r01 命题逻辑a
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑a
若一个命题已不能分解成更简单的命题, 则这个命题叫原 子命题或本原命题。 例 1 中(a) , (b) , (d) , (e)都是本原命题, 但(c) 不是, 因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两个命题。 命题和本原命题常用大写字母P , Q , R表示。 如用P表示 “4 是质数”, 则记为 ; P: 4 是质数。 表示命题的符号称为命题标识符。一个命题标识符如果表示确 定的命题，就称为命题常元；如果表示任意命题，就称为命题 变元。命题变元不是命题。可以对命题变元进行指派。
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……
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
lqmao@
课程信息
离散数学是现代数学的一个分支，以离散对象的结 构和相互关系为研究对象。 主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部 分 通过学习本课程，掌握基本的离散信息的组织和管 理方法，了解计算机科学的部分理论基础。 强调逻辑性、抽象性，注重概念、方法与应用。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
在代数式x+3 中, x , 3 叫运算对象, +叫运算符, x+3 表示运算结果。在命题演算中, 也用同样术语。联 结词就是命题演算中的运算符, 叫逻辑运算符或叫逻 辑联结词（logic connective） 。常用的有以下 5 个：否定、合取、析取、条件、双条件
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lqmao@
3. 析取∨ 如果P和Q是命题，那么“P或Q”是一个复合命题，记做P∨Q， 称为P和Q的析取（disjunction）。当且仅当P、Q至少有一个为T 时，P∨Q为T，否则，P∨Q为F。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1
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P∨Q 0 1 1 1 西安电子科技大学计算机学院 毛立强
一命题逻辑的基本概念
对于具体的命题 p和q , 如果 p , q 不可能同时为真时就
不用区分
2019年3月27日5时6分
®
§1.2 命题公式及其赋值
命题公式: 由命题常元、命题变元、逻辑联词和括 号按下述法则联结起来的符号串 定义1.6
(1)单个命题变项和命题常项是合式公式 ,
并称为原子命题公式 (2 若A是合式公式, 则 ┐A 合式公式 (3) 若 A,B 是合式公式， 则 A∧B, AB, A→B, A ↔ B是合式公式
2019年3月27日5时6分
®
§1.2 命题公式及其赋值
定义1.8 设p1,p2,…,pn 是出现在公式A中的全部命 题变项,给p1,p2,…,pn 各指定一个真值,称为对A的 一个赋值或解释。 若指定的一组值使A为1,则称这组值为A的成真赋值 若指定的一组值使A为0,则称这组值为A的成假赋值
2019年3月27日5时6分
公式的真值
®
2019年3月27日5时6分
§1.2 命题公式及其赋值
例4 求 p(pq) , pp , pp , pqr r 的真值表
p 0 0 1 1 p 0 0 0 0 1 1 1 1
2019年3月27日5时6分
q 0 1 0 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1
p(pq) 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 qr 0 0 0 1 0 0 0 1 pqr 0 0 0 1 1 1 1 1
( p r ) q
如果明天下雨或我没有时间, 那么我就不去看电影 ( p r ) q
除非明天下雨, 否则我就去看电影
只有明天下雨我才会去看电影 除非明天下雨我才会去看电影
数理逻辑第一章命题逻辑
解： (1) p ：怕困难， q ：战胜困难，
该命题符号化为： q → ┐ p (2) p ：天下雨， q ：我有时间，r ：我进城。
该命题符号化为： ┐ p ∧ q →r
(3) p ：小王在图书馆看书， q ：小王病了， r ：图 书馆开门。 该命题符号化为： ┐（ q ∨ ┐ r ） → p
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(1) 雪是白的。 (2) 2是奇数。 (3) x＋y＞5。
(4) 你是谁？ (5) 北京是中国的首都。
5
(6) 二十一世纪时有人住在月球上。
真值集合: {0,1} ，0和1为真值。 假命题的真值为0，真命题的真值为1。 简单命题（原子命题）： 简单陈述句表达的命题。 一般用小写英文字母p,q,r,s,t等表示简单命题。 例1.2 考察下面的命题： (1) 8不是奇数。 (2) 2和3都是偶数。 (3) 2或3是偶数。 联结词：真值函数，即自变量是真值，函数值也是 真值的函数。
复合命题：由命题和联结词构成，其中的命题称为 该复合命题的支命题。 复合命题的真值由支命题的真值和联结词共同决定。
6
真值表：把真值函数在自变量所有可能取值下的函数 值列成的表，称为真值表。
一元真值函数只有一个自变量，其真值表有两行。 共有四个真值不同的一元真值函数，它们的真值表如 下。 表1.1 一元真值函数的真值表 p 0 1 F1(p) F2(p) F3(p) F4(p) 0 0 0 1 1 0 1 1
