八上数学教案5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
八年级上册数学 《5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数》精品教案
第五章二元一次方程组5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：七年级时，学生已经学习了一元一次方程及其应用。
本章中，学生又学习了二元一次方程、二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题等，能熟练地解二元一次方程组，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些编题活动，同时也具备了一些生活经验，知道列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。
在以前的数学学习中，学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析●地位和作用：本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习的有关数字问题的应用题。
这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的理解，进一步掌握列方程组解应用题的方法（相等关系），提高学生解决实际问题的能力。
本节课的教学目标为：1．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．3．在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。
4.让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气．本节课的重点是教学生会用图表分析数字问题。
难点是将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
●教学准备FLAH播放器；若FLASH不能播放，请按绝对路径重新插入后播放.三、教学过程分析本课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入，新课讲解；第三环节：练习提高；第四环节：合作学习；第五环节：学习反思；第六环节：布置作业。
第一环节知识回顾１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ.３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００ａ＋ｂ.４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：１０００ａ＋ｂ.设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫。
北师大版八年级数学上册：5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)
-例如：在本节课的里程碑问题中，学生需要理解小明和小华行走速度与相遇时间的关系，将这一关系转化为方程组中的未知数和方程。
（2）熟练运用加减消元法和代入法解二元一次方程组，求解实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有一个未知数的方程构成的，它们共同拥有两个未知数。它在解决两个相关联的量的问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将里程碑问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到小明和小华相遇的情况。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立方程组和如何选择消元方法这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中抽象出数学模型，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过角色扮演，学生可以直观地感受方程组中各变量的意义。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。
2.通过二元一次方程组的建立与求解，锻炼学生的逻辑思维和推理能力，增强数学抽象素养。
3.在小组合作与交流中，提高学生的数学表达与沟通能力，培养团队合作精神。
4.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，增强数学建模素养，激发学习兴趣。
-通过实际例题，让学生动手操作，加深对方程组解的实际意义的理解。
-对于拓展案例，鼓励学生自主探索，教师适时提供指导，帮助学生适应问题条件的变化，灵活运用所学知识。
北师大版八年级上册数学5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数优秀教案
5． 5应用二元一次方程组——里程碑上的数1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题； ( 要点 )2．进一步经历和体验列方程组解决实质问题的过程．一、情境导入小刚的爸爸开车带着小刚出去玩，他们匀速行驶在公路上 .10 ： 00 时，小刚看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字之和是8；11：00 时，他又看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字与第一次看到的两位数的数字恰好交换了地点； 14：00 时他看到里程碑上的数变为了三位数，它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少 1，十位数字比第一次看到的两位数的个位数字多1，个位数字是0. 你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少吗？二、合作研究研究点一：利用二元一次方程组解决数字问题【种类一】年纪问题父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母女， 5 年前母亲的年纪是女儿年纪的 15 倍， 15 年后，母亲的年纪比女儿年纪的 2 倍只多 6 岁．那么此刻这对母女的年纪分别是多少？分析：先分别设出此刻这对母女的年龄，再用它们表示出 5 年前母女的年纪和15年后母女的年纪，则依据①5年前，母亲的年纪是女儿年纪的15 倍；② 15年后，母亲的年纪是女儿年纪的 2 倍再加 6，列出方程组 .母亲女儿此刻年纪 / 岁x y5 年前的年纪 / 岁x－ 5y－ 515 年后的年纪 / 岁x＋ 15y＋ 15解：设此刻这对母女的年纪分别是x岁和 y 岁，由题意，得x－5＝ 15（ y－ 5），x＝ 35，x＋15＝ 2（ y＋ 15）＋ 6.解得y＝ 7.答：此刻这对母女的年纪分别是35 岁和 7岁．方法总结：解答年纪问题的要点是年纪差不变及增加年纪同样．【种类二】数字问题一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 9，把这个两位数的十位数字和个位数字对换所得新两位数比原两位数大 9，求这个两位数．分析：若个位上的数字为x，十位上的数字为y，则这个两位数为10y＋ x. 