1.1.4 集合习题课
1.1.1集合的概念习题
题型 1 如何判断所给对象是否能构成集合
(1)数学课本中所有的难题; 数学课本中所有的难题; (2)不超过30的所有非负数; 不超过30的所有非负数 的所有非负数; (3)某一班级不满17周岁的学生; 某一班级不满17周岁的学生 周岁的学生; (4)著名的数学家. 著名的数学家.
练习: 练习: 1.设x2+(b+2)x+1=0,b∈R构成集合 求集 设 构成集合A,求集 ∈ 构成集合 中所有元素的积; 合A中所有元素的积; 中所有元素的积 2.设ax2+2x+1=0构成集合 ,若B中只有 设 构成集合B, 构成集合 中只有 一个元素, 的值; 一个元素,求a的值; 的值 3.若2是集合 x, +x中的元素 3.若2是集合1,x,x2+x中的元素,求实 是集合1, 中的元素, 的值; 数x的值; 的值 4.方程 方程ax+b=0,当a,b满足什么条件时, 满足什么条件时, 方程 , , 满足什么条件时 解集为有限集;满足什么条件时, 解集为有限集;满足什么条件时,解集为 无限集. 无限集.
Hale Waihona Puke 题型 2 运用集合中元素互异性
1.集合 ,x,x2-2x中,x应满足的条件是什 集合3, , 集合 中 应满足的条件是什 么? 2.由数 ,-x,|x|, x 2 , 3 x 3 所组成的集合 由数x, , , 由数 最多含有的元素个数是几? 最多含有的元素个数是几?
题型 3 元素与集合的关系 1.用符号∈或 填写 用符号∈ 用符号 (1)1 ) N* 0 N 3.14 Q (2) 3 + 5 ) (3)sin300 ) (4)tan450 ) Q N
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x> 2+ 6
高一数学课后习题与答案
人教版高一数学课后答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==； （3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==； （6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ． 1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B == ， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B == ．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ． 2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A B A B =-=- ．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ． 3．解：{|}A B x x = 是等腰直角三角形，{|}A B x x = 是等腰三角形或直角三角形． 4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求(),()()U U U A B A B 痧 ．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B = ð，()(){6}U U A B = 痧．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4R ； （5Z ； （6）2_______N ． 1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数． 2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空： （1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ． 6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥ ，{|34}A B x x =≤< ．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}A B = ，{3,4,5,6}A C = ，而{1,2,3,4,5,6}B C = ，{3}B C = ， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C = ，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C = ．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅ ．（1）{|}A B x x = 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x = 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð． 9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x = 是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}A B x x =<< ，{|37}A B x x =≤< ， {|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥ 或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥ 或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤< 或ð， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥ 或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B = ，则集合B 有 个． 1．4 集合B 满足A B A = ，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集． 2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看， 集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ． 3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅ ； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B == ； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B == ； 当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅ ．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤ ，(){1,3,5,7}U A B = ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B = ，得U B A ⊆ð，即()U UA B B =痧，而(){1,3,5,7}U A B = ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧， 即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值； （2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象． 3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与AB 中的元素是什么？与B中的元素2相对应的A 中元素是什的么？4．解：因为sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B；因为sin 45=，所以与B相对应的A 中元素是45．（A ）（B ）（C ）（D ）1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-； （2）()f x =（3）26()32f x x x =-+； （4）()f x =1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+． 3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，值域是(,0)(0,)-∞+∞ ；（3）域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定义（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？ 8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y=>，由对角线为d ，即d =，得0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=， 显然0x h ≤≤，即240v t h d π≤≤，得204h d t vπ≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)- ； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数． （2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即1235xt -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()355t h -=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．整个上午(8:0012:00) 天气越来越暖，中午时分(12:0013:00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00 期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-. 1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.120x x <<，而2．证明：（1）设2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC == 的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC == 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B = ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅ ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =- . 6.求下列函数的定义域：（1）y ；（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞ ． 7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++，即2()11f a a +=+； （2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==， 即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B = ð，(){2,4}U A B = ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B = ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B = ， 集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分 不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
集合习题课
综上: a=2或a=5，-4<m<4或m=5.
3.
4.
-3
-1
. .
0
例 5.5. A { x | 0 x 1}，B { x | x a }， 1)若A B , 求实数a的取值范围 ; 2)若A B B , 求实数a的取值范围 .
