201x年春八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.2.3一次函数的应用 新人教版
八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.
第1课时 一次函数
学前温故 新课早知
一般地,形如 y=kx(k是常数,k≠0) 的函数,叫做正比例函数,
它的图象是 一条直线
,当k>0时,直线y=kx经过第
一、三
象限,从左向右 上升 ,即随着x的增大
y 也增大 ;当k<0时,直线y=kx经过第 二、四 象限,从左向
右 下降 ,即随着x的增大y 反而减小 .
123456
1.下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的为 ( ).
A.y=-���2��� C.y=-������2-1
B.y=-2������ D.y=������2������-1
关闭
C
答案
123456
2.下列函数:①y=2x,②y=
1 2
x,③y=2x+1,④y=2x2+1,其中一次函数的
解析 答案
123456
4.已知地面温度是20 ℃,如果从地面开始每升高1 km,气温下降6 ℃,
那么t(单位:℃)与海拔高度h(单位:km)的函数解析式
是
,它是一个
函数.
t=20-6h 一次
关闭
答案
1.一次函数的概念 【例1】 当m为何值时,函数y=-(m-2) ������������2-3+(m-4)是关于x的一 次函数? 分析:表达式中,只有-(m-2) ������������2-3为一次项时才能满足要求,此时
必须有指数m2-3=1且其系数-(m-2)≠0. 解:因为函数y=-(m-2) ������������2-3 +(m-4)是关于x的一次函数,
学前温故 新课早知
1.一般地,形如 y=kx+b (k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次 函数.当b=0时, y=kx+b 即 y=kx ,所以说正比例函数是一种 特殊 的一次函数.
2019版八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数(第1课
19.2.2一次函数第1课时【教学目标】知识与技能:1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.3.初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法.过程与方法:经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.情感态度与价值观:弄清一次函数与正比例函数的从属关系,在探索过程中,发展抽象思维及概括能力.【重点难点】重点:理解一次函数的概念,掌握一次函数解析式的特点.能根据所给条件写出简单的一次函数解析式.难点:理解一次函数的概念,能根据所给条件写出简单的一次函数解析式.【教学过程】一、创设情境,导入新课问题1:王明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,王明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,王明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程s 千米和汽车在高速公路上行驶的时间t小时有什么关系.问题2:张明准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出张明的存款y元与从现在开始的月份x之间的函数关系式.解:(1)s=570-95t.(2)y=50+12x.观察以上出现的两个函数解析式,很显然它们不是正比例函数,那么它们有什么共同特征呢?是什么函数呢?这一节课我们就来研究这一问题.二、探究归纳活动1:一次函数的概念1.问题:下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式.(1)汽车在行驶30 km后,以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式.(2)一棵树现在高100 cm,每个月长高2 cm,x个月后这棵树的高度为y(cm),y与x的函数解析式.(3)李明准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存200元,从现在起每个月节存20元,设从现在开始存款的月份数为x,存款总数为y元,y与x的函数解析式.2.上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为:(1)y=30+60x.(2)y=100+2x.(3)y=200+20x(x为自然数) .这些函数解析式都具有什么共同特点?教师引导学生总结这些函数解析式的共同点,并把它们抽象为y=kx+b的形式.3.归纳:上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.(1)一次函数的概念:一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.(2)一次函数与正比例函数的关系:一次函数y=kx+b(k≠0),当b=0时,y=kx+b(k≠0)即y=kx (k≠0),变为正比例函数.因此正比例函数是一种特殊的一次函数.活动2:例题讲解【例1】下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?(1)y=-. (2)y=2-x. (3)y=3x2. (4)y=3+3(x-1).分析:根据一次函数与正比例函数的定义,进行判断.解:(1)y=-不能化为y=kx+b的形式,所以y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.(2)y=2-x=-x+2,其中k=-1,b=2,所以y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.(3)y=3x2的自变量次数不是1次,所以y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.(4)y=3+3(x-1)=3+3x-3=3x,所以y是x的一次函数,也是x的正比例函数.总结:判断一次函数的方法步骤(1)观察所给函数关系式是否符合y=kx+b(k≠0)的形式.