由相等关系“数字之和为9”及“新两位数比原两位数大 9”可列方程组．解：设这个两位数的个位上的数字为 x，十位上的数字为 y.根据题意，得x＋y＝ 9，（ 10x＋ y）－（ 10y＋x）＝ 9.x＝ 5，解得则 10y ＋ x＝ 45.y＝ 4，故这个两位数是45.方法总结：数字问题中所求的未知量一般是原数，解题时，一般先设原数数位上的数字为未知数，再写出这个数．研究点二：利用二元一次方程组解决行程问题【种类一】相遇问题某体育场的一条环形跑道长400m. 甲、乙两人从跑道上同一地址出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．假如背向1而行，每隔2min 他们相遇一次；假如同向而1行，每隔 13min 乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？分析：题中的两个相等关系为：① 乙骑车的行程＋甲跑步的行程＝400m(背向 ) ；②乙骑车的行程－甲跑步的行程＝400m(同向 ) ．解：设乙骑车每分钟行xm，甲每分钟跑112x＋2y＝ 400，ym ，由题意，得解得443x－3y＝ 400.x＝ 550，y＝ 250.答：甲每分钟跑250m，乙每分钟骑550m.方法总结：环路上的等量关系：若同时同地出发，当背向而行，第一次相遇时，二者行程之和＝环路的周长；若同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，快者的行程－慢者的行程＝环路的周长．【种类二】行程问题A 、B 两码头相距 140km，一艘轮船在此间航行，顺流航行用了 7h，逆水航行用了 10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．分析：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为ykm/h ，列表以下，行程速度时间顺流140km(x ＋ y)km/h7h逆流140km(x － y)km/h10h解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为 ykm/h. 由题意，得7（x＋ y）＝ 140，x＝ 17，10（x－ y）＝ 140.解得y＝ 3.答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h ，水流速度为3km/h.方法总结：此题要点是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再联合公式“行程＝速度× 时间” 列方程组．三、板书设计数字问题“里程碑上的数”问题行程问题数学思想方法是数学学习的灵魂．教课中注意关注包含此中的数学思想方法( 如化归方法 ) ，介绍化归思想及其运用，既可提高学生的学习兴趣，宽阔视线，同时也提高学生对数学思想的认识，提高解题能力．。
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应用二元一次方程组 ——里程碑上的数教学目标1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
教学过程教学反思一、学习目标：1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
二、自学指导：1．自觉思考：（1）小明的爸爸骑着摩托车，载着小明在公路上匀速行驶。
小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看见里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。
完成下面问题。
①设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看见里程碑上的数表示出来吗？②本题的等量关系有哪些？（2）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。
已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。
①假设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为。
②你能列出怎样的方程组？（3）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？2．小组交流，讨论。
3．教师点评。
三、当堂训练：1．课后习题2．北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。
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梳理本节所学的知识，使所学的知识系统化。
5.5里程碑上的数
1、探究里程碑上的数2、典型例题讲解3、巩固练习4、课堂小结
X+y=7X+y=68
（100x+y）-（10y+x）=（10y+x）-（10x+y）（100x+y）-（100y+x）=2178
如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。
例两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y；
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为；
在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为。
初步了解列方程组解决实际问题的步骤。
难点：
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
三、学习者特征分析
因为在七年级已经学习过数的构成，学生对于数字的构成是比较熟悉的，所以在学习本节课时只要引导学生再次进行数字的排列学生自然会进行数字的排列。但是本节课涉及到行程问题，所以使本节课的难度增加，给学生的理解造成障碍。教师在教学时要再次应用数字进行排列让学生理解数字位置的变换而得到的新的数的组成和原数的组成以及行程问题的计算方法。
学生根据前面的复习进行讨论填空。
（1）10x+y
x+y=7
（2）10y+x，
（10y+x）-（10x+y）
（3）100x+y
（100x+y）-（10y+x）
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5 应用二元一次方程组——里程碑上的数●情景导入 小勋爸爸骑着摩托车带着小勋在公路上匀速行驶．(课件出示)如图是小勋每隔1 h 看到的里程情况．问题：同学们，你能确定小勋在9：00时看到的里程碑上的数吗？【教学与建议】教学：创设问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题时，反映了“数学来源于生活”，学习数学是为了更好地“服务于生活”．建议：引导学生审清题意，特别注意给出的条件，比如：匀速行驶，两数字和为7，正好互换，中间多了个0等．●置疑导入 填空：(1)一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为__10b ＋a __；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，则用代数式表示为__10a ＋b __．(2)一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为__100b ＋a __．