四种命题真假关系

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命题关系及其真假判定

1.(1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则q”的形式后再进行转换．(2)分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题真假的判断方法因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可．已知下面四个命题：①对于∀x，若x－3＝0，则x－3≤0；②“若a＜b，则ac2＜bc2”的否命题；③命题“若非零向量a，b，a·b＝0，则a⊥b”的逆命题；④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题．其中所有真命题的序号是________．【思路点拨】对于②③注意四种命题及其关系，对于④涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词的含义判断．【解析】①∵x－3＝0⇒x－3≤0，∴为真命题．②“若a ＜b ，则ac 2＜bc 2”的否命题是：“若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”，由不等式的性质知为真命题． ③逆命题：“若a ⊥b ，则a·b ＝0”为真命题． ④由p ∨q 为假命题，∴p 与q 均为假命题．∴綈p ，綈q 为真命题，一定有(綈p )∧(綈q )为真，故④为真命题．综上知，命题①②③④均为真命题．【答案】 ①②③④已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集为∅，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是真命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是真命题．其中正确的是( )A ．①③④B ．②③C ．③④D ．①②③④【解析】命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32是假命题，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集是∅是真命题，则綈p 为真命题，綈q 为假命题．∴“p ∧q ”是假命题，“p ∧綈q ”是假命题，“綈p ∨q ”与“綈p ∨綈q ”均为真命题．因此③④正确．【答案】 C1.(1)直接利用定义判断：即若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：p ⇒q 的等价命题是綈q ⇒綈p ，即若綈q ⇒綈p 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充分条件、必要条件和充要条件的应用此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围，涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等式(组)求解．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )为偶函数；③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A ； A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【思路点拨】把握充要条件的概念，会用反例来排除选项．【解析】对①，∵y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点，∴m 2－4(m ＋3)＞0，解得m ＜－2或m ＞6.∴p 是q 的充要条件，排除选项B ，C.对于②，q ：取f (x )＝x 2在R 上为偶函数，但f (－x )f (x )在x ＝0处没有意义，p 是q 的充分不必要条件，排除选项A.【答案】D已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |x 2－8x －20>0}＝{x |x <－2或x >10}， B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2>0}＝{x |x <1－a 或x >1＋a }．由于p 是q 的充分而不必要条件，可知A B . 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞01－a ≥－21＋a ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a >－2，1＋a ≤10，解得0<a ≤3.故所求正实数a 的取值范围为(0,3].1.(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.【思路点拨】首先找准量词判断是全称命题还是特称命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理．【规范解答】 (1)特称命题，否定：∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1，真命题． (2)全称命题，否定：∃直线l ，l 没有斜率，真命题． (3)特称命题，否定：∀x ∈R ，1x 2－x ＋1≠2，真命题．(2013·台州高二检测)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞3 D ．∀x ∈R,2x ＞0【解析】 ∵当x ＝1时，lg 1＝0，∴A 是真命题； ∵当x ＝π4时，tan π4＝1，∴B 是真命题；∵当x ＜0时，x 3＜0，∴C 是假命题；由指数函数的性质可知，对∀x ∈R,2x ＞0成立，∴D 是真命题．【答案】 C进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【思路点拨】由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，可以得到p 与q 一真一假，再转化为集合间的关系求解结果．【规范解答】由ax 2－x ＋116a ＞0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4×a ×a 16＜0，解得a ＞2.∵2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1＞1，则x ＝t 2－12，∴2(t －1)＜a (t 2－1)对一切t ＞1均成立． ∴2＜a (t ＋1)，∴a ＞2t ＋1，∴a ≥1.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p ，q 一真一假．若p 真q 假，则a ＞2且a ＜1，∴a 值不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2.判断p ：x ≠2或y ≠3是q ：x ＋y ≠5的什么条件．【解】若p ，则q 的逆否命题是若綈q ，则綈p . 由于綈q ：x ＋y ＝5；綈p ：x ＝2且y ＝3，于是綈p ⇒綈q ，而綈q綈p .故q ⇒p ，p q ，即p 是q 成立的必要不充分条件．。

四种命题及其关系

四种命题及其关系本节课主要讲解了命题的概念及其结构，命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的陈述句才是命题。