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∨（析取）：复合命题“p或 者q”称为p与q的析取式，记 为 p ∨ q。 ∨相当于汉语中的“或者” （相容或 ）。 p∨q＝0当且仅当p＝q＝0。
p 0 0
q 0 1
p∨q
0 1
1
1
0
命题逻辑1
句子到逻辑表达式的翻译
P：这个材料很有趣。 Q：这个习题很难。 R：这门课程使人喜欢。 1、这个材料很有趣，而且这些习题很难。 2、这个材料无趣，习题也不难，那么，这门课程
就不会使人喜欢。 3、这个材料无趣，习题也不难，而且这门课程也
不使人喜欢。 4、这个材料很有趣意味着这些习题很难，反之亦
然。 5、或者这个材料很有趣，或者这些习题很难，而
• 与程序设计中if p then S语句的区别。
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单条件——→
• 在日常生活中，用条件式表示前提和结论之间 的因果或实质关系，这种条件式称为形式条件 命题。
• 然而在命题逻辑中，一个条件式的前提并不要 求与结论有任何关系，这种条件式称为实质条 件命题。
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双条件——
• 定义： 设P和Q是命题，则用P Q表示命题“P等值于Q”。
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句子到逻辑表达式的翻译
• 步骤： – 确定给定的句子是否为命题； – 找出各原子命题并确定句子中的连词为对应 的联结词； – 用正确的语法把原命题表示成由原子命题、 联结词和圆括号组成的公式。
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句子到逻辑表达式的翻译
• 翻译下列命题： (1)他既聪明又用功。 (2)他虽聪明但不用功。 解： 原子命题 P：他聪明。
• 表征意义 （在P为真而Q为假时为假，否则为真。）
蕴含P Q的真值表
P Q PQ
P Q PQ
FF T FT T TF F TT T
00 1
或
01 1 10 0
11 1
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单条件——→
• 政治家竞选时许诺
– “如果我当选了，那么我将会减税”。
• 如果今天是星期五，那么2+2=4.
Chapter1(命题逻辑篇)
1.3命题形式与翻译
例: 考虑命题“小张或小李都可以办好这件事”。
令P为“小张可以办好这件事”,Q为“小李可以办好 这件事”,则原命题F(P,Q)的真值表是：
1.3命题形式与翻译
• 为方便计，对于圆括号的使用做如下约 定：
• ①公式最外层的圆括号可省略． • ②只作用于邻接后的原子命题变元，如
可把(¬P)∨Q写成¬P∨Q． 定义1.3.2 如果A1是公式A的一部分，且A1
是一个公式，称A1是A的子公式．
1.3命题形式与翻译
2.命题的翻译 • 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题
1.1 命题
2.命题标识符 • 在科学领域中，每门科学为描述它的概念和
论证其有关定理，都拥有自己的语言符号以 及所使用的规则． • 在Ls中，采用一种形式语言，形式语言与我们 通常使用的自然语言不同，它由特定意义的 符号和规则组成，其特征是有确定的含义．
• 一个原子命题，一般用大写字母或带下标的 大写字母，如P,Q,R,…,或Pi,Qi,Ri,…,等表示， 把表示原子命题的符号，称为命题标识符， 简称命题符．
假．
1.1 命题与联结词
• 因此，在数理逻辑中，不能去纠缠各种具体 命题的真假问题，而是将命题当成数学概念 来处理，看成一个抽象的形式化的概念，把 命题定义成非真必假的陈述句．
• 此时所关心的并不仅仅是这些陈述句究竟是 真还是假，更关心的是它可以被赋予真或假 的可能性，以便被规定真值后它与其他命题 发生的联系．
1.2 逻辑联词
• 联结词是逻辑联结词或命题联结词的简 称，它是自然语言中连词的逻辑抽象. 有了联结词，便可以用它和原子命题构 成复合命题．常用联结词有以下5种．
高一第一章逻辑知识点总结
高一第一章逻辑知识点总结逻辑知识是非常重要的学科，它不仅能够培养我们的思维能力，还能够帮助我们正确地分析问题和推理论证。
在高一的第一章逻辑学习中，我们学习了一些基本的逻辑知识点，本文将对这些知识点进行总结。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学的基础，也是我们学习逻辑的入门知识。
命题是陈述某个事实或者陈述句，它可以是真的也可以是假的。
在命题逻辑中，我们学习了命题的基本操作：合取、析取和否定。
合取是指两个命题同时为真时才为真，用符号“∧”表示。
例如，如果命题P为“今天是晴天”，命题Q为“我今天去游泳”，那么“今天是晴天并且我今天去游泳”可以表示为P∧Q。
析取是指两个命题中至少有一个为真时就为真，用符号“∨”表示。
例如，如果命题P为“今天下雨”，命题Q为“我今天去图书馆”，那么“今天下雨或者我今天去图书馆”可以表示为P∨Q。
否定是指对命题的真值进行取反，用符号“¬”表示。
例如，如果命题P为“明天放假”，那么“明天不放假”可以表示为¬P。
二、推理论证推理论证是逻辑学中非常重要的一部分，它帮助我们正确地进行思考和判断。
在推理论证中，我们学习了一些基本的推理方法：直接推理、间接推理和假设推理。
直接推理是指通过命题之间的逻辑关系，直接得出结论的推理方法。
例如，如果已知命题P为“所有学生都喜欢运动”，命题Q为“小明是学生”，那么我们可以通过直接推理得出结论：小明喜欢运动。
间接推理是指通过已知命题之间的逻辑关系，通过中间推理步骤得出结论的推理方法。