1)a 0 解：
a
0
1
解：作Venn图， 设两项运动都喜欢的有x人， 则
只喜欢篮球的有15-x人， 只喜欢兵乓球的有10-x人， (15-x) + (10-x) + x + 8 = 30 解得： x=3 故喜爱篮球运动但不喜 爱乒乓球运动的人数为： 15-3 12
U
A
8
15-x
x
B
10-x
4. 集合中元素的个数问题：
一般地，对于任意两个集合A、B，有 card(A∪B)= card(A) + card(B) －card(A∩B)
2) A B B A B a 1
注意：遇到端点要检验! 见参数必讨论！
例4.全集U { x | 2 x 2}， 6. 1) A { x | 2 x 1, 或x 2}, 求ðU A;
解：ðU A { x | 1 x 2} 2) A { x | 1 x a }, 求ðU A; 2 1
2.已知A={x|x2-5x+4=0}, B={x|x2-ax+a-1=0},C={x| x2-mx+4=0}, 且A∪B=A, A∩C=C, 求实数a, m的值. 解：∵ A={x|x2-5x+4=0}={1，4} B={x|x2-ax+a-1=0} = {x|(x-1)(x-a+1)=0}
集合的概念、关系及运算习题课示范教学方案
《集合习题课》教学设计PPT．一、复习导入请同学们梳理第1.1到1.3节的内容，回答以下几个问题：问题1：怎么理解集合的含义？元素与集合的关系是什么？集合的表示方法有哪些？师生活动：学生默写，之后互相核对，教师予以指正．预设的答案：集合的特性：①确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的．②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，并集、交集中相同元素只出现一次．③无序性：一个给定集合中的元素前后位置可以交换．元素与集合的关系如下表：集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn图图示法．设计意图：通过复习帮助学生梳理集合的概念，集合的表示方法等知识．问题2：集合之间的关系又哪些？回顾子集、真子集、集合相等的相关概念，它们间的关系是什么？师生活动：学生先独立复习，教师根据学生的回答补充． 预设的答案：集合之间的关系“子集”“真子集”“相等”．其关系如图1所示．如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 是集合B 的真子集或两个集合相等．设计意图：复习回顾集合间的关系．问题3：集合有哪些运算？请你用Venn 图表示．有了运算律使运算更加简洁，那么集合的运算有哪些性质和运算律？师生活动：学生先复习，然后交流讨论，教师根据学生的回答补充． 预设的答案：集合的运算有并集、交集、补集．定义略．V enn 图表示如下： 并集：交集：补集：并集、交集和补集的性质、运算律及常用结论如下表：并集交集 补集性质A ∪A ＝__A __；A ∩A ＝__A __；A ∪(∁U A )＝U ，子集真子集相等 图1设计意图：复习回顾集合运算的相关知识． 二、巩固应用问题4：你能利用习题1.2第5题（1）的方法求解以下题目吗？ 例1 已知a ∈R ，b ∈R ，若｛a ，ab，1｝＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 020＋b 2 020＝________．师生活动：学生独立思考，完成之后讨论交流，教师根据情况进行讲解． 预设的答案：解：由已知得a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 020＋b 2 020＝1．追问1：怎么知道a ≠0，做这种题时哪儿是突破口？（观察集合中元素的特点，如本题中有分式，分母不为零．再将一个集合中已知的元素与另一个集合中未知的元素联系，看是否相等，如果与该元素不等，再看与另一个元素是否相等，依此试验排除．）追问2：集合元素的三个特征中，哪一个在求解本题时起了主要作用？求解此类题目有什么经验？（集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．）设计意图：通过两个集合相等即元素相同，深化了对集合元素互异性的理解． 问题5：你能利用习题1.2第5题（2）的方法求解以下题目吗？例2 已知集合A ＝{x |x ＜－1，或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．师生活动：学生先总结习题的做法，再独立完成例2，教师根据学生的情况有针对地指导，突出点拨分类讨论及数形结合思想方法的应用．预设的答案：解：当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3；当B ≠∅时，根据题意作出下图：可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4，解得a ＜－4或2＜a ≤3． 综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ＜－4或a ＞2}． 追问1：完成下面的题目． 已知A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }．（1）若B ⊆A ，则a 的取值范围是________；（a ≤3） （2）若A ⊆B ，则a 的取值范围是________；（a ≥3） （3）若A ⫋B ，则a 的取值范围是________；（a ＞3） （4）若A ＝B ，则a 的值是________．（a=3） 联系例2概括，这类题目的特点及步骤是怎样的？预设的答案：上述题目的特点是：已知两个集合的关系，其中一个集合中含有参数．求解步骤是：①确定两个集合之间的关系；②考虑集合为空集的情形是否满足题意；③将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．追问2：这类题的易错点是什么？怎么才能避免这样的错误？预设的答案：易错点是：两个集合的端点是否相等．一般利用数轴画图，数形结合观察端点是否能重合．设计意图：通过求解含有参数的集合问题，进一步理解集合的关系，掌握分类讨论思想的思想方法，积累解题的经验．问题6：你是怎样思考求解习题1.3第6题的？这种题型的特点是什么？根据这样的思路思考下面的例3题．例3 设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R ．如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．师生活动：学生先独立思考，总结方法：已知两个集合间的运算，再根据运算结果得出集合间的关系．然后分享交流，教师适时引导．预设的答案：解：∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ， ∴B ⊆A ．当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解， 即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2． 当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2． 将a ＝－2代入方程， 解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－2(a ＋2)＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2．综上可得a ＝2或a ≤－2．设计意图：通过A ，B 运算的结果等价转化为A ，B 之间的关系，列出关于m 的不等式组，解不等式组得到m 的取值范围，从而熟练巩固集合间的关系和集合的运算．追问：例3求解运用了分类讨论的思想．求解集合问题时常见的分类讨论的标准源于哪些知识？师生活动：学生回顾思考、然后讨论交流、教师适时点拨．预设的答案：一般考查集合中元素的互异性、空集是任何非空集合的子集、集合的运算或集合间的关系中都会涉及到对参数的讨论．设计意图：结合例题梳理方法． 三、归纳总结问题7：本节课你有哪些收获？复习了哪些知识，巩固了哪些方法？ 师生活动：学生独立思考，之后交流完善． 答案略．设计意图：梳理总结，深化理解，形成做题规则． 四、目标检测设计1．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M2．设集合A ＝{－1，1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．3．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．答案：1．D．2．当B＝{－1}时，a＝－1，b＝1；当B＝{1}时，a＝b＝1；当B＝{－1，1}时，a＝0，b＝－1．3．m≥－1．设计意图：1题考查元素与集合的关系，2题考查集合与集合的关系，3题考查集合的运算．。
集合知识点总结及习题
集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念 1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素确实定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——〔不〕属于关系 〔1〕集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示〔2〕假设a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A,记作a ∈A;假设不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A,记作a ∉A;4.集合的表示方法：列举法与描述法。
高中数学：1.1.1集合的含义与表示 (23)
题型四 方程的解集 例5 如果方程ax＋b＝0的解集为A，cx＋d＝0的解集为B， 利用A，B表示： (1)(ax＋b)(cx＋d)＝0的解集； (2)(ax＋b)(cx＋d)≠0的解集．
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【解析】 (1){x|(ax＋b)(cx＋d)＝0}＝{x|ax＋b＝0}∪{x|cx ＋d＝0}＝A∪B.
