴第二个正方形的边长为6,226A D ∴=,3(9,9)A ∴,3(9,9)B -,即：232(3)3A ，, 223(33)B ，-,233=2318A B ∴⨯=,∴第三个正方形的边长为18,4(27,27)A ∴,4(27,27)B -,即：334(3)3A ，, 334(33)B ，-,434=2354A B ∴⨯=⋯,可得1(3n n A -,13)n -,1(3n n B -,13)n --,1=23n n n A B -⨯ 第2020个正方形的边长为201923⨯． 故答案为： 201923⨯． 【名师指路】本题考查一次函数图像上的点的特征,规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型． 20．如图,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,点B 1的横坐标为2,过点B 1作B 1A 1⊥l ,交x 轴于点A 1,以A 1B 1为边,向右作正方形A 1B 1B 2C 1,延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边,向右作正方形A 2B 2B 3C 2,延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边,向右作正方形A 3B 3B 4C 3,延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去,则第n 个正方形A n B n B n +1C n 的边长为 ___（结果用含正整数n 的代数式表示）．5×（32）n -1 【思路指引】设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,由点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,可得OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +tan α＝1B H OH＝12,Rt △A 1B 1O 中,求得A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15,在Rt △A 2B 2O 中,求得第25×32,在Rt △A 3B 3O 中,求得第3个5×945×（32）2,在Rt △A 4B 4O 中,求得第45×2785×（32）3,......观察规律即可得：第n 个正方形边长是52×（32）n -1． 【详解详析】解：设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,如图：∵点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,令x ＝2得y ＝1, ∴OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +∴tan α＝1B H OH＝12, Rt △A 1B 1O 中,A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15, ∴OB 2＝OB 1＋B 1B 2555×3,Rt △A 2B 2O 中,A 2B 2＝OB 2•tan α5×3×125×32,即第25×32,∴OB 3＝OB 2＋B 2B 35×35×325×92,Rt △A 3B 3O 中,A 3B 3＝OB 3•tan α5×92×125×94,即第35×945×（32）2,∴OB 4＝OB 3＋B 3B 45×925×945×274,Rt △A 4B 4O 中,A 4B 4＝OB 4•tan α5×274×125×278,即第45×2785×（32）3,.....．根据规律可知：第n 5×（32）n -1, 5×（32）n -1． 【名师指路】本题考查一次函数图象上点的特征,涉及解直角三角形、规律探索等知识,解题的关键是tan α＝12的应用．三、解答题21．在学习了一次函数后,某校数学兴趣小组根据学习的经验,对函数y=-｜x ｜-2的图象和性质进行了探究,下面是该兴趣小组的探究过程,请补充完整:(1)自变量x 的取值范围是全体实数,x 与y 的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ...-5-4-3n-3-4-5...①n= ；②如图,在所给的平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象；(2)当一2＜x≤5时,y 的取值范围是 ； (3)根据所画的图象,请写出一条关于该函数图象的性质.【标准答案】（1）①-2,②见解析；（2）72y -≤≤-；（3）函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等. 【思路指引】（1）①把x=0代入函数表达式,即可得出n 的值；②把表格中7个点画在坐标系中,根据点的变化趋势,即可画出此函数的图象； （2）结合图象,当一2＜x≤5时,72y -≤≤-. （3）结合图象,可得当x=-2时,y=0. 【详解详析】解：（1）①把x=0代入y=-x-2,得y=-2 ②如图所示即为函数图象；（2）当一2＜x≤5时,从图像中可看出最高点纵坐标为-2,最低点纵坐标为-7, ∴72y -≤≤-.（3）结合图象,可得函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等.