空间几何体 课时训练2
空间几何体课时同步练及答案
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10.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图，点 B′在 x′轴上，A′O′ 与 x′轴垂直，且 A′O′＝2，则△AOB 的边 OB 上的高为________。
解析 设△AOB 的边 OB 上的高为 h，由直观图中边 O′B′与原图形中边 OB 的长度相等，及 S 原图＝2 2S 直观图，得21OB×h＝2 2×12×A′O′×O′B′，则 h＝4 2。 故△AOB 的边 OB 上的高为 4 2。
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夯实基础练
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一、选择题 1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( ) A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x′轴，长度不变 B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y′轴，长度变为原来的 1 2 C．在画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 x′O′y′时，∠x′O′y′必须是 45° D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
答案 C
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4.如图所示，已知 A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所表示的平面图形是 ()
A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
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解析 将题图还原后，A′B′对应的线段 AB 与 B′C′对应的线段 BC 互相垂直， 如图所示，所以原来的平面图形为直角三角形。故选 C。
答案 2
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三、解答题 12．用斜二测画法画一个上底面边长为 1 cm，下底面边长为 2 cm，高(两 底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为 2 cm 的正四棱台。
解 (1)画轴。如图①所示，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第一章 空间几何体 2 含解析
第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。
课时作业——空间几何体(高三一轮复习)
数字 N
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6．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为 BC 上一点，则三棱锥 B1-AC1E 的体积为( D )
1 A.2
B．13
1 C.4
D．16
数字 N
— 10 —
解析 如图，由于 ABCD-A1B1C1D1 为正方体，显然 AB 为 A 到平面 EB1C1 的距离， 所以 VB1-AC1E＝VA-EB1C1＝13S△EB1C1·AB＝13×12×1×1×1＝16，故选 D.
数字 N
— 20 —
解析 由题意可知，玉琮是由上下两个圆柱和中间一个正方体组合成的几何体挖
去中间一个圆柱而形成的组合体，其中上下圆柱的体积为 V1＝π×a22×(h－a)，正方 体的体积为 V2＝a3，挖去圆柱的体积为 V3＝π×d22×h，
则玉琮的体积为 V＝V1＋V2－V3＝π×a22×(h－a)＋a3－π×d22×h＝πa2h4－a＋ a3－πd42h.
ABC，斜边为 AC，过 B 作 BD⊥AC，由题意知，三角形的斜边 AC＝ 22＋2 32＝4，
斜边上的高 BD＝2×42 3＝ 3，则圆锥底面圆的半径为 3，两个圆锥的母线长分别
为 2 和 2 3，故旋转体表面积为12×2π× 3×(2＋2 3)＝(2 3＋6)π.
数字 N
— 13 —
8．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M，N，若线段 MN 的最 大值为 3＋1，则( ACD )
数字 N
— 26 —
设重叠后的 EG 与 FH 交点为 I， 则 VI-BCDA＝13×3 3×3 3×32＝227，VAFD-BHC＝12×3 3×32×3 3＝841， 则该几何体的体积为 V＝2VAFD-BHC－VI-BCDA＝2×841－227＝27.