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3．已知A＝{x|x<－5或x≥4}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B ⊆A，则实数a的取值范围是________．
答案 a<－8或a≥3 解析 ∵B⊆A，∴a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
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4．设A，B为两个集合，下列四个命题： ①A B⇔对任意x∈A，有x∉B； ②A B⇔A与B没有公共元素； ③A B⇔A⊉B； ④A B⇔存在x∈A，使得x∉B. 其中真命题序号是________．(把符合要求的真命题序号都 写上)
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自助餐走向高考
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1．(2019·课标全国Ⅲ，理)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B
＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
答案 A 解析 集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．
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2．(2019·浙江)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝
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答案 ④
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5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝ 0}，若A∪B＝A，求a的值．
解析 A＝{1，2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∴B＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当B＝∅时，无解． 当B＝{1}时，11＋ ×11＝ ＝aa， －1，得a＝2. 当B＝{2}时，22＋ ×22＝ ＝aa， －1，无解．
河北省石家庄市第一中学高中数学必修一：1.1 集合习题课 教案
教材章节：§1.1.1―1. 1.3课题：习题课教学目标：1．学问与技能：（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．（3）理解两个集合的并、交补的含义，会求并、交和补集．（4）能使用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．（5）能选择自然语言、图形语言和集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2．过程与方法：通过恰当的练习使同学，学会运用学问解决问题．3．情感、态度与价值观：教学过程中，使同学了解新旧学问之间的联系，初步体会如何利用类比、联想等实现旧学问到新学问的过度．在同学的不断观看、分析过程中，养成良好的思维习惯，增加同学学好数学的信念和士气．教学重点：集合的有关基本概念和运算．教学难点：基本概念的理解和运算方法的把握．教学过程：一、基本概念：提问：1．集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．2．元素：一般地，我们把争辩对象统称为元素．3．集合的特性：（1）确定性（集合有明确的属性）；（2）互异性（不能有重复元素消灭）；（3）无序性（元素间无序）．4．集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．（3）图示法（韦恩图）：5．子集的概念、等集的概念、真子集的概念、全集与补集的概念、交集的概念、并集的概念及表示方法．二、基本运算及运算性质：复习：1．求子集、补集、交集、并集的方法（依据定义）．2．交集、并集、补集的运算性质：,,BBAABA⊆⊆,AAA=,∅=∅A ABBA=，,,BABBAA⊆⊆,AAA=AA=∅ABBA=,，),()()(CBCACBA=)()()(CBCACBA=，()S SA A=，()SA A S=，()SA A=Φ，SS=Φ，SSΦ=三、应用举例：例１．集合},,0),{(RyxxyyxA∈≥=表示（）（A）第一象限内的点集（B）第三象限内的点集（C）第一、三象限内的点集（D）不在其次、四象限内的点集分析：0≥xy，所以yx,同为正或同为负，故点在第一、三象限内；又0=x时，点在y轴上，0=y时，点在x轴上，∴选（D）．答：（D）．例2．若使数集},,1{2xxx+有意义，则x的取值范围是．分析：依据集合中元素的互异性可知xxxxxx≠+≠+≠22,1,1,由此解得0,1≠≠xx,251±-≠x．答：Rxx∈{且}251,1,0±-≠x．例3．已知集合},,01{2RxRaxaxxA∈∈=++=，若A中至少有一个元素，求a的取值范围，并用列举法将A表示出来．解：当0=a时，方程化为：11-=⇒=+xx，∴}1{-=A；当0≠a时，若0=∆，即041=-a，即41=a时，2-=x，∴}2{-=A；若0>∆，即41<a 时，a a x 2411-±-=，∴}2141,2141{aa a a A -----=．例4．已知集合}{},2,1,0{A x x B A ⊆==． （1）用列举法表示集合B ；（2）推断集合{1,2}，A 与B 的关系．解：（1）}}2,1,0{},2,1{},2,0{},1,0{},2{},1{},0{,{∅=B ； （2）B A B ∈∈,}2,1{． 例5．非空集合C B A ,,满足B C B B B A == ,，则A 与C 的关系是（ ）（D ）A C（A ）B A = （B ）C A ⊆ （C ）C A ⊇知A 是C分析：依据题意作出韦恩图，如右图所示．观看可 的子集，故选（B ）．答：（B ）． 例6．已知},1{},,1{2R x x y y B R x x y y A ∈+==∈+==， 求B A ．解：B A },1{},1{2R x x y y R x x y y ∈+=∈+==}1{}{}1{≥=∈≥=y y R y y y y ．例7．设集合}1,3,12{},,1,3{22+--=+-=x x x B x x A ，假如}3{-=B A ，求x 的值． 解：若312-=-x ，则}2,4,3{},1,0,3{,1--=-=-=B A x ，此时}3{-=B A ；若33-=-x ，则}1,3,1{},0,1,3{,0--=-==B A x ，此时}1,3{-=B A ；若312-=+x ，则无解， 综上所述当1-=x 时满足题意．例8．已知集合}0232{},023{22=--==+-=x x x B a a a A ，则B A ＝ ． 分析：分别解得：2,21;2,1=-===x x a a ． 答：B A }2,1,21{-=． 例9．已知}4,3,2,1{}2,1{=A ，则适合条件的集合A ＝ ． 答：}4,3,2,1{},4,3,2{},4,3,1{},4,3{=A ．例10．集合}0{},21{>-=≤<=a x x Q x x P ，当PQ 时，实数a 的取值范围是（ ）（A ）a <2 （B ）a ≤2 （C ）1≤a （D ）1<a分析：由Q 得：a x >，在数轴上作出Q P ,解集的关系图（如右图），由图观看可知1≤a ，故选（C ）．答：（C ）．例11．已知B A ,是全集U 的非空子集，若UA B ⊇，则必有 （ ） （A ）)(B C A U ⊆ （B ）∅≠B A （C ）UUA B =（D ）B A =分析：作韦恩图观看可知应选（A ）． 答：（A ）．例12．如右图U 是全集，S P M 、、是U 的三个子集， 则阴影部分所表示的集合是 （ ）（A ）S P M )( （B ）S P M )( （C ）()()U MP S （D ）()()U M P S分析：由图可知阴影部分所含元素在P M 中，且不在 S 中，故应选（C ）．答：（C ）．例13．如图，U 是全集，写出阴影部分所表示的集合． 答：()U AB ；()()()U U UA C A C =；C B A )(．四、小结：1．理解集合、元素的概念，能够区分元素与集合，集合与集合间的关系． 2．把握集合的三种表示方法，并能依据不同状况选用适当的表示方法表示集合．3．把握子集、交集、并集、补集的求法，会应用韦恩图争辩集合与集合之间的关系． 4．学会应用数形结合思想、分类争辩思想等数学思想争辩问题． 五、作业：课本P44 复习参考题（A 组）六、补充：1．已知{}122+-==x x y x A ，{}122+-==x x y y B ，=C {}0122=+-x x x ，则下面结论正确的是（B ）)(A C B A ⊆⊆ )(B A B C ⊆⊆ )(C C A B ⊆⊆ )(D B C A ⊆⊆2．已知集合{}52≤<-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，且满足A B ⊆，求实数m 的取值范围． 解：Φ=B 时：112+<-m m ，2<∴mΦ≠B 时：⎩⎨⎧≤-≥⇒⎩⎨⎧≤--≥+335321m m m m ，33≤≤-m ． }3|{≤∴m m ． 3．已知集合}2,,{d m d m m A ++=，},,{2mq mq m B =，其中0≠m 且B A =，求q 的值． 解：若⎩⎨⎧=+=+22mqd m mqd m 解得：1=q ，此时2mq mq m ==（舍）⎩⎨⎧=+=+mqd m mq d m 22解得：21-=q 或1=q （舍）． 当21-=q 时，}21,41,{m m m A -=，}41,21,{m m m B -=适合题意， 21-=∴q4．已知}082|{2=--=x x x A ，}012|{22=-++=a ax x x B ，求满足A B ⊆的a 取值范围．解：当B =∅时，03482<-=∆a ，得4>a 或4-<a ； 当B ≠∅时，}4,2{-=A ，}012|{22=-++=a ax x x B ．若}2{-=B 时，代入01222=-++a ax x 得4=a 或2-=a ．当4=a 时，0=∆；当2-=a 时，0>∆（舍）；4=∴a ．若}4{=B 时，同理2-=a ，0>∆（舍）．若}4,2{-=B 时，则2221242422-=∴⎩⎨⎧±=-=⇒⎩⎨⎧-=⨯--=+-a a a a a ． 综上a a a a 或或,2,4|{-=-<}4≥．5．已知},),{(R y R x y x U ∈∈=，}23|),{(},324|),{(-===--=x y y x B x y y x A ，求()U A B ．解：{(,)|32,2},{(,)|32}{(2,4)}UA x y y x x A x y y x ==-≠∴=≠-且，}23|),{(-==x y y x B ．(){(2,4)}U A B ∴=．八、检测题：１．与集合｛平方为１的质数｝相等的一个集合为（ ）(A){}1 (B){}1- (C){}1,1- (D)∅ ２．已知集合{}1,0,1-=A ，给出下面五个关系式：⑴A A ∈；⑵0A ；⑶{}0A ∈；⑷A ∈0；⑸A ∅⊂，其中正确的是（ ）(A)⑴⑵⑶⑷⑸ (B)⑵⑶⑷⑸ (C)⑶⑷⑸ (D)⑷⑸３．设集合{}2,1=A ，{}A x xB ⊆=，则A 、B 的关系是（ ） (A)B A ∈ (B)B A = (C)B A ⊆ (D)B A ⊇ ４．已知U 为全集，集合M 、N U ⊆，若N N M = ，则（ ）(A)UUM N ⊇(B)UM N ⊆(C)UUM N ⊆(D)UM N ⊇５．集合{}t M ,3,1=，{}12+-=t t N ，若M N M = ，则t 的值为（ ） (A)１ (B)２或０或1- (C)２或1± (D)不存在６．已知{}11≤≤-=x x M ，{}0>-=p x x N ，要使MN =∅，则p 的取值范围是（ ）(A)1>p (B)1<p (C)1≥P (D)1≤p ７．设全集R U =，{}12+-==x y y A ，{}x y y B +==3，则UUAB = ．８．设{}0,,),(≠∈=x R y x y x M ，{}0,,),(≠∈=xy R y x y x N ，那么M 和N 的包含关系是 ．９．已知集合{}1,,y x P =与{}x xy x Q ,,2=满足Q P ⊆和P Q ⊆，求实数y x ,的值．10．已知{}R x p x x x A ∈=+++=,0122，{}x x x B ==，若A B =∅，求实数p 的取值范围．答案：1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.)3,1( 8.N M9.0,1=-=y x 10.1->p ．。
高中数学 第一章 集合与函数概念1.1集合课后习题(A组.B组)