【名师指路】本题主要考查一次函数的图象与性质,解题的关键是掌握函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及一次函数的性质．22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2,222a ab b a b ±+=±,如何将双526±56±(22236232±=完全平方的形式,因()25263232±±材料二：在直角坐标系xOy 中,对于点P(x,y)和Q(x,y’)给出如下定义：若(0)y (0)y x y x ≥⎧=⎨-<'⎩则称点Q 为点P的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5)．问题： （1）点(2,3-的“横负纵变点”为 ,点()33,2--的“横负纵变点”为 ；（27210+；（3）已知a 为常数（1≤a≤2）,点M(-2是关于x 的函数12121y a a a a x=-+---图像上的一点,点M’是点M 的“横负纵变点”,求点M’的坐标． 【标准答案】（1）2-3，,()-332，；（2253）(22)【思路指引】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．（3）首先化简双重二次根式,再根据待定系数法,“横负纵变点”解决问题即可． 【详解详析】解：（1）根据题目意思,(0)(0)y x y y x ≥⎧=⎨-<'⎩0和0-<,点的“横负纵变点”为,点()2--的“横负纵变点”为()2，,故答案为：,()2；（2）∵257,2510+=⨯=（3）∵1(1)a a +-=,1(1)1a a -=- 112-11-y xx x⎛⎫=-==⎪⎝⎭∵点M(是关于x 的函数1y x=-图像上的一点,∴m =-即：M （,又∵点M’是点M 的“横负纵变点∴M′的坐标为（ 【名师指路】本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,横负纵变点”的定义,双重二次根式的化简等知识,解题的关键是理解题意,学会模仿解决问题,属于中考常考题型．23．小东同学根据函数的学习经验,对函数y =1x - +3x +进行了探究,下面是他的探究过程： （1）已知x ＝-3时3x += 0；x ＝1 时1x -= 0,化简： ①当x ＜-3时,y ＝ ； ②当-3≤x ≤1时,y ＝ ； ③当x ＞1时,y ＝ ．（2）在平面直角坐标系中画出y ＝|x ﹣1|+|x +3|的图象,根据图象,写出该函数的一条性质： ；【标准答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）画出图象见解析；函数图象不过原点．【思路指引】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象,则易得一条函数性质；【详解详析】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0∴当x＜﹣3时,y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时,y＝1﹣x+x+3＝4；③当x＞1时,y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象,如图所示：根据图象,该函数图象不过原点．故答案为：函数图象不过原点；【名师指路】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算,数形结合是解题的关键．24．城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接,其收费y 1（元）与复印页数x （页）的关系如下表：（1）y 1与x 的函数关系是否满足一次函数关系？（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费,则可按每页0.10元收费,请写出明晰复印社每月收费y 2（元）与复印页数x （页）的函数表达式； （3）你若是班级的学习委员,在复印资料时,选择哪家复印社比较优惠,说明理由．【标准答案】（1）y 1与x 的函数关系满足一次函数关系．（2）y 2=0.1x+200．（3）当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社；当复印量小于4000页时,选择宏图复印社． 【思路指引】（1）设y 1=kx+b,由题意找出满足两个量的函数关系式,即可得解． （2）由题中三个量的关系即可得出函数表达式．（3）由前两题的函数表达式,找出中间量,由此再得出一元一次不等式,即可得解． 【详解详析】解：（1）设y 1=kx+b,把（100,15）和（200,30）分别代入,得：1001520030k b k b +⎧⎨+⎩＝＝, 解得：0.150k b ⎧⎨⎩＝＝．∴函数的表达式可能为y 1=0.15x ；把（400,60）和（1000,150）分别代入,可得等式成立． ∴y 1与x 的函数关系满足一次函数关系． （2）由题意得,y 2=0.1x+200．（3）由0.150.1200y xy x ⎧⎨+⎩＝＝,解得： 4000600x y ⎧⎨⎩＝＝． 即当复印4000页是,两家收费均为600元；∴此时选择两家都可以．由0.15x＞0.1x+200,解得：x＞4000；∴当复印量大于4000页时,宏图复印社的收费大于明晰复印社,此时应选择明晰复印社．同理,当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．