例如，如果已知命题P为“所有A都是B”，命题Q为“所有B都是C”，那么我们可以通过间接推理得出结论：所有A都是C。
假设推理是指通过对假设的讨论和分析，得出结论的推理方法。
例如，如果我们要证明“如果A成立，则B也成立”，我们可以先假设A成立，然后通过推理得出若A成立，则B也成立的结论。
三、谬误与批判思维在学习逻辑知识的过程中，我们也了解了一些常见的谬误，谬误是指在逻辑推理中出现的错误。
01命题基本概念及联接词
解：这9个句子中，（7）～（9）都不是陈述句， 因而都不是命题。 （1）是真命题，（2）是假命题。 （3）的真值虽然现在还不能判断，到2100年就能 判断了，因而是命题。 （4）在十进制中为假，在二进制中为真，当确定 了进位制时其真值就确定了，因而是命题。 （5）是命题，真值视具体情况惟一确定（不是真 就是假）。 （6）是陈述句，但无法给出真假值。这种自相矛 盾的判断称为悖论，以后再讲。
1.2.2 合取联结词∧
定义1.2.2 设P,Q为二命题，复合命题“P并且Q”（或 “ P 与 Q” ）称为 P 与 Q 的合取式，记作 P∧Q ，符号 “∧” 称为合取联结词 . P属于二元 ∧Q为真当且仅当 P和Q同时为真 . 说明：1、“∧” (binary)运算符 . 2、联结词“∧”的定义真值表如下：
从上述例子可以看出，原命题与逆否命题意思相同, 即等价：
P Q Q P
逆命题与反命题意思相同。 这一点非常重要，在推理过程中，有时按原命题进 行推导比较困难，而用逆否命题却可收到事半功倍 的效果。
1.2.5 双条件联结词（等价联结词）
定义1.2.5 设P,Q为二命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作P iff Q或PQ，符号 称为双条件（等价）联结词。PQ为真当且仅当
Q:今天天下雨。
定义1-3 如果一个命题标识符代表任意未知命题，则 称该命题标识符为命题变元（命题变项）.如果一 个命题标识符代表一个确定的命题，则称之为命 题常元。
命题变元类似代数中的变量，命题常元类似
常量，但两者有着本质的区别。命题变元或常元
代表的是命题元素，而变量和常量代表的是一个
数值。
例如，x+y≥ 5 这是一个代数表达式，其中x和y是 变量，不是命题变元，但该表达式也可以作为一 个命题变元。假设代表该表达式的命题变元为z， 当变量x和y的值确定后，表达式成为一个命题常 元，命题变元z被该命题常元所取代成为命题，且 命题的真值随变量x和y不同取值而变化。 当用确定的命题代入命题变元时称为对命题 变元的代入。
4-第一章命题逻辑PPT课件
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
三、主范式 (2)主合取范式 每个合取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定） 主合取范式的化归步骤：见书上38页
例7:试求 (PQ )( PR)的主合取范式。 例8:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主合取范式。
大连大学
信息工程学院
9
第20页
1.6 对偶与范式
大连大学
信息工程学院
5
第20页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.6 对偶与范式 （复习）
三、主范式 (1)主析取范式 每个析取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定）
主析取范式的化归步骤：见书上36页
例5:试求 P Q 和 (PQ) 的主析取范式。
例6:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主析取范式。
分别都是什
（3）若C不去，则A或B可以去。 么？
大连大学
信息工程学院
11
第21页
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.6 对偶与范式（复习）
二、范式 定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当 它具有型式：
A 1A 2A n(n1 ) 其中 A1,A2, ,An 都是由命题变元或其否定所组成
的析取式。
合取范式的特点：
离散数学2
1/13/2020 5:08 AM
Discrete Math. , huang liujia
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例1.5 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。CHAPTER
(1) 如果3+3 = 6, 则雪是白色的。
ONE
(2) 如果3+3 ≠6, 则雪是白色的。
(3) 如果3+3 = 6, 则雪不是白色的。
(4) 如果3+3 ≠6, 则雪不是白色的。
(5) 只要 a 能被４整除，则 a 一定能被２整除。
(6) a 能被４整除，仅当 a 能被２整除。
(7) 除非 a 能被２整除，a 才能被４整除。
(8) 除非 a 能被２整除，否则 a 不能被４整除。
(9) 只有 a 能被２整除，a 才能被４整除。
(10) 只有 a 能被４整除，a 才能被２整除。(a 是一个给定的正整数）。
注：p↔q 可理解为“q与p互为充分必要条件”；
它与(p→q)∧(q→p)的逻辑关系完全一致。
1/13/2020 5:08 AM
Discrete Math. , huang liujia
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例 1.6 将下列命题符号化，并讨论它们的真值。CHAPTER ONE