(2)辨别比例系数k是否等于0.(3)确定是否为一次函数.【例2】写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)三角形的底边为20 cm,三角形的面积y(cm2)与高x(cm)的关系.(2)汽车离开A站5 km,再以50 km/h的平均速度行驶了x h,那么汽车离开A站的距离y(km)与时间t(h)之间的关系.(3)高为6 cm的圆柱的体积y(cm3)与它的底面圆的半径x(cm)之间的关系.分析:分析题意找出等量关系,确定y与x之间的关系,列出函数关系式,判断y与x的函数关系.解:(1)由三角形的面积公式,得y=10x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(2)由路程=速度×时间,得y=50x+5,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.(3)由圆柱的体积公式,得y=6πx2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.总结:列实际问题中的一次函数解析式的方法1.认真审题,找出等量关系,用字母表示问题中的变量.2.根据题意列出一次函数的解析式.三、交流反思这节课主要讲了一次函数的定义,要注意正比例函数与一次函数的关系,知道正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k≠0)的特殊情况.会在实际问题中建立一次函数模型,列出函数关系式.四、检测反馈1.下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=2x+1,其中一次函数的个数是()A.1B.2C.3D.42.若函数y=(m-1)x|m|+2是一次函数,则m的值为()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠-13.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是()A.路程一定时,时间y和速度x的关系B.长10米的铁丝折成长为y,宽为x的长方形C.圆的面积y与它的半径xD.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x4.某山山脚的气温是10 ℃,此山高度每上升1 km,气温下降6 ℃,设比山脚高出x km处的气温为y℃,y 和x的函数关系式为()A.y=10-6xB.y=10+6xC.y=6-10xD.y=6x-105.李大爷要围成一个长方形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24 m,要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD,设BC的边长为x m,AB边的长为y m,则y与x之间的函数关系式是()A.y=-2x+24(0<x<12)B.y=-x+12(0<x<24)C.y=2x-24(0<x<12)D.y=x-12(0<x<24)6.已知y=(m-2)+3,当m=________时,y是x的一次函数.7.下列函数:①y=-3x2+4;②y=x-2;③y=x+3;④y=+1;⑤y=-x,其中是一次函数的有______________(只写序号).8.已知函数y=(2-m)x+2m2-8.(1)若y是x的一次函数,求m的取值范围.(2)当m为何值时,y是x的正比例函数?9.甲、乙两地相距500 km,汽车从甲地以每小时80 km的速度开往乙地.(1)写出汽车离乙地的距离s(km)与开出时间t(h)之间的函数关系式,并指出是不是一次函数.(2)汽车从甲地开出多久,离乙地为100 km.五、布置作业教科书第90页练习第1,2题.六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数的概念及实际问题中一次函数的解析式列法,1.教师引导学生分析引例中所列的函数关系式都符合y=kx +b(k,b是常数,k≠0),一般地,形如y =kx +b(k,b是常数,k≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b是正比例函数.让学生弄清一次函数与正比例函数的从属关系.正比例函数是特殊的一次函数.让学生明确判断一次函数的方法步骤:(1)观察所给函数关系式是否符合y=kx+b(k≠0)的形式.(2)辨别比例系数k是否等于0.(3)确定是否为一次函数.2.通过实例引导学生分析总结得出:列实际问题中的一次函数解析式的方法:(1)认真审题,找出等量关系,用字母表示问题中的变量.(2)根据题意列出一次函数的解析式.。
人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(1)一次方程、不等式
知识点一：一次函数与一元一次方程
学以致用
3.一次函数y=mx+n的图象如图所示， 则方程mx+n=0的解为( C ) A.x=2 B.y=2 C.x=-3 D.y=-3 4.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函 数y=kx+b的图象可能是( C )
11
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
4
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都 可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一 次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
5
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳 一次函数与一元一次方程的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变 形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在 图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
下面3个不等式有什么共同点和 不同点？你能从函数的角度对解这3个不等 式进行解释吗？ (1)3x+2＞2; (2) 3x+2＜0；(3) 3x＋2＜-1.
