第一章 命题逻辑

定义 5 ：设 P, Q 是两个命题，复合命题 “ P 当且 仅当 Q ”称为 P 与 Q 的等价式，记为 P↔Q。符号 ↔称为双条件联结词。
规定： P↔Q 为真当且仅当 P 与 Q 同时为真或同时 为假。
注：P↔Q 可理解为“Q与P互为充分必要条件”； 它与(P→Q)∧(Q→P)的逻辑关系完全一致。
例 符号化：（1）张伟不是三好学生; 解：记 P：张伟是三好学生。 则: (1) ┐P ； (2) ┐Q . （2） 2 不是有理数 。 Q： 2 是有理数。
第一章
命题逻辑
1.2 联结词
定义2 ：设 P , Q 为两个命题。复合命题“ P 与Q” 即“P 并 且Q” 称为 P 与 Q 的合取式，记为 P ∧ Q。符号∧称为合取联 结词。 规定： P ∧ Q为真当且仅当 P 与Q 同时为真。 注：自然语言中 “与”, “和”, “且”, “既.…又…”, “不仅…而 且…”, “虽然…但是…”, “一面…一面…”等联结词都可以符号 化为∧； 但并不是所有的“与”、“和”等都能用联结词∧替代。
例2 考虑来人是华佗，他能治疗关羽的箭伤这 样一个历史事件。 显然，来人如果是华佗为前提，他（=来 人）能治疗关羽的箭伤是结论。 抽象来看：当前提为真时，可以推出结论为真 上述两个看似不相关的实例说明了一个共 同的问题：推理问题，这就是我们要研究的。 抽象成数理逻辑语言表达方式： 如果A 蕴涵 B，现又有A，则可以推导出B。
(5) 是原子命题,符号化为T: 张辉和王丽是同学。
第一章
命题逻辑
1.2 联结词
定义3 ：设 P , Q 为两个命题 , 复合命题 “ P 或 Q ” 称 为 P 与 Q 的析取式, 记为 P∨Q。符号∨称为析取联结词。 规定： P∨Q 为假当且仅当 P 与 Q 同时为假。 注: 自然语言中的 “或” 联结的两个命题可以具有相容性， 也可以具有排斥性。
第一章
(1)
命题逻辑
吴颖既用功又聪明.
例：将下列命题符号化
(2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) (4) (5) 吴颖虽然聪明，但不用功. 张辉和王丽都是三好学生. 张辉和王丽是同学.
解: (1)、(2)、(3)、(4)： 令P:吴颖用功；Q:吴颖聪明， R: 张伟是三好学生；S: 王辉是三好学生. 则符号化分别为： P∧Q; P∧Q； Q∧┐P； R∧S。
表示命题的符号称为命题标识符 如：P、Ai、 [3] 。 一个命题标识符（P）如表示确定的命题，称命题常量。 否则称命题变元（不是命题）。 对命题变元P以特定命题取代，称对P进行指派。
第一章
命题逻辑
1.1 命题及其表示法
例： （1）雪是黑的； （2）张三唱歌并且张三跳舞； （3）全体立正！ （4）你会开汽车吗？ （5）我正在说谎。 （6）如果天气好，那么我要进城去。 （7）如果地球是方的，那么恐龙现在还活着。 （8）陈胜、吴广起义那天郑州下雨。 （9）大于2的偶数均可分解为两个质数的和（哥德 巴赫猜想）。
解：令P：3+3=6； Q：雪是白色的。则 (1) 到 (4) 的符号化形式分别为： P→Q；┐P→Q； P→┐Q； ┐P→┐Q。 它们的真值分别为：１,１,０,１。 令R：a 能被４整除； S: a能被２整除。 (5) 到 (9) 都可符号化为: R→S, 真值为１。
第一章
命题逻辑
1.2 联结词
第一章
命题逻辑
命题及其表示法 联结词 命题公式与翻译 真值表与等价公式 重言式与蕴含式 其他联结词 对偶与范式 推理理论
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
1、教学内容：
命题及表示、联结词、命题公式与翻译、真值 表与等价公式、重言式与蕴涵式、其他联结词、对 偶与范式、推理理论。
第一章
√ √
命题逻辑
例 : 判断下列句子是否为命题
（1） 4是素数。 （2）
5
是无理数 。
√
√ × × ×
（3） 火星上有水。 （4） 2050年元旦是晴天。
（5） π大于 （6） （7）
2
吗？
请不要吸烟！ 这朵花真美丽啊！
第一章
命题逻辑
1.2 联结词
联结词是复合命题中重要组成部分 。
定义 1 :设 P 为命题，复合命题“非P ” (即 “P的否定”)称 为 P 的否定式，记为 ┐P 。 符号 ┐称为否定联结词。 规定：┐P为真当且仅当P 为假。
(4)令U:王小红心情愉快；V:王小红唱歌，则符号化为
U↔ V, 真值由具体情况而定。
第一章
(1)
命题逻辑
例 : 将下列命题符号化。
2
是有理数是不对的.（2）2是偶素数. (3) 2或4是偶素数.
(4) 如果2是素数，则3也是素数. (5) 2是素数当且仅当3是素数. 解：记 P： 2 T：4是偶数. 是有理数. Q：2是素数. R：2是偶数. S：3是素数.