(3)有两个两位数a 和b ，如果将a 放在b 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为__100a ＋b __；如果将a 放在b 的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为__100b ＋a __．【教学与建议】教学：通过置疑，让学生学会如何用代数式表示多位数．建议：小组讨论交流，对发现的问题及时解决．命题角度1 列二元一次方程组解数字问题解决数字问题，可以用代数式表示原数或新数，根据题意列出方程组．【例1】(1)一个两位数的个位数字与十位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的新的两位数，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，所列的方程组正确的是(B)A ．{x ＋y ＝8，xy ＋18＝yxB ．{x ＋y ＝8，x ＋10y ＋18＝10x ＋yC ．{x ＋y ＝8，10x ＋y ＋18＝yxD ．{x ＋y ＝8，10（x ＋y ）＝yx(2)一个三位数，十位上的数比个位上的数大2，百位上的数是十位上数的2倍．如果把百位上的数与个位上的数对换，那么可以得到比原来小495的三位数，求原三位数．解：设原三位数个位数为x ，则十位数为x ＋2，百位数为2(x ＋2).由题意，得100×2(x ＋2)＋10(x ＋2)＋x －495＝100x ＋10(x ＋2)＋2(x ＋2)，解得x ＝1，∴x ＋2＝3，2(x ＋2)＝6，∴原三位数为631.命题角度2 行程问题解决行程问题要抓住时间、路程、速度之间的关系．弄清题意，找出等量关系，正确列出方程组．【例2】(1)从甲地到乙地的路有一段上坡路，一段下坡路．如果上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，那么从甲地走到乙地需要4.5 h ，从乙地走到甲地需要4.25 h ．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？解：设甲地到乙地上坡路程为x km ，下坡路程为y km.由题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得x ＝24，y ＝18. 答：上坡路24 km ，下坡路18 km.(2)甲、乙两地相距360 km ，一艘轮船往返于甲、乙两地，顺水行船用18 h ，逆水行船用24 h ，若设该船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，则可列方程组为__{18（x ＋y ）＝360，24（x －y ）＝360 __．高效课堂 教学设计1．用二元一次方程组解决数字问题和行程问题．2．归纳用方程组解决实际问题的一般步骤．3．让学生学会借助图表分析问题，感受化归思想．▲重点用二元一次方程组解决数学问题．▲难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)请同学们认真观察这些图片，图片上显示的都是里程碑，里程碑上隐藏着许多数学知识，同学们想知道吗？那就让我们一起探索吧！◆活动2 实践探究 交流新知【探究问题】小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1 h 看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？自主探究：匀速行驶是什么含义？每个小时行驶的路程一样吗？如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么(1)12：00时小明看到的数可表示为__10x ＋y __，根据两个数字之和是7，可列出方程__x ＋y ＝7__；(2)13：00时小明看到的数可表示为__10y ＋x __，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是__(10y ＋x )－(10x ＋y )__；(3)14：00时小明看到的数可表示为__100x ＋y __，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是__(100x ＋y )－(10y ＋x )__；(4)12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？ 解：根据以上分析，得方程组{x ＋y ＝7，（100x ＋y ）－（10y ＋x ）＝（10y ＋x ）－（10x ＋y ）.化简得{x ＋y ＝7，y ＝6x .解这个方程组，得{x ＝1，y ＝6. 答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.问题1：十进制数一般用字母如何表示？【归纳】两位数：a 1a 2＝10a 1＋a 2；三位数：a 1a 2a 3＝100a 1＋10a 2＋a 3；四位数：a 1a 2a 3a 4＝1 000a 1＋100a 2＋10a 3＋a 4，问题2：列二元一次方程组的一般步骤是什么？【归纳】审、找、设、列、解、验、答．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】教材P 121例题【方法指导】设较大的两位数为x ，较小的两位数为y .在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为__100x ＋y __；在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为__100y ＋x __．为了让学生有一个清晰的解题过程，展示如下：解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意，得{x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2 178，化简，得{x ＋y ＝68，99x －99y ＝2 178， 即{x ＋y ＝68，x －y ＝22，解这个方程组，得{x ＝45，y ＝23. 所以这两个两位数分别是45和23.【例2】某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，去时他共用了4.5 h ，原路返回共用了4.25 h ，求去时上坡路长和下坡路长．【方法指导】行程问题中路程、速度、时间之间的关系．解：设去时上坡路长为x km ，下坡路长为y km.根据题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得{x ＝24，y ＝18.答：去时上坡路长为24 km，下坡路长为18 km.◆活动4随堂练习1A．24 B．42 C．51 D．152．一个两位数，数字之和为7，若原数加45，等于此两位数交换其数位上的数的位置后得到的新数，则原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出的下列方程组中正确的是(C) A．{10x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x B．{10x＋y＝7，x＋y＋45＝y＋xC．{x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x D．以上都不对3．某船顺流航行48 km用了4 h，逆流航行32 km用了4 h，求水流速度和船在静水中的速度．解：设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.根据题意，得{4（x＋y）＝48，4（x－y）＝32，解得{x＝10，y＝2.答：船在静水中速度为10 km/h，水流速度为2 km/h.◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课的主要收获是什么？用二元一次方程组解决问题的关键是什么？教学说明：会列方程组解决数字问题和行程问题，体会模型思想．作业：课本P121随堂练习，P122习题5.6中的T2、T3、T4.给予学生独立思考的空间有助于学生思维的发展．而各组围在黑板前去讨论、探究，从而列方程，解方程，使每个学生都能积极参与到活动中．以小组为单位解决问题增强了学生的小组荣誉感，每个学生都想积极争做最好．同时也利于教师去观察学生分析问题的能力，了解他们解决问题的方向．。