综上所述,当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社．当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．【名师指路】本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用,理解题中各个量的关系是解题的关键．25．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝ka+b（k＞0）和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2)．（1）求k、b的值；（2）填写下列各点的坐标：B3( , ),B n( , )．【标准答案】（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4；2n﹣1,2n﹣1【思路指引】（1）根据已知B1（1,1）,B2（3,2）,求出A1（0,1）,A2（1,2）,就可以确定一次函数的解析式；（2）根据图象能够求得B3（7,4）,通过观察图象可以得到B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n 的纵坐标；再通过A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）的规律,确定B n（2n﹣1,2n﹣1）的规律,进而求解本题．【详解详析】解：（1）∵点B1（1,1）,B2（3,2）,∴A1（0,1）,A2（1,2）,将点A1,A2代入直线y＝kx＋b（k＞0）得：12bk b=⎧⎨+=⎩,解得：11kb=⎧⎨=⎩；（2）通过观察图象可知B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n的纵坐标, ∵A3（3,4）,A4（7,8）,∴A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）,∴B n（2n﹣1,2n﹣1）,∴B3（7,4）．故答案为：（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4,2n﹣1,2n﹣1．【名师指路】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．26．平面直角坐标系中,设一次函数y＝（2a﹣1）x+3﹣b的图象是直线l1．（1）如果把l1向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,求a,b的值；（2）当直线l1过点(m,6﹣b)和点(m+3,4a﹣7)时,且﹣3＜b＜12,求a的取值范围；（3）点P(﹣2n+3,3n﹣1)在直线l2上运动,直线l2与直线l1无交点,求a、b所需满足的条件．【标准答案】（1）a的值为2,b的值为0；（2）﹣132＜a＜1；（3）1412ab⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩【思路指引】（1）根据一次函数平移的规律列方程组求解；（2）将两点坐标代入解析式得出方程组,求出a、b的等量关系式,再根据b的取值范围求出a的取值范围；（3）先设点P（x,y）,然后根据点P坐标找出x、y之间关系式,利用两直线无交点即平行（k相等,b不等）列出算式求解．【详解详析】解：（1）∵y＝（2a﹣1）x+3﹣b向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,∴213 321ab-=⎧⎨--=⎩,∴20 ab=⎧⎨=⎩,即a的值为2,b的值为0；（2）由题意知,代入点(m ,6﹣b )和点(m +3,4a ﹣7),得 ()()()2136213347a m b ba mb a ⎧-+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎩, 两式相减得,b ＝2a +10, ∵﹣3＜b ＜12, ∴﹣3＜2a +10＜12, ∴﹣132＜a ＜1； （3）设点P 坐标为（x ,y ）,则2331n x n y -+=⎧⎨-=⎩①② , 由①知,n ＝12（3﹣x ）＝3-22x ,代入②得,3（3-22x）﹣1＝y ,∴y ＝3722x -+,∵直线l 2与直线l 1无交点, ∴3212732a b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩,解得1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩．【名师指路】本题考查一次函数的图象和性质,以及一次函数平移的规律,掌握基本的性质是解题的关键．27．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨．表记录了这5h 内6个时间点的水位高度,其中t 表示时间,y 表示水位高度．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？（2）水位高度y 是否为时间t 的函数？如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？（3）据估计这种上涨规律还会持续2h ,预测再过2h 水位高度将为多少米．