人教B版必修二：第一章-立体几何初步-课时作业【2.】及答案
人教B版必修二：第一章-立体几何初步-课时作业【2.】及答案一、选择题1．棱柱的侧面都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形【解析】由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．【答案】 B2．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解析】三棱锥的侧面和底面均是三角形．【答案】 A3．四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．【答案】 C图1－1－174．如图1－1－17，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【解析】由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体，所以要使结论成立，只需A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1 AC 便可．经验证C 选项正确．【答案】 C5．(2013·郑州高一检测)观察如图1－1－18的四个几何体，其中判断不正确的是( )图1－1－18A ．①是棱柱B ．②不是棱锥C ．③不是棱锥D ．④是棱台【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误．【答案】 B 二、填空题图1－1－196．在如图1－1－19所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC 所得的几何体是________．【解析】此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．【答案】四棱锥7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．【答案】5698．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成______个三角形．【解析】用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共4个三角形．【答案】 4三、解答题9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【解】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．10．如图1－1－20，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC 的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？图1－1－20【解】(1)三棱锥．(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．11．如图1－1－21，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－21【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.。
精品高三数学课时练：空间几何体的表面积与体积
第2讲 空间几何体的表面积与体积A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )．A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3. 答案 D2．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A.92π＋12 B.92π＋18C ．9π＋42D ．36π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18. 答案 B3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )．A ．48B ．64C ．80D ．120解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△P AB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △P AB ＝4×12×8×5＝80(cm 2)． 答案 C4．(2012·新课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )．A.26B.36C.23D.22解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝12SA＝32，则△ABD的面积为12×1×AD2－⎝⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于________．解析将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC 为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π.答案4π6．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.解析由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为32的球，其体积为6×3×1＋2×43×π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝18＋9π(m3)．答案18＋9π三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)， 体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10 (cm 3)．8．(13分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，求CP ＋P A 1的最小值． 解 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A 1BC 1、平面BCC 1，如图所示．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．CP ＋P A 1≥A 1C .在△AC 1C 中，由余弦定理，得 A 1C ＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52， 故(CP ＋P A 1)min ＝5 2.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2cm 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2cm 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋π2cm 2 解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝94＋π2.答案 C2．(2013·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )．A.312 B.34 C.612D.64解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．解析借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4 3.答案12＋4 34．(2012·长春二模)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．解析设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的16，即为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为33，由勾股定理可知，截面圆的半径为(33)2－(3)2＝26，圆锥底面面积为S1＝π·(26)2＝24π，圆锥的母线即为球的半径33，圆锥的侧面积为S2＝π×26×33＝182π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝182π＋24π＝(182＋24)π.答案(182＋24)π三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·杭州模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解 由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.6．(13分)如图(a)，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图(b)所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为42 3.。