(1) √3 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 (2) 2+3=5的充要条件是√3是无理数。 (3) 若两圆的面积相等, 则它们的半径相等, 反之亦然。 (4) 当王小红心情愉快时, 她就唱歌, 反之, 当她唱歌时, 一定心情愉快。 解：(1)令p:√3是无理数；q: 加拿大位于亚洲，则符号化为
2
CHAPTER ONE
逻辑学: 研究人的思维形式和规律的科学．由于研究的 对象和方法各有侧重而又分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻 辑．
浅析逻辑代数、命题逻辑、一阶逻辑、高阶逻辑和数理逻辑
浅析逻辑代数、命题逻辑、⼀阶逻辑、⾼阶逻辑和数理逻辑1. 从逻辑代数开始逻辑代数是⼀种⽤于描述客观事物逻辑关系的数学⽅法，由英国科学家乔治·布尔 (George·Boole) 于 19 世纪中叶提出，因⽽⼜称布尔代数。
所谓逻辑代数，就是把逻辑推理过程代数化，即把逻辑推理过程符号化。
2. 从逻辑代数到命题逻辑同样的，命题逻辑是将那些具有真假意义的陈述句接着进⾏符号化，产⽣原⼦命题。
与此同时，当我们把逻辑代数中的运算符：与( · )、或( + )、⾮( - )，替换成命题逻辑中的联结词集：合取( ∧ )、析取( ∨ )、⾮( ¬ )、蕴涵( → ) 和等价( ↔ ) 之后，我们就进⼊了命题逻辑的研究领域。
需要指出的是，通常也将命题逻辑称作命题演算，后者的出现就是⽤来讨论前者的，这⾥不再区分。
它与下⾯出现的⼀阶逻辑（谓词逻辑）都是数理逻辑的⼦集（或称之为分⽀），是数理逻辑的两个最基本的也是最重要的组成部分。
有⼈可能会问，为什么不从数理逻辑开始，其实意义不⼤。
要谈数理逻辑，不可避免的下⼀个主题就是逻辑代数。
为什么这样说呢？因为数理逻辑⼀开始的诞⽣是没有意义的，它的创始⼈正是我们熟知的莱布尼茨（没错，就是⾼数中的那个⽜顿-莱布尼茨公式）。
莱布尼茨⼀开始是想要建⽴⼀套普遍的符号语⾔，从⽽将⼀些由⾃然语⾔的推理转换成⽤符号演算。
但可惜他的⼯作只是开了个头，⽽且没有太多的发表，因此影响不⼤。
⽽真正使数理逻辑这门学科迅速扩张的是开头所说的英国科学家——乔治·布尔，⽽他所做的正是将逻辑代数化。
2.1 数理逻辑与数学和逻辑学数理逻辑⼜称符号逻辑、理论逻辑，是⼀门⽤数学⽅法研究逻辑或形式逻辑的学科，这是百度词条给出的解释。
还有⼀句话⾮常拗⼝：它既是数学的⼀个分⽀，也是逻辑学的⼀个分⽀。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进⾏符号化以后的形式系统。
简单来讲，数理逻辑研究的并不是数学领域，⽽是计算机科学等领域。
离散数学命题逻辑公式
离散数学命题逻辑公式1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑中的基本概念包括：命题：命题是描述客观事实真假的句子。
命题的真假值只有两个：真和假。
命题联结词：命题联结词用于将两个或多个命题连接起来，形成新的命题。
常见的命题联结词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）。
命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的表达式。
命题公式的真假值取决于其组成命题的真假值。
2. 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则是用于从给定的命题公式推导出新命题公式的规则。
常见的推理规则有：三段论：三段论是一种由两个前提和一个结论组成的推理形式。
如果两个前提都是真的，那么结论也一定是真的。
例如：所有哺乳动物都是恒温动物。
猫是哺乳动物。
所以，猫是恒温动物。
假言推理：假言推理是一种由一个条件句和一个结论组成的推理形式。
如果条件句是真的，那么结论也一定是真的。
例如：如果今天下雨，那么我就不出门。
今天下雨。
所以，我不出门。
选言推理：选言推理是一种由两个或多个分支组成的推理形式。
如果其中一个分支是真的，那么结论也一定是真的。
例如：要么今天下雨，要么明天下雨。
今天下雨。
所以，明天不会下雨。
3. 命题逻辑的应用命题逻辑在计算机科学、人工智能、哲学等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，命题逻辑用于设计和分析逻辑电路、编译器和操作系统等。
在人工智能中，命题逻辑用于知识表示和推理。
在哲学中，命题逻辑用于研究逻辑的本质和推理的有效性。
4. 结语命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑的应用非常广泛，包括计算机科学、人工智能、哲学等领域。
命题逻辑 归纳定义
命题逻辑归纳定义English Answer:Propositional Logic.Propositional Logic is a formal system used to represent and reason about propositions, which are statements that are either true or false. It is a core component of many logical systems, including first-order logic and modal logic, and has applications in a wide variety of fields, including philosophy, computer science, and mathematics.Inductive Definition of Propositional Logic.The syntax of propositional logic is defined