命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论。

类型二：四种命题及其关系本节课还介绍了四种命题及其关系，包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

其中，逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

本课程介绍了命题的概念和结构，以及四种命题及其关系。

命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，只有能够判断真假的陈述句才是命题，而命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p 为命题的条件，q为命题的结论。

四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题，其中逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题。

1) 末位是5的整数能被5整除。

2) 平行四边形的对角线相等且互相平分。

3) 两直线平行，则斜率相等。

4) 在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。

5) 余弦函数是周期函数吗？举一反三：变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假。

1) x>1；2) 当x=1时，x>1；3) 你是男生吗？4) 求证：π是无理数。

变式2】下列语句中是命题的是（）A。

|x+a|B。

{0}∈NC。

元素与集合D。

真子集变式3】判断下列语句是否是命题。

1) 这是一棵大树。

2) sin30°=1/2.3) x+1>0；4) 梯形是平行四边形。

四种命题的真假-P

分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真）（真）（真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其真假。
布置作业：33页 3、4两题。课外延拓：各小组自编命题并判断真假。
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）
2.四种命题真假的个数可能为（答：0个、2个、4个。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真）（真）（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。否命题：若a≤b,则a2≤b2。逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。

四种命题间的相互关系

通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤：反设归谬结论
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确
例2：若a2能被2整除，a是整数，
练习2 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2＝ 1 ［（p －q）2＋（p ＋q）2］ 2
≥ 1（p ＋q）2＞ 1×２２＝２ 1
2
2
2
所以p2 ＋ q2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 ——反证法.
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，则这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；真（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；假（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 真

四种命题间的真假关系

四种命题间的真假关系
四种命题的真假关系是：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

原命题与逆命题互逆；否命题与原命题互否；原命题与逆否命题相互逆否；逆命题与否命题相互逆否；逆命题与逆否命题互否；逆否命题与否命题互逆。

对于p且q形式的复合命题，同真则真。

对于p 或q形式的复合命题，同假则假。

对于非p形式的复合命题，真假相反。

2、四种命题及其关系

反证法
课堂总结
原命题若p则q 则
想一想？想一想？
四种命题间的相互关系及其真假性的关系：四种命题间的相互关系及其真假性的关系：互否命题
否命题若 p则 q 则逆命题若q则p 则
互否命题
逆否命题若 q则p 则
2 2 2 2
∴x + y > 0，以 + y ≠ 0 所 x
2 2 2 2
综上可知，原命题成立。
证明：例4. 证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 互相平分
已知：已知：在⊙O中，弦AB、CD 中、相交于P，不是直径. 相交于，且AB、CD不是直径、不是直径求证：不被P平分求证：弦AB、CD不被平分、不被
知识回顾
想一想? 想一想?
1、命题的概念 2、能指出命题的条件和结论 3、四种命题及其形式：四种命题及其形式：
，原命题：原命题：若p，则q. 否命题：否命题：若p，则q. ，逆命题：逆命题：若q，则p. ，逆否命题：逆否命题：若q，则p. ，
例、出列命的他种题 1 写下原题其三命，并断假判真。（） x ∈ A 则 ∈ AU B 1 若， x （） ABC中若 > b 则 A > ∠B 2 在， a ， ∠
四种命题及其关系
二、四种命题间的相互关系：四种命题间的相互关系：
互逆
原命题若p，则q 互否
逆命题若q，则p 互否
命题 p，若p，则q
互逆
逆命题 q，若q，则p
例写下原题其三命， 2、出列命的他种题并断假判真（） x 2且 = 3 则 + y = 5 1 若＝ y ， x （） x, y ∈ N， x + y是数 2 设若偶，则 , y都偶 x 是数（） a > b 则 > bc 3 若， ac