空间几何体课时同步练及答案
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夯实基础练
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一、选择题 1．如图，关于下列几何体，说法正确的是( )
A．图①是圆柱 C．图④和图⑤是圆台
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B．图②和图③是圆锥 D．图⑤是圆台
解析 ①④中的几何体两底面不平行，排除选项 A，C；②③中的几何体 顶点与底面圆心的连线不垂直于底面，排除选项 B。故选 D。
的底面圆周上 A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A，则蚂蚁爬行的最短路
程长为( )
A．4 cm
B．4 2 cm
C．2π cm
D．π cm
解析 由题意知，底面圆的直径为 2 cm，故底面周长等于 2π cm。设圆锥 的侧面展开后的扇形圆心角为 n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长，得 2π ＝41π8n0，解得 n＝90，所以展开后的扇形圆心角为 90°，所以最短路程为 42＋42 ＝4 2(cm)。故选 B。
第一部分 课时同步练 第一章 空间几何体
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1．1 空间几何体的结构 课时练2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
夯实基础练 对接名校练
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作业 目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知 道这四种几何体的结构特征，能够识别 和区分这些几何体。 2．了解柱体、锥体、台体之间的关系。
答案 B
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6．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能
是( )
A．圆锥
B．圆柱
C．球
D．棱柱
解析 因为棱柱的底面都是多边形，所以用一个平面去截一个几何体，得 到的截面是圆面，这个几何体不可能是棱柱。
答案 D
2015年高考数学一轮复习课时训练第2节 空间几何体的表面积和体积
第2节空间几何体的表面积和体积课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥体积是( B )(A)8 (B)(C)4 (D)解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的高为2,体积为V=×4×2=,故选B.2.(2013陕西宝鸡市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于( A )(A)1 (B)(C)(D)解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为,高为1,所以该三棱柱的体积V=×××1=1.故选A.3.(2013西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为( B )(A)π(B)π(C)π(D)π解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,所以这个容器的容积为V=π×12×2+×π×12×1=,故选B.4.(2013兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( C )(A) (B)8-(C)8-(D)8-2π解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积为V=23-×π×12×2=8-,故选C.5.(2012年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得组合体的体积为30π,故选C.6.(2013梅州市高三质检)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为( A )(A)29π(B)30π(C)π(D)216π解析:如图,由题中三视图知三棱锥直观图为D1ACD.其中D1D,AD,DC两两垂直,则其外接球直径2R==.则外接球表面积为S=4π·2=29π,故选A.二、填空题7.(2013年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2= .解析:==··=×××=.答案:1∶248.(2013天津市一中月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分,并且可知该几何体是一个高为6,底面半径为1的圆柱体的一半,则知所求几何体体积为×π×12×6=3π.答案:3π9.(2013山西师大附中模拟)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为.解析:由三视图知,该几何体是由两个完全相同的正四棱锥组合在一起的.因为正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60°的菱形,所以菱形的边长为1,即正四棱锥的底面边长为1,侧面的斜高为1. 因此,这个几何体的表面积为S=×1×1×8=4.答案:410.(2013广东六校第三次联考)有一个各棱长均为1的正四棱锥,想用一张正方形包装纸将其完全包住,不能剪裁,可以折叠,那么包装纸的最小面积为.解析:这是一个折叠与展开的问题,将展开平铺后的正四棱锥放在正方形的纸上,当正四棱锥的顶点和正方形的顶点重合(如图所示)时,纸的面积最小.此时,设正方形的边长为a,由余弦定理a2=12+12-2cos 150°=2+,2=2+.故S答案:2+三、解答题11.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q A1D1P的组合体.由PA=,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2),体积V=23+×()2×2=10(cm3).12.(2013山东潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,求该球的表面积.解:如图所示该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥C1ABCD.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,=2R,则球的直径为AC所以球的半径为R=2,所以球的表面积是4πR2=4π×(2)2=48π.13.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π,h==,V=πr2h=.B组14.(2013大连市一模)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92 m2,则h等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是2××4+(2+4+5+)h=92,即16h=64,解得h=4.故选C.15.(2013潍坊市一模)已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为.解析:圆柱的底面直径与母线长均为2,所以球的直径===2,即球半径为,所以球的表面积为4π×()2=8π.答案:8π16.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EF⊥A′C;(2)求三棱锥F A′BC的体积.(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,∴EF⊥AC,在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,又A′C⊂平面A′EC,∴EF⊥A′C.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,∴S △FBC =BC ·EC=4,∵A ′O ⊥平面BCEF,∴A ′O ⊥EC,又∵O 为EC 的中点,∴△A ′EC 为正三角形,边长为2, ∴A ′O=, ∴==S △FBC ·A ′O=×4×=.。
1.3空间几何体的表面积与体积课时练(人教A版必修2)
