6-4.1弯曲梁的正应力计算解析
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6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横 截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使 是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很 小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不 计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点处 于单向应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形 式来建立梁的正应力强度条件：
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
弯曲应力及强度计算
桥梁的受弯破坏问题
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
弯曲正应力
dA
y
z
y
x
A
y 2 dA M
已知
A
y 2 dA I z
横截面对 z 轴的惯性矩
得到：
M EI z
1
Ey 代入： E
(b)
得到：
My Iz
弯曲正应力计算公式
横截面上的最大正应力Leabharlann max令： 得：
M ymax Iz
M
max
抗弯截面系数
Iz Wz ymax
尚有两个问题?
1、
?
2、中性层的位置？
三、静力关系
F
Ey
A
x
0
dA 0
A
dA
E
M
A
ydA 0
得： 而
A
A
ydA 0
z
ydA S z A y
是横截面对 z 轴的静矩
M
y
z
y
dA
x
y 0
中性轴 z 通过横截面的形心
中性轴必为形心轴
M
E
y
0
z
已知:
a 50mm
2a A
a
F C
140MPa
求: F力的最大许可值 解: 作出梁的弯矩图 梁的危险截面为B截面 B截面的弯矩为:
B
M
Fa
M B M max Fa
梁的危险截面为B截面 M B M max Fa B截面的尺寸如图
30 203 14 203 12 Iz 10 12 12 1.07 108 m 4
梁的纯弯曲正应力实验
R4 D E
R3
DR1 DR2 DR3 DR4 E U BD ( ) 4 R1 R2 R3 R4 E K ( 1 - 2 3 - 4 ) 4
梁的纯弯曲正应力实验
4、电桥接法及温度补偿 全桥接法(四个电阻均为应变片)； 1．电桥接法： 半桥接法(R1、R2为应变片， R3、R4为固定电阻) 两种接法中的应变片型号、阻值尽可能相同 或接近，固定电阻与应变片阻值也应接近。 2．温度补偿：由于温度对电阻值变化影响很 大，利用电桥特性，可以采用 适当的方法消除这种影响。
化是非常敏感的，任何一点变化都会使输出结
为电量——电阻， 测量应变的精度达到 10-6， 是
一种
量的
标准
量时
线，
施。
图 2 偏心压缩试 样
பைடு நூலகம்
境变
果产
偏心拉（压）实际上是拉（压）与纯弯曲的组合，由于拉（压）和纯 生变化。如果你有实测的经历就会发现，随机干扰因素很多，刚刚预调平衡 的一个测点，当旋钮转过去再转回来时，几秒钟时间又不平衡了，往往需要 弯曲时横截面上只有正应力存在，经过叠加后横截面上只有正应力，且为 多次反复，耐心细致，才能将所有测点调平；有时虽经多次反复却无法调平 线性分布。因此只要能够测出正应力的分布规律，确定中性层位置，就可 只好保留原始误差开始测量。在实测时还会发现，同一个实验装置，同样的 求出外载和作用点位置。根据受力的不同，偏心拉（压）有单向偏心拉（ 仪器和接线，不同的实验小组测量结果也不同，甚 压）（图2a）和双向偏心拉（压）（图2b）两种情况，测试时设计的贴片 部位也不同。请学生们自己设计布贴应变片并确定组桥方式。实验可用电 子万能材料试验机加载。
梁的纯弯曲正应力实验
五、实验数据的记录与计算
横力弯曲时的正应力计算公式
a/2
F
a/2
A
C
l/2 l/2
D
B
解： 分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲 应力同时达到最大。
主梁AB的最大弯矩
M maxAB
F (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
M maxCD
Fa 4
由 即
M max AB M max CD
F Fa (l a) 4 4
得
4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长 是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这 层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
o
对称轴
z
目录
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况； 下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称 面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
y
（6—1）
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。
中性轴必然通过截面形心。 E 1 M EI z sin 0 0 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
F
a/2
A
C
l/2 l/2
D
B
解： 分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲 应力同时达到最大。
主梁AB的最大弯矩
M maxAB
F (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
M maxCD
Fa 4
由 即
M max AB M max CD
F Fa (l a) 4 4
得
4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长 是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这 层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