inductively as follows:1. Propositional Variables: The set of propositional variables, denoted by P, is the smallest set such that:P contains a countably infinite number of symbols, such as p, q, r, ...2. Connectives: The set of connectives, denoted by C, is the set {¬, ∧, ∨, →, ↔}.3. Formulas: The set of formulas, denoted by F, is the smallest set such that:P ⊆ F.If ϕ∈ F, then ¬ϕ∈ F.If ϕ, ψ ∈ F, then ϕ∧ ψ ∈ F.If ϕ, ψ ∈ F, then ϕ∨ ψ ∈ F.If ϕ, ψ ∈ F, then ϕ→ ψ ∈ F.If ϕ, ψ ∈ F, then ϕ↔ ψ ∈ F.Semantics of Propositional Logic.The semantics of propositional logic is defined using truth tables, which assign a truth value (true or false) to each formula for every possible assignment of truth valuesto the propositional variables.Axioms and Inference Rules of Propositional Logic.The axioms and inference rules of propositional logic are a set of rules that allow us to derive new formulasfrom existing formulas. The axioms are a set of tautologies, which are formulas that are true for all possible assignments of truth values to the propositional variables. The inference rules are a set of rules that allow us to derive new formulas from existing formulas.Applications of Propositional Logic.Propositional logic has a wide variety of applications, including:Philosophy: Propositional logic is used to analyze the validity of arguments and to develop formal models of reasoning.Computer Science: Propositional logic is used in the design and verification of hardware and software systems.Mathematics: Propositional logic is used in the foundations of mathematics, including the development of set theory and model theory.中文回答：命题逻辑。
命题、量词与逻辑联结词
构造方法：构造真值表时，需要遵循以下步骤
2. 确定每个简单命题的真值和假值。
4. 根据逻辑联结词的规则，计算每个真值组合下复合 命题的真值，并将其填在表格的对应位置中。
真值表在命题逻辑中的应用和意义
应用
真值表在命题逻辑中有着广泛的应用。它可以用于验证 命题逻辑的有效性、检查推理的正确性、分析命题的结 构和性质等。通过真值表，我们可以清晰地看到复合命 题在不同情况下的真值，从而对命题逻辑进行准确的分 析和推理。
命题、量词与逻辑联 结词
汇报人：张老师 2023-11-25
contents
目录
• 命题逻辑概述 • 量词与命题逻辑 • 逻辑联结词 • 复合命题与真值表
CHAPTER 01
命题逻辑概述
命题的定义和例子
定义：命题是陈述一个判断或描述的语句，它可以是真或 假。在逻辑学中，命题通常被用作推理的基础。
析取联结词（∨）
表示两个命题至少有一个为真。例如，命题 “今天下雨或刮风”中，“或”即为析取联 结词，表示“今天下雨”与“刮风”两个子 命题中至少有一个为真时，整个命题就为真 。
蕴含联结词与等价联结词
蕴含联结词（→）
表示前一个命题为真时，可以推出后一个命 题为真。例如，命题“如果明天下雨，那么 运动会取消”中，“如果...那么...”即为蕴 含联结词，表示“明天下雨”为真时，“运 动会取消”也为真。
意义
真值表不仅是命题逻辑的重要工具，也是逻辑推理的基 础。它提供了一种系统化、机械化的方法来处理和解决 命题逻辑问题，使得我们能够更加准确、高效地进行逻 辑分析和推理。同时，真值表也揭示了命题逻辑的内在 规律和结构特点，进一步深化了我们对逻辑的理解。
内蒙古自治区考研数学数理逻辑复习要点
内蒙古自治区考研数学数理逻辑复习要点1. 命题逻辑命题逻辑是数理逻辑的一个分支，也是考研数学中的重要内容。
下面列举一些命题逻辑的核心要点：1.1 命题与命题的连接词命题是一个陈述句，可以为真或假。
常见的命题连接词有与、或、非等。
与的符号表示为∧，或的符号表示为∨，非的符号表示为¬。