§1．3 空间几何体的表面积与体积1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ．一、选择题 1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3．9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．三、解答题 10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．能力提升12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23313．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh ．§1．3 空间几何体的表面积与体积1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积答案知识梳理1．πr 2 2πrl πr 2 πrl πr(r ＋l) πr ′2 πr 2 π(r ′＋r)l π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl)2．(1)Sh (2)13Sh作业设计1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．]3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2,12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．] 7．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和， 即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3． 8．288π或192π解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π(cm 3)． 9．8 0003cm 3解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S ＝400，高h ＝20，V ＝13Sh ＝8 0003 cm 3．10．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)． 故圆台的表面积为1 100π cm 2．h ＝AB 2－(OB －O 1A )2＝202－102＝103，V ＝13πh(r 21＋r 1r 2＋r 22) ＝13π×103×(102＋10×20＋202)＝7 00033π (cm 3)． 即圆台的表面积为1 100π cm 2，体积为7 00033π cm 3．11．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连接OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17， 所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817．12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233．]13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1． 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．1．3．2 球的体积和表面积1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝________． 一、选择题1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )A ．6π6B ．π2C ．2π2D ．3ππ2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍C ．2倍D ．32倍3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3C．1∶3 3 D．1∶94．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为()A．1∶2∶3 B．1∶2∶ 3C．1∶22∶3 3 D．1∶4∶75．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()A．25πB．50πC．125πD．以上都不对6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为()A．4∶9 B．9∶4C．4∶27 D．27∶4二、填空题7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．能力提升12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A ．以上四个图形都是正确的B ．只有(2)(4)是正确的C ．只有(4)是错误的D ．只有(1)(2)是正确的13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．1．3．2 球的体积和表面积 答案知识梳理1．4πR 2 4 2．43πR 3作业设计1．A [先由面积相等得到棱长a 和半径r 的关系a ＝6π3r ，再由体积公式求得体积比为6π6．] 2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．] 3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a ，外接球的直径等于3a ．]4．C [由表面积之比得到半径之比为r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，从而得体积之比为V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶33．]5．B [外接球的直径2R ＝长方体的体对角线＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别是长、宽、高)．]6．A [设球半径为r ，圆锥的高为h ，则13π(3r)2h ＝43πr 3，可得h ∶r ＝4∶9．]7．4解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR 地球＝8，故R 地球＝4π(万里)，所以火星的半径为2π万里，其大圆的周长为4万里．8．3 cm解析 设球的半径为r ，则36π＝43πr 3，可得r ＝3 cm ．9．(1)球 (2)球解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为r ．(1)当6a 2＝4πr 2时，V 球＝43πr 3＝6πa 3>a 3＝V 正方体；(2)当a 3＝43πr 3时，S 球＝4πr 2＝63π6a 2<6a 2＝S 正方体．10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ．依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时， 制造的杯子最省材料．11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h)2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r ．即容器中水的深度为315r ．12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．] 13．解 设正方体的棱长为a ．如图所示． ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2．③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2． 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．。
高中数学人教课标实验A版必修2第一章《空间几何体》同步练习(附答案)
r 2 2r 4 3
3
2(r 2 1) 2 1 48
∴ r 2 1 ， r 1 时， V max
2
4
2
12
例 8 球、正方体、等边圆柱（轴截面为正方形，即 l 2r ）等边圆锥（轴截
面为正 ， l 2r ）体积相等，则表面积的大小关系． 解：
设体积为 V，正方体棱长为 a ，圆柱底面半径为 r1 ，圆锥底面半径为 r2 ，球 半径为 r3
V3
3
4
∴ S3 S1 S2 S4
例 9 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相 切，第三个球过这个正方体的各个顶点．
（1）求这个三个球的表面积之比 （2）求这个三个球的体积之比 解：
（1）