八年级上册数学5.5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》(教案)
5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数教学目标知识与技能用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．过程与方法1、通过设置问题串，让学生体会分析复杂问题的思考方法．2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．情感态度与价值观在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气。
教学重点1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．2．学会用图表分析较复杂的数量关系问题。
教学难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。
教学过程一、复习提问师:前两节和大家一起学习了用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”“增收节支”等生活中的数学问题,这节课我们继续学习第5节应用二元一次方程组——里程碑上的数.(板书课题)1.一个两位数,个位数字是a ,十位数字是b ,则这个两位数用代数式表示为 ;若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数,用代数式表示为 .〔答案〕 10b +a 10a +b2.一个两位数,个位上的数为x ,十位上的数为y ,如果在它们之间添上一个0,就得到一个三位数,这个三位数用代数式可以表示为 .师:(引导)如23这个两位数,它的十位数字是2,个位数字是3.它可表示为2×10+3.现在的问题是23变成了203,可以看出个位数字没有变,仍然是3,而十位数字2却变成百位数字了,因此它可表示为2×100+3.于是,这个三位数可表示为100y +x.再举一些数让学生试一试.二、情境引入小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1 h 看到的里程情况.你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗?发现学生面露难色,无从下手.课件出示下面的问题提示:如果设小明在12:00看到的数的十位数字是x ,个位数字是y ,那么:(1)12:00时小明看到的数可以表示为 ,根据两个数字之和为7,可列出方程 .(2)13:00时小明看到的数可以表示为 ,12:00~13:00间摩托车行驶的路程是 .(3)14:00时小明看到的数可表示为 ,13:00~14:00间摩托车行驶的路程是 .(4)12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相应的方程吗? 师:这是一个较为有趣的问题,它既是一个数字问题,又和行程有关,相对而言有一定的难度.请同学们仔细观察图片,根据问题提示思考,并完成问题.自己完成后,小组内交流,形成统一意见.师:派学生代表汇报讨论交流的成果.生:这道题既与数字问题有关,又与行程问题有关,所以我们既要找出数字间的等量关系,又要找出行程间的等量关系.数字间的等量关系是:12:00时看到的是一个两位数,两个数字之和是7;行程间的等量关系是:12:00~13:00间摩托车行驶的路程=13:00~14:00间摩托车行驶的路程.师:很好,等量关系找得非常准确.同学们,等量关系找到了,你能解决这个问题了吗?生:(边在黑板上画表格,边讲解)设小明在12:00相等关系:(1)12:00时看到的数,两个数字之和是7,所以x +y =7.(2)路程差:12:00~13:00:(10y +x )-(10x +y ).13:00~14:00:(100x +y )-(10y +x ).因为路程差相等,所以(10y +x )-(10x +y )=(100x +y )-(10y +x ),从而得方程组:()⎩⎨⎧+-+=+-+=+).10()10()10(100,7y x x y x y y x y x 化简，解得⎩⎨⎧==.6,1y x因此,小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.师:这位同学讲解得太精彩了!(同学们鼓起了掌)师:通过对这道题的解决,同学们有什么启发?生1:遇到较复杂的问题时,一定要冷静,仔细分析题目中的数量关系,找出相等关系.生2:要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量,然后利用相等关系列方程.师:同学们,在遇到复杂问题时,一定要认真分析题目中的数量关系,可以把复杂问题分解成几个简单问题去分析,必要时可以借助于表格,理清题中的未知量、已知量以及等量关系,这样,条理比较清楚,可使思路变得更清晰,复杂问题就可迎刃而解.(学法小结)三、例题讲解两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．〔解析〕 一个多位数,它的含义是:每个数位上的数值与它所在的“位”相乘,再把它们的积相加.而。
北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组 ——里程碑上的数》教案1
北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》教案1一. 教材分析北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》这一节主要让学生了解如何运用二元一次方程组解决实际问题。
通过分析教材，我了解到这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行拓展的，旨在培养学生的实际问题解决能力。
二. 学情分析在教学之前，我对学生的学习情况进行分析。
大部分学生对二元一次方程组的知识有较好的掌握，但应用到实际问题中，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的思维过程，引导他们将理论知识与实际问题相结合。
三. 教学目标1.让学生掌握如何将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的思维品质，培养他们合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.难点：如何将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题情境，引导学生自主探究，合作解决问题。