【标准答案】（1）是,在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的；（2）0.3305()y t t =+≤≤,图见解析,可以近似地表示水位的变化规律；（3）5.1m 【思路指引】（1）根据题目要求描出表中数据对应的点,连接画出的点可得这些点是在一条直线上,继而根据一次函数的性质得出规律；（2）根据待定系数法求解析式,根据数形结合的思想画出函数图象,结合一次函数的性质即可求得水位的变化规律；（3）由题意可得再过2h ,即()527h t =+=,代入函数解析式即可求解． 【详解详析】解：（1）如图,描出表中数据对应的点可以看出,这6个点在一条直线上．再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3m ．由此猜想,如果画出这5h 内其他时刻（如 2.5h t =等）及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．（2）由于水位在最近5h 内持续上涨,对于时间t 的每一个确定的值,水位高度y 都有唯一的值与其对应,所以y 是t 的函数．开始时水位高度为3m ,以后每小时水位上升0.3m ．∴函数0.3305()y t t =+≤≤是符合表中数据的一个函数,它表示经过h t 水位上升0.3m t ,即水位y 为()0.33m t +．其图象是图中点()0,3A 和点()5,4.5B 之间的线段AB ．。
用函数观点解决规律探究类的问题
２ ０ １ ４ 年１ 月
人此公式 ， 可得 １ ０ ０ ｚ － ２ ￣ １ ０ ０ ＋ ３ ＝ ９ ８ ０ ３ ． 下面笔者再举一个 图形方 面的例子．
解 法 探 究
项得 出一组新 数列为 ： １ ６ ， ３ ２ ， ５ ４ ， ８ ２ ， １ １ ６ ， １ ５ ６ ， ２ ０ ２ ， …， 再
解 析 ：我们把 以上 数据依 次排列 ： １ ８ ０ 。 ， ３ ６ ０ 。 ， ５ ４ ０ 。 ，
７ ２ ０ 。 ， …， 发现后 项减前项差都是 １ ８ ０ 。 ， 是一 阶等差 ， 故有
Ａ ＝ ａ ｎ ＋ｂ ．
则得 ｛ ｉ ３ ａ ＋ ｂ ＝ ｌ ８ ０ ． 解得 ． ．ｆ ｛ ａ ＝ ｌ ８ ０ ，
二、 利 用 二 次 函 数 的 知 识 来 解 决 规 律 探 究 题
相对来说 ，结果是一次 函数 的规律探究题还是 比较
分析 ： 通过观察 ， 我们不难发 现这些数 的规律 是 ： 后
项 与前项 的差相 等 （ 高 中叫等差数列 ） ， 都等 于２ ， 我们姑
且把 这一列数字称之为一 阶等差 数列． 这 与我们学 过的
解法探 究
２ ０ １ ４ 年１ 月
用函数观点解决规律探究类的问题
⑩ 浙 江 省 天 台 县 石 梁 学 校 叶 志 敏
数学课程标 准指出…： “ 数学 的学 习 内容要有 利于学 生主动地进行观察 、 实验 、 猜测 、 推理与交流 ， 使学生能通 过 观察 、 实验、 归纳 、 类 比等 方法获 得数 学猜想 ． ” 探索规 律 的数学 问题正好体现 了这个 要求．由于这类数学 问题
吗？
点评 ： 以后 遇 到 这 类 题 目， 只 要 我 们 观 察 到 因 变量 一
高中数学教案：探究二次函数的图像变化规律
高中数学教案：探究二次函数的图像变化规律一、二次函数的图像变化规律二次函数是高中数学中重要且常见的一个函数类型，其图像特征具有独特性和规律性。
通过对二次函数的图像变化进行探究，能够帮助学生深入理解二次函数的性质和作用。
本教案将针对二次函数的图像变化规律展开讨论，并设计相应的教学活动，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、顶点坐标的变化规律在寻找一个二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的平移、纵向伸缩或压缩时，首先需要确定顶点坐标。
1. 平移：平移是指将原来图像上所有点同时沿x轴或y轴方向移动一定距离。
当y=ax^2+bx+c（a≠0）向左平移h个单位时，新的函数为y=a(x+h)^2+b(x+h)+c；当y=ax^2+bx+c（a≠0）向右平移k个单位时，新的函数为y=a(x-k)^2+b(x-k)+c。
其中h为正数表示向右平移，k为正数表示向左平移。
2. 纵向伸缩或压缩：纵向伸缩或压缩是指将原来图像上所有点在y轴方向进行拉伸或压缩。
当纵向伸缩倍数为k（k>0）时，新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；当纵向压缩倍数为1/k（k>0）时，新的函数为y=a((1/k)x)^2+b((1/k)x)+c。
三、对称轴的变化规律二次函数的对称轴是指二次函数图像相对于直线x=-b/2a而言的对称性。
探究二次函数对称轴的变化规律可以帮助学生理解其图像形态和特点。
1. 平移：当y=ax^2+bx+c（a≠0）向左平移h个单位时，原来的对称轴方程为x=-b/2a，新的对称轴方程变为x=-(b-ah)/2a；当y=ax^2+bx+c（a≠0）向右平移k个单位时，新的对称轴方程变为x=-(b+ak)/2a。
2. 纵向伸缩或压缩：纵向伸缩或压缩不会改变二次函数图像关于直线x=-b/2a的对称轴。
四、开口方向及开口值得变化规律二次函数的开口方向与系数 a 的正负有关。
当 a>0 时，二次函数图像开口朝上；当 a<0 时，二次函数图像开口朝下。
高中数学教案：探究二次函数的图像变化规律
高中数学教案：探究二次函数的图像变化规律一、引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握二次函数的图像变化规律对于学生理解数学概念和解决实际问题具有重要意义。