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知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
可以看出，这3个不等式的不等号左 边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有 不同.从函数的角度看，解这3个不等式相 当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大 于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取 值范围.或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐 标分别满足大于2、小于0、小于－1的点， 看它们的横坐标分别满足什么条件(如图).
2019春八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第3课
第十九章函数
.
.
四、我的疑惑
一、要点探究
问题1
问题2：
要点归纳：
（1
（2）代——把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解——解方程或方程组求出待定系数的值；
（4）写——把求出的k，b值代回到解析式中，写出函数解析式.
例1. 若一次函数的图象经过点且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
提示：画图，此题有两种情况，需分类讨论.
的自变量的取值范围是－ 3≤x≤ 6，相应函数值的范
，求这个函数的解析式.
用待定系数法求一次函数的解析式
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是（）
A．k=2 B．k=3 C．b=2 D．b=3
第1题图第2题图
2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b=______，k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
3.已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
4.若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6），你能求出这条直线的解析式吗？。
八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程不等式人教版
知识点三 一次函数与二元一次方程(组)的关系
5.一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为
,则方程组
4x
x
y
y 1
7, 的解为
.
答案
x 2
(2,-1);
y
1
解析 在同一直角坐标系中作出一次函数y=7-4x与y=1-x的图象,如图
所示,由图象可知交点坐标为(2,-1).由y=7-4x,得4x+y=7.由y=1-x,得x+y=
图19-2-3-2 由图象可以看出:当x>-3时,这条直线上的点在x轴上方, ∴不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3.
解法二:在同一直角坐标系中分别画出函数y=3x+2与函数y=2x-1的图象 (如图19-2-3-3所示),可以看出,它们交点的横坐标为-3.
图19-2-3-3
当x>-3时,对于同一个x值,直线y=3x+2上的点总在直线y=2x-1上相应点 的上方,此时3x+2>2x-1,故不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3. 温馨提示 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直 线上点的位置的高低.
实数,a≠0)的形式,所以解一 y=0时对应的x的值
图象与x轴交点的横坐
元一次方程可以转化为求
标
某个一次函数的函数值为0
时的自变量的值
利用一次函数的图 象解一元一次方程 的步骤
(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数. (2)画图象:画出一次函数的图象. (3)找交点:找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解
例1 画出函数y=2x-1的图象,并利用图象求方程1-2x=0的解. 分析 画出函数图象后,求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标,即为2x-1= 0的解,也就是1-2x=0的解. 解析 如图19-2-3-1所示,由图象知直线y=2x-1与x轴的交点坐标为
2019春八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第3课
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点) 2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)一、情境导入已知弹簧的长度y (厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？二、合作探究 探究点：用待定系数法求一次函数解析式【类型一】 已知两点确定一次函数解析式已知一次函数图象经过点A (3，5)和点B (－4，－9)．(1)求此一次函数的解析式；(2)若点C (m ，2)是该函数图象上一点，求C 点坐标．解析：(1)将点A (3，5)和点B (－4，－9)分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，列出关于k 、b 的二元一次方程组，通过解方程组求得k 、b 的值；(2)将点C 的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m 的值．解：(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，且k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝3k ＋b ，－9＝－4k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝2x －1；(2)∵点C (m ，2)在y ＝2x －1上，∴2＝2m －1，∴m ＝32，∴点C 的坐标为(32，2)．方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k ≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下． 【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式如图，一次函数的图象与x 轴、y轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．解析：先求出点B 的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．解：∵OA ＝OB ，A 点的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝x －2.方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式如图，点B 的坐标为(－2，0)，AB 垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果△ABO 的面积为3，求直线l 的解析式．