弯曲应力

(三)采用变截面梁
等截面梁的强度计算，都是根据危险截面上的最大弯矩值来确定截面尺寸的，而梁内其它截面的弯矩值都小于最大弯矩值，这些截面处的材料未能得到充分利用。为了充分利用材料，应当在弯矩较大处采用较大的横截面，而在弯矩较小处采用较小的横截面。这种根据弯矩大小使截面发生变化的梁称为变截面梁。若使每一横截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力，这样的梁称为等强度梁。
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教学内容与教学过程
提示与补充
1、弯曲横力弯曲——Fs M
纯弯曲——Fs＝0 M＝常数
2、观察变形：以矩形截面梁为例
（1）变形（2）平面假设（3）中性轴
3、纯弯曲时正应力的分布规律
（1）变形几何关系
（2）物理关系
（3）静力关系
4、纯弯曲梁的正应力计算公式
5、横力弯曲梁的正应力计算公式
6、梁的正应力强度条件。
1）所有的纵向直线弯成曲线，靠近凹面的纵向直线缩短了，而靠近凸面的纵向直线伸长了。
2）所有的横向直线仍保持为直线，只是相对转过了一个角度，但仍与弯成曲线的纵向线垂直。
根据所看到的现象，推测梁的内部变形，可作出两个假设：
1）平面假设梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍垂直于弯成曲线的轴线。
2）单向受力假设将梁看成由无数根纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压现象。
根据以上假设，靠近凹面的纵向纤维缩短了，靠近凸面的纵向纤维伸长了。由于变形具有连续性，因此，纵向纤维从缩短到伸长，之间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴（图9－24c）。中性轴将横截面分为受拉区域和受压区域。
从纯弯曲梁中取出一微段dx，如图9－25a所示。图9－25b为梁的横截面，设y轴为纵向对称轴，z轴为中性轴。图9－25c为该微段纯弯曲变形后的情况。其中 、 为中性层， 为两横截面
在横截面上K点处取一微面积dA，K点到中性轴的距离为y，K点处的正应力为σ，则微面积上的法向分布内力σdA组成一空间平行力系（图9－26c）。而横截面上无轴力，只有弯矩，由此得
（c）
(d)
将（b）式代入(c)式得
即
上式表明截面对中性轴的静矩等于零。由此可知，中性轴z必然通过横截面的形心。
将(b)式代入(d)式得
mm4=40.3×.49 MPa
N/mm2=15.14 MPa
B截面： Nmm2=30.27 MPa
N/mm2=68.98 MPa
可见梁内最大拉应力发生在C截面的下边缘，其值为 MPa，最大压应力发生在B截面的下边缘，其值为 MPa。
(2)校核强度
因为 MPa＞ ，所以C截面的抗拉强度不够，梁将会沿C截面发生破坏。
式中 是横截面对中性轴的惯性矩。于是得梁弯曲时中性层的曲率表达式为
上式是研究梁弯曲变形的基本公式。 表示梁的弯曲程度。 表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。将此式代入式（b）得
上式即为梁纯弯曲时横截面上正应力的计算式。它表明：梁横截面上任意一点的正应力σ与截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离y成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 成反比。
在计算时，弯矩M和需求点到中性轴的距离y按正值代入公式。正应力的性质可根据弯矩及所求点的位置来判断。
正应力公式的适用条件：①梁横截面上的最大正应力不超过材料的比例极限。②此式虽然是根据梁的纯弯曲推导出来的，但对于剪切弯曲的梁，当跨度 与横截面高度h之比 ＞5时，剪应力的存在对正应力的影响很小，可忽略不计，所以此式也可用于计算剪切弯曲梁横截面上的正应力。
显然，等强度梁是最合理的构造形式。但是，由于等强度梁外形复杂，加工制造较困难，所以工程上一般只采用近似等强度梁的变截面梁。如阶梯梁既符合结构上的要求，在强度上也是合理的。房屋建筑中阳台及雨篷的挑梁就是一种变截面梁。
(一)根据抗弯截面系数与截面面积的比值选择截面
合理的截面形状应该是在截面面积相同的情况下具有较大的抗弯截面系数。例如在面积相同的情况下，工字型截面比矩形截面合理；矩形截面竖放要比横放合理；圆环形截面要比圆形截面合理。
梁弯曲时的正应力沿横截面高度呈线性分布，最大值分布在离中性轴最远的边缘各点，而在中性轴附近的正应力很小，这部分材料没有得到充分的利用。因此应将大部分材料布置在距中性轴较远的部分，提高材料的利用率和梁的抗弯能力，这样的截面是合理的。例如在工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面形状（图9－30）。建筑中常用的空心板也是根据这个道理制作的（图9－31）。
mm和nn旋转后的交点，ρ为中性层的曲率半径，两个截面间变形后的夹角是 ，现求距中性层为y的任意一层纤维ab的线应变。
纤维 的原长 ，变形后的 ，所以 纤维的线应变为
