【2015鹰潭二模】江西省鹰潭市2015届高三第二次模拟考试 数学(文) Word版含答案

绝密★启用前鹰潭市2015届高三第二次模拟考试数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}Q=0P，则Q=P （ ）A ．{}3,0B ．{}3,0,1C ．{}3,0,2D ．{}3,0,1,22．复数iiz +-=121所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若,326sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos （ ） A. 95- B. 95 C. 97- D. 974．设.R a ∈则”“0112<+--a a a 是“1<a ”成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件5．若向量b ,满足2,1==b a 且322=+b a，则向量b ,的夹角为（ ）A.6πB.3π C. 2π D. 32π 6．下列关于函数()2tan()4f x x x π=+-的图象的叙述正确的是（ ）A.关于原点对称B.关于y 轴对称C.关于直线4x π=对称 D.关于点(,0)4π对称7．某几何体的三视图如图1所示，该几何体的体积为（ ）A.263B.83π+C.143π D.73π8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ）A ． 3 B. 2C.D. 9．已知各项不为0的等差数列{n a 满足0327263=+-a a a ,数列{}n b 是等比数列，且66a b =,则1071b b b 等于( )A. 1B. 2C. 4D. 8主视图 侧视图俯视图图110．鹰潭市某学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多（ ）名A ．7B ．8C ．10D ．1311．如图2，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若PAQ ∠=且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ） A B C D12．已知函数21()ln,(),22x x f x g x e -=+=对于(),0,a R b ∀∈∃∈+∞使得()()g a f b =成立，则b a -的最小值为（ ）A. 2lnB. 2ln -C. 32-eD. 32-e第Ⅱ卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计共有28种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效证件有:身份证、户口簿、军人证、教师证等,对2015年春运期间120名购票的旅客进行调查后得到下表:则使用教师证购票的旅客的概率大约为_________. 14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S 15V ABC -的外接球的球心为O ，满足0OA OB OC ++=,则三棱锥外接球的体积为 ． 16．对于三次函数()()023≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设()x f '是()x f 的导函数，)(x f ''是()x f '的导函数，则()x f '叫()x f 的一阶导数，)(x f ''叫()x f 的二阶导数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()x f 的“拐点”．有个同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122014()()()201520152015g g g ++⋅⋅⋅+＝ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角B 的值；（2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围（图2）18．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为1A，2A，3A，4A，5A．⑴求图3中a的值；⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；⑶从质量指标值分布在)90,80[、)120,110[的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．19．（本小题满分12分）如图5，直角梯形ABCD，090=∠ADC，221===ABCDAD，CDAB//，点E为AC的中点，将ACD∆沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图6）．在图6所示的几何体ABCD-中：⑴求证：⊥BC平面ACD；⑵点F在棱CD上，且满足//AD平面BEF，求几何体BCEF-的体积．20．如图7，已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：222(2)(0)x y r r++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线,MP NP分别与x轴交于点,R S，O为坐标原点，求OR OS+的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln2f x x x a x=+-.（Ⅰ）当2-<a 时，求函数()f x 的极值点； （Ⅱ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图8，CF ABC ∆是边AB 上的高，,.FP BC FQ AC ⊥⊥[（1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆；（2）若14==AQ CQ ，，354=PF ，求CB 的长. 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知在直角坐标系x y O 中，圆锥曲线C 的参数方程为2cos xy θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），定点(0,A ，1F 、2F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．()I 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线2F A 的直线l 的极坐标方程；()II 设()I 中直线l 与圆锥曲线C 交于M ，N 两点，求11F F M ⋅N ．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式21|x |->的解集与关于x 的不等式20xax b -+>的解集相等．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x =x 的值．图8绝密★启用前鹰潭市2015年高三第二次模拟考试数学试题(文科)答案一、选择题：1—6 BCACBD 7-12 DCDCBA 二．填空题：13.81 14.5 15.163π 16. 2014 三、解答题：17.解（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A A B 2222sin 41cos 432sin 2sin 2,化简得23sin =B ，………4分故3π=B 或32π……………5分（2）因为a b ≤，所以3π=B ，由正弦定理2233sin sin sin ====C c B b A a ，得C c A a sin 2,sin 2==,……………7分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-6sin 3cos 23sin 2332sin sin 2sin sin 221ππA A A A A C A c a……………9分因为a b ≤，所以323ππ<≤A 即263πππ<-≤A ,……………10分所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3,236sin 321πA c a ……………12分18.解：⑴依题意，110)04.003.002.02(=⨯+++a解得005.0=a ……3分⑵12010005.01=⨯⨯=A ，82010040.02=⨯⨯=A ， 62010030.03=⨯⨯=A ，42010020.04=⨯⨯=A ，12010005.05=⨯⨯=A ……6分输出的18432=++=A A A S ……8分⑶记质量指标在)120 , 110[的4件产品为1x ，2x ，3x ，4x ，质量指标在)90 , 80[的1件产品为1y ，则从5件产品中任取2件产品的结果为：()21,x x ，()31,x x ，()41,x x ，()11,y x ，()32,x x ，()42,x x ，()12,y x ，()43,x x ， ()13,y x ，()14,y x ，共10种……10分记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A ，则事件A 中包含的基本事件为：()11,y x ，()12,y x ，()13,y x ，()14,y x 共4种……11分∴52104)(==A P ……12分 19．⑴证明： 2222=+=CD AD AC ……1分，045=∠=∠ACD BAC ，4=AB ，845cos 20222=⨯⨯-+=AB AC AB AC BC ……3分∵16222=+=BC AC AB ，∴090=∠ACB （BC AC ⊥）……4分 ∵平面⊥ACD 平面ABC ，平面 ACD 平面AC ABC =， ∴⊥BC 平面ACD ……6分⑵∵//AD 平面BEF ，⊂AD 平面ACD ，平面 ACD 平面EF BEF =， ∴EF AD //……8分∵点E 为AC 的中点，∴EF 为ACD ∆的中位线由⑴知，几何体BCE F -的体积BC S V V CEF CEF B BCE F ⨯⨯==∆--31……10分2141==∆∆ACD CEF S S ，32222131=⨯⨯=-BCE F V ……12分20．解：（1）依题意，得2a =，c e a ==1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ．……………5分 （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -，),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=，故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ……………9分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=， 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为4…………12分21．解:（Ⅰ） 当2-<a 时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=0>， 所以()f x 在(),a -+∞上单调递增，无极值点……………2分 ② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=， 2416a ∆=-0>，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减.综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =x a =-，极大值点为x =……………6分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2xx a x+>…（*） （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx<，0x a +≥，不等式（*）恒成立；………7分 （ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1-≠a ；……………8分 （ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立.令()ln 2xg x x x=--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x xϕ-'=-+=<,而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221l n 02x x g x x --+'=<，因此()ln 2xg x x x=--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立. ……………10分 令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数，所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-. 综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.……………12分22.证明：(1)连接QP ，由已知C 、P 、F 、Q 四点共圆，QPF QCF ∠=∠∴,090=∠+∠=∠+∠QPF CPQ QCF A ,CPQ A ∠=∠∴.则四点A 、B 、P 、Q 共圆。