同时，以典型案例为载体，让学生深入了解二元一次方程组在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行操练和巩固。
2.准备课件，辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，让学生思考如何运用数学知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）呈现一个关于里程碑上的数的问题，引导学生将其转化为二元一次方程组，并求解。
在此过程中，关注学生的思维过程，引导他们理解实际问题与数学知识之间的联系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二元一次方程组，并求解。
教师在这个过程中给予适当的指导，确保学生能够正确地应用所学知识。
4.巩固（10分钟）选取几个典型的实际问题，让学生独立解决。
在解答过程中，教师关注学生的解题思路，及时给予反馈，巩固所学知识。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析《里程碑上的数》是北师大版八年级数学上册第五章《方程与不等式》的第五节内容，主要介绍了解二元一次方程组的方法及其应用。
本节内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行的，通过实例引导学生将实际问题转化为二元一次方程组，进一步巩固和提高学生的数学建模能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力，对于二元一次方程组的概念和求解方法有一定的了解。
但在实际应用中，学生可能对于如何将实际问题转化为数学模型还有一定的困难，需要通过实例进行引导和训练。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解二元一次方程组的方法，能够将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.难点：如何引导学生发现实际问题中的数量关系，建立数学模型。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例引导学生自主探索和合作交流，从而达到教学目标。
六. 教学准备1.教具：多媒体教学设备2.学具：笔记本、文具3.教学素材：相关的生活实例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如购物问题、路线问题等，引导学生发现这些问题都可以用数学模型来表示，从而引出本节课的主题——应用二元一次方程组。
2.呈现（10分钟）呈现一个购物问题，让学生尝试将其转化为数学模型。
在学生思考的过程中，教师给予适当的引导和提示，帮助他们发现问题的数量关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二元一次方程组，并求解。
教师在这个过程中给予适当的指导，帮助他们解决遇到的问题。
北师大版八年级数学上册：5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 教案设计
应用二元一次方程组——里程碑上的数【教学目标】一、教学知识点1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
二、能力训练要求1．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
2．初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤。
三、情感与价值观要求1．“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关。
相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气。
2．鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
【教学重点】1．用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题。
2．初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
【课时安排】6课时【教学方法】引导——讨论——发现法。
“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解。
同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法。
【教材准备】投影片两张：第一张：问题串；第二张：例题。
【教学过程】一、创设情境，引入新课［师生共析］（1）个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10，所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+B。
（2）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1．因此用x、y表示这个四位数为100x+y。
同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x。
（3）一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几成了百位上的数。
北师大初中数学八年级上册第五章《5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数》教案
北师大数学八年级上册第五章——《应用二元一方程组-里程碑上的数》教案学习目标1. 用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．3. 在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神． 学习重点1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．2．学会用图表分析数字问题。
学习难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