解析：△AOB 面积等于OB 与AB 乘积的一半．根据OB 与已知面积求出AB 的长，确定出A 点坐标．设直线l 解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入求出k 的值，即可确定出直线l 的解析式．解：∵点B 的坐标为(－2，0)，∴OB ＝2.∵S △AOB ＝12OB ·AB ＝3，∴12×2×AB ＝3，∴AB ＝3，即A (－2，－3)．设直线l 的解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入得－3＝－2k ，即k ＝32，则直线l 的解析式为y ＝32x .方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y ＝kx 向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．解析：根据题设得到关于k ，b 的方程组，然后求出k 的值即可．解：把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝2.∵y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b ，∴b ＝－4，∴k －4＝2，解得k ＝6.∴一次函数的解析式为y ＝6x －4.方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象为直线，当直线平移时k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为y ＝kx ＋b ＋m .【类型五】 由实际问题确定一次函数解析式已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．出函数自变量的取值范围)；(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．解析：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由统计表的数据建立方程组求出k ，b 即可；(2)当x ＝6.2时，代入(1)的解析式就可以求出y 的值．解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧35.0＝4.2k ＋b ，40.0＝8.2k＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.25，b ＝29.75，∴y ＝1.25x ＋29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y ＝1.25x ＋29.75；(2)当x ＝6.2时，y ＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.答：此时体温计的读数为37.5℃. 方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【类型六】 与确定函数解析式有关的综合性问题如图，A 、B 是分别在x 轴上位于原点左右侧的点，点P (2，m )在第一象限内，直线PA 交y 轴于点C (0，2)，直线PB 交y 轴于点D ，S △AOP ＝12.(1)求点A 的坐标及m 的值； (2)求直线AP 的解析式； (3)若S △BOP ＝S △DOP ，求直线BD 的解析式． 解析：(1)S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，根据三角形面积公式得到12×OA ×2＋12×2×2＝12，OA ＝10，则A 点坐标为(－10，0)，S △AOP ＝12×10×m ＝12求出m ；(2)A 点和C 点坐标，可利用待定系数法确定直线AP 的解析式；(3)利用三角形面积公式由S △BOP ＝S △DOP 得PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，则可确定B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(0，245)，然后利用待定系数法确定直线BD 的解析式．解：(1)∵S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，∴12×OA ×2＋12×2×2＝12，∴OA ＝10，∴A 点坐标为(－10，0)．∵S △AOP ＝12×10×m ＝12，∴m ＝125；(2)设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－10，0)，C (0，2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－10k ＋b ＝0，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝2，∴直线AP 的解析式为y ＝15x ＋2；(3)∵S △BOP ＝S △DOP ，∴PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，∴B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，245.设直线BD 的解析式为y ＝k ′x＋b ′，把B (4，0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，245代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ′＋b ′＝0，b ′＝245，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－65，b ′＝245，∴直线BD 的解析式为y ＝－65x ＋245.三、板书设计1．待定系数法的定义2．用待定系数法求一次函数解析式教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长．。
19.2.2一次函数的定义(教案)
4.交流与表达：训练学生运用数学语言准确描述一次函数的相关概念，学会与他人进行有效交流，增强合作意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-一次函数的定义：准确理解y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式，并能够识别一次函数的一般形式。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数的定义》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体的速度随时间变化的情况？”（如骑自行车时速度的变化）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
2.教学难点
-难点一：理解斜率k的意义及其对图像的影响。
-学生可能难以理解斜率的几何意义，需要通过直观的图像和实际例子来加深理解。
-举例：使用倾理解截距b在图像上的表示。
-学生可能会混淆截距与x轴的交点，需要明确截距是y轴的交点。
-举例：在坐标系中画出不同截距的直线，让学生指出截距的具体位置。
19.2.2一次函数的定义（教案）
一、教学内容
本节课我们将深入探讨人教版八年级数学下册第十九章第二节的内容——19.2.2一次函数的定义。教学内容主要包括以下三个方面：
1.一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，称为一次函数。