本教案的目标是帮助学生通过探究二次函数的图像变化规律，加深对二次函数的认识并培养学生的数学思维能力。
二、二次函数的定义和基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c 都是实数而且a≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条平滑的曲线，称为抛物线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
3. 二次函数的顶点：二次函数的图像上取得最小值或最大值的点，称为顶点。
顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-b/2a)。
4. 二次函数的对称轴：二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称。
三、二次函数的图像变化规律1. 根据a的正负判断开口方向：当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
2. 根据a的绝对值大小判断抛物线的狭长程度：当|a| > 1时，抛物线狭长；当|a| < 1时，抛物线宽短。
3. 根据a的正负和顶点的纵坐标判断抛物线的最值：当a > 0时，抛物线的最小值为y₀；当a < 0时，抛物线的最大值为y₀。
4. 根据a对抛物线的平移效果：当a不等于1时，抛物线在y方向上伸缩；当a的绝对值大于1时，抛物线在x方向上压缩。
5. 根据对称轴的位置判断抛物线的平移：横坐标平移-x₀的单位，纵坐标平移y₀的单位。
四、教学步骤1. 导入：通过展示一幅抛物线图像引起学生的兴趣，向学生提出如下问题：你认为什么因素影响了抛物线的图像呢？2. 基础知识巩固：复习二次函数的定义和基本性质，确保学生对基础知识掌握程度。
3. 探究活动：将学生分成小组，每个小组探究一个因素对二次函数图像的影响。
一元二次函数根的分布规律探究
一元二次函数根的分布规律探究发表时间：2013-01-21T09:26:17.043Z 来源：《新校园》学习版2012年第9期供稿作者：常庆[导读] 分两根分布在同一区间与两根分布在不同区间两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用，有助于学生掌握其精髓。
常庆（安徽师范大学，安徽芜湖241000）引例：方程x2-2ax+4=0 的两根均大于1，求实数的取值范围。
分析:此种解法思路简单，但是求解过程计算量太大。
此例属于一元二次函数根的实根分布问题。
一元二次函数根的实根分布问题是初高中数学衔接的一个重要问题，也是高考的一个热点问题。
一元二次方程根的分布也是二次函数中的重要内容，也是历来学生难以掌握的地方。
这部分知识在初中数学中虽有所涉及，但远远不够系统和完整。
而且解题方法多局限于应用判别式法和根与系数的关系。
本文通过“数形结合、函数与方程”浅显易懂的简析。
分两根分布在同一区间与两根分布在不同区间两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用，有助于学生掌握其精髓。
设方程ax2+bx+c=0(a>0)的不等两根为x1,x2 且x1<x2，相应的二次函数为f(x)=ax2+bx+c，方程的根即为二次函数图像与轴的交点.情况一：两根分布在同一区间情况二：两根分布在不同区间对表二的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况：1.若f(m)=0或f(n)=0，则此时f(m)·f(n)<0 不成立，但对于这种情况知道了方程有一根为m 或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m,n)内，从而可以求出参数的值．求出参数值后需检验是否满足题意。
若不满足题意，则舍去所得参数值。
2.方程有且只有一根，且这个根在区间(m,n)内，只要满足驻＝0，此时由驻＝0 可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数. 练习：已知二次方程x2+(m-3)x=0，根据下列条件求m 的范围.。
一次函数图象的平移规律
一次函数图象的平移规律-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一次函数图象平移的探究我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？【探究一】函数图像的上下平移我们先从一些具体的函数关系开始.问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1．问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现：将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现)我们再来探究一般情况.问题3已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m．问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成)由此我们得到：直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律．