湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合的综合应用练案新人教A版选修2-3解析
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合的综合应用导学案 新人教A版选修2
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1.2。
2组合的综合应用【学习目标】 明确排列与组合的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；能运用所学的排列组合知识，正确地解决实际问题。
【重点难点】重点：能正确认识组合与排列的联系与区别。
难点：理解组合的意义，正确地解决实际问题.。
【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P 26内容并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考,认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1.下列问题中是组合问题的个数是（ 2 ） （ ）①从全班50人中选出5名组成班委会;②从全班50人中选出5名分别担任班长，副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2,3，…，9中任取出两个数求积；④从1，2,3，…，9中任取出两个数求差或商．2。
求值：173213nnn n C C -++.解 由错误!，解得错误!≤n ≤错误!.又n ∈N ＊，∴n ＝6，故原式＝C 错误!＋C 错误!＝C 错误!＋C 错误!＝313。
要从12人中选出5人去参加一项活动，下列要求，有多少种不同选法？（1）A ，B ，C ，3人都参加;(2)A ，B ,C,3人都不参加；(3)A ，B ,C ，3人中只有一个参加．解 (1）只需再从A ,B ，C 之外的9人中选择2人，所以有方法C 错误!＝36（种)．(2）由于A ，B ，C 三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C 错误!＝126（种)．(3)可分两步：先从A ，B ,C 三人中选出一人，有C 错误!种选法；再从其余的9人中选择4人,有C 错误!种选法．所以共有选法C 错误!C 错误!＝378（种)．4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛．（1）如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法？(2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？(3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法?解 （1）从男生中选2人，从女生中选2人，共有C 错误!C 错误!＝60(种)选法；（2）男生中的甲与女生中的乙必须在内，只需从除2人外的其余7人中再选2人，有C 2，7＝21(种）选法；(3)从反面考虑，只要9人中选4人,减去不含男生甲和女生乙的情况，有C 错误!－C 错误!＝91（种）选法；（4)从反面考虑，只要所有情况减去全是男生和全是女生的情况，有C 4，9－C 44－C 错误!＝120（种)选法．【合作探究】问题1：四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法；问题2：四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种?解：（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素，有 种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法,所以， 一共有 ＝144种方法4425624C 34A 24C 34A问题3：(3）马路上有编号为1，2，3，…,10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯． 故 所求方法总数为 种方法【深化提高】5.(1) 以AB 为直径的半圆上，除A 、B 两点外，另有6个点，直径AB 上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？(2） 在角A 的一边上有五个点（不含A ），另一边上有四个点(不含A ），由这十个点(含A ）可构成多少个三角形？解 (1)分类讨论:A 、B 只含有一个点时,共有2（C 错误!＋C 错误!C 错误!）＝160（个）；既含A 又含B 时，共有C 26＝15（个);既不含A 也不含B 时，共有C 错误!－1－C 错误!C 错误!＝185(个)．所以共有160＋15＋185＝360(个)．(2）含A 点时,可构成C 错误!C 错误!＝20(个)三角形；不含A 点时，可构成C 错误!C 错误!＋C 错误!C 错误!＝70(个）三角形．故 共有20＋70＝90(个)三角形．【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差3620C●当堂检测（3选2填或2选2填1解答）A组（你一定行）：1。
(新人教版)新版高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3【提
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．精品试卷第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．欢迎下载。
湖北省松滋市高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1.2 排列与排列数公式导学案 新人教A版选修23
1.2.1.2 排列与排列数公式【学习目标】1.熟练掌握排列数公式；2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.【问题导学】1.预习教材P 14-P 20，找出疑惑之处.2. 复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 取元素 和 排顺序 ；两个排列相同的条件是元素 相同，元素的排列顺序 也相同复习2：排列数公式：m n A = （,,m n N m n *∈≤）全排列数nn A ＝ ＝ .复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是 .【合作探究】探究任务一：排列数公式应用的条件问题1：⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ ⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解析：（1）3560A = （2）555125⨯⨯= 新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二：解决排列问题的基本方法问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数（写出表达式即可）？解析：法一（直接法）：按无0和有0分两类，共有312929648A A A +=个.（2）间接法：32109648A A -=个.问题3：7位同学按照不同的要求站成一排，求不同排队方案有多少种？（1）甲必须站中间；（2）甲、乙只能站两端；（3）甲不站左端，乙不站右端；（1） （4）甲、乙两人必须相邻；（5）甲、乙两人不能相邻.解析：（1）看作余下6个元素的全排列，66720A =种.（2）根据分布乘法计数原理，第一步，甲、乙站在两端有22A 种，第二步，余下的5位同学进行全排列有55A 种，所以共有5252240A A =种.（3）甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置. 法一（特殊元素法）：甲在最右边时，其他的可全排列，有66A 种，甲不在最右边时，可从余下的5个位置中任选一个，有15A 种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的5个中的一个上，有15A 种，其余人全排列，故共有115555A A A 种；由分类计数原理611565553720A A A A +=种. 