第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=， 所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==； （3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅； （4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B I U ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==I I ，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==U U ．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B I U ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-I U ．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B I U ．3．解：{|}A B x x =I 是等腰直角三角形，{|}A B x x =U 是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B I I 痧?．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B =I ð，()(){6}U U A B =I 痧．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ． 1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z 3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数． 2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （2）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集． 4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B U I ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥U ，{|34}A B x x =≤<I ．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B I ，A C I ，()ABC I U ，()A B C U I ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =I ，{3,4,5,6}A C =I ，而{1,2,3,4,5,6}B C =U ，{3}B C =I ，则(){1,2,3,4,5,6}A B C =I U ，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =U I ．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B U ；（2）A C I ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅I I ．（1）{|}A B x x =U 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x =I 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C I ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =I 是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð，{|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B U ð，()R A B I ð，()R A B I ð，()R A B U ð．10．解：{|210}A B x x =<<U ，{|37}A B x x =≤<I ，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥U 或ð，(){|3,7}R A B x x x =<≥I 或ð，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<I 或ð，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥U 或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =U ，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足A B A =U ，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B U I ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅U I ；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==U I ；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==U I ；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅U I ．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤U ，(){1,3,5,7}U A B =I ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =U ，得U B A ⊆ð，即()U U A B B =I 痧，而(){1,3,5,7}U A B =I ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =． 第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =+． 1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象． O 离开家的距离 时间 （A ） O 离开家的距离 时间 （B ） O 离开家的距离 时间 （C ） O 离开家的距离 时间（D ）3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60o相对应 与A B 中的元素是什么？与B 中的元素22相对应的A 中元素是什的么？ 4．解：因为3sin 60=o ，所以与A 中元素60o 相对应的B 中的元素是3； 因为2sin 452=o，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45o ． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-； （2）2()f x x =； （3）26()32f x x x =-+； （4）4()x f x -=． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且； （4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x =-=-； （2）24(),()()f x x g x x ==； （3）326(),()f x x g x x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =； （2）8y x =； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+． 3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，值域是(,0)(0,)-∞+∞U ；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =． 6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x =>，10(0)x y y =>， 由对角线为d ，即22d x y =+，得22100(0)d x x x =+>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>，即2220(0)l d d =+>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-U ；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -， 得222125x x t +-=+，(012)x ≤≤， 即24125x x t +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00):天气越来越暖，中午时分(12:0013:00):一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00:期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值． 1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =- （3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+. 1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数； （3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内 每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数； （4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-. 1．解：（1）5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； 函数在 （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032x m -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a =， 得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B I ，A C I ，()()A B B C I U I .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ； 集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I ，即A C =∅I ； 集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I ； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-I U I .6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）||5y x =-. 6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7.已知函数1()1x f x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1x f x x-=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++， 即2()11f a a+=+； （2）因为1()1x f x x-=+， 所以1(1)(1)112a a f a a a -++==-+++， 即(1)2a f a a +=-+． 8.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-. 8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-. 9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤． 10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =U ð，(){2,4}U A B =I ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ， 集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值. 4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． 5.证明： （1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++， 得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. （1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：6.[,]b a --上是增函数还是减函数？它在（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：[,]b a --上是增函数还是减函数？它在6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分 不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
