18-19 第1章 1.3 1.3.2 命题的四种形式

第一章　常用逻辑用语1.3　充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.2　命题的四种形式课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首学习目标：1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．(重点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点、易混点)课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[自 主 预 习·探 新 知]1．四种命题栏目内容名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫作 ．其中一个命题叫原命题，另一个叫作原命题的原命题为“若p ，则q ”，逆命题为“ ”结论条件互逆命题逆命题若q ，则p课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首互否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ．这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的原命题为“若p ，则q ”；否命题为“”条件的否定结论的否定否命题若﹁p ，则﹁q课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ．这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的原命题为“若p ，则q ”；逆否命题为 “ ”结论的否定条件的否定逆否命题若﹁q ，则﹁p课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首思考1：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？[提示] 因为任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题．因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．四种命题间的相互关系 (1)形式关系课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(2)真假关系：①互为逆否的两个命题是 ，它们有 的真假性． ②互逆或互否的两个命题是 ，它们的真假性 ．等价的相同不等价的没有关系课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首思考2：若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同，这种说法正确吗？[提示] 互否命题的真假性没有关系，但也可能相同，故此说法错误．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[基础自测]1．思考辨析(1)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．()(2)若一个命题是假命题，则其逆命题有可能是真命题．()(3)命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．( ) [提示] (1)√ (2)√(3)× “若p ，则q ”的否命题为“若﹁p ，则﹁q ”．故“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的否命题为“若x 2≤y 2，则x ≤y ”．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．无关命题A [两个命题条件与结论互换，故互为逆命题．]课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首3．命题“若a ＝5，则a 2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是 ()【导学号：73122060】A ．原命题、否命题B ．原命题、逆命题C ．原命题、逆否命题D ．逆命题、否命题D [原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．]课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首4．命题“已知不共线向量e 1，e 2，若»e 1＋¼e 2＝0，则»＝¼＝0”的否命题为________，是________命题(填“真”或“假”)．已知不共线向量e 1，e 2，若»e 1＋¼e 2≠0，则»≠0或¼≠0 真 [否命题即把原命题的条件和结论都否定．]课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[合 作 探 究·攻 重 难]四种命题之间的转换写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．【导学号：73122061】(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x ＞10，那么x >0； (3)当x ＝2时，x 2＋x －6＝0.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[解] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面， 那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线， 那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(2)逆命题：如果x ＞0，那么x ＞10； 否命题：如果x ≤10，那么x ≤0； 逆否命题：如果x ≤0，那么x ≤10. (3)逆命题：如果x 2＋x －6＝0，那么x ＝2； 否命题：如果x ≠2，那么x 2＋x －6≠0； 逆否命题：如果x 2＋x －6≠0，那么x ≠2.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[规律方法] 写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.提醒：在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[跟踪训练]1．命题：“若a ·b ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________． 若a ，b 至少有一个为零，则a ·b ＝0 [由“若p ，则q ”的逆否命题为“若﹁q ，则﹁p ”可得．]课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)当c >0时，若a >b ，则ac ＞bc ；(2)正数m 的平方大于0.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[解] (1)逆命题：当c >0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ； 否命题：当c >0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ； 逆否命题：当c >0时，若ac ≤bc ，则a ≤b . (2)逆命题：若m 2>0，则m >0； 否命题：若m ≤0，则m 2≤0； 逆否命题：若m 2≤0，则m ≤0.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首四种命题间的关系及真假判断写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)垂直于同一个平面的两直线平行．(2)若m ·n <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根． (3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[思路探究] 确定命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题真假[解] (1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面，假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行，假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面，真命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(2)逆命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则m ·n <0，假命题． 否命题：若m ·n ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，假命题． 逆否命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则m ·n ≥0，真命题．(3)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题． 否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题． 逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[规律方法] 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[跟踪训练] 3．下列命题：①“如果xy ＝1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________.【导学号：73122062】课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首①②③ [①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2＞bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.]课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． (1)在△ABC 中，若a >b ，则∠A >∠B ； (2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3； (4)若x ∈A ，则x ∈A ∩B .课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[解] (1)逆命题：在△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b .真命题； 否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则∠A ≤∠B .真命题； 逆否命题：在△ABC 中，若∠A ≤∠B ，则a ≤b .真命题． (2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题； 否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题； 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(3)逆命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0.真命题； 否命题：若x 2－2x －3≠0，则x ≠3.真命题； 逆否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0.假命题． (4)逆命题：若x ∈A ∩B ，则x ∈A .真命题； 否命题：若∉A ，则x ∉A ∩B .真命题； 逆否命题：若x ∉A ∩B ，则x ∉A .假命题.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首等价命题的应用[探究问题]1．直接证明原命题有困难时，应如何证明？[提示] 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．四种命题之间有怎样的相互关系？[提示] (1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题．它们分别为：①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题．②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题． ③两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假.【导学号：73122063】[思路探究] 可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的真假性相同去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[解] 法一：逆否命题为：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上， 对应方程的判别式”＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a <1，所以4a －7<0， 即抛物线与x 轴无交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集． 故逆否命题为真．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首法二：先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以”＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 即4a －7≥0，解得a ≥74. 因为a ≥74>1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题的真假性相同，所以逆否命题为真．课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首法三：命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集，命题q ：a ≥1.所以命题p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝aa ≥74. 命题q ：B ＝{a |a ≥1}． 因为A ⊆B ，所以“若p ， 则q ”为真，所以“若p ，则q ”的逆否命题“若﹁q ，则﹁p ”为真， 即原命题的逆否命题为真．课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首母题探究：1.(改变问法)本例中判断命题“已知a ，x 为实数，如果关于x的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，则a ＜2”的逆命题的真假．[解] 逆命题为：已知a ，x 为实数，若a ＜2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，对应方程的判别式”＝4a －7， 因为a ＜2时，4a －7＜1所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不一定为空集． 故逆命题为假命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．(变换条件)本例1中判断命题“已知a ，x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集是R ，则a <74”的逆否命题的真假．[解] 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以”＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2) ＝4a －7＜0，所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[规律方法] (1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[当 堂 达 标·固 双 基]1．命题“若m ＝10，则m 2＝100”与其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题是()A ．原命题、否命题B ．原命题、逆命题C ．原命题、逆否命题D ．逆命题、否命题C [由原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题．]课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是 ()【导学号：73122064】A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1，或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1，或x ≤－1，则x 2≥1[答案] D课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首3．命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( )A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2[答案] B课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首4．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是________；否命题是________；逆否命题是________．[答案] 逆命题：若x ＋y ＝8，则x ＝3，y ＝5； 否命题：若x ≠3，或y ≠5，则x ＋y ≠8； 逆否命题：若x ＋y ≠8，则x ≠3，或y ≠5.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首5．命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论.【导学号：73122065】[解] 法一：是真命题． ∵m ＞0，∴”＝1＋4m ＞0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首法二：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴”＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首课时分层作业（六）点击上面图标进入…谢谢观看。