1.2 命题逻辑的公式与真值表命题逻辑可以使用符号来表示命题和命题的连接词，这些符号与真值表相对应。
其中，真值表列出了命题组合对应的真假情况。
1.3 命题逻辑的推理规则命题逻辑中的推理规则是根据命题的真值表和命题的连接词来进行的。
常见的推理规则有与、或的交换律、结合律、分配律等。
1.4 命题逻辑的应用命题逻辑可以用来描述和推理各种问题，如推理问题、谬误分析等。
在考研中，也会有相关的应用题目。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词，可以描述对象之间的关系和属性。
下面列举一些谓词逻辑的要点：2.1 个体、谓词、量词在谓词逻辑中，个体是指具体的对象，谓词是描述个体之间关系和属性的符号，量词则用于描述谓词的范围。
2.2 谓词逻辑的公式与真值表谓词逻辑使用公式和真值表来描述谓词和量词之间的关系。
公式中包含了谓词、个体和量词。
2.3 谓词逻辑的推理规则谓词逻辑中的推理规则是根据谓词的真值表和量词的范围来进行的。
常见的推理规则有全称量词的取反、存在量词的推理等。
2.4 谓词逻辑的应用谓词逻辑可以用来描述和推理各种问题，如数学问题、自然语言理解等。
在考研中，也会有相关的应用题目。
3. 数理逻辑的例题以下是一些数理逻辑的例题，供考生参考：3.1 命题逻辑的例题例题1：已知命题p为真，命题q为假，求命题“p∧(p∨q)”的真值。
题解：根据命题连接词的优先级，先计算括号内的部分，得到“p∨q”的真值为真。
再计算“p∧真”，得到最终结果为真。
3.2 谓词逻辑的例题例题2：已知谓词P(x)表示“x是偶数”，“∀x P(x)”表示“所有数都是偶数”，求该命题的真假情况。
r01命题逻辑c
常见的永真蕴含式：
P ∧Q ⇒P P ∧Q ⇒Q P ⇒P ∨Q Q ⇒P ∨Q ¬ P⇒P→Q Q ⇒P →Q ¬ (P→Q)⇒P ¬ (P→Q)⇒¬ Q P∧（P→Q）⇒Q ¬ Q∧（P→Q）⇒¬ P
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I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10
¬ P∧（P∨Q）⇒Q （P→Q）∧（Q→R）⇒P→R （P∨Q）∧（P→R）∧（Q→R）⇒R （P→Q）⇒（Q→R）→（P→R） （P→Q）∧（R→S）⇒（P∧R）→（Q∧S） （P↔ Q）∧（Q↔ R）⇒P↔ R P→Q⇒（P∨R）→（Q∨R） P→Q⇒（P∧R）→（Q∧R）
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对偶式
定义：设有命题公式A, 其中仅有联结词∧, ∨, ¬ 。在A中将 ∧, ∨分别换以∨, ∧ ,如果有常元 F 和 T，也互相替 换, 所得公式记为A*，则A*称为A的对偶公式。 显然，(A*)* A，即对偶是相互的。 例1 (a) P∨F 的对偶公式？ P∧T (b) P∨Q∧R的对偶公式？ P∧(Q∨R)
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联结词的归约 9 个联结词是否都必要? 显然不是的, 只用∧ , ∨ , ¬ 三个联 结词构造的式子, 就足以把一切命题公式等价地表示出来。 定义：对于一个联结词集合，如果所有的命题公式都能用其中 的联结词等价表示出来，则称其为全功能联结词集合， 或称该联结词集合是功能完备的。如{∧ , ∨ , ¬}。 根据德· 摩根定律: ¬ (P∧Q) P∨¬ Q, ¬ (P∨Q) Q, 所 ¬ ¬ P∧¬ 以, ∧和∨中去掉一个也足以把一切命题公式等价地表示出 来。
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作业
1.3 习题 2 a d 、3 b、6、7 1.4 习题 1、2、3
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A*(P, Q, R) ⇔P∧(Q∨R) A*(¬ P, ¬ Q, ¬ R)⇔(¬ P)∧(¬ Q∨¬ R) 所以，¬ A(P, Q, R)⇔A*(¬ P, ¬ Q原理）若A⇔B, 且 A , B为命题变元P1, P2,… .., Pn及 联结词∧ , ∨ , ¬ 构成的公式, 则A* ⇔ B*。 证：A⇔B意味着 A( P1, P2, … , Pn) B(P1, P2, … , Pn) 永真， 所以 ¬ A(P1, P2, … , Pn) ¬ B(P1, P2, … , Pn)永真。 又因为 ¬ A(P1, P2, … , Pn)⇔A *(¬ P1, ¬ P2, … , ¬ Pn) ¬ B(P1, P2, … , Pn)⇔B *(¬ P1, ¬ P2, … , ¬ Pn)， 故 A *(¬ P1, ¬ P2, … , ¬ Pn) B *(¬ P1, ¬ P2, … , ¬ Pn) 永真。 使用代入规则，以 ¬ Pi 代替 Pi, 1≤i≤n, 得 A*(P1, P2, … , Pn) B*(P1, P2, … , Pn) 永真，所以A* ⇔B* 。 例 ：若(P∧Q)∨(¬ P∨(¬ P∨Q)) ⇔ ¬ P∨Q, 则由对偶原理得 (P∨Q)∧(¬ P∧(¬ P∧Q)) ⇔ ¬ P∧Q
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练习： 判断下列语句是否为命题。 （1）雪是黑的。 （2）1＋101＝110 是（F） 不是 是（？）
（3）别的星球上有生物。 （4）下课吧？ （5）下课！ 不是 不是
（6）本命题是假的。
不是（悖论）