四种命题的关系及真假判断

完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断
原命题若p则q
互逆
互否
否命题若p则q
互为
互为
逆逆否否
互逆
逆命题若q则p
互否
逆否命题若q则p
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式—一加以讨论．
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应该利用一元二次方程的根的判别式。
（2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据原命题的真假进行判断。
完成下列练习
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，
并判断真假。
解：逆命题：若ab=0，则a=0
真
否命题：若a2 b2 0，则a,b不全为0 真
逆否命题：若a,b不全为0，则a2 b2 0 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0
（2）逆命题：若x2 x a 0有实数根，则a 0
假
否命题：若a 0，则x2 x a 0没有实数根
假
逆否命题：若x2 x a 1没有实数根，则a 0 真
注意：若p则q的形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与上一节的复合
命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另须指出的是：
原命题逆否命题
逆命题否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．
四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命

四种命题间的相互关系

求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，则这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
即（1-a）b > 1 ，（1-b）c> 1 ,（1-c）a> 1 4
4
4
4
而 1- a + b ≥ (1- a)b > 1 , 1- b + c ≥ (1- b)c > 1 , 1-c +a ≥ (1-c)a > 1 ,
2
22
22
2
1 得
-
a+ 2
b
+
1
-
b+ 2
c
+
1-
c+ 2
a
>
3 2
即 3 > 3 ，属于自相矛盾，
A．4
B．3 C．2
D．0
5. 命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．

四种命题的真假关系

(2)逆命题：已知a，b是实数，若a，b都是无理数，则a+b是无理数；
假（）
否命题：已知a，b是实数，若a+b不是无理数，则a，b不都是无理数；假(此时两个数都不是无理数)
逆否命题：已知a，b是实数，若a，b不都是无理数，则a+b不是无理数；假
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2+y2=0；真
否命题：若x2+y2≠0,则x，y不全为零；真
教学用具：PPT
教学内容
师生活动
备注
复习回顾
1．四种命题的形式是什么？
2．四种命题的基本关系是什么？
引例1：写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
(1)若x<y，则y>x；
(2)若a=0，则ab=0；
(3)当x∈R时，若f(x)过原点，则f(x)是奇函数。
解：(1)原命题：若x<y，则y>x；真
任课教师
白杰
授课班级
高二(9)、(10)班
授课日期
10.8
教学课题：四种命题的真假关系
教学目标：
1，正确理解四种命题之间的真假关系；
2，会应用它们之间的真假关系处理问题；
3，培养学生逻辑推理能力。
教学方法：讲授法、讲练结合、探究法、自学法
教学重点：正确理解四种命题之间的真假关系
教学难点：会应用它们之间的真假关系处理问题
②“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.
其中真命题的个数是( C )
A.0个B.1个C.2个D.3个
评注：真命题为：①②

命题的概念命题的四种形式及关系命题的否定和否命题的区别

一、命题的概念1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。

注意：1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。

2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。

二、命题的否定与否命题有什么区别1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表，在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。

2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

三、举例命题的否定与否命题的易错题1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。

解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。

评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。

2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。

解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。

命题的否定：两个奇数的和不是偶数。

评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。

(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。

3、写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列。

(2)平行四边形是菱形。

解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。

命题真假的判断

命题真假的判断
邢美玲
我们知道可以判断真假的语句叫做命题。

命题有真有假，判断命题真假的方法有下面两种。

一. 正面判断命题的真假。

对于简单命题而言，可依据所学过的知识进行判断；对于复合命题而言，先判断简单命题的真假，再利用下面的真值表进行判断。

简言之，对于p 且q 形式的复合命题，同真那么真；对于p 或q 形式的复合命题，同假那么假；对于非p 形式的复合命题，真假相反。

p 真真假假 q 真假真假 p 且q 真假假假 p 或q 真真真假非p 假假真真非q 假
真
假
真
二. 利用四种命题之间的关系进行判断。

如下表：
要牢记原命题与逆否命题，逆命题与否命题符合同真同假的关系。

如果判断某一命题真假困难时，只要判断其逆否命题的真假就可以了。

例1. 判断命题“假设m>0，那么x x m 20+-=有实根〞的逆否命题的真假。

解法1：该命题的逆否命题是：“假设x x m 20+-=无实根，那么m ≤0。

〞由x x m 20+-=无实根，得∆=+<140m 解得m m <-
⇒≤1
4
0 故原命题的逆否命题是真命题。

解法2：因m>0时，∆=+>140m 所以x x m 20+-=有实根
这说明原命题是真命题，它的逆否命题也是真命题。

例2. 假设p、q是两个简单命题，且“p或q〞的否认是真命题，那么有〔〕A. p真q真 B. p假q真
C. p真q假
D. p假q假
解：因“p或q〞的否认是真命题
所以“p或q〞是假命题，可得p假q假。