① 2r
a, r
a 2 , S1
a2
② 2r
2a, r
2 a , S2
2 a2
2
③ 2r
解： 主要研究长方体的表面展开图
（1）沿 B1C1， C1D1 ， D1A1 展开， AC1
32 32 3 2
（2）沿 BB1，B1C1，C1C 展开， AC1 1 52
26
（3）沿 BC ,C1C , C1B1展开， AC1 22 42 2 5 ∴ AC1 最小为 2
例 11 正四棱台两底面面积分别为 25cm2 ,49cm 2 ，侧棱长为 3 2cm，求这个 棱台的体积，表面积以及截得这个棱台的原棱锥的高．
．
解： Va 1 b 2 a 3
Vb 1 a 2b 3
Vc
1 (
ab
)2
3
a2 b2
a2 b2
3
a 2b2 a2 b2
Vb Va
高三数学二轮复习 专题5 立体几何课时训练 理 新人教版(2)
专题五 立体几何第1讲 空间几何体1．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的体积为( )A ．36πB ．12πC ．43πD ．4π2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ) A. 3 B ．2C ．2 3D ．63．(2010年唐山一中质检)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.24a 2 B ．22a 2 C.22a 2 D.2a 2 5．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积为12πRH 时，圆柱的母线长为( ) A.H 5 B.H 4 C.H 3 D.H26．(2010年河南开封调研)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体的体积的最大值为( )A.38a 3B.28a 3 C.18a 3 D.112a 3 7．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中真命题的编号是______(写出所有真命题的编号)．8．如图所示两组立体图形都是由相同的小正方体拼成的．(1)图(1)的正(主)视图与图(2)的________相同．(2)图(3)的________图与图(4)的________图不同．9．(2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____________．10．如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？11．(2010年高考陕西卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.12．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E.判断DE是否平行于平面AB1C1？并证明你的结论．第2讲点、直线、平面之间的位置关系1．(2009年高考湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4C．5 D．62.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不．一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β3．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b4．(2010年包头市质检)设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不．正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC5．如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( ) A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不．成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与平面AB1的位置关系是________．8．(2010年山西长治二中模拟)在正三棱锥P－ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列三个结论：①AC⊥PB，②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.则所有正确结论的序号是________．9．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：AC⊥平面PBD.11．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.12．(2010年河南洛阳调研)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线长为25，设这条最短路线与CC1的交点为D.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；(3)证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1.第3讲 空间向量与立体几何1．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，且DF →＝αAB →＋βAC →，则( )A.α＝12，β＝－1 B ．α＝－12，β＝1 C ．α＝1，β＝－12 D ．α＝－1，β＝122．(2010年山东曲阜市调研)已知平面α内有一个点M (1，－1，2)，它的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．垂直D ．不能确定4．(2009年高考江西卷)如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的为( )A ．O －ABC 是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45°D ．二面角D －OB －A 为45°5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.1127．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________.8．在一直角坐标系中已知A (－1,6)，B (3，－8)，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A 、B 两点间的距离为________．9．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A —BD —C ，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中正确的序号是________．(写出你认为正确的结论的序号)10．(2010年高考湖南卷)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F 分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，AB⊥平面BB1C1C.(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值；(2)在棱CC1(不包括端点C、C1)上确定一点E的位置，使EA⊥EB1(要求说明理由)；(3)在(2)的条件下，若AB＝2，求二面角A－EB1－A1的大小．专题五第1讲空间几何体1．【解析】选C.直线kx－y－1＝0过圆x2＋(y＋1)2＝3的圆心(0，－1)，故所得几何体是半径为3的球，其体积为4 3π(3)3＝43π，故选C.2．【解析】选D.由正视图还原实物图知，该几何体的高是1，底面边长是2的正三棱柱，S侧＝2×1×3＝6.3．【解析】选C.设正四棱柱的底面边长为a，球半径为R，则⎩⎨⎧2R2＝16＋2a2a2·4＝16，解得a＝2，R2＝6，∴球的表面积S＝4πR2＝24π.4．【解析】选B.根据斜二测画法画平面图形直观图的规则，可以得出原图的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，又因为直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于a224＝22a2.5．【解析】选D.设圆柱的母线长为x，底面半径为r，由rR＝H－xH，得r＝R－RH·x，那么圆柱的侧面积S＝2πrx＝2πx(R－RH·x)＝－2πRH·x2＋2πRx，则－2πRH·x2＋2πRx＝12πRH⇒(2x－H)2＝0⇒x＝H2.故所求圆柱的母线长为H2.6．【解析】选C.