这个规律可以简记为：函数值：上加下减以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移问题5已知直线l：y=3x-12，将直线l向左平移5个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数k相等”，可设直线l1的解析式为y=3x+b，直线l交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线l1的解析式为y=3x+3．问题6 已知直线l：y=3x-12，将直线l向右平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=3x-21．(解答过程请同学们自己完成)直接观察结果，很难发现其中的一般规律，那么我们尝试着探究一般情况.问题7 已知直线l ：y=kx+b ，将直线l 向左平移n 个单位长度得到直线l 1，求直线l 1的解析式．简解：设直线l 1的解析式为y=kx+p ，直线l 交x 轴于点(,0)b k- ，向左平移n 个单位长度后变为(,0)b n k --，把(,0)b n k--坐标代入l 1的解析式可得0()b k n p k=--+，p=kn+b ．从而直线l 1的解析式为y=kx+km+b ，即y=k (x+m )+b ．问题8 已知直线l ：y=kx+b ，将直线l 向右平移n 个单位长度得到直线l 2，求直线l 2的解析式．答案：直线l 2的解析式为y=k (x -m )+b ．(解答过程请同学们自己完成) 通过对于一般情况的研究，我可以发现一些变化的规律，现在我们用刚才的具体的函数关系来验证一下我们得到的规律.将直线l ：y=3x -12向左平移5个单位长度得到直线l 1的解析式为：y=3x +3，这个函数关系可以改写为：y=3(x +5)-12；将直线l ：y=3x -12向右平移3个单位长度得到直线l 2的解析式为：y=3x -21，这个函数关系可以改写为：y=3(x -3)-12.由此我们得到：直线y=kx+b 向左平移n （n 为正）个单位长度得到直线y=k (x+n )+b ， 直线y=kx+b 向右平移n （n 为正）个单位长度得到直线y=k (x -n )+b ， 这是直线y=kx+b 左右(或沿x 轴)平移的规律．这个规律可以简记为：自变量：左加右减总结：一次函数图像平移的规律函数值：上加下减；自变量：左加右减.※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律.下面，我们对直线(0)y kx b k =+≠在平移规律中”左加右减”作一点解释.我们知道，对于直线(0)y kx b k =+≠上的任意一点的坐标可以表示为(,)x kx b +，反过来我们可以先将y kx b =+变一下形，得到：y b x k k=- ，则此时直线上任意一点的坐标就可以表示为(,)y b y k k-，由左右平移横坐标会发生变化，不改变纵坐标大小(即令y 恒定).由此可知：如果一次函数图象向右移平移了n 个单位，那么平移后点的坐标就会变成(,)y b n y k k -+ ，即 y b x n k k=-+，化成一般可得kx y b kn =-+，变形可得y k b x n -=+（）式 所以“右减”. 同理，如果一次函数的图象向左平移n 个单位，那么平移后点的坐标就会变成(,)y b n y k k -- ，即 y b x n k k=--，化成一般可得kx y b kn =--，变形可得y k b x n +=+（）式 所以“左加”.如果我们从平移过程中函数图象与坐标轴的截距的变化情况也可以看出，当函数图象向左或向右平移n 个单位时，函数图象在x 轴上的截距减小或增大n个单位，而在y轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加n个单位。
【例题讲解】探究反比例函数中的周期型规律问题例完整版课件
第5秒，粒子运动到点：(－2，0) ；第6秒，粒子运动到点：(－2 ，－2) 第7秒，粒子运动到点：(0，－2) ； 第8秒，粒子运动到点：(2，－2)
例
如图，正方形ABCD的对称轴为坐标轴，反比例函数y＝4 经过正方形的两个顶点，一个粒 x
子从点A开始，沿着A→B→C → D方向以2个单位每秒的速度循环运动，探索第2020秒时是
几步操作的点坐标，然后找出内在规律，再利用商和余数求出点在第几个周期，第几个位置．
再见
例
如图，正方形ABCD的对称轴为坐标轴，反比例函数y＝ 4 经过正方形的两个顶点，一个粒 x
子从点A开始，沿着A→B→C → D方向以2个单位每秒的速度循环运动，探索第2020秒时是
否落在反比例函数上．
y
分析 求出B点坐标
确定点A、C、D坐标
（-2，2）
找周期确定最终位置
C
B（2，2）
O
x
解答 因为点B在反比例函数y＝ 4 上， x
否落在反比例函数上．
y
解答 第9秒，粒子运动到点：(2，0)
（-2，2）
C
B（2，2）
粒子的运动周期为8秒 2020÷8＝252……4， 所以第2020秒运动到点C的位置(－2，2)，
O D
（-2，-2）
x
A（2，－2）
不在反比例函数y＝4 的图象上． x
利用反比函数图象上的点的特征求出题中点的坐标，解决点的循环规律，要先通过计算出前
设B（b，b）， b×b＝4，b＝2，B（2，2）
D
（-2，-2）
A（2，－2）
根据正方形关于坐标轴对称可知：A（2，－2），C（－2，2），D（－2，－2），
粒子运动到点：(0，2)； 第4秒，粒子运动到点：(－2，2)
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函数的对称性、周期性、奇偶性的规律探究在学习函数这一章中，许多同学被函数的若干性质弄的头昏脑涨，事实上，只要把握其中的规律，也就不困难了。