法二（特殊位置法）：先排最左边，除甲外，有16A 种 ，余下6个位置全排列有66A 种，但应剔除乙在最右边的排法1555A A 种，故共有161566553720A A A A -= 法三（间接法）：7个人全排有77A 种，其中，不合条件的有甲在最左边时66A 种，乙在最右边时66A 种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情况，有55A 种.故共有7657652A A A -+=3720.(4)(捆绑法)把甲、乙两人捆绑后看成一个元素.有62621440A A =种. （5）法一（插空法）：先让其余的5人全排列再让甲、乙在6个位置插入排列，共有52563600A A =种.法二（间接法）：不考虑限制条件共有77A 种.除去甲、乙相邻的排法6262A A ，所以共有7627623600A A A -=种.变式：（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？（3）4男4女排成一排，同性别者相邻，有多少种不同的站法？（4）4男4女排成一排，同性别者不能相邻，有多少种不同的站法？（5）4男4女排成一排，甲、乙之间必须有2人. 有多少种不同的站法？解析：（1）先将女生捆绑在一起. 2727A A =10080（2）先排男生再插入女生. 626730240A A =.（3）4424421152A A A =.（4）先排男（女）生，再插入女（男）生，444421152A A =.（5）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下4人全排列，故有2252657200A A A =.新知：（1）位置分析法；以位置为主，特殊（受限）的位置优先考虑. 有两个以上的约束条件时，往往根据其中一个条件分类处理.（2）元素分析法：以元素为主，先满足特殊（受限）的要求，再处理其他元素，有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素.（3）间接法：也叫排异法，直接考虑情况较多.但其对立面情况较少，比较容易解决.可考虑用间接法.（4）插空法：“不相邻”问题可以用插空法.但要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数.(5) 捆绑法：把要求在一起的“小集团”看成一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列. 此法适用于“相邻”问题的排列.【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）：1.用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有 （ C ）A. 48B. 64C. 72D.902. 5人排成一排，其中甲、乙至少一人在两端的排法种数为 （ B ）A.6B. 84C.24D. 48B 组（你坚信你能行）：3. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有 （ A ）A.20B. 30C.40D. 60解析：分甲在周一、周二、周三三类讨论或总数乘以三分之一.4. 安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有 2400 种.5（★★）.五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为 36 .解析：分两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有232312A A =种；另一类是乙、丙相邻但不与甲相邻，此类方法有22223224A A A=种（先把除甲、乙、丙外的另两人排好，有22A 种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个作为甲和乙、丙的位置），故共有122436+=种.【小结与反思】。
湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3排列的综合应用练案新人教A版选修2_
1.2.1.3 排列的综合应用考试要求1. 理解排列的意义；2. 掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．基础训练一、选择题1.字母a,b,c,d,e,f排成一列，其中a和b相邻且a在b的前面，共有排列方法种数为（A ）A. 120B.240C.360D.7202. 5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（A）A. 52A A种 B. 52746A A种 C. A5A2种 D. A7A6种5455563.若直线Ax By0的系数A,B可以从0,2,3,4,5,6中取不同的值，这些方程表示不同直线的条数为（B ）A. 15B.18C.32D.364.（2012·全国卷）将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ A ）A. 12种B.18种C.24种D.36种解析：先排第1列，有A3种，再排第2列，有2种方法，故共有33212A种排列方法. 35.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（D ）A.234B.363C.350D.346二、填空题6.某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20 . 解析：先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有A2种.5207. 8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有5760 排法.1解析：按照前排甲、乙，后排丙，其余 5人的顺序考虑，共有42 41 555760A A A种.8.（★★★）用 1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇 偶性不同，且 1，2相邻，这样的六位数的个数是 40 .解析：可分三步来完成这件事： 第一步，先将 3，5进行排列，有2A 种排法.2 第二步，再将 4，6插空排列，有 22A 种排法.2第三步，将 1，2放入 3，5，4，6形成的空中，有 A 1种排法.5故共有2 2 1A A A种排法. 222 540三、解答题9.某次文艺晚会上共演出 8个节目，其中 2个歌曲， 3个舞蹈，3个曲艺节目，求分别满足下 列条件的节目编排方法有多少种？（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台； （2）2个歌曲节目互不相邻；（3）2个歌曲节目相邻且 3个舞蹈节目不相邻. 解析：（1）2 66 730240 4 5 2 2880A 2 A 61440 种排法.（2） A 6 A 2种排法.（3） A 4 A 3 A 2种排法.10（★★★）. 用 1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数 a 1a 2a 3a 4a 5 ，满足 a 1a 2 ，aa ，23aa ， aa 的五位数有多少个？3445解 析： a 2 只能是 3，4，5.（1）若 a 23，则 a 45，a，54 a 与a 是 1或 2，这时共有13A个符合条件的五位数.（2）若 a24 ，则 a，452 22a a a 可以是 1,2,3中的一个.1, 2 , 3A个符合条件的五位数.（3）若 a25，则 a或 ，此时分别与（1）（2）情况 4 3 4共有3 36相同，故共有 2(A 2A 3)16个.23练后反思2。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第1课时)教案 新人教A版选修23