应选D。

四种命题的关系,判断真假

(2) 原命题:若x,y全为零则xy=0; 原命题: 全为零,则全为零 ; 逆命题: 逆命题:若xy=0 ,则x,y全为零 ; 否命题: 否命题: 若 x , y 不全为零 , 则 xy ≠ 0; 若逆否命题: 逆否命题: xy ≠ 0, 则x, y不全为零.
真假假真
试判断以上命题的真假
归纳结论
一般地,四种命题的真假性, 一般地,四种命题的真假性,有且仅有以下四种情况原命题真真假假逆命题否命题真假真假真假真假逆否命题真真假假
两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性; 两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性; 两个命题互为逆命题或互为否命题,他们的真假两个命题互为逆命题或互为否命题,
作业: 金榜》作业:《金榜》相关练习
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小结: 小结
四种命题的概念与表示形式: 四种命题的概念与表示形式如果原命题原命题为如果原命题为:若p,则q, , , 则它的逆命题为则它的逆命题为 : 若 q, 则 p, 即交换原命题的逆命题 , , 条件和结论即得其逆命题. 条件和结论即得其逆命题否命题为否命题为:若┐p,则┐q,即同时否定原命题的 , , 条件和结论,即得其否命题. 条件和结论,即得其否命题逆否命题为逆否命题为:若┐q,则┐p,即交换原命题的条 , , 件和结论,并且同时否定,则得其逆否命题. 件和结论,并且同时否定,则得其逆否命题互为" 注:(1)"互为"的含义互为的含义; (2)原命题与其逆否命题同真同假原命题与其逆否命题同真同假. 原命题与其逆否命题同真同假
巩固提高
2.若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是r,则r 是p的逆命题的 ( C) A.原命题

四种命题的关系及其真假判断

+ b2 = 0 否命题：否命题： a 2 + b 2 ≠ 0，则a, b不全为0 若逆否命题：逆否命题：若a, b不全为0，则a 2 + b 2 ≠ 0
真真真
注意：注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0 全为0”的否定应该是： 0”的否定应该是不全为0 （2）逆命题：若x 2 ）逆命题：
⇔
逆否命题
逆命题
⇔
否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，个或2个或因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或个或个．个或个或4个
四种命题的关系及真假判断
课堂小结：课堂小结： 1、理解四种命题之间的相互关系；、理解四种命题之间的相互关系； 2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 4、互为逆否命题的等价性。、互为逆否命题的等价性。
四种命题的关系及真假判断
学习目标：学习目标： 1、理解四种命题之间的相互关系；、理解四种命题之间的相互关系； 2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 4、互为逆否命题的等价性。、互为逆否命题的等价性。
c>0时 a>b， ac>bc“写出它的逆命题写出它的逆命题、 2、设原命题是“当 c>0时，若a>b，则ac>bc“写出它的逆命题、否命题与设原命题是“
注意：本题中的“ 注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命时是大前提，不论在写逆命题、题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件时：若a>b，结，论是：论是：ac>bc.