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若一个命题已不能分解成更简单的命题, 则这个命题叫原 子命题或本原命题。例1中“ 今天下雪” ，“ 能整除7的正整数只 有1和7本身” ，“ 李自成起义那天, 杭州下雨” ，“ 较大的偶数都 可表示为两个质数之和” 都是本原命题, 但“ 2是偶数而3是奇数 ” 不是, 因为它可写成“ 2 是偶数” 和“ 3 是奇数” 两个命题。 原子命题常用大写字母P , Q , R表示。 如用P表示“ 4 是质 数” , 则记为： P: 4 是质数。
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例5 在大多数编程语言中，“ 非” 的定义和“ 否定” 联结词定 义相同。例如在Java语言中，（逻辑）“ 非” 记做！，表达 式 !（x<100）为真表示什么？ 变量x不小于100，也就是大于等于100。
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2. 合取∧ 如果P和Q是命题，那么“ P 并 且 Q” 是一个复合命题，记做 P∧Q ，称为 P 和 Q 的合取（ conjunction ）。当且仅当 P 、 Q 同时 为T时，P∧Q为T，否则，P∧Q为F。
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例 2 下述都不是命题: (a) x+y＞4。 (b) x=3。 (c) 真好啊! (d) 你去哪里?
(a)和(b)是断言, 但不是命题, 因为它的真值取决于x和y的 值。 (c)和(d)都不是断言, 所以不是命题。
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例 3 一个人说:“ 我正在说谎” 。 他是在说谎还是在说真话呢? 如果他讲真话, 那么他所说的 是真, 也就是他在说谎。 我们得出结论如果他讲真话, 那么他是 在说谎。另一方面, 如果他是说谎, 那么他说的是假; 因为他承认 他是说谎, 所以他实际上是在说真话, 我们得出结论如果他是说 谎, 那么他是讲真话。 从以上分析, 我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。这样, 断言“ 我正在说谎” 事实上不能指定它的真假, 所以不是命题。 这 种断言叫悖论（paradox） 。
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5. 双条件 ↔ （等值） 如果P和Q是命题, 那么“ P当且仅当Q” 也是命题, 记为P↔ Q, 称为 P 和 Q 的双条件命题 (biconditional proposition) 。运算符 ↔ 定 义如下表所示。当且仅当P、 Q真值相同时，P↔ Q为T，否则， P↔ Q为F。 P↔ Q也读做“ P是Q的充要条件”。
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第一章 命题逻辑
命题和联结词 命题公式 逻辑等价和永真蕴含 联结词的完备集 对偶式和范式 命题逻辑的推理理论
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1.1 命题和联结词
命题
断言是一陈述语句。 一个命题（proposition）是一个或真或假而 不能两者都是的断言。如果命题是真，我们说它的 真值（truth value）为真（T或１），如果命题是 假， 我们说它的真值是假（F或０）。
表示命题的符号称为命题标识符。一个命题标识符如果表 示确定的命题，就称为命题常元；如果表示任意命题，就称为 命题变元。命题变元不是命题。可以对命题变元进行指派。
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命题联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这种新命题 叫复合命题。例如 ： P : 明天下雪, Q : 明天下雨 是两个命题, 利用联结词“ 不” ,“ 并且” ,“ 或” 等可分别构成新命 题: “ 非P” “ 明天不下雪” ; “ P并且Q” “ 明天下雪并且明天下雨” ; “ 明天下雪或者明天下雨” 等。“ P或者Q”
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例 1 下述都是命题: (a) 今天下雪 ; (b) 能整除7的正整数只有1和7本身; (c) 2 是偶数而 3 是奇数; (d) 李自成起义那天, 杭州下雨; (e) 较大的偶数都可表示为两个质数之和。 以上命题, (a)的真值取决于今天的天气, (b)和(c)是真, (d) 已无法查明它的真值, 但它是或真或假的, 将它归属于命题。 (e)目前尚未确定其真假, 但它是有真值的, 应归属于命题。
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第一部分 数理逻辑（mathematical logic）
逻辑学是一门研究推理规律的科学；数理逻辑就是 用数学方法研究推理规律，这里的“ 数学方法” 是指 引入一套符号体系的方法，所以数理逻辑又称为“ 符 号逻辑” 。 传统的数理逻辑包括“ 四论一演算” ：递归论、公理 化集合论、模型论和证明论，逻辑演算，目前新提 出了很多新的逻辑，如多逻辑、模态逻辑、时序逻 辑、算法逻辑、程序逻辑等等。 本课程主要学习命题逻辑（proposition logic）和谓 词逻辑（predication logic） 。
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例9 在大多数编程语言中， “ 兼或 ” 的定义与析取定义相 同。例如Java语言中，（逻辑）“ 或” 记做||，表达式 x<10 || y>1 为真 当且仅当 变量x小于10或者变量y大于1或 者两者都成立。