o
对称轴
z
目录
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况； 下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称 面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
y
（6—1）
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。
中性轴必然通过截面形心。 E 1 M EI z sin 0 0 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
同等条件不同截面形式梁的数值计算分析
同等条件不同截面形式梁的数值计算分析徐莹【摘要】本文采用有限元分析方法,在等跨度、等截面积、等荷栽的前提下,对矩形截面实心梁、矩形截面空心梁和工字型截面梁进行了数值计算,得到了最大变形、Y 方向位移和XY方向最大剪应力等有代表性的数值计算结果.通过对结果的分析得到了每种截面形状梁都有其优缺点,不能一概而论.【期刊名称】《华北科技学院学报》【年(卷),期】2015(012)001【总页数】5页(P107-111)【关键词】矩形截面实心梁;矩形截面空心梁;工字型截面梁;数值分析;变形【作者】徐莹【作者单位】河北省廊坊市大厂回族自治县职业技术教育中心,河北廊坊065300【正文语种】中文【中图分类】TH213.50 引言工程结构中，梁作为主要受弯构件承当上部荷载，并把荷载传给柱子或者承重墙体［1－3］。
如果满足跨度相同，横截面积相同两个条件，这就意味着用的材料量是相同的。
在材料量固定的前提下，如果此时所受荷载也相同，仅由于横截面积形状不同得到的力学效果也是有差异的，本文试图找到每种横截面积梁的受力特点，从力学角度解析其不同。
1 弯曲梁抗弯理论基础及模型建立基本前提1.1 弯曲梁抗弯理论基础由固体力学可知，弯曲梁的正应力计算公式为［4－6］:令，代入(1)式，得:其中:σmax—弯曲梁最大正应力;Mmax—最大弯矩;IZ—惯性矩;WZ—抗弯截面系数。
通过公式(2)可知，在其它条件相同条件下，梁的抗弯性能好坏和梁的抗弯截面系数WZ密切相关，即使横截面积相同，但是不同的布置方式也会使WZ变化很大，正常情况下我们设计梁截面时候都要尽可能追求大的WZ，这样才能保证最大正应力σmax不会超过材料的容许正应力［σ］。
1.2 基本参数本次分析采用大型通用有限元软件ANSYS，采用SOLID45单元进行数值模拟，SOLID45单元用于构造三维固体结构，单元通过8个节点来定义，每个节点有3个沿着XYZ方向的平移自由度，此单元具有塑性、蠕变、膨胀、盈利强化、大变形能力，因此非常适合用来模拟三维的钢材及混凝土［7－8］。
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁弯曲时的正应力
梁弯曲时的正应力§7-1 梁弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力如图7-2a 所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图加图7-2b 、c 所示。
在梁的AC 和DB 段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪力弯曲或横力弯曲。
在CD 段中，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
b )c )a )图7-2为了使问题简单，现以矩形截面梁为例，推导梁在纯弯曲时横截面上的正应力。
其方法和推导圆轴在扭转时的剪应力公式的方法相同，从几何变形、物理关系和静力学关系等三方面考虑。
1、几何变形为观察梁纯弯曲时的表面变形情况，在矩形截面梁的表面画上一些纵向直线和横向直线，形成许多小矩形，然后在梁两端对称位置上加集中荷载P ，梁受力后产生对称变形，在两个集中荷载之间的区段产生纯弯曲变形，如图7-3所示。
从实验中观察到如下现象：m n nma )b )d )ij i j图7-31）所有纵向直线均变为曲线，靠近顶面（凹边）的纵向线缩短，靠近底面（凸边）的纵向线伸长，如图7-3b 中的i ′—i ′和j ′—j ′。
2）所有横向直线仍为直线，只是各横向线之间作了相对转动，但仍与变形后的纵向线正交, 如图7-3b 中的m ′—m ′。
3）变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长区减小，在纵向线缩短区增大，如图7-3b 右所示。
根据以上观察到的现象，并将表面横向直线看作梁的横截面，可作如下假设：1）平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕某轴旋转了一个角度，但仍垂直于梁变形后的轴线。
2）单向受力假设：认为梁由无数微纵向纤维组成。
各纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，各纵向纤维无挤压现象。
根据平面假设，梁变形后的横截面转动，使得梁的凸边纤维伸长，凹边纤维缩短。
由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层，如图7-3d 所示。
06弯曲应力_2正应力
结论：选用 No 45a 工字钢
讨论： 若考虑梁的自重， 梁的自重应视为均布载荷 q 80.42 kg/m 9.8 m/s2 788 N/m
M 186.3 kNm max
不计梁的自重所引起的计算误差约为3.5%，在工程中是允许的。
[例4] 图示槽形截面铸铁梁。已知截面的 Iz = 5260×104 mm4、 y1 =
为负值，梁上侧受拉、下
F
y1
O
z
B
C
y2
4m
2m
y
侧受压，最大拉应力和最 M N m
大压应力分别发生在该截
面的上边缘和下边缘各点
x
处，应分别进行强度计算
2F
由
M
tmax
max
Iz
yt max
M
2F 77 103 m
max
Iz
y1 5260104 1012 m4
≤
t
30106 Pa
存在两个待定问题： 1）中性轴的位置？ 2）中性层的曲率（曲率半径）？
E E 1 y
静力学关系 ——
dA A
FN
0
Sz
ydA 0
A
结论 1： 中性轴 z 通过截面形心
z
O
y
x
dA
dA y
A y dA M
1 M
EIz
结论 2： 中性层的曲率与弯矩成正比，与抗弯刚度 EIz 成反比。