1．2.2 组合整体设计教材分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．过程与方法通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数A m n与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合的概念和组合数公式．教学难点：组合的概念和组合数公式．教学过程引入新课提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式．活动设计：教师提问．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．5．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.7．排列数的另一个计算公式：A m n＝n！(n－m)！.设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？活动设计：学生自己分析，教师提问．活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念．探索新知提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念．活动设计：学生小组讨论，总结概念．活动成果：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C m n表示．设计意图：培养学生的类比和概括能力．理解新知提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：小组交流，共同分析．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解．提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系．活动设计：小组交流，教师提问，学生补充． 活动成果：1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．2．联系：(1)都是从n 个不同的元素中选出m(m≤n)个元素； (2)排列可以看成先组合再全排列．设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础． 提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数C 34是多少吗？活动设计：小组交流，共同推导． 活动成果：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34可以求得，故我们可以考察一下C 34和A 34的关系，如下：组合 排列abc→abc，bac ，cab ，acb ，bca ，cba abd→abd，bad ，dab ，adb ，bda ，dba acd→acd，cad ，dac ，adc ，cda ，dca bcd→bcd，cbd ，dbc ，bdc ，cdb ，dcb由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步乘法计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33.设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法．提出问题3：你能想出求C mn 的方法吗？ 活动设计：小组交流，共同推导． 活动成果：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C mn ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数A mn ；②求每一个组合中m 个元素的全排列数A m m ，根据分步乘法计数原理得：A m n ＝C m n ·A mm . 得到组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．规定：C 0n ＝1.设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式． 运用新知类型一：组合数公式的应用1计算：(1)C 47； (2)C 710. 解：(1)C 47＝7×6×5×44！＝35；(2)解法1：C 710＝10×9×8×7×6×5×47！＝120.解法2：C 710＝10！7！3！＝10×9×83！＝120.【巩固练习】 求证：C mn ＝m ＋1n －m·C m ＋1n . 证明：∵C mn ＝n ！m ！(n －m)！，m ＋1n －m·C m ＋1n＝m ＋1n －m ·n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m)(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m)！，∴C mn ＝m ＋1n －m·C m ＋1n . 【变练演编】设x∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值．解：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x－1，x ＋1≥2x－3，解得2≤x≤4，∵x∈N *，∴x＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7；当x ＝4时原式的值为11. ∴所求的值为4或7或11.类型二：简单的组合问题例2一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？思路分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法． 所以教练员做这件事情的方式种数为 C 1117×C 111＝136 136. 【巩固练习】(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ (2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为C 210＝10×91×2＝45.(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A 210＝10×9＝90. 【变练演编】(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线？解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为C 25－5＝5.(2)凸n 边形的n 个顶点中，任意两个顶点的连线是凸n 边形的一条对角线或是一条边，所以，凸n 边形的对角线条数为C 2n －n ＝n(n －3)2.【达标检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？ (2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为( ) A ．42 B ．21 C ．7 D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有( )A ．15对B ．25对C ．30对D ．20对 答案：1.(1)是组合问题 (2)是排列问题 2.B 3.A 课堂小结1．知识收获：组合概念、组合数公式． 2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想． 补充练习 【基础练习】1．A ，B ，C ，D ，E 5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？(2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？2．空间有10个点，其中任何4点不共面，(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 4．写出从a ，b ，c ，d ，e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合．答案：1.(1)10 (2)20 2.(1)C 310＝120 (2)C 410＝210 3.C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24－1＝15. 4．a ，b ，c ，d a ，b ，c ，e a ，b ，d ，e a ，c ，d ，e b ，c ，d ，e. 【拓展练习】5．第19届世界杯足球赛于2010年夏季在南非举办，共32支球队有幸参加，他们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，共有8C24＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．设计说明本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，并利用组合数公式解决简单的计数问题．主要特点是：类比排列数公式的推导方法，抓住排列和组合的区别和联系，利用排列数公式推导出组合数公式．本节课的设计充分体现教师所提问题的主导作用和学生根据问题自主探究的主体地位，学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学习、自主探究．备课资料在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A88种方法．错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有：C38＝56种排法．。
湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3排列的综合应用导学案新人教A版选修2
1.2.1.3 排列的综合应用【学习目标】1.熟练掌握排列数公式；2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.重点：正确地解决几种常见的有限制条件的排列问题.难点：综合运用分类法、捆绑法、插空法、特殊元素法、特殊位置法等解决实际问题.【问题导学】复习：请列举出一些带有限制条件的排列问题，并思考相应的解决方法.【合作探究】探究任务一：解决排列问题的几种基本方法问题1：某小组6个人排队照相留念．(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？解析：（1）捆绑法，共有52A5A2240种.（2）法一：对于每一种符合条件的站法，对调甲、乙两人的位置（其余人不动），就得到一种不符合条件的站法（乙在甲的右边）；反之，对于每一个不符合条件的站法，对调甲、乙两人的位置（其余人不动），也得到一种符合条件的站法（甲在乙的右边），并且，对调前后也都是这6个人的全排列之一.因此，符合条件的站法共有A 种. 663602法二：从6个位置中选出2个位置让甲、乙站，且甲在乙的右边，有A262种站法，其余4个人站余下的4个位置，有A4种站法，由分步乘法计数原理知共有4A262A4种站法.4360（3）插空法：先排3名女生，再插入3名男生.共有33A A种.34144（4）法一：分两类.第1类，甲在排尾时，有A5种站法；第2类，甲不在排尾时，有A1A1A454441种站法；由分类加法计数原理知共有55414144504A A A A种站法.法二（间接法）：6625544504A A A种站法.（5）从6人中选2人站前排，有A2种站法，其余4人站后排，有A4种站法，故共有24A A64720 64种站法.问题2：从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？解析：法一（元素分析法）：优先考虑运动员甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A4种参赛方案；5第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，然后安排其他3棒，有2A3种参赛方案.5由分类加法计数原理知共有43A A种参赛方案.525240法二（位置分析法）：优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可从除甲外的5人中选2人，有A25种方法，其余两棒从剩下的4人中选，有A2种方法.4由分步乘法计数原理知共有A2A2种参赛方案.54240法三（排除法）：不考虑甲的约束，6人占4个位置，有A4种安排方法，剔除甲跑第一棒和6第四棒的参赛方案有2A3种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A4A3种.625240 5探究任务二：部分元素顺序一定的排列问题问题3：将A，B，C，D，E这五个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻），则这样的排列有多少种？解析：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序一定，这种问题有以下两种常见的解法.法一（整体法）：5个元素无约束条件的全排列有A5种，由于字母A，B，C的排列顺序为5“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上面的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排法有A55A33240种.法二（插空法）：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，这时形成4个空当，分两类将字母D，E插入.2第 1类，若字母 D ，E 相邻，则有 A 1 A 2 种排法；4 2第 2类，若字母 D ，E 不相邻，则有 A 2 种排法.4所以有41 224220A AA种不同的排法.同理，若字母 A ，B ，C 的排列顺序为“C ，B ，A”，也有 20种不同的排法，因此满足条件的排 法共有 2020 40种.【深化提高】将数字 1，2，3，4，5，6拼成一列，记第 i 个数为 a (i1，2，，6) ，若ia，1 1a ， 3 3a 55 ，aaa ，则不同的排列方法有多少种？135解析：分两步：第 1步，先排 a 1,a ,a ， a =2，有 2种； a =3有 2种； a =4有 1种，35111共有 5种；第 2步，再排a 2 ,a ,a ，共有 3 6A 3 种，故不同的排列方法种数为 5×6=30.46【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测A 组（你一定行）：1.用 1，2，3组成没有重复数字的整数，可以组成整数的个数为 （ B ） A.27个B. 15个C. 12个D. 6个 2.某台小型晚会由 6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能 排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ B ） A.36种B.42种C. 48种D. 54种B 组（你坚信你能行）：3.若 2n 个学生排成一排的排法数为 x ,这 2n 个学生排成前后两排，每排各 n 个学生的排法数 为 y ，则 x ， y 的关系为（ C ）A. x yB. x yC. x yD. x2y4.在由数字0，1，2，3，4，5所组成没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有3192 个.C组（我对你很有吸引力哟）：5. 8张椅子排成一排，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种？解析：把4个人先排，有A4,且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位当成两4个不同的元素去排5个缝隙位置，有245480A,所以共有A4A2种.5【小结与反思】4。
松滋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合超全的排列组合解法导学案
超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略----优限法例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略----捆绑法例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
湖北省松滋市高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 超全的排列组合解法导学案 新人教A版选修2-3