法一：设三棱锥另一棱长BC＝x，如图所示，取BC的中点E，连结AE、DE，易证BC垂直于平面ADE，故V A－BCD＝13S△ADE·BE＋13S△ADE·EC＝13S△ADE·BC＝13·12·a·3a2－x22x＝a12x23a2－x2≤a12·x2＋3a2－x22＝a38，当且仅当x2＝(3a2－x2)⇒x＝62a时取得等号．法二：如图，底ABD是固定的，当C运动时，显然当平面CAD⊥平面ABD时高最大，体积最大，V max ＝13·(34a 2)·32a ＝a 38.7．【解析】①错，必须是两个相邻的侧面．②正确．③错，反例，可以是一个斜四棱锥．④正确，对角钱两两相等，则此两条对角线组成的平行四边形为矩形，故正确答案为②④.【答案】②④ 8．【解析】对于第一组的两个立体图形，图(1)的正(主)视图与图(2)的俯视图相同． 对于第二组的两个立体图形，图(3)的正(主)视图与图(4)的正(主)视图不同，而侧(左)视图和俯视图都是相同的．【答案】(1)俯视图 (2)正视 正视 9．【解析】该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正四棱柱的组合体，其体积为V ＝1×1×2＋13×22×1＝103.【答案】10310．【解】如图，由题意知，轴截面PAB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r ，水面半径为3r ，容器内水的体积是V ＝V 圆锥－V 球＝π3(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3.将球取出后，设容器中水的深度为h ，则水面半径为33h . 此时容器内水的体积为V ′＝π3(33h )2·h ＝π9h 3.由V ′＝V ，得h ＝315 r .即铁球取出后水深为315 r . 11．【解】(1)证明：在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . ∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD .∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)连结AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2，∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22.∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.12．【解】(1)几何体的直观图如图．BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝1，AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且垂直于底面BB 1C 1C .∴其体积V ＝12×1×3×3＝32.(2)证明∵∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥AC .∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BC ⊥CC 1. ∵AC ∩CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，∴BC ⊥A 1C .∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥A 1C . ∵四边形ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.∵B 1C 1∩AC 1＝C 1∴A 1C ⊥平面AB 1C 1. (3)当E 为棱AB 的中点时， DE ∥平面AB 1C 1.证明：如图，取BB 1的中点F ，连结EF ，FD ，DE ， ∵D ，E ，F 分别为CC 1，AB ，BB 1的中点， ∴EF ∥AB 1.∵AB 1⊂平面AB 1C 1，EF ⊄平面AB 1C 1， ∴EF ∥平面AB 1C 1.∵FD ∥B 1C 1，∴FD ∥面AB 1C 1，又EF ∩FD ＝F ，∴面DEF ∥面AB 1C 1. 而DE ⊂面DEF ，∴DE ∥面AB 1C 1.第2讲 点、直线、平面之间的位置关系1．【解析】选C.如图，根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．2．【解析】选D.如图所示的正方体中，平面OCMN为平面β.平面AOB为平面α，此时AC与平面β不垂直．3．【解析】选C.A选项中，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以是异面、平行和相交，故A错误；B选项中，平面α与β还可以相交，故B错误；经判断可知，选项D 错误；选项C中，由面面垂直的判定定理可知正确．4．【解析】选D.注意审题是选不正确的选项，分别判断易知D选项中当四点构成空间四面体时，只能推出AD⊥BC，二者不一定相等，如图易证得直线BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.5．【解析】选B.当M，N重合时，四边形ACBD为平行四边形，故AC∥BD∥l，此时直线AC与l不可能相交，B正确，易知A，C，D均不正确．6．【解析】选C.∵D、F分别为AB、CA的中点，∴DF∥BC，∴BC∥平面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC.∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．又∵PO⊂平面PAE，PO⊥平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.7．【解析】∵MN⊥BC，∴MN∥BB1，而BB1⊂平面AB1，∴MN∥平面AB1.【答案】MN∥平面AB18．【解析】取AC 中点M ，连结PM ，易得AC ⊥PM ，AC ⊥BM ，所以AC ⊥平面PMB ，从而有AC ⊥PB ，①正确；AC ∥DE ，所以AC ∥平面PDE ，②正确；因为AB 与DE 不垂直，所以AB 与平面PDE 也不垂直，③不正确．【答案】①② 9．【解析】命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理，正确；命题③中在α内可以作无数条直线与l 垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂直，错误；命题④中直线l 与α垂直可推出l 与α内两条直线垂直，但l 与α内的两条直线垂直推不出直线l 与α垂直，所以直线l 与α垂直的必要不充分条件是l 与α内的两条直线垂直．【答案】①② 10．【证明】(1)设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点．又由题设E 为PC 的中点，故EH ∥PA .又EH ⊂平面BDE 且PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC .结合(1)易知DB ⊥AC . 又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD . 11．【解】(1)因为CD ∥平面PBO ，CD ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ，所以BO ∥CD ，又BC ∥AD ，所以四边形BCDO 为平行四边形，则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，故点O 的位置满足OD AD ＝13，即在AD 的13处且离D 点比较近． (2)【证明】因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，且AB ⊥交线AD ， 所以AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PD .又PA ⊥PD ，且PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB . 而PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD . 12．【解】(1)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点B 运动到点B 2的位置，连结A 1B 2，则A 1B 2就是由点B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线．设棱柱的棱长为a ，则B 2C ＝AC ＝AA 1＝a .∵CD ∥AA 1，∴D 为CC 1的中点．在Rt △A 1AB 2中，由勾股定理得A 1A 2＋AB 22＝A 1B 22，即a 2＋4a 2＝(25)2，解得a ＝2，∴S △ABC ＝34×22＝ 3.∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝2 3.(