第三节 弯曲正应力
一、弯曲正应力计算公式
弯曲正应力只与弯矩有关，故通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力
纯弯曲： 梁的剪力恒为零， 弯矩为常量。
aF
A
C
Fa
D
B
6-4.2弯曲梁的剪应力计算及强度计算
要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在 单向受力时的许用应力[σ]
利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算： 正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。
2、 弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态， 相应的强度条件为：
FQ S z m ax m ax I zb m ax
细长等值梁
Hale Waihona Puke L 5 h max 10 max
二、 梁的强度条件
为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一 定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度 条件和剪应力强度条件。
1、 弯曲正应力强度条件
弯曲正应力强度条件为：
max
M W z max
C
3ｍ 3ｍ
解：该梁C截面的弯矩最大，
F＝20kN B C 3ｍ 3ｍ
Mmax=10×3=30kN.m
⑴矩形截面:
A
1 3 bh bh 2 Wz 12 32.67 10 4 mm 3 1 6 h 2
max
M max 30 103 91.8MPa 5 Wz 32.67 10
⑵圆形截面
A
d2
4
bh
d = 133.5mm
Wz 64 d 2
d4
d3
32
23.36 103 mm 3
max
M max 30 103 128.4MPa 6 Wz 23.36 10
⑶ 工字形截面。
选用50C号工字钢,其截面面积为139000mm2。
SZ (20mm 120 mm 35mm) 8.40 10 4 mm3
梁的弯曲正应力测定实验总结
梁的弯曲正应力测定实验总结梁的弯曲正应力测定实验是材料力学实验中的重要一环，旨在通过实验手段来研究材料在受力情况下的正应力变化。
通过本次实验，我深刻的认识到了弯曲变形对材料正应力的影响，同时也对实验操作技巧有了更深一步的理解。
在实验过程中，我们首先测量了试验梁的直径以及长度，并计算出了截面积、即初始的自由端切应力值。
接着我们进行了荷载实验，通过不断增加荷载，在满足线性弹性范围的条件下，记录不同荷载时梁的挠度数据。
然后我们对荷载和挠度数据进行了处理，并绘制出了梁在不同荷载下的挠曲线图。
最后，基于挠度与荷载之间的关系，计算得到了梁的弯曲切应力。
在实验过程中，我们充分体验到了实验数据的重要性，因此要求我们对每次荷载、挠度的记录都要精确、准确。
同时，对于试验所采用的仪器，例如测力计、卡尺等，我们也要严格保证其精度的可靠性。
只有如此，我们才能获得一个完整、具有参考价值的实验数据结果。
同时，在实验过程中，我们也需要注意数据的间接测量和误差产生的修正。
比如，在梁的挠曲线图上，数据之间可能存在微小的偏差，这可能是由于梁自身的曲度、弯度误差、荷载偏心等因素所引起。
因此，在最终的数据分析过程中，我们需要结合这些因素，进行科学的数据校正，以得到更加真实、准确的实验结果。
总之，梁的弯曲正应力测定实验对材料工程的发展有着重要的意义。
通过本次实验，我不仅掌握了实验数据的获取、处理技能，更重要的是充分认识到了实验数据对于材料工程开发的重要意义。
我相信，通过不断的学习、实践，我们将能够更好地应用实验手段来研究材料工程领域的问题，为材料科学技术的发展贡献自己的力量。
建筑力学 材料力学 梁的应力
M y1 y2
2.5kNm A1
A3
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
G
A2
A4
画危面应力分布图，找危险点
-4kNm ○ ⊕ M 2.5kNm A1 A3 x
sA L
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
[例4] 工字钢简支梁受力 如图a)所示，已知l＝6 mm， FPl＝12 kN，FP2＝21 kN， 试选择工字钢的型号。 解 (1) 作弯矩图 作出的弯矩图 如图b)所示。由图中可知Mmax＝36kN· m。 (2) 选择截面
Wz ≥
M max
钢的许用应力 s ＝160 MPa。
s
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2 z 120 y + qL2 8 Mmax x
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
h Wz I z / 6.48 10 4 m 3 2
120 x
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M M1
+ qL2 8 Mmax
§6－2 梁的正应力强度及其应用
一、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的 上下边缘上。
s
M
s
s
二、正应力和剪应力强度条件：
M max s max s Wz
由此可见，全梁的最大拉应力为 s t max 39.3MPa ≤ s t ，
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公式适用范围： ①正应力小于比例极限σp； ②精确适用于纯弯曲梁； ③横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立,但当梁跨度 l 与高 度 h 之比大于5（即为细长梁）时上述公式近似成立。
使用此公式注意：公式中的M、y都用绝对值，σ的正负 由M的正负判断 M>0时：下侧受拉，中性轴以下σ>0，以上σ<0 M<0时：上侧受拉，中性轴以下σ<0，以上σ>0
32 d 式中: D
(1 - 4 )
型钢------查型钢表
组合图形
I z I zi , I yi
i 1 i 1 m
m
整个图形对某一轴的惯性矩（等于各个分图形对同 一轴的惯性矩之和。
I y1 I y b A
2
I z1 I z a A
2
举例1:
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中