学习方法引导—讨论—发现法．一、复习提问 引入新课填空：（1）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为 a b +10；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为b a +10；（2）一个两位数，个位上的数为x ，十位上的数为y ，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为x y +100设计意图：通过以上三个问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，为后面的学习打下基础．二、创设情境 探究新知小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？师生共同分析寻找相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：7=+y x２．路程差： 12：00～13：00：)()(y x x y +-+101013：00～14：00 ：)()(x y y x +-+10100路程差相等： )()(y x x y +-+1010＝)()(x y y x +-+10100解：设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，由题意得：⎩⎨⎧--+=+-+=+②x y y x y x x y ①y x )()()()(1010010107 化简得：⎩⎨⎧==+xy y x 67 解得：⎩⎨⎧==61y x 答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．让学生体会将一个复杂问题化为几个十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0．如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么（1）12：00时小明看到的数可表示为 ，根据两个数字和是7，可列出方程 ；（2）13：00时小明看到的数可表示为 ，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；（3）14：00时小明看到的数可表示为 ，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？是一个两位数字，它的两个数字之和为7．简单问题的思维方法．把这个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生通过对这几个问题的分析，使解题思路清晰，从而顺利地解决这个较复杂问题．三、合作学习 解决问题师：有两个两位数23和56，若用这两个数组成一个较大的四位数是多少？生：5623。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版八年级数学上册5.5应用二元一次方程组。
这部分内容是学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法的基础上，进一步探究二元一次方程组在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够熟练运用二元一次方程组解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法后，对于如何将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解，还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过适当的例子，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度。
四. 教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过举例子的方式，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
同时，运用小组合作的学习方式，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备一些实际问题，用于引导学生转化为数学问题。
2.学生准备：学生需要预习相关知识，了解二元一次方程组的基本概念和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生将其转化为数学问题。
例如，某商店进行促销活动，一件商品原价80元，现在打八折，同时赠送一件价值30元的商品，求购买一件商品的实际花费。
2.呈现（10分钟）教师呈现问题，让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。
引导学生列出二元一次方程组，并解释为什么这样表示。
北师大版八年级数学上册：55应用二元一次方程组里程碑上的数教学设计
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个与生活密切相关的实际问题，引出二元一次方程组的定义，激发学生的兴趣。
（2）新课讲解：详细讲解代入法、消元法的运算过程，通过例题示范，让学生掌握二元一次方程组的求解方法。
（3）巩固练习：设计不同类型的习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（4）实际应用：将里程碑上的数与二元一次方程组相结合，设计实际问题，让学生运用所学知识解决问题。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、问题探究的积极性以及合作交流的能力。
（2）总结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对二元一次方程组的掌握程度。
（二）讲授新知，500字
1.教学内容：讲解二元一次方程组的定义、组成及其求解方法（代入法、消元法）。
2.教学方法：通过PPT展示、板书示范，结合实际例题，详细讲解求解过程。
3.学生活动：跟随教师思路，学习二元一次方程组的求解方法，积极参与课堂互动。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学内容：设计具有挑战性的实际问题，让学生小组合作，运用二元一次方程组求解。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：展示一张地图，上面标记了两个城市的距离和行驶时间。提出问题：“如何根据给定的信息，确定两个城市的具体位置？”
2.学生思考：让学生尝试根据地图上的信息，构建一个方程组来解决问题。
3.教师引导：通过学生的回答，引出二元一次方程组的定义，强调其解决实际问题的意义。
（2）结合所学知识，为班级设计一份数学手抄报，要求内容丰富、形式多样，展示二元一次方程组的知识点。
初二数学八年级上册《5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数》教案
5.5 应用二元二次方程组——里程碑上的数一、选择题1.已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数.设甲数为x,乙数为y,由题意可得方程组（ ）A.⎩⎨⎧==+y x y x 3442B.⎩⎨⎧==+y x y x 4342 C.⎪⎩⎪⎨⎧==-443420y y x D.⎩⎨⎧=-=+04342y x x y 2.甲、乙两条绳共长17 m,如果甲绳减去51，乙绳增加1 m,两条绳长相等，求甲、乙两条绳各长多少？若设甲绳长x m,乙绳长y m,则得方程组（ ） A.⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+15117y x y x B.⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+1511y x y x C.⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+15117y x x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+15117y x x y x 3.