超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略----优限法例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略----捆绑法例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
湖北省松滋市高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组
1.2.1.1排列的概念及简单排列问题【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导；3. 能运用所学的排列知识，正确地解决一些简单的实际问题重点：排列、排列数的概念难点: 排列数公式的推导【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P14—P18内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1. 分类加法计数原理： .2. 分步乘法计数原理：3. 从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的方法？解析：4.上面的问题3中，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？5.排列的概念元素：问题中被取出的对象 .排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列.6.相同排列的条件元素相同，顺序相同.7.排列数的概念m ）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 从 n 个不同元素中取出 m （n个不同元素中取出m 元素的排列数，用符号 mn A 表示.8. 排列数公式从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L . 9. 全排列从n 个不同元素中 全部 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A (1)(2)21!n n n n --⋅=L .【合作探究】问题1：如何判断一个具体的问题是不是排列问题？下列问题哪些是排列问题？说明理由.(1) 某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一名，共有多少种可能的选举结果.(2) 从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？(3) 20位同学互相握一次手，问共握手多少次？(4) 有12个车站，共需准备多少种车票？(5) 从集合{}19,M x x x N =≤≤∈中任取相异的两个元素作为a ,b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b+=？ 解析：（1）（2）（4）选取元素后还要进行排列，是排列问题.问题2：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？问题3：写出下列问题的所有排列：（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？（2）由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？问题4：填写下表：问题5：（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则n = 17 ，m = 14 ．（2）乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ----L 用排列数符号表示1569m A - （n N ∈）.(3)计算5499651010A A A A +-（ 答：320）（4）解方程18934x x A A -=（ 答：6x =）【深化提高】有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？解析：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。
湖北省松滋市高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.3 组合与组合数公式导学案 新人教A版选修23
1.2.3 组合与组合数公式【学习目标】1.正确理解组合与组合数的概念；2.弄清组合与排列之间的关系；3.掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算. 重点难点重点：组合的概念和组合数公式 难点：组合的概念和组合数公式 【使用说明与学法指导】 预习教材P 21~ P 23，找出疑惑之处复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 取元素 和 排顺序 . 复习2：排列数的定义：从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 表示复习3：排列数公式：mn A = （,,m n N m n *∈≤） 【问题导学】组合的概念：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m ()m n ≤个元素 合成 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.组合数的概念：从n 个 不同 元素中取出m ()m n ≤个元素的 所有不同 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 mn C 表示． 组合数公式及性质：问题1：“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？问题2：我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？【合作探究】问题1：判断下列问题是组合还是排列，并求出相应的组合数或排列数.（1）若已知集合{}1,2,3,4,5,6,7，则集合的子集中有3个元素的有多少个？（2）8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？（3）8人相互握手一次，共握了多少次手？（4）在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解析：（1）与顺序无关，是组合问题.共有3735C=个.（2）发电子邮件有先后之分，与顺序有关是排列问题，共有2856A=个.（3）相互握手无顺序，是组合问题，共有2828C=次.（4）飞机票与起点站、终点站有关，是排列问题，共有2412A=种.机票价格只与两站的距离有关，是组合问题，共有246C=种.新知：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要区分排列与组合，可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题.变式：判断下列问题是组合还是排列：（1）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？（2）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？（3）从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？问题2：（1）计算4331073C C A -； （2）证明11m m n n mC nC --=.解析：（1）4331073C C A -=43107C A -=1098776504321⨯⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯⨯（2）证明：左边=!(1)!!()!(1)!()!n n n mm n m m n m -==---(1)!(1)!()!n n m n m -==--11m n nC --==右边.新知：组合数的两个公式的应用有所区别，一般地，公式m mnnm mA C A =常用于,n m 为具体自然数的题目，偏向于具体组合数的计算；公式mn C =!!()!n m n m -常用于,n m 为字母或含有字母的式子的题目，偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明. 