现把规律总结如下：规律（一） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.证明：设点P （)0,0y x 是函数y=f(x)图象上的任意一点坐标，则关于直线x=a 对称点坐标P '为（2a-),00y x ,用a-0x 替换f(x+a)=f(-x+a)中的x 可得f(2a-)0x =f()0x =0y ,故点P '满足函数y=f(x)的解析式，所以点P '在函数y=f(x)的图象上，故函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称推论（一） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+b), 则函数y=f(x)的图象关于直线x=2b a +对称(提示：用b-0x 替换f(x+a)=f(-x+b)中的x).总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程规律（二）定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则2a 是函数y=f(x)的一个周期。
证明：用x+a 替换f(x+a)=f(x-a)中的x ，得f(x+2a)=f(x)由周期函数的定义可得2a 是它的一个周期。
推论（二）定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-b),则a+b 是函数y=f(x)的一个周期。
（提示：用x+b 替换f(x+a)=f(x-b)中的x 即得）总结：x 的系数均为1，相减不除以2.规律（三） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且是一个奇函数，则4a 是它的一个周期。
证明：由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),由奇函数的性质可得-f(x) =f(x+2a),用x+2a 替换x 得-f(x+2a)=f(x+4a),所以f(x)=f(x+4a),故 4a 是它的一个周期。
规律（四） 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且是一个偶函数，则2a 是它的一个周期。
证明：由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),又因为f(-x)=f(x),所以f(x+2a)=f(x)故2a 是它的一个周期。
提问（1）：若定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且 4a 是它的一个周期，y=f(x)是奇函数吗？提问（2）：4a 是函数y=f(x)的一个周期，y=f(x)是奇函数，函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)？提问（3）：定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，2a 是它的一个周期，y=f(x)是一个偶函数吗？提问（4）：2a 是它的一个周期，y=f(x)是一个偶函数，y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)吗？（1）和（2）两个提问均不正确，例如：y=sinx+2,f(x+=)2πf(-x+)2π,且2π是它的一个周期，但它不是一个奇函数。
第二个提问也不正确，我们可以举一个分段函数，使其为奇函数，6是它的一个周期，但x=23并不是它的对称轴。
（3）和（4）两个提问都正确，请读者自己证明。
通过对以上规律的研究，我们对函数性质的综合问题有了一些初步了解，下面通过几道题目进一步加深。
例1 函数f(x)在定义域R 上不是常函数，且f(x)满足条件：对任意x R ∈,都有f(x+4)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1)则f(x)是( ) A 奇函数但非偶函数 B 偶函数但非奇函数C 是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数解答：由已知条件可得，该函数关于x=4对称,且周期为2，由提问（3）直接可得。
事实上，f(-x)=f(x+8),f(x)=f(x+8),所以f(-x)= f(x)，故选B例2 已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),( x R ∈)且f(1)=1,f(2005)=解答：用x+1替换条件中的x 得，f(x+3)=f(x+2)- f(x+1) ①, f(x+2)=f(x+1)-f(x) ②, ① +② 可得f(x+3)= -f(x)，用x+3替换x,得f(x+6)= -f(x+3),所以 f(x+6)= f(x)，故6是它的一个周期，则f(2005)=f(334)16+⨯=f(1)=1通过对以上例题的解答,我们意识到,深挖函数性质,探讨规律,方能运用自如,我们不难发现,无论是每一个规律,还是每一道题,替换思想起着重要作用.关于函数的对称性和周期性函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。
在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。