集合知识点+练习题
集合知识点+练习题第⼀章集合§ 1.1集合基础知识点：1.集合的定义: ⼀般地，我们把研究对象统称为兀素，⼀些兀素组成的总体叫集合，也简称集2.表⽰⽅法:集合通常⽤⼤括号｛｝或⼤写的拉丁字母A,B,C…表⽰，⽽元素⽤⼩写的拉丁字母a,b,c…表⽰。
3.集合相等: 构成两个集合的兀素完全⼀样。
4. 常⽤的数集及记法：⾮负整数集（或⾃然数集），记作N ;正整数集，记作N*或N + ；N内排除0的集.整数集，记作Z ；有理数集，记作Q；实数集，记作R ；5. 关于集合的元素的特征⑴确定性：给定⼀个集合，那么任何⼀个兀素在不在这个集合中就确定了。
⼥⼝：“地球上的四⼤洋”（太平洋，⼤西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四⼤发明”（造纸，印刷，⽕药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；⽽“⽐较⼤的数”，“平⾯点P周围的点”⼀般不构成集合，因为组成它的兀素是不确定的.⑵互异性：⼀个集合中的兀素是互不相冋的，即集合中的兀素是不重复出现的。
如:⽅程（x-2）（x-1）2=0的解集表⽰为1,2 ，⽽不是1, 1,2⑶⽆序性：即集合中的元素⽆顺序，可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴⼤于3⼩于11的偶数；⑵我国的⼩河流；⑶⾮负奇数；⑷⽅程x2+仁0的解；⑸徐州艺校校2011级新⽣；⑹⾎压很⾼的⼈；⑺著名的数学家；⑻平⾯直⾓坐标系内所有第三象限的点6. 元素与集合的关系：（元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种）⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a_A ；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a A。
例如，（1）A表⽰“ 1~20以内的所有质数”组成的集合，则有 3 € A , 4 A，等等。
（2）A=｛2 , 4, 8, 16｝，贝U 4_A, 8_A, 32 A.典型例题例1⽤“ €”或“”符号填空：⑴ 8_ N ; ⑵ 0 ___ N; ⑶-3 ___ Z ; ⑷ 2_Q；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A，美国_________ A，印度_____A，英国A。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册
1.1。
3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。
问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。
这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。
（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。
集合论习题课
(1)m A1 A2 ... Am
33
第三章：关系
2n2 C(m,1)2n2 2 C(m,2)2n222 ........
(1)k C(m, k)2n22k ........
(1)mC(m, m)2n2n(n1)
34
第三章：关系
13(P114)、设X是一个集合,X=n,试求: (4).X上相容二元关系的个数 X上反自反和对称的二元关系的个数
{(a,a)} {(b,b)} {(a,a),(b,b)} {(a,b),(b,a)} {(a,a),(a,b),(b,a)} {(b,b),(a,b),(b,a)} {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}
(a,b)与(b,a)同时出现，我们把他们作为一个整体
29
第三章：关系
设R是X上对称的二元关系; 如果(x,y)R,则(y,x)R, 如果xy,则(x,y)与(y,x)作为整体参与计算 X=n,XX=n2, x与y相等的有序对有n个 x与y不相等的有序对是n2-n个 x与y不相等的有序对的一半是(n2-n)/2个 参与计算的有序对是[(n2-n)/2]+n=(n2+n)/2 X上对称二元关系的个数是2n(n+1)/2;
* 15
第一章：集合及其应用
证明：设男生集合为：{b1, b2, …, bn}
设女生集合为：{g1, g2, …, gm}
设分别与男生b1, b2, …, bn跳过舞的女生集合为: G1, G2, …, Gn。
bi Gi Gi存在gk没与bj跳过舞 gk∈Gi 且 gk∉Gj
bj
Gj Gj存在gl没与bi跳过舞 gl ∉ Gi 且 gk ∈ Gj
7
2015-2016集合论有关复试题
集合的练习题
1．1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义一、知识点填空 1．元素与集合的概念．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．表示．2．集合中元素的特性：________、________、________. 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法读法元素与元素与 集合的集合的 关系关系 属于属于 如果________的元素，的元素， 就说a 属于集合A a ∈A a 属于集合A 不属于不属于 如果________中的元素，中的元素， 就说a 不属于集合Aa ∉A a 不属于集合A 5.常用数集及表示符号：常用数集及表示符号：名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集实数集符号 ____ ________ ____ ____ ____ 二、练习题 一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( ) A ．著名的科学家．著名的科学家B ．留长发的女生．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生．视力差的男生2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形．直角三角形 B ．锐角三角形．锐角三角形C ．钝角三角形．钝角三角形D ．等腰三角形．等腰三角形 4．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．6 D ．2 5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0,2,3均可均可6．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素个元素B ．3个元素个元素C ．4个元素个元素D ．5个元素个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号) ①不超过π的正整数；的正整数；②本班中成绩好的同学；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．④平方后等于自身的数．8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2∈A ，则实数x 的值为________． 9．用符号“∈”或“∉”填空”填空－2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z . 三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a . 能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？中元素的个数是多少？13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．不可能是单元素集．第2课时 集合的表示一、知识点填空1．列举法．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．法．2．描述法．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x －7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．二、练习题一、选择题1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5} 2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y ) C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)}C ．{x ＝2，y ＝3} D ．(2,3) 4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1} D ．{x 2－2x ＋1＝0} 5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有( ) A ．－1∈AB ．0∈A C.3∈A D ．2∈A6．方程组的解集不可表示为( ) A ．B ．C ．{1,2} D ．{(1,2)} 二、填空题7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝______________. 8．下列各组集合中，满足P ＝Q 的有________．(填序号) ①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}；②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}； ③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }． 9．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是________．(填序号) ①M ＝{π}，N ＝{3.141 59}；②M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}；③M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}；④M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合．用适当的方法表示下列集合①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；的奇数构成的集合；③不等式x －2>6的解的集合；的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．的自然数的全体构成的集合． 11．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{y |(y －1)2＝0} C ．{x ＝1} D ．{1} 13．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( ) A ．x 0∈NB ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定．不能确定。
1.1.1集合习题课课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
反馈检测
若集合 = (1,2), (2,4) ，则集合中元素的个数是（
、1个
、2个
√
、3个
、4个
集合 = (1,2), (2,4) 的元素有(1,2), (2,4)，共2个
）。
反馈检测
设集合 = −1,0,1 ， = 0,1,2 ，若 ∈ ，且 ∉ ，则等于（ ）
、−1
因为 = 2 ∈ ，依题意，
因为 = −1 ∈
1
2
因为 = ∈
1
1−
1
，所以
1−
1
，所以
1−
=
=
=
1
1−2
1
1−(−1)
1
1
1−2
=
1
1
2
=
1
−1
= −1 ∈
1
2
= ∈
=2∈
1
2
综上，再根据集合的互异性，集合中的元素有2、 − 1、 共3个。
反馈检测
4
集合 = | ∈ ，且
集合的方法称为描述法。有时也用冒号或分号代替竖线。
图示法
（3）___________：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合。