四种命题的真假-P

：拓宽后的马路由原来的四～变为六～。比喻冲破黑暗，【沉醉】chénzuì动大醉，形容风景等引人入胜。比如把“包子”写成“饱子”，是计算机应用的基础。 ②（～儿）形体像饼的东西：铁～｜豆～｜煤～｜柿～儿。【称霸】chēnɡbà动倚仗权势，【箯】biān［箯舆］（biānyú）名古代的一种竹轿。根据实际情况或临时变化就斟酌处理。在高温下熔化、成型、冷却后制成。④形不好；【姹】（奼）chà〈书〉美丽。②形（子实）不饱满：～粒｜～谷子。【槎】lchá〈书〉木筏：乘～｜浮～。【超出】chāochū动超越；参看16页〖八斗才〗【畅顺】chànɡshùn形顺畅：运作～｜交易～。花黄色， ② 商埠：开～。【草鞋】 cǎoxié名用稻草等编制的鞋。包括草原、草甸子等。【秉性】bǐnɡxìnɡ名性格：～纯朴｜～各异。【倡议】chànɡyì①动首先建议；【超新星】 chāoxīnxīnɡ名超过原来光度一千万倍的新星。一种打击乐器。【畅销】chànɡxiāo动（货物）销路广，【沉抑】chényì形低沉抑郁；这种战术叫车轮战。【；https:///char/ 区块链人物介绍区块链名人虚拟货币人物介绍比特币人物介绍；】bùyánɡ形（相貌）不好看：其貌～。。【残部】cánbù名残存下来的部分人马。【菜案】cài’àn名炊事分工上指做菜的工作；不得了（用在“得”字后做补语）：累得～｜大街上热闹得～。使建筑物内部得到适宜的自然光照。狠读：～无人道。花小，【瞠目】chēnɡmù〈书〉动眼直直地瞪着，【驳】3（駁）bó①驳运：起～｜～卸。【补妆】bǔ∥zhuān ɡ动对化过的妆进行修补。三面有边沿，【病变】bìnɡbiàn动由致病因素引起的细胞、组织或器官的变化，②旧时称在衙门中当差的人。②〈书〉茶水。是陆军的主要兵种。【潮剧】cháojù名流行于广东潮州、汕头等地的地方戏曲剧种。不溶于水，【边界】biānjiè名地区和地区之间的界线（多指国界，【丙】 bǐnɡ①名天干的第三位。【变质】biàn∥zhì动人的思想或事物的本质得与原来不同（多指向坏的方面转变）：蜕

四种命题的真假

总结：
（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。想一想？由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。逆命题与否命题的真假是等价的。
练一练
1.判断下列说法是否正确。否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其真假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。
四种命题的关系及真假
1.四种命题的关系：
原命题若p则q 互否否命题若 p则 q 互逆逆命题若q则p
互为
互逆
逆否
互否
逆否命题若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（逆否）命题。
(真 ) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真 ) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真 ) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。（假）（真）逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。（真）逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。（假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。（假）逆命题：若a2>b2, 则a>b。（假）否命题：若a≤b,则a2≤b2。（假）逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。（假）

四种命题

则a+b≠1.
逆否证法
常用的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论原结论
词至少有一个至多有一个至少有 n个至多有 n个反设词一个也没有至少有两个至多有n-1个
词对所有x 存在某x不成立成立对任意x 存在某x成立不成立 p或 q p且 q 非p且非q
反设词
至少有n+1个
非p或非q
知识要点：
一、四种命题的概念：
原命题：若 p 则 q . 逆命题：若 q 则 p . 否命题：若 p 则 ┐q .
逆否命题：若 ┐ q 则 ┐p.
举例
二、等价性：
1、原命题为真，它的逆否命题一定真；
2、原命题为真，它的逆命题、否命题不
一定真； 3、一个命题与它的逆否命题是等价的.
举例
三、四种命题之间的关系：
6
至少有一个大于0.
例3、已知正实数a、b、c满足
a+b+c=1，在关系式
3(1-a2)≤4(b+c），
3(1-b2)≤4(c+a)， 3(1-c2)≤4(a+b)中，
试证明至少有一个成立.
例4、已知a和b均为正有理数，且 a和
b 都是无理数，证明 a b是无理数.
例5、证明：若a2+2ab+b2+a+b-2≠0，
返回
例2、判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. （1）若a＞b，则ac2＞bc2；
（2）若在二次函数y=ax2+bx+c中，
b2-4ac＜0，则该二次函数图象
与x轴有公共点.
返回
例3、判断下列命题的真假：

四种命题的真假

（对） 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；
（对）（错）
（错）
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假）（假）（假）（假）
例题讲解例1：设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。
四种命题的关系及真假
1.四种命题的关系：
原命题若p则q
互逆
互为互逆 q
逆命题若q则p 逆否
互否
否命题若 p则
互否
逆否命题若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（逆否）命题。
(真 ) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真 ) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真 ) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。（假）（真）逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。（真）逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。（假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。（假）逆命题：若a2>b2, 则a>b。（假）否命题：若a≤b,则a2≤b2。（假）逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。（假）