2.一次函数的图像：在平面直角坐标系中，一次函数的图像是一条直线。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对一次函数的定义和图像有了基本的理解，但在斜率和截距的概念上还存在一些困惑。我尝试通过生活中的实例和直观的图像来帮助他们，效果似乎还不错。不过，我也意识到，对于这部分难点的处理，可能还需要更多的实践和反复的讲解。
2020版八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)教案(新版)
19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义.过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二、探究归纳活动1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________.(2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是________.答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-32.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系?提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解.3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.(2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值.活动2:例题讲解【例1】利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解.解:(1)原方程可化为0.5x-4=0.画出一次函数y=0.5x-4的图象,由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0),所以方程0.5x-3=1的解为x=8.(2)原方程可化为2x-6=0.画出一次函数y=2x-6的图象,由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以方程3x-2=x+4的解为x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了______ h.(2)求线段DE对应的函数解析式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析:(1)根据图象中点C,点D的横坐标求出轿车在途中停留的时间.(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象得出D点坐标(2.5,80),与E点坐标(4.5,300),代入y=kx+b列方程组求解.(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.解:(1)CD平行于x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为C,D两点横坐标的差,2.5-2=0.5(小时).(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象可得在线段DE上,D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得解得所以线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.∵A点坐标为(5,300),代入解析式y=ax得300=5a,解得a=60,故y=60x,当60x=110x-195时,解得x=3.9,故3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系.(2)列出函数关系式.(3)利用函数与方程的关系求解.(4)验证所求的解是否符合题意,并作答.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系.能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为 ()A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是()A.x=2B.x=4C.x=8D.x=103.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()4.如图,直线y=kx+b分别交x轴,y轴于点A,B,则关于x的方程kx+b=0的解为()A.x=-2B.x=0C.x=2D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是()6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为()A.20千克B.30千克C.40千克D.50千克7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程是2x+b=0的解是x=________.8.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.(1)求出y与x的函数关系式.(2)已知某山的海拔高度为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决.。
八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数19.2.2.1一次函数的概念课件(新版)新人教版
知识点二 一次函数的图象和性质 3.(2016湖南湘西中考)一次函数y=-2x+3的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C ∵k=-2<0, ∴一次函数y=-2x+3的图象必过第二、四象限, ∵b=3, ∴函数图象交y轴于正半轴, ∴函数图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 故选C.
题型一 一次函数定义的运用 例1 已知函数y=(k-2) xk23 +b+1是一次函数,求k和b的取值范围.
分析 若两个变量x和y的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的 形式,则称y是x的一次函数,所以满足函数y=(k-2) xk23 +b+1是一次函数的 条件是k2-3=1,且k-2≠0. 解析 根据题意,得k2-3=1,且k-2≠0,解得k=-2, ∴k=-2,b是任意实数. 点拨 根据一次函数求待定字母的值时,要注意:(1)函数的解析式是自 变量的一次式,若含有一次以上的项,则其系数必为0;(2)注意隐含条件: 自变量(一次项)的系数不为0.
选项A中,函数图象经过第一、二、三象限,则3mm0,
0,
∴
m m
0, 3,
即0<m<3;
选项B中,函数图象经过第一、三象限和原点,则
m 0, 3 m
0,
∴m=3;
选项C中,函数图象经过第二、三、四象限,则3mm0,
0,
∴
m m
易错点二 忽视正比例函数是一次函数的特例 例2 已知一次函数y=2x+m的图象不经过第二象限,求m的取值范围. 正解 ∵k=2>0,∴图象必过第一、三象限. 当m<0时,图象过第一、三、四象限; 当m=0时,图象过原点及第一、三象限. ∴m≤0. 错解 ∵k=2>0,∴图象必过第一、三象限.当m>0时,图象过第一、二、 三象限;当m<0时,图象过第一、三、四象限.所以m<0. 错解辨析 本题易漏掉m=0这种情况.当m=0时,函数是正比例函数,正比 例函数是一种特殊的一次函数.
八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.