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例 10
Web 搜索 许多 Web 搜索引擎（如 Google 、
Yahoo）都允许用户输入关键词，然后由搜索引擎与网页进 行 匹 配 。 例 如 ， 输 入 mathematics 会 产 生 一 个 包 含 mathematics 的列表。有些搜索引擎允许用户使用操作符 AND、OR和NOT以及括号进行关键词的组合，这样可以实 现更复杂的搜索。例如，为了搜索包含关键词 “ discrete” 和 “mathematics”的 网 页 ， 用 户 应 该 输 入 discrete AND mathematics 。 如 果 搜 索 包 含 关 键 词 “discrete” 和 “ mathematics” 或关键词 “ finite” 和“ mathematics” 的网页，用 户应该输入（discrete OR finite）AND mathematics。
参考书：
课时：
考试：
2
课程信息
离散数学是计算机相关专业的重要基础课程。
数据结构 操作系统 编译原理 人工智能
数字电路 数据库系统 计算机网络 ……
3
课程信息
离散数学是现代数学的一个分支，以离散对象的结 构和相互关系为研究对象。 主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部 分。 通过学习本课程，掌握基本的离散信息的组织和管 理方法，了解计算机科学的部分理论基础。 强调逻辑性、抽象性，注重概念、方法与应用。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P→Q 1 1 0 1
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例 11 (a) P: 天不下雨, Q: 草木枯黄。 P→Q: 如果天不下雨, 那么草木枯黄。 (b) R: G是正方形, S: G的四边相等。 R→S: 如果G是正方形, 那么G的四边相等。 (c) W: 桔子是紫色的, V: 大地是不平的。 W→V: 如果桔子是紫色的, 那么大地是不平的。
西安电子科技大学软件学院
学 数 离 散
d ia i x @ n u xiek
琨 谢 讲 主 cn . u d e . n ia
1
课程信息
教材：
《离散数学》，武波等，西电出版社 《离散数学》，左孝凌等，上海科学技术文献出版社 《离散数学》，方世昌，西电出版社 60学时，30次课
卷面成绩（85%） + 平时成绩（15%）
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在代数式x+3 中, x , 3 叫运算对象, +叫运算符, x+3 表示运算结果。在命题演算中, 也用同样术语。联 结词就是命题演算中的运算符, 叫逻辑运算符或叫逻 辑联结词 （ logic connective ） 。常用的有以下 5 个：否定、合取、析取、条件、双条件 。
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1. 否定 ¬ 设 P 为一命题， P 的否定（ negation ）是一个新的命题，记做 ¬ P，称为“ 非P” 。如果P为T，则¬ P为F；如果P为F，则¬ P为T。 所以否定词可以用下表定义。 真值表 P
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4. 条件→ 如果 P 和 Q 是命题，那么 “ 如果 P ，则 Q” 是一个复合命题，记做 P→Q ，称为P和Q的条件命题（conditional proposition）。当且仅 当P为T，Q为F时， P→Q为F，否则， P→Q为T。这里，称P为 假 设 （ hypothesis ） ， 或 前 件 （ antecedent ） ， 称 Q 为 结 论 （conclusion），或后件（consequent）。
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例7 在大多数编程语言中，“ 与” 的定义与“ 合取” 定义相同。例 如Java语言中，（逻辑）“ 与” 记做&&，表达式 x<10 && y>1 为 真当且仅当变量x小于10并且变量y大于1。
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3. 析取∨ 如果 P 和 Q 是命题，那么 “ P 或 Q” 是一个复合命题，记做 P∨Q ， 称为P和Q的析取（disjunction）。当且仅当P、Q至少有一个为T 时，P∨Q为T，否则，P∨Q为F。
左边：运算对象 的真值的所有可 能组合 右边：新命题 真值的所有可 能组合
¬P １ ０
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０ １
例4 (a) P: 4 是质数。 ¬ P: 4 不是质数。 或 4 是质数, 并非如此。 (b) Q：这些书都是刚刚出版的。 ¬ Q： 这些书不都是刚刚出版的。 注：表示成“ 这些书都不是刚刚出版的” 是错误的。
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在日常生活中用条件式来断言前提和结论之间的因果或实 质关系, 如上例(a)和(b), 这样的条件式叫形式条件, 然而, 在命题 演算中, 一个条件式的前提和结论并不需要有因果和实质联系, 这样的条件式叫实质条件, 如上例(c)中, 桔子的颜色和大地的外 形之间没有因果和实质关系存在, 但条件式W→V是真, 因为前 提是假而结论是真。 采用实质条件作定义, 是因为在讨论逻辑 和数学问题中, 这不仅是正确的, 且方便应用。 －“ 善意推定”