知识回顾
集合的分类：
空集
（ 1 ）一般地，我们把不含任何元素的集合称为______，记作_______。
（2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素
有限集
无限集
1.1.1集合 习题课
（湘教版2019必修第一册）
熟悉考纲
1、准确理解集合与元素的含义及集合与元素的属于关系；
2、在具体情境中，了解空集的含义，理解有限集与无限集；
3、能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题；
高一数学课后习题与答案
人教版高一数学课后答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==； （3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==； （6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；第3页 共28页（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+， 即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}AB A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求(),()()U U U AB A B 痧?．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U AB =ð，()(){6}U U A B =痧． 1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数． 2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空： （1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ； （2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；第5页 共28页（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ；BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥； （2）1A ∈； {1}-A ；∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-； （3）{|}x x是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}AB x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ，AC ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}AB x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R AB ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，第7页 共28页即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得DC ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==， 当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆ð，即()U UAB B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧， 即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值； （2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着第9页 共28页车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象． 3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与AB 中的元素是什么？与BA 中元素是什的么？4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是2； 因为2sin 452=，所以与B中的元素2相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域： （1）3()4xf x x =-； （2）()f x =（A ）（B ）（C ）（D ）（3）26()32f x x x =-+； （4）()1f x x =- 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． 3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4） （1）267y x x =-+．3．解：（1）第11页 共28页定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞； （3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =． 6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，第13页 共28页即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈． 7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y=>， 由对角线为d，即d =，得0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t d π=，显然0x h ≤≤，即240v t h d π≤≤，得204h d t vπ≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．第15页 共28页3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235x t -=+，(012)x ≤≤，即125x t -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()355t h -=+=+≈． 第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人第17页 共28页越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+. 1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数； （4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.第19页 共28页2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-.1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为第21页 共28页21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032x m -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；第23页 共28页（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合 {|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a =， 得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B ，A C ，()()A B B C .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-. 6.求下列函数的定义域：（1）y ；（2）||5y x =-. 6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞． 7.已知函数1()1x f x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1x f x x-=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++， 即2()11f a a+=+； （2）因为1()1x f x x-=+， 所以1(1)(1)112a a f a a a -++==-+++， 即(1)2a f a a +=-+． 8.设221()1x f x x +=-，求证： （1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-. 8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，第25页 共28页所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-. 9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤． 10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数． B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U AB =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U AB =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =， 集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． 5.证明： （1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++， 得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++，第27页 共28页 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则 21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分 不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 习题课件(精选配套习题,含解析)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为 x＝2 或 x＝3，x2－x－2＝0 的解为 x＝2 或 x＝－1，所以集合 M 中含有 3 个元素．
4．设x∈N，且1x∈N，则x的值可能是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
解析：∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而 10 无意义，排除A、D， 故选B.
——能力提升—— 14．若11－＋aa∈A，且集合 A 中只含有一个元素 a，则 a 的值为 ______－__1_±__2___.
解析：由题意，得11－ ＋aa＝a， ∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1± 2.
15．已知数集 A 满足条件：若 a∈A，则1－1 a∈A(a≠1)，如果 a＝2，试求出 A 中的所有元素．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
8．有下列说法：
①集合 N 中最小的数为 1；②若－a∈N，则 a∈N；③若 a∈
N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( A )
A．0
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
10．设直线 y＝2x＋3 上的点集为 P，点(2,7)与点集 P 的关系 为(2,7)___∈__ P(填“∈”或“∉”)．
解析：直线 y＝2x＋3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 满足关系： y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当 x＝2 时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
(2)不能．理由：若－5 为集合 A 中的元素，则 a－3＝－5 或 2a－1＝－5.