变式：（1）求值：591nnn n C C --++(2)求证：11mm n n m C C n m++=-. 解析：5509190n n n n n n -≤⎧⎪-≥⎪⎨-≤+⎪⎪-≥⎩，解得45n ≤≤.又n N +∈，所以4=5n n =或.当4n =时，原式1545=+=5C C .当5n =时同理得原式=16. 问题3：计算：（1）9796959898982C C C ++； （2）5555555678910C C C C C C +++++. 解析：（1）原式=9796969598989898()()C C C C +++=979697399991001001009998161700321C C C C ⨯⨯=+====⨯⨯（2）原式=6555556678910()C C C C C C +++++=65555657789101111462C C C C C C C =++++====L 新知：（1）当2n m >时，通常不直接计算m n C ，而改为计算n mn C -（2）注意组合数两个性质的灵活应用（凑项、拆项 、变用、逆用等）.变式：计算：（1）598781007C C C +g ； （2）012345555555C C C C C C +++++（3）11n n n n C C -+g. 解析：（1）原式=5006.（2）原式=0125552()C C C ++=32.（3）原式=(1)(1)1n nn n n n C C +---+g =111n n C C +g =(1)n n +g【深化提高】解方程：232551616x x x C C +++=. 错解：∵232551616x x x CC +++=， ∴23255x x x ++=+，即2230x x --=，解得11x =-（舍去），23x =，∴原方程的解为3x =.错因：错解的原因有二：一是将组合数的方程转化为代数方程时不等价.事实上，+=,,,,;x y n n x y x y n C C n x n y x y N =⎧⎪=⇔≥≥⎨⎪∈⎩或二是最后得出的结果没有检验，出现根的取舍错误.正解：∵232551616x x x C C +++=， ∴23255x x x ++=+，或2(32)+(55)=16x x x +++，即2230x x --=或2890x x +-=∴1x =-或3x =或9x =-或1x =.经检验3x =，9x =-不合题意，舍去，故原方程的解为1x =-，或1x =. 【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ●当堂检测A 组（你一定行）：1.下列四个问题属于组合问题的是（C ）A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作.B.从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同的数字，组成一个三位数.C.从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式.D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员.2.若3212n n A C =，则n 等于（ A ）A.8B.5或6C.3或4D.4 B 组（你坚信你能行）：3. 5688C C +得值为（B ）A.36B.84C.88D.5044.已知2110100x x C C +-=，则x = 1或3 .C 组（我对你很有吸引力哟）：5. 已知456,,n n n C C C 成等差数列，求12n C 的值.解析：由已知得5462n n n C C C =+，所以!!!25!(5)!4!(4)!6!(6)!n n n n n n =+---g 整理得221980n n -+=解得7n =或14n =，要求12n C 的值，故12n ≥，所以14n =，则122141414139121C C ⨯===⨯.【小结与反思】用后觉得难度、容量都大了。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2.2组合的应用a23a高二23数学
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类型三 几何组合应用题
【例 3】 在∠MON 的边 OM 上有 5 个异于 O 点的点，ON 上有 4 个异于 O 点的点，以这 10 个点(含 O)为顶点，可以得到 多少个三角形？
【分析】 要想组成三角形需找不在同一直线上的三点．因 为 O 为射线 OM 与射线 ON 的公共点，所以对 O 取与不取需进 行讨论．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应 考虑再分配问题．因此，分配方式共有 C16·C25·C33·A33＝360 种．
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(3)先分三组，有 C26C24C22种分法，但是这里面出现了重复，不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一组取了 A，B，第二组 取了 C，D，第三组取了 E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)， 但 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF， AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共 A33种情况，而这 A33种情 况只能作为一种分法，故分配方式有C26·AC2433·C22＝15 种．
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类型一
无限制条件的组合问题
【例 1】 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，
从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方
法共有( B )
A．4 种
B．10 种
C．18 种
D．20 种
2．如何解决组合中的“至多”或“至少”问题？
提示：一般采用直接法或间接法．若直接法情况较复杂，则 考虑间接法．
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用 新人教A版选修
反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排 成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个 “盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此 法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Cmn－－11种方法.可描述 为n－1个空中插入m－1块板.
解答
(3)恰有两个空盒子. 解 恰有两个空盒子，插板分两步进行. 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙各插一块 隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒. ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法. ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有 C13种插法. 故共有 C15·(C23＋C13)＝30(种).
反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成 p 组，各组内元素数目分别 为 m1，m2，…，mp，其中 k 组元素数目相等，那么分组方法数是 Cm1nCm2n－m1CmA3nkk－m1－m2…Cmpmp.
跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少 种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本； (5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本.
跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三 点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
√A.205
B.110
C.204
D.200
湖北省松滋市高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 超全的排列组合解法导学案 新人教A版选修23
超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略----优限法例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略----捆绑法例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第4课时 排列的应用作业课件 新人教A
C．A53＋A33 D．A53A33
解析：分两步：第1步可从5个数字中选取3个安排最后三个位置，
有A
35种；第2步把3个字母安排在前三个位置，有A
3 3
种，所以共有A
3 5
A
3 3
个可选用的密码．
4．有A，B，C，D，E 5个人，从中选1名组长、1名副组长，但A 不能当副组长，不同的选法种数是( B )
二、填空题(每小题5分，共15分) 9．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次按先后次序打出3 面，最多能打出 6 种不同的信号．
解析：3种颜色的旗子不同顺序排列得到不同的信号，因此是排列 问题，故共有A33＝3×2×1＝6种不同的信号．
10．某大学数学系进行了一场数学史知识竞赛，其中在选手综合 素质测试中，有道题是这样的：把数学史上的四本名著《数书九章》 《几何原本》《数学汇编》《多角数》分别与它们的作者秦九韶、欧 几里德、帕波斯、丢番图连线，至多连对两个的种数是 23 .
A．144 B．72 C．36 D．12
解析：先将三位老师排好，共有A
3 3
种排法，再将3名学生排在靠左
的3个空里或靠右的3个空里，共有2A
3 3
种排法，所以共有A33
·2A33
＝72种
不同的排法．
6．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生 们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演5个节目，其中歌曲有 2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻节目的艺术形 式不能相同，则不同的编排种数为( C )
种方
法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D.
2．8名学生和2位老师站成一排合影，则2位老师不相邻的排法种
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用 新人教A版选修
2．若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不 同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的
取法有 C44＝1(种)，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C25C24＝ 60(种)，取 4 个数均为奇数的取法有 C45＝5(种)，故不同
(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步 计数原理．
1．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝
0，1，2，3，4)，与平行直线y＝n(n＝0，1，2，3)组成
的图形中，矩形共有( )
A．100个
B．60个
C．48个
Hale Waihona Puke D．20个解析：在两类平行直线中各取两条，即构成一个矩形， 所以，所求矩形共有 C25C24＝10×6＝60(个)．
的取法共有 1＋60＋5＝66(种)．
答案：D
π 3．从 0，1， 2， 2 ， 3，2 这六个数字中，任取两
个数字作为直线 y＝xtan α＋b 的倾斜角和截距，可组成
________条平行于 x 轴的直线． 解析：要使得直线与 x 轴平行，则倾斜角为 0，截距
在 0 以外的五个数字均可．故满足条件的直线有 C15＝
(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加． 解：(1)不同的选法有 C512＝792(种)． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C29＝36(种)． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C59＝126(种)．
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．
【2020】最新高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-1第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3(1)
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
3．解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )
A．6B．8
C．9D．12
C[由A ＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A ＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A ＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A ＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．]
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
A．36B．120
C．720D．Leabharlann 40C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A ＝720.]
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种B．360种
C．480种D．720种
C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A ＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列优化练习新人教A版选修2-3(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列优化练习新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列优化练习新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列优化练习新人教A 版选修2-3的全部内容。
1。
2。
1 排列[课时作业］[A组基础巩固］1．已知A错误!＝7A错误!，则n的值为（)A．6 B．7C．8 D．2解析：由排列数公式得：n（n－1）＝7(n－4）(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或错误!（舍去)．答案：B2．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为( )A．A88B．A错误!C．A错误!A错误!D．2A错误!解析：安排4名司机,有A错误!种方案，安排4名售票员，有A错误!种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成,由分步乘法计数原理知共有A4，4A错误!种方案．故选C。
答案：C3．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有（）A．A错误!·A错误!种B．A错误!·A错误!种C．A错误!·A错误!种D．A错误!·A错误!种解析:插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排，有A错误!种排法,除去最左边的空共有5个空位供男生选，有A错误!种排法，故共有A错误!·A错误!种不同的排法．故选C.答案：C4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3！)3C．（3！）4D．9!解析：把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家，所以有（3！）4种．答案：C5．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有（)A．240种B．600种C．408种D．480种解析:将四人排成一排共有A错误!种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有A25种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有A44·A错误!＝480种．答案:D6．在书柜的某一层上原来共有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入法．