3第四章 弯曲内力 应力

应力和许用压应力。
t max [ t ]
c max [ c ]
(Internal Forces in Beams) 例题 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉 许用应力为 [t ] = 30MPa ，抗压许用应力为[c ] =160MPa。已
知截面对形心轴 Z 的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁
RA
F1=2kN
m=10kN.m
q=1kN/m
C 4m 7kN 3kN 4m D 4m
RB
F2=2kN
CD 向下斜的直线 ( ) A
B 3m
E
DB 水平直线 (—)
FS F2 RB 3kN
EB 水平直线 (—)
+
x=5m
2kN
1kN
FSB右 P 2 2kN
F点剪力为零,令其距 A点为x
FS
m
错动时，横截面m-m 上的剪力为正。或使
dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正。
dx
2、弯矩符号
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的
+
M m
M
下半部受拉 ）时，横截面m-m 上的
弯矩为正；
m （受拉）
(Internal Forces in Beams)
剪力、弯矩方程的规律（外力引起什么样的内力） 1、剪力
M
i 1 左（右）
Fi ai M k
k 1 左（右）
n
m
集中力（分布力）：
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起 正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。
+
_
集中力偶：
左顺，右逆 + + _ _
左侧梁段： 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 右侧梁段： 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
(Internal Forces in Beams)
弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系
dFS ( x ) q( x ) dx
几何意义：
dM ( x ) FS ( x ) dx
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点
处荷载集度的大小。
（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
(Internal Forces in Beams)
基本概念 1、弯曲变形
(1) 受力特征
弯曲变形
外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。 (2) 变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。
2、梁
以弯曲变形为主的杆件。
3、平面（对称）弯曲
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线
是一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。
注意：
对于铸铁等 脆性材料 (Brittle materials)制成的梁，由于材料的
[ t ] [ c ]
且梁横截面的中性轴 (Neutral axis) 一般也不是对称轴，所以梁的
t max c max
(两者有时并不发生在同一横截面上) 所以，要求最大拉应力和最大压应力分别不超过材料的许用拉
FSA右 R A 7kN FSC左 R A 4q 3kN
CD 向下斜的直线 ( )
FSC右 R A 4q P1 1kN
FSD P2 RB 3kN
(Internal Forces in Beams) AC 向下斜的直线()
FSA右 7kN FSC左 3kN FSC右 1kN FSD 3kN
一段梁上
的外力情
况
向下的均布荷载 q<0
无荷载
集中力 F C
集中力偶 m C
剪力图 的特征 弯矩图 的特征 Mmax所在 截面的可 能位置
向下倾斜的直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
上凸的二次抛物线
一般斜直线 或
在C处有尖角
在C处有突变 m
在FS=0的截面
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
(Internal Forces in Beams)
基本概念
梁的位移—挠度和转角
1、挠度（ Deflection ） 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位 移，称为该截面的挠度，用w表示。
A C
挠曲线
B
x
挠度向下为正。
w挠度 C'
B'
y
2、挠曲线 :
梁变形后的轴线称为挠曲线 。
O
x
d2 M ( x ) 梁上有向上的均布荷载，即 q(x) =const﹥0 q( x ) 2 dx M(x) Fs(x)
O x
(Internal Forces in Beams)
dFS ( x ) dM ( x ) d2 M ( x ) q( x ) FS ( x ) q( x ) 2 dx dx dx
4m
M D左 7 F 2 4 RB m 16 M max M F 20.5
DB
20
20.5 16
M D右 7 F 2 4R B 6 M B 3F 2 6
ME 0
BE
+
6 6
(Internal Forces in Beams) 弯曲变形横截面上正应力的计算公式: M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩。
Iz bh3 / 12 bh2 W h/ 2 h/ 2 6
h
z y D d
空心圆截面 W
D 3
32
(1 )
4
d α D
z y
(Internal Forces in Beams) （4）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 yc max 和
dFS ( x ) q( x ) dx dM ( x ) FS ( x ) dx
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶 的值，但剪力图无变化。
(Internal Forces in Beams) 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
(Internal Forces in Beams)
二、积分常数的确定（边界条件） A A A
A A 1、边界条件
~
~
~
~
~
~
A
A
A
~
A
w AL w AR w AL w AR
2、连续条件
AL AR
A B
在简支梁中，左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0。 在悬臂梁中，固定端处的挠度 w A
A
C
C'
B
x w挠度（
y

B
转角
(Internal Forces in Beams) 4、挠度与转角的关系
tg w ' w '( x )
A
C
B
x
挠曲线
C'
转角
w挠度
y

B
(Internal Forces in Beams)
挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
一、微分方程的积分
y t max 直接代入公式 My 求得相应的最大正应力。 Iz
σ c max
σ t max
yc max
M
My t max Iz My c max Iz
z
y t max
y
σ c max
σ t max
(Internal Forces in Beams)
弯曲强度条件
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力。 1、数学表达式
max
M max [ ] W
max
FS S z max I zb
*
[ ]
2、强度条件的应用 (1) 强度校核 (2) 设计截面
M max [ ] W M max W [ ]

(3) 确定许可载荷
M max W [ ]
(Internal Forces in Beams)
M ( x) w EI
若为等截面直梁， 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成：
EIw M ( x )
1、积分一次得转角方程
EIw( x ) EI ( x ) M ( x )d x C1
2、再积分一次, 得挠度方程
EIw( x ) M ( x )dxdx C1 x C 2
(Internal Forces in Beams)
q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系
1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) =const< 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线。 M(x)图为一向上凸的二次抛物线。
Fs(x) M(x)
dFS ( x ) q( x ) dx dM ( x ) FS ( x ) dx
Iz M ymax 引用记号 ——抗弯截面系数 W max ymax Iz M 则公式改写为 max W
(Internal Forces in Beams)
（3）当 中性轴为对称轴时
Iz d / 64 d 实心圆截面 W d /2 d /2 32
4
3
d z
y
b
矩形截面
2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0
剪力图为一条水平直线。 弯矩图为一斜直线。 当 F S(x) > 0 时，向右上方倾斜。 当 F S(x) < 0 时，向右下方倾斜。