统计学第6章统计量及其抽样分布

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2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
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F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
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中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
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标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
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6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
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【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
（1）计算样本均值小于7.9的近似概率 （2）计算样本均值超过7.9的近似概率 （3）计算样本均值在总体均值μ=8附近
0.1范围的近似概率
P ( 0 .0 3 p 0 .0 7 5 ) P 0 .0 3 0 . 0 1 0 .0 5 p 0 .0 0 . 1 0 5 0 .0 7 0 5 .0 1 0 .0 5
(2.5)(2)(2.5)(2)1
0.99380.977210.971
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某医院治愈某种疾病的成功率为 90%，现从该医院治疗过该种疾病的 患者中随机抽取100名，则试计算这 100名患者治愈成功的比例在85%至 95%的概率是多少？
1.从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本， 从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概 率分布，称为这个统计量的抽样分布。
2. 设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，样本
均值
_
X
1 n
n i 1
Xi
，所有可能样本的均值
_
X
构成
的概率分布即为样本均例】设一个总体，含有4个元素（个体），即
p X n
当n充分大时，p近似服从均值为 ，方差为 (1 )
的正态分布。
n
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【例】已知对某超市服务水平不满意的人数的 比例为5%，现随机抽取475名顾客组成的简单 随机样本，问这475名顾客中不满意的比例在 0.03～0.075之间的概率有多大?
解：设475名顾客中不满意的比例为p,则 E(p)=0.05， D(p)=0.05×0.95/475=0.0001 p～N（0.05,0.0001)
n
x 2i 1(x iM x)2 (1 .0 2 .5 )2 1 6 (4 .0 2 .5 )2 0 .6 2n 2 5
式中：M为样本均值的个数
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样本均值的分布
当总体服从正态分布N ～(μ,σ2)时， 来自该总体的所有容量为n的样本的均值X 也服从正态分布，X 的数学期望为μ ， 方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)
均值的标准差
3
0.43(年 )
X n 49
X ~N(10， 0.432)
_
P (X _9)1P (X _9)1P (X 109 10)
0.43 0.43
=1-Φ(-2.33)= Φ(2.33)=0.9901
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练习题
某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均 值为99.8公斤/平方厘米，标准差为5.48公斤/平 方厘米，从这个总体抽出一个容量为12的样本， 问这一样本的平均值介于98.8公斤/平方厘米和 100.9公斤/平方厘米之间的概率有多大。
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解：设100名患者治疗成功的比例为p,根 据中心极限定理，p～N（0.9,0.0009)
P (0 .8 5 p 0 .9 5 ) P 0 .8 0 5 .0 3 0 .9 p 0 .0 0 3 .9 0 .9 0 5 .0 3 0 .9
2(1.67)10.905
X Y / m nY Z / n mZ
则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，
记为X～F（m,n)。
E(X ) n ,n 2 n2
D(X ) 2n2 (m n 2) , n 4
m(n 2)(n 4)
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6.4 样本比例的抽样分布
如果在样本大小为n的样本中具有某一特征的 个体数为X，则样本比例用p来表示：
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1，1 1，2 1，3 1，4
2
2，1 2，2 2，3 2，4
3
3，1 3，2 3，3 3，4
4
4，1 4，2 4，3 4，4
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计算出各样本的均值，如下表。并给出样 本均值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个 观察值
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两个样本比例之差的分布
设分别从具有参数为π1和π2的两个总体 中抽取包含n1个观测值和n2个观测值的独立样 本，当n1和n2很大时，（p1-p2）的抽样分布 近似服从正态分布：
E(p1p2)12 D(p1p2)1(1n11)2(1n22)
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【例】某厂甲、乙两个车间生产同一种 产品，根据经验其产品的不合格率分别 为3.5%和4%。从甲车间随机独立地抽取 200个产品，从乙车间随机独立地抽取 150个产品。问两个样本中产品不合格率 相差不超过1%的概率。
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D (X1X2)D (X1)D (X2)n1 1n2 2
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【例】居民区甲有2000个家庭，平均居住时 间为130个月，服从正态分布,标准差为30 个月；居民区乙有3000个家庭，平均居住 时间为120个月，也服从正态分布,标准差 为35个月。从两个居民区中独立地各自抽 取一个简单随机样本，样本容量为70和 100。问居民区甲样本中的平均居住时间 超过居民区乙样本中的居民平均居住时间 的概率是多大。
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【例】A班统计学考试平均分为75分，分 数服从正态分布，标准差为5分；B班统 计学考试平均分为72分，也服从正态分 布，标准差为7分。现在从A、B两班分 别随机抽出10名学生的统计学成绩，A 班10名学生的统计学平均成绩高于B班 10名同学的统计学平均成绩的可能性有 多大？
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c2分布的数学期望为：E（ c2）= n c2分布的方差为： D（ c2） 2n
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t分布和T统计量
1. t分布：设随机变量X～N（0,1），Y～ c2（n),
且X与Y独立，则
t
X
Y /n
其分布称为t分布，记为t(n)，其中n为自由度。
当n≥2时, t分布的E (t)=0 当n≥3时, t分布的D (t)=n/(n-2)
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第六章 统计量及其抽样分布
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6.1 统计量
1. 统计量的形成
抽样
样本 构造函数
2. 统计量是样本X1，X2……Xn的一个函数 3. 统计量不依赖任何未知参数
4. 将一组样本的具体观测值代入统计量函 数，可以计算出一个具体的统计量值。
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6.2 样本均值的抽样分布 和中心极限定理
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6.3 由正态分布导出的几个 重要分布
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卡方 (c2) 分布
定义：设随机变量X1，X2，…Xn相互独立，且Xi
服从标准正态分布N（0，1），则它们的平方和
n
X
2 i
服从自由度为n的c2分布。
i1
当自由度n足够大时, c2分布的概率密度曲线趋于对称； 当n→+∞时, c2分布的极限分布是正态分布。
总体单位数N=4。4个个体分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下
N
Xi
i1 2.5
N
总体分布
.3 .2
N
.1
(Xi )2
0
2 i1
1.25
1
N
234
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4
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重
复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的 结果如下表
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【例】某公司有400人，平均工龄为10年，标准 差为3年。随机抽出49名组成一个简单随机样本， 试问样本中工作人员的平均年龄不低于9年的概率 有多大。
解：虽然该总体的分布未知，但样本容量n=49较大
由中心极限定理可知，样本均值的抽样分布近
似服从正态分布。则均值的期望
_
E(X)10(年)
第二个观察值
1
2
3
4
.3 P ( x )
1
1.0 1.5 2.0 2.5 .2
2
1.5 2.0 2.5 3.0
.1
3
2.0 2.5 3.0 3.5
0
4
2.5 3.0 3.5 4.0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
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所有样本均值的均值和方差
n
xi M 1xi 1.01.51 64.02.5