一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ ）A.3∶1B.2∶1C.1∶1D.5∶24.甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数.如果甲数为x,乙数为y,则得方程组是（ ）A.⎩⎨⎧=+++=+xx y y x y x 2011001188100100B.⎩⎨⎧++=+=+1188100100201100y x x y x y xC.⎩⎨⎧=+-+=+y x y y x y x 2011001188100100D.⎩⎨⎧-+=+=+1188100100201100y x x y y y x 5.学校总务处与教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发出一封信都只用1张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺.结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺；而教务处用掉了所有信笺，但余下50个信封.则两处所领的信笺张数、信封个数分别为（ ）A.150，100B.125，75C.120，70D.100，150 二、填空题6.两数之差为7，又知此两数各扩大3倍后的和为45，则这样的两个数分别为________.7.武炜购买8分与10分邮票共16枚，花了一元四角六分，购买8分和10分的邮票的枚数分别为_________.8.在1996年全国足球甲级A 组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了________场.9.某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12只或螺母18只，要求一个螺栓配两个螺母，应分配______人生产螺栓，____人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套.10.已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，154小时相遇.如果甲比乙先走32小时，那么在乙出发后23小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x 千米和y 千米，则x=________,y=________.三、解答题11.（我国古代问题）有大小两种盛米的桶，已经知道5个大桶加上1个小桶可以盛3斛（斛，音hu,是古代的一种容积单位）米，1个大桶加上5个小桶可以盛2斛米.那么1个大桶、1个小桶分别可以盛多少斛米？12.去年甲、乙两人总收入之比是8∶7，总支出之比是18∶17，已知在这一年里甲结余了1200元，乙结余了800元，求甲、乙两人去年的总收入各是多少？13.一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数.14.据报道，2000年一季度我国对外贸易进出口总额达980亿美元，比1999年同期增长40%，其中出口增长39%，进口增长41%.1999年一季度我国对外贸易出口多少亿美元？进口多少亿美元？5.里程碑上的数一、1.B 2.C 3.B 4.D 5.A二、6. 11,4 7. 7,9 8. 6 9. 12,16 10. 4.5,5.5 三、11.2413 247 12.4800 4200 13.41 14.350 350。
北师大版八年级数学上册 第五章 二元一次方程组：5.5 应用二元一次方程组里程碑上的数 教案
北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组：5.5 应用二元一次方程组里程碑上的数教案一、课前准备1.如果一个两位数的个位数字为a，十位上的数字为b，那么这个两位数可表示为___________;如果交换个位和十位数字,得到的新两位数为________.2.一个两位数，个位数字为x，十位上的数字为y，如果在它们的中间加一个零,变成一个三位数,那么这个三位数可表示为___________.3.有两个两位数a和b，如果将a放在b 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为___________ ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为___________.设计意图：通过复习及展示学生中可能出现的错误，为本节课的继续学习做好铺垫.二、情境引入探究活动：小明12:00时看到里程碑上的数是多少？小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到二备记录：四、学法小结1. 解决这类数字问题的关键是什么？2.用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？3.对于这类实际问题，你有什么疑问？五、达标测试1.已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数. 设甲数为x ，乙数为y ，由题意可得方程组 （ ）⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧==-⎩⎨⎧==+⎩⎨⎧==+04342.4342.4342.3442.y x xy D y x yx C y x y x B y x y x A2.一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（ ）．（A ）971 （B ）917 （C ）719 （D ）7913.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它教学反思。
5.5《应用二元一次方程组----里程碑上的数》教学
5.5《应用二元一次方程组----里程碑上的数》教学案班级: 姓名:一、三维目标：1、知识目标：用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．2、能力目标：根据具体问题的数量关系，形成方程的模型。
3、情感目标：通过有趣的场景，让学生分析复杂问题的思考方法，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．4、重点：正确分析应用题的题意，列出二元一次方程组。
5、难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
6、自学方法：上课认真听讲，勤于思考。
二、自主梳理：1、旧知识梳理：1）有两个两位数45和23，如果将45放在23的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数为；如果将45放在23的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数为．2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为．2、新知识梳理：一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为．三、课堂探究：交流讨论1：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么：（1）12：00时小明看到的数可以表示为，根据两个数学和是7，可列出方程；（2）13：00时小明看到色数可表示为，12：00~13：00间摩托车的路程是；（3）、14：00时小明看到的数可表示为，13：00~14：00间摩托车行驶的路程是；（4）、12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？交流讨论2：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.在较大数右边接着写较小的数，所写的数可表示为；在较大数左边接着写较小的数，所写的数可表示为；交流讨论3：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？四、随堂闯关：一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？五、巩固练习：某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．六、自我评价：作业：习题5.6 第2、3、4。