(a)
对于确定的截面来说， 是常数。所以上式表明：梁横截面上任一点处的纵向线应变与该点到中性轴的距离成正比。
（2）物理关系
根据纵向纤维的单向受力假设，当材料在线弹性范围内变形时，由胡克定律可得
抗弯截面系数 mm3
C截面a、b、c各点的正应力
N/mm2 MPa
N/mm2 MPa
(3)计算梁内最大正应力
梁的弯矩图如图9－27b所示， kN·m=4.5 kN·m。由此可见，梁内最大正应力发生在跨中截面的上下边缘处，其值为
N/mm2=6.94N/mm2=6.94MPa
§5.3梁的正应力强度条件
为了保证梁能安全正常的工作，必须使梁内的最大正应力不能超过材料的许用应力 ，这就是梁的正应力强度条件。
为了使问题简化，我们分析梁纯弯曲时横截面上的正应力。和扭转变形一样,研究梁在纯弯曲时横截面上的正应力需从变形的几何关系、物理关系、静力平衡关系三方面来分析。
（1）变形的几何关系
取具有竖向对称轴的等直截面梁（如矩形截面梁），受力前先在梁的表面画上许多与轴线垂直的横向直线和与轴线平行的纵向直线（图9－24a），然后在梁的两端施加力偶M，使梁产生纯弯曲（图9－24b），此时可以看到如下现象：
对于抗拉和抗压能力相同的材料，其正应力的强度条件为
对于抗拉和抗压能力不同的材料，其正应力的强度条件为
利用正应力的强度条件可以解决与强度有关的三类问题：强度校核、设计截面尺寸和确定许可载荷。
[例5－2]外伸梁的受力情况及其截面尺寸如图9－28a所示，材料的许用拉应力 MPa，许用压应力 MPa。试校核梁的正应力强度。
四、梁的合理截面形状
一般情况下，梁的弯曲强度主要取决于梁的正应力强度，即
由强度条件可知，当梁的最大弯矩和材料确定后，梁的强度只与抗弯截面系数 有关。抗弯截面系数越大，最大正应力就越小，而梁的强度就越高。加大截面尺寸可以增大抗弯截面系数，但这会增加工程造价。所以应该在材料用量（截面A）一定的情况下，使抗弯截面系数 尽可能增大，这就要选择合理的截面形状。
[例5－3]图9－29a所示工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力 MPa，试选择工字型号。
解画弯矩图,由弯矩图可知梁的最大弯矩 kN·m，根据强度条件计算梁的抗弯截面系数
mm3=71.43×103mm3=71.43cm3
根据 值在型钢表中查得型号为12.6工字钢,其 cm3,与 cm3相近,故选择型钢的型号为12.6工字钢。
[例5－1]简支梁受均布荷载q作用，如图9－27所示。已知 kN/m，梁的跨度 m，矩形截面的高 mm，宽 mm。求
（1）C截面上a、b、c三点处的应力；
（2）梁内最大正应力及其所在位置。
[解]（1）求支坐反力
kN
（2）计算C截面各点的正应力
C截面的弯矩 kN·m=4 kN·m
截面对中性轴的惯性矩 mm4= mm4
二、梁弯曲时的最大正应力
对于等直梁而言，截面对中性轴的惯性矩Iz不变，所以弯矩M越大正应力就越大，y越大正应力也越大。如果截面的中性轴同时又是对称轴（例如矩形、工字形等），则最大正应力发生在绝对值最大的弯矩所在的截面，且离中性轴最远的点上。即
为抗弯截面系数。如果截面的中性轴不是截面的对称轴（例如T形截面），则最大正应力可能发生在最大正弯矩和最大负弯矩所在的截面。
(b)
对于确定的截面来说，E和 是常数，因此上式表明：横截面上任意一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应力沿梁高度按线性规律分布（图9－26）。
（3）静力平衡关系
式（b）只给出了正应力的分布规律，但因中性轴的位置尚未确定，曲率半径 的大小也不知道，故不能利用此式求出正应力。需利用静力平衡关系进一步导出正应力的计算式。
课题
第五章弯曲应力
§5.1纯弯曲§5.2纯弯曲、横力梁横截面上的正应力
§5.3梁的正应力强度条件
需2课时
教学
目的
要求
了解弯曲变形的特点，纯弯曲时正应力的分布规律，掌握纯弯曲正应力的计算公式，梁的正应力强度条件。
教学
重点
纯弯曲正应力的计算公式
梁的正应力强度条件。
教学
难点
纯弯曲正应力的分布规律
梁的正应力强度条件及其应用。
[解]（1）求支座反力
FYA=10kN ，FYB=20kN
（2）画弯矩图计算梁内最大拉、压应力
梁的弯矩图如图9－28b所示，由于中性轴z不是截面的对称轴，所以最大正弯矩所在的截面C和最大负弯矩所在的截面B都可能存在最大拉、压应力。
截面形心C的位置（图9－28）为
mm=139mm
截面对中性轴z的惯性矩为
(二)根据材料的特性选择截面
对于抗拉和抗压强度相同的材料，一般采用对称于中性轴的横截面，如矩形、工字形、圆形等截面，使上、下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到材料的许用应力值比较合理。
对于抗拉和抗压强度不相等的材料，最好选择不对称于中性轴的横截面，如T形、平放置的槽形等截面。使得截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压的许用应力成正比，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力（图9－32）。