第1课时 一次函的概念
知识点1
知识要点基础练
知识点2
知识点1
知识要点基础练
知识点2
比例函数与一次函数的关系
3.下列说法不正确的是( D ) A.一次函数不一定是正比例函数 B.不是一次函数就一定不是正比例函数 C.正比例函数是特殊的一次函数 D.不是正比例函数就一定不是一次函数 4.若 y=( m-1 )������������2+n 是一次函数,则 m= -1 ,若 y=( m-1 )������������2+n 是正比例函数, 则 m= -1 ,n= 0 .
综合能力提升练
综合能力提升练
9.已知y=( k-1 )x|k|+k2-4是一次函数,求( 3k+2 )2018的值. 解:由题意得|k|=1且k-1≠0,解得k=-1, 则( 3k+2 )2018=1. 10.红星机械厂有煤80吨,每天需烧煤5吨,求工厂余煤量y( 吨 )与烧煤天数x( 天 )之间 的函数解析式,指出y是不是x的一次函数,并求自变量x的取值范围. 解:由题意得y=80-5x,即y=-5x+80,该函数属于一次函数. 因为y≥0,所以-5x+80≥0,解得x≤16, 又因为x≥0,所以x的取值范围为0≤x≤16.
2019年春八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第1
第1课时一次函数的概念知识要点基础练知识点1一次函数的概念1.下列函数中,是一次函数的是(B)A.y=+2B.y=-2xC.y=x2+1D.y=ax+a(a是常数)2.若y=(m-5)x+2是一次函数,则(C)A.m=5B.m=-5C.m≠5D.m≠-5【变式拓展】y=(m-1)x|m|+3m表示一次函数,则m等于(B) A.1 B.-1C.0或-1D.1或-1知识点2正比例函数与一次函数的关系3.下列说法不正确的是(D)A.一次函数不一定是正比例函数B.不是一次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数4.若y=(m-1)+n是一次函数,则m=-1,若y=(m-1)+n是正比例函数,则m=-1,n=0.综合能力提升练5.下列函数关系不是一次函数的是(C)A.汽车以120 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与时间t(h)之间的关系B.等腰三角形顶角y与底角x间的关系C.高为4 cm的圆锥体积y(cm3)与底面半径x(cm)的关系D.一棵树现在高50 cm,每月长高3 cm,x个月后这棵树的高度y(cm)与生长月数x(月)之间的关系6.下列函数关系式:①y=2x;②y=2x+11;③y=3-x;④y=.其中一次函数的个数是(C)A.1B.2C.3D.47.已知y=(k-2)x|k|-1+2k-3是关于x的一次函数,则这个函数的解析式为y=-4x-7.8.新定义:[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c(a,b,c为实数)的“关联数”.若“关联数”为[m-2,m,1]的函数为一次函数,则m的值为2.9.已知y=(k-1)x|k|+k2-4是一次函数,求(3k+2)2018的值.解:由题意得|k|=1且k-1≠0,解得k=-1,则(3k+2)2018=1.10.红星机械厂有煤80吨,每天需烧煤5吨,求工厂余煤量y(吨)与烧煤天数x(天)之间的函数解析式,指出y是不是x的一次函数,并求自变量x的取值范围.解:由题意得y=80-5x,即y=-5x+80,该函数属于一次函数.因为y≥0,所以-5x+80≥0,解得x≤16,又因为x≥0,所以x的取值范围为0≤x≤16.11.已知函数y=x3-|m|+m+2.(1)当m为何值时,y是x的一次函数?(2)当m为何值时,y是x的正比例函数?解:(1)由y=x3-|m|+m+2是一次函数,得3-|m|=1,解得m=2或m=-2.(2)由y=x3-|m|+m+2是正比例函数,得3-|m|=1且m+2=0,解得m=-2.拓展探究突破练12.已知4y+3m与2x-5n成正比例.求证:y是x的一次函数.证明:由题意,得4y+3m=k(2x-5n),整理得y=x-.∵k≠0,为常数,∴y是x的一次函数.。