2、 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载， 梁的截面如图所示。已知： l 1.5m, q 8kN / m 求梁截面中的的最大拉应力和最压应力。
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态 。因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
纤维是天然或人工合成的细丝状物质
Z
中性轴
中性层
y
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层。
3 3
MA 3 106 k y 60 3.09MPa 7 IZ 5.832 10
A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边， 所以为拉应力。
3、图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的 长度l＝2m。yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝ 1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压 F y 应力。
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
惯性矩
bh3 IZ 12
hb3 Iy 12
I Z IY
d 4
64
Iz Iy
64
(D4 - d 4 )
D 4
64
(1 - 4 )
D 3
弯曲截 面系数
bh2 Wz 6
hb2 Wy 6
Wz Wy
d 3
32
Wz W y
力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求 B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F A z B h b C l 2 l 2 h2
FL
c
b
M B ya a IZ
b 0
1 1 h M B FL FL 2 2 3 3 1.65MPa （拉 ） 3 bh bh IZ 12 12 1 h FL M B yc 2 （压） 2 c 2 . 47 MPa 3 bh IZ 12
注：若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力
M M
σ-max
M
σmax
-max M
中性轴
max
空间分布图
平面分布图
二、正应力的计算公式(推导略——难点)
1.横截面上任意点正应力计算
My IZ
M为横截面的弯矩 y为计算点到中性轴的距离 Iz截面对Z轴的惯性矩，与截面形状和 尺寸有关 m4 , mm4
2.横截面上的最大正应力 M y1 M y2 t , c IZ IZ
当中性轴是横截面的对称轴时： 若：
y1 y2 ymax
则
t c max
Iz Wz y max
max
M y max M IZ WZ
Wz 称为抗弯截面系数 与截面形状和尺寸有关 M3 ，mm3
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
4m
200
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
100
作业
1、 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1 与F2作用，且F1=2、F2=5kN。试计算梁内的最 大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的 弯曲正应力。
中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条 形心轴。且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯 曲变形时，各横截面绕中性轴转动。
横截面上正应力分布规律： 1、受拉区 : 拉应力，受压区 : 压应力； 2、中性轴上应力为零； 3、沿截面高度线性分布，沿截面宽度均匀分布； 4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。
例2 图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm， a=2m，F=1.5KN。 计算A截面上K 点的弯曲正应力。
解： 先计算截面上的弯矩
M A -Fa -1.5 2 -3kNm
截面对中性轴的惯性矩
bh 120 180 IZ 5.832 107 m m4 12 12
横截面上正应力的计算。
回顾与比较
拉压杆
内力
轴力
应力
连接件
N A
=V/A
F F
剪力
轴 扭矩
M n IP
梁 剪力和弯矩
变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲
一、梁横截面上的正应力分布规律
纯弯曲—只有M无V 平面弯曲 横力弯曲—V M同时存在
F
F
a
A
F F
Fa
a
B
F
纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截 面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯 弯曲。
实验现象
F F
m n
1、变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
m
n
2、变形前垂直于纵向线的横向线 变形后仍为直线，且仍与弯曲了 的纵向线正交，但两条横向线间 相对转动了一个角度。
1、平面假设： 变形前杆件的横截面变 形后仍为平面。
A
B
150 50
l 2
l 2
96.4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 - 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
y
max
6-4.1梁的 正应力计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 授课 授课 洪单平 12建筑工程 2013/3 教师 班级 时间 课 梁的弯曲应力（正应力） 课型 题 教学 讲练结合 方法 学 时 2
面授
教学 目的 教学 重点
教学 难点
掌握梁弯曲时横截面正应力分布规律；掌握正应力的计 算. 正应力分布规律；正应力的计算.