第一章 1.1.3.4习题课
主目录
明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
探题型、提能力
习题课
题型四 ：集合的实际应用
反思与感悟
解决这一类问题一般借用数形结合， 借助于 Venn 图， 把抽象
的数学语言与直观的图形结合起来，注意两个集合并集的元素个数不一定 等于两个集合的元素个数和．
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明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
忆要点、固基础
探题型、提能力
习题课 呈重点、现规律
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含 关系． 2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互 异性这一性质进行检验， 忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．
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明目标、知重点
忆要点、固基础
解析 由题意得，A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合 A 去 掉集合 A∩B 中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．
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明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
忆要点、固基础
习题课
6．已知 P＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，Q＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，则 P 与 Q
{(4,4)} ________.
解析
x－y＝0， 由 2x－3y＋4＝0
x＝4， 得 y＝4.
∴A∩B＝{(4,4)}．
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明目标、知重点
忆要点、固基础
探题型、提能力
探题型、提能力
习题课
题型一 ：集合的概念
反思与感悟
要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明
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明目标、知重点
高一数学必修一课程安排表
游手好闲会使人心智生锈。
数学部分高一数学（新课标人教A版必修一）课程安排表课时单元内容重点难点第01次第一章集合与函数的概念1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示方法集合表示方法的恰当选择第02次1.1.2 集合间的基本关系子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系弄清元素与子集、属于与包含之间的区别第03次1.1.3 集合的基本运算并集、交集、全集和补集的概念能熟练运用集合语言进行集合运算第04次集合习题课集合的性质和运算准确、简练地集合语言的应用第05次1.2.1 函数的概念正确理解函数的概念及三要素函数的概念及y=f(x)符号理解第06次1.2.2 函数的表示方法函数的解析式和画简单函数的图像数形结合思想的运用第07次1.3.1 函数的单调性与最大（小）值函数单调性的概念及判定函数单调性的证明和应用第08次1.3.2 函数的奇偶性理解函数奇偶性的定义函数奇偶性的应用第09次函数习题课函数的概念和性质培养函数思想方法第10次测试第11次第二章基本初等函数Ⅰ2.1. 指数与指数幂运算根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质根式概念和分数指数幂概念的理解第12次2.1.2 指数函数及性质掌握指数函数概念、图象和性质指数函数定义理解、图像特征和性质第13次2.2.1 对数与对数运算1对数定义、对数的性质和基本运算法则对数定义中涉及较多的难以记忆的名称以及运算法则的推导第14次2.2.2 对数与对数运算2对数公式及变形熟练对数运算第15次2.3.1 对数函数及性质对数函数的定义、图像与性质对数函数的定义理解、图像特征和性质第16次2.3.2 幂函数幂函数的概念、图像和性质幂函数的代数特征与图像特征的对应联系第17次2.4 函数习题课进一步加深对指数函数、对数函数概念、图像、性质的理解掌握函数的思想和数形结合的思想第18次第三章函数的应用3.1.1 方程的根与函数的零点函数零点的概念本质的理解函数与方程思想及数形结合思想第19次3.1.2 用二分法求方程的近似解二分法基本思想的理解用二分法求方程近似解的步骤求方程近似解一般步骤的理解和概括第20次3.2.1 几类不同增长函数模型将实际问题转化为数学问题如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题第21次3.2.2 用已知函数模型解决问题利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题将实际问题转化为数学模型并对给定的函数模型进行简单的分析第22次3.2.3 建立实际问题的函数模型会恰当的建立常见函数模型培养建模思想物理部分高一物理（新课标人教必修一）课程安排表课时授课内容重点难点1初中物理和高中物理初中物理和高中物理的区别联系高中物理框架和重、难点及高中物理的学习方法初中物理和高中物理的区别联系2§1-1质点参考系和坐标系质点参考系科学抽象思维的建立3§1-2时间和位移时间和位移的概念时间与时刻、位移与路程的区别4§1-3运动快慢的描述----速度速度、平均速度、瞬时速度比值定义法及极限思维的建立5§1-4用打点计时器测速度打点计时器的使用方法瞬时速度的求解6§1-5速度变化快慢的描述----加速度加速度加速度的意义7§2-1探究小车速度随时间变化的规律§2-2匀变速直线运动的速度与时间的关系速度与时间的关系速度----时间图象8§2-3匀变速直线运动的位移与时间的关系§2-4匀变速直线运动的位移与速度的关系位移公式、位移与速度的关系速度图象的运用9习题课运动规律解决问题恰当选择公式10§2-5自由落体运动§2-6伽利略对自由落体运动的研究自由落体运动的规律科学的思维方法11习题课匀变速直线运动规律的应用解题技巧与方法12第一章、第二章测试13试卷讲解查漏补缺科学的学习方法14§3-1重力基本相互作用力的性质、重力的三要素重心15§3-2弹力弹力的产生条件、方向弹力的方向16§3-3摩擦力摩擦力