求函数极限方法的探讨 毕业论文

本科学生毕业论文（设计）题目（中文）：求函数极限方法的探讨

（英文）：Beg function limit method is

discussed

姓名：

学号：

院（系）：数学与计算机科学系

专业、年级：数学与应用数学2007级

指导教师：教授

2011年 3月20

目录

目录 (2)

1绪论 (6)

2一元函数极限概念与求法 (7)

2.1 一元函数极限的概念 (7)

2.2 一元函数极限的求解方法 (7)

2.2.1 利用一元函数的定义求解 (7)

2.2.2 利用极限的四则运算求函数极限 (8)

2.2.3 利用函数的性质求函数极限 (9)

2.2.4 利用等价无穷小代换求函数极限 (10)

2.2.5 利用无穷小量性质法 (11)

2.2.6 利用无穷小量与无穷大量的关系 (11)

2.2.7 利用数学公式，定理求函数极限 (12)

2.2.8 利用变量替换求函数极限 (16)

2.2.9 用左右极限与极限关系 (17)

3二元函数极限的概念与求法 (18)

3.1 二元函数极限的概念 (18)

3.2 二元函数极限的求法 (18)

3.2.1 利用二元函数的极限的定义求极限 (18)

3.2.2 利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 (19)

3.2.3 利用极限的四则运算求解 (19)

3.2.4 利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 (20)

3.2.5 利用等价无穷小替换求解 (20)

3.2.6 利用分子或分母有理化求解 (21)

3.2.7 利用夹逼定理求解 (21)

3.3 小结 (22)

4结语 (22)

5致谢 (24)

6参考文献 (23)

求函数极限的方法探讨

摘要

函数极限概念与函数极限求法是近代微积分学的基础，本文主要对一元函数、二元函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳和总结，并在某些具体的求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便于我们了解函数的各种极限以及对各类函数极限进行计算。函数极限的求法有很多，每种方法都有其优缺点，对某个具体的求极限问题，我们应该选择最简单的方法。

【关键词】：函数定义，数学定理，公式，函数极限

Beg function limit method is discussed

Abstract

Function limit concept and function limit of modern calculus is introduced, this paper mainly based on a circular function, dual function limit definition and their solving methods, and summarizes some concrete, and the solving method of should pay attention to in the details and skills so that we understand that various extreme and the function of various function limit to calculate. We have many function limit, each method has its advantages and disadvantages, to a specific ask, we should choose the limit of the most simple method

【key words 】: a function definition, mathematical theorems, formula, function limit

1绪论

极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是高等数学中一个非常重要的概念, 是贯穿高等数学的一条主线, 它将高等数学的各个知识点连在了一起。所以,求极限的方法显得尤为重要的。我们知道,函数是高等数学研究的对象,而极限方法则是在高等数学中研究函数的重要方法, 因此怎样求极限就非常重要。

早在我国古代刘徽的《九章算术》中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”就涉及了到了极限。古希腊人的“穷竭法”也蕴含了极限思想。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理。到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法。

求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小代换、利用定积分求合公式、利用导数定义、利用泰勒公式、利用黎曼引理、利用柯西收敛原理、利用罗必达法则求极限等一些方法，而其中大部分是用于求解一元函数的极限。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。比如,极限的四则运算法则是相同的,但是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。因此本文除了对一元函数的求解方法进行概括总结外，还对二元函数的求极限方法进行了一些简单的归纳和说明，并与求一元函数的极限方法进行了比较，从而使阅读本文的人更快更好的掌握一元函数，二元函数极限的求解技巧和它们的异同点。