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5．5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题；(重点) 2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程．
一、情境导入
小刚的爸爸开车带着小刚出去玩，他们匀速行驶在公路上.10：00时，小刚看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字之和是8；11：00时，他又看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字与第一次看到的两位数的数字刚好互换了位置；14：00时他看到里程碑上的数变成了三位数，它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少1，十位数字比第一次看到的两位数的个位数字多1，个位数字是0.你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少吗？
二、合作探究
探究点一：利用二元一次方程组解决数字问题 【类型一】 年龄问题
父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母女，5年前母亲的年龄是女
儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍只多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
解析：先分别设出现在这对母女的年龄，再用它们表示出5年前母女的年龄和15年后母女的年龄，则根据①5年前，母亲的年龄是女儿年龄的15倍；②15年后，母亲的年龄是女儿年龄的2倍再加6，列出方程组.
解：设现在这对母女的年龄分别是x 岁和y 岁，由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧x －5＝15（y －5），
x ＋15＝2（y ＋15）＋6.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝7.
答：现在这对母女的年龄分别是35岁和7岁．
方法总结：解答年龄问题的关键是年龄差不变及增长岁数相同．
【类型二】 数字问题
一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字
和个位数字对调所得新两位数比原两位数大9，求这个两位数．
解析：若个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，则这个两位数为10y ＋x.由相等关系“数字之和为9”及“新两位数比原两位数大9”可列方程组．
解：设这个两位数的个位上的数字为x ，十位上的数字为y.
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，
（10x ＋y ）－（10y ＋x ）＝9.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，
y ＝4，则10y ＋x ＝45.
故这个两位数是45.
方法总结：数字问题中所求的未知量一般是原数，解题时，一般先设原数数位上的数字为未知数，再写出这个数．
探究点二：利用二元一次方程组解决行程问题 【类型一】 相遇问题
某体育场的一条环形跑道长400m.甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不
变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔1
2min 他们相遇一次；如果同向而行，
每隔11
3
min 乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？
解析：题中的两个相等关系为：①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400m(背向)；②乙骑车的路程－甲跑步的路程＝400m(同向)．
解：设乙骑车每分钟行xm ，甲每分钟跑ym ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12y ＝400，43x －43y ＝400.解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝550，
y ＝250.
答：甲每分钟跑250m ，乙每分钟骑550m.
方法总结：环路上的等量关系：若同时同地出发，当背向而行，第一次相遇时，二者路
程之和＝环路的周长；若同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，快者的路程－慢者的路程＝环路的周长．
【类型二】 行程问题
A 、
B 两码头相距140km ，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h ，逆水航行用了
10h ，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解析：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为ykm/h ，列表如下，
解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为ykm/h.由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧7（x ＋y ）＝140，10（x －y ）＝140.解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝17，y ＝3. 答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h ，水流速度为3km/h.
方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．
三、板书设计
“里程碑上的数”问题⎩
⎪⎨⎪⎧数字问题
行程问题
数学思想方法是数学学习的灵魂．教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法(如化归方
法)，介绍化归思想及其运用，既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题能力．。