研究思维的逻辑结构和推理，人们关心的 问题是前提和结论之间是否存在一种逻辑推理 关系？如果前提和结论之间存在这样一种逻辑 推理关系，那么，具体按照什么方法，在前提 为真的情况下，可以推出结论为真？ 下面举二个例子来说明这一点。
例1 考虑一元二次方程 ax2+bx+c=0 我们知道：如果b2-4ac≥0，则方程有实数解。 显然，b2-4ac≥0是前提，方程有实数解是结论 抽象来看：当前提为真时，可以推出结论为真。
则各语句表述为： (1) 非P; (2) Q与R; (3) P或T; (4)如果Q,则S；(5) Q当且仅当S .
第一章
小 结
命题逻辑
否定 ：设P是一个命题，P的否定也是一个新命题。(并非) 合取∧ ：设P 、Q是命题，P∧Q表示P、Q的合取。（且） 析取∨ ：设P、Q是两个命题，P∨Q表示P、Q的析取。(或) 可兼或、不可兼或 条件 → ：设P、Q是两个命题，P→Q表示命题若P则Q。 Q是P的必要条件，P是前件，Q是后件。
逻辑学: 研究人的思维形式和规律的科 学．由于研究的对象和方法各有侧重而又分为形 式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑． 数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式 结构和推理规律的数学学科。这里所指的数学方 法就是引进一套符号体系的方法。所以数理逻辑 又称符号逻辑，它是从量的侧面来研究思维规律 的。 现代数理逻辑可分为逻辑演算、证明论、 公理集合论、递归论和模型论。
离散数学
教材： 左孝凌等编著《离散数学》
上海科学技术文献出版社
习题集：
《离散数学 理论· 分析· 题解》 上海科学技术文献出版社
联系方式
冯志慧 • E-Mail ：hafzhh@ • QQ：541161983
考
• 卷面 • 平时 占 70% 占 30%
试
第 一 章 命题逻辑
数据逻辑最早传入中国是 在1920年。当时，作为数理逻 辑奠基人之一的罗素在北京大 学作了五大讲演。在数理逻辑 的讲题下，介绍了他创建的命 题演算和类演算。 ——摘自 宋文坚 “中国数理逻辑八十年”
第一章
注：
命题逻辑
1. 在自然语言中，“如果P, 则Q”这种命题还有其它叙述方式， 比如：“只要P, 就Q”，“ 因为P，所以 Q”, “P仅当Q”, “只有Q才P”，“除非Q才P”, “除非Q，否则非P ”等等， 它们都可符号化为 P→Q。 2. 在数学或其它自然科学中，“如果P,则Q” 往往表达的是前 件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作为一 种规定，当 P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真（因考虑 的整个语句）。
2、教学目的及要求：
深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念和基本 方法。
3、教学重点：
命题逻辑中的基本概念和基本推理方法。
4、教学难点：
推理理论。
第一章
命题逻辑
推理是从前提推出结论。在各门具体科学的研究活动和人类日 常生活实践中，都离不开推理。推理中的前提和结论都是命题，都 有具体的涵义。从怎样的前提出发，能推出怎样的结论，这是各门 具体科学自己要研究的问题。数理逻辑研究推理时，一般并不涉及 前提和结论的具体内容，而是研究前提和结论之间的关系，以及这 种关系的合理性。这里所述的前提和结论之间的关系包括形式推理 关系和逻辑推理关系两种，它们分别属于形式语言语法和语义研究 的范畴。（参看前面两命题推理例子） 我们已经知道，逻辑演算是为了研究推理中前提和结论之间的 形式推理关系而构造的形式语言。逻辑演算作为一个数学系统，需 要有符号，而作为一种形式语言，它必须要有构成语言的符号，即 字母，而且，从便于使用和理解的角度考虑，两者应该尽可能地保 持一致。
伯特兰〃罗素是二十世 纪英国哲学家、数学家、 逻辑学家、历史学家， 无神论或者不可知论者， 也是上世纪西方最著名、 影响最大的学者和和平 主义社会活动家之一， 1950年诺贝尔文学奖得 主，
罗素悖论： 把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第 二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为 P，第二类所组成的集合为Q，于是有： P={A∣A↔A} Q={A∣A∉A} 问，Q↔P 还是 Q↔Q？ 若Q↔P，那么根据第一类集合的定义，必有Q↔Q，但是Q 中任何集合都有A∉A的性质，因为Q↔Q，所以Q￠Q，引出矛 盾。 若Q↔Q，根据第一类集合的定义，必有Q↔P，而显然 P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗 的版本，如理发师悖论等。
第一章
命题逻辑
1.1 命题及其表示法
逻辑成为一门科言学中， 命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达 的概念），这个概念是可以被定义并观察的现 象。命题不是指判断（陈述）本身，而是指所 表达的语义。当相异判断（陈述）具有相同语 义的时候，他们表达相同的命题。
第一章命Biblioteka 逻辑1.1 命题及其表示法
日常中使用的语言称自然语言。 具有单一、明确的含义——目标语言。 其基本元素是具有判断内容的陈述句——命题。 无所谓真假的语句（感叹、祈使、疑问）不能构成命题。