(用数字回答)解析：试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本，因此“在5本书中插入3本书"就与“从8本书中抽出3本书”对应，故符合题意的插法共有A错误!＝336种．答案:3367．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素，先与D、E进行排列，有A错误! A错误!种方法;再将C插入，仅有3个空位可选，共有A错误!A错误!×3＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：368．从集合{0,1,2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C,所得直线经过坐标原点的有________条．解析:易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A、B，有A2，种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A2，6＝30(条）．6答案：309．用0,1,2，3，4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的（1）六位奇数；(2）个位数字不是5的六位数．解析：(1）解法一（从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位,有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法二（从特殊元素入手）0不在两端有A错误!种排法，从1,3，5中任选一个排在个位有A错误!种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A4，4种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法三（排除法)6个数字的全排列有A错误!个，0，2,4在个位上的排列数为3A错误!个，1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数有3A4，4个,故对应的六位奇数的排列数为A6，6－3A55－3A错误!＝288个．（2）解法一(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有A错误!－2A错误!＋A错误!＝504个．解法二（直接法）个位不排5，有A错误!种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排0时,有A错误!个．第二类：当个位不排0时，有A错误!A错误!A错误!个．故共有符合题意的六位数A错误!＋A错误!A错误!A错误!＝504个．10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲,3个舞蹈,3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台;(2)2个歌曲节目互不相邻;（3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排歌曲节目有A2，2种排法,再排其他节目有A错误!种排法，所以共有A错误!A错误!＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A错误!种排法，再从其中7个空（包括两端)中选2个排歌曲节目,有A错误!种插入方法,所以共有A错误!A错误!＝30 240种排法．(3)把2个相邻的歌曲节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A错误!种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A错误!种插入方法，最后将2个歌曲节目互换位置，有A错误!种排法，故所求排法共有A错误!A错误!A错误!＝2 880种排法．［B组能力提升]1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种解析:分两类：第一类:甲排在第一位，共有A错误!＝24种排法;第二类：甲排在第二位，共有A13·A错误!＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B。
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1.2.2组合的综合应用
明确排列与组合的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；能运用所学的排列组合知识，正确地解决的实际问题.
一、选择题
1．下列问题中是组合问题的个数是 ( ) ①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）
（A ）3254C C 种 （ B ）3254C C 55A 种 （C ）3254A A 种 （D ） 3254A A 55
A 种 3．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ）
（A ）5种 （B ）6种 （C ）63种 （D ）64种
4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一 台，则不同的取法共有
( )
A ．140种
B ．84种
C ．70种
D ．35种 5．设凸n (n ≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )＝( )
A ．n －1
B ．n
C ．n ＋1
D ．n ＋2
6．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入 选的不同选法的种数为
( )
A ．85
B ．56
C ．49
D ．28 二、填空题
7．10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有________种．
8．若C m
6>6，则m 的取值范围是__________．
9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相
除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.
三、解答题
10．判断下列问题是否为组合问题？并求出相应结果．
(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
11．求值：C 17－n 2n ＋C 3n 13＋n .
12.要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？
(1)A ，B ，C,3人都参加；
(2)A ，B ，C,3人都不参加；
(3)A ，B ，C,3人中只有一个参加．
四、探究与拓展
13．5个球放入3个盒子,在下列不同条件下,各有多少种投放方法？
各有多少不同的放法?
① 小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。
再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。
有31223
525332222C C (+)A A A C C ∙ ②小球不同，盒子不同，盒子可空 解：53种
③小球不同，盒子相同，盒子不空
解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。
共有3122
52532222C C +A A C C =25种 ④小球不同，盒子相同，盒子可空
解：本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。
共有
31225435253555
2222C C ()(+)41A A C C C C C +++=种
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空
解：（隔板法）。
0 \ 00 \ 00 ，有2
4C 种方法
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
解：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。
7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。
那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。
故有27C =21
答案：
1．B 2．A 3．C 4．C 5．C 6．C 7．120 8．{2,3,4} 9．1∶2
10．解 (1)(2)(3)都是组合问题．
(1)C 510＝252，即共有252种分法．
(2)C 39＝84，即这样的三位数共有84个．
11．解 由⎩
⎪⎨⎪⎧ 2n ≥17－n ≥013＋n ≥3n ≥0，解得173≤n ≤132. 又n ∈N *，∴n ＝6，故原式＝C 1112＋C 1819＝C 112＋C 119＝31.
12．解 (1)只需再从A ，B ，C 之外的9人中选择2人，
所以有方法C 2
9＝36(种)．
(2)由于A ，B ，C 三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C 59＝126(种)．
(3)可分两步：先从A ，B ，C 三人中选出一人，有C 13种选法；再从其余的9人中选择4人，有C 49种选法．
所以共有选法C 13C 49＝378(种)．。