下面我们就一些常见的性质进行研究。
一、函数的对称性1、函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于直线2a b x +=的对称点（1a b x +-，y 1），当1x a b x =+-时，11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点（1a b x +-，y 1）也在函数()y f x =图象上。
由于点（x 1，y 1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=对称。
（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。
）2、函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于点 （2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-，即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。
由于点（x 1，y 1）为函数()y f x =图象上的任意一点可知，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）3、函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称。
证明：在函数()y f a x =+上任取一点（x 1，y 1），则11()y f a x =+，点（x 1，y 1）关于直线2b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。
由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=，故点（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。
由点（x 1，y 1）是函数()y f a x =+图象上任一点，因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称。
二、周期性1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
2、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。
证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=∴函数()y f x =的一个周期为2A 。
3、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A 。
证明：略。
4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()f x f x =-，则函数()y f x =的一个周期为2A 。
证明：略。
三、对称性和周期性之间的联系1、函数()y f x =有两根对称轴x =a ，x =b 时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。
已知：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-（a ≠b ），求证：函数()y f x =是周期函数。
证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-∴(2)(2)f a x f b x -=-∴()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。
2、函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=（a ≠b ）时，函数()y f x =是周期函数。
（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，2c ）、（b ，2c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。
）证明：由()()f a x f a x c ++-=⇒()(2)f x f a x c +-=()()f b x f b x c ++-=⇒()(2)f x f b x c +-=得(2)(2)f a x f b x -=-得()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是以2b －2a 为周期的函数。
3、函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =）（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。
证明：略。
四、知识运用2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。
现一并录陈如下，供大家参考。
1、（2005·福建理）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，由(3)()f x f x +=得(3)0f =，(2)0f =(5)0f ⇒=(2)0f =(1)0(1)0f f ⇒-=⇒= ∴(4)0f =∴x =1，2，3，4，5时，()0f x =这是答案中的五个解。