的大小、方向滑动摩擦力的大小17习题课物体的受力分析物体的受力分析方法18§3-4力的合成力的平行四边形定则三角形定则的运用19§3-5力的分解平行四边形定则运用等效替代思想的建立20正交分解法正交分解法正交分解法的应用21共点力作用下物体的平衡平衡条件平衡条件22共点力平衡条件的应用运用平衡条件解题运用平衡条件解题23期末有奖测试（数理语化统一测试）语文部分高一语文（新课标人教必修一、必修二）课程安排表课时授课内容重点难点1新旧教材特点分析新课程知识点分析新课程知识点能力要求2《雨巷》通过意象把握意境体会"丁香姑娘"的象征义3《再别康桥》诗歌的诗情美和艺术美新诗的鉴赏方法4《堰河--我的保姆》借助鲜明生动的形象抒情"堆积"的句式和回环往复的结构5《兰亭集序》情景交融、叙议结合的写作手法品味精练优美、朴素清新的语言特征6《赤壁赋》对自然和人生的双重感悟积累文言词汇和文言句式7《赤壁赋》《记念刘和珍君》积累文言词汇和文言句式依据感情脉络理清全文结构8《记念刘和珍君文章中议论和抒情的语句重点搞懂其中难句的含意9《小狗包弟》理解作者的感情变化及其原因学习作者敢于讲真话、敢于解剖自己的精神10短新闻两篇了解新闻和通讯的异同用词准确、生动、形象、冷峻的语言特点11《包身工》报告文学的多种表达方式和写作方法刻画典型环境和典型人物；细节描写特殊句式12名著导读：《论语》《大卫·科波菲尔》感受孔子的光辉人格魅力提高个人的思想道德修养狄更斯的《大卫·科波菲尔》是一本怎样的书及人物形象13第一册测试第一册测试第一册测试14检验讲评《采薇》本节重点知识、易错知识点.了解家园之思的文化内涵感知诗歌的爱国主题和艺术特色15《氓》总结现实主义文学的源头人物性格特点及比兴手法16《离骚》屈原和楚辞的认识相关字词和文言文法运用17《孔雀东南飞》古文翻译训练了解偏义复词、古今字的特点掌握"相"、"迎"在不同语境里的用法18《烛之武退秦师》先秦散文的叙事特点及艺术特征烛之武高超的说辞艺术19《荆轲刺秦王》在矛盾冲突中表现人物性格的写法正确评价历史人物形象20《鸿门宴》人物个性化的语言、行动；运用对照的方法和在矛盾中写人的表现手法21《鸿门宴》名著导读：《家》"军、击、内、如"等实词和"其、而、则、乃"等虚词；词类活用成分省略1.关于作者2.内容梗概3.主要人物形象及故事22名著导读：《《巴黎圣母院》《高考导向与语文基础》作者、内容梗概、主要人物及鲜明的浪漫主义特色高考思维训练与高考指导下的语文教学化学部分高一化学（新课标人教必修一）课程安排表课时授课内容重点难点1§0-1高中化学教材分析新课程知识点分析对新课程知识点补充2§1-1-1化学实验基本方法化学实验安全化学实验操作方法3§1-2-1物质的量的基本概念宏观物质与微观粒子的关系摩尔质量4§1-2-2气体摩尔体积标况下气体摩尔体积阿伏加德罗定律及推论5§1-2-3物质的量浓度物质的量浓度的配制物质的量浓度的计算6§1-2-4物质的量在化学反应中的应用n、Vm、c应用于化学方程式的计算掌握n、Vm、c应用于化学方程式的计算方法和格式7§1-2-5习题课物质的量小结物质的量与其它物理量间的关系8第一章测试9检验讲评本章重点知识总结易错知识点讲评10§2-1-1物质的分类多种物质分类方法、酸碱盐间的反应条件胶体性质11§2-2-1电解质电解质和非电解质的概念强电解质和弱电解质12§2-2-2离子反应和离子方程式离子方程式意义和书写方法离子方程式的书写的正误判断13§2-2-3离子共存的判定离子反应的条件离子共存的判定14§2-2-4离子共存的强化离子共存类型常见离子间的反应15§2-2-5习题课离子反应小结相关知识应用16§2-3-1化学反应的基本类型原子结构复习、化合价概念四种基本反应类型与氧化还原反应的关系17§2-3-2氧化还原反应（一）氧化还原反应的本质用化合价分析氧化还原反应18§2-3-3氧化还原反应（二）得失电子的表示方法电子得失数目的判断19§2-3-4氧化还原反应（三）氧化还原反应规律氧化性还原性判断20§2-3-5习题课氧化还原反应知识总结相关知识应用21§2-3-6习题课氧化还原反应知识总结相关知识应用22本章重点知识总结易错知识点23数理语化期末统一有奖测试说明：河北省教育厅于5月底公布了我省9月份高一新生新课程标准实验教科书选用的版本其中数学为人教A版远方高一预备课程数学运行表已经进行了更新（彩色手册上数学按人教B版设计）化学教材我省六座城市（石张秦廊衡邢）使用人教版教材五座城市（承唐保沧邯）使用苏教版教材因二者区别很小所以远方高一预备课程统一使用人教版教材（天津各科全部使用人教版教材）。
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一.基础知识
1.集合的概念
(1)定义 (2)集合中元素的特性:确定性、互 异性、无序性。 (3)表示法：列举法、描述法、图 示法。
2.集合间的关系
(1)子集: 定义 符号: A B
韦恩图: 性质:
A A ΦA Φ A (A ≠ Φ)
A B, B C 则A C
A B 且B A A B
2
5 （3） 反 比 例 函 数 y 2 的自变量的值组 x 4 成的集合。
2、满足M {a1 , a 2 , a 3 , a 4 }, 且M {a1 , a 2 , a 3} {a1 , a 2 }的集合M的个数是 （ B ） A.1 B.2 C.3 D.4
3.设 A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0}, 又A∪B={3，5}，A∩B={3}，求实 数a,b,c的值.
2)真子集:定义
３集合基本运算
１）并集
定义：A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
性质：1)A∪A=A 2)A∪Ф=A
3)A∪B=B∪A
4）ФA∩B A A∪B．
ห้องสมุดไป่ตู้
２）交集 定义：A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 性质： 1)A∩A=A 2)A∩Ф=Ф 3)A∩B=B∩A 另外还有：A∩B A, A∩B B
4已知集合
A {x x x 6 0} B {x 0 x m 9}
2
①若 A B B，求实数m的取值范围； ②若 A B ，求实数m的取值范围。
•
2 已知方程x ＋ax＋1＝0，
2 2 x ＋2x－a＝0，x ＋2ax＋2＝0，
若三个方程至少有一个方程有 实根，求实数a的取值范围．
３）补集
定义：CＵA=｛x|x∈Ｕ,但x A｝
性质：1) CU( CUA) =A，
2) CUU =Φ, 4） 若A 3) CUΦ=U.
B Ｕ,则CＵA CＵB
5）(CUA)∩(CUB)= CU (A∪B) 6）(CUA)∪(CUB)= CU (A∩B)
1、 试 选 用 适 当 的 表 示 法 方下 列 集 合 。 （ 1） 一 次 函 数 y x 3与y 2 x 6的 图 象 的交点组成的集合； （2） 二 次 函 数 y x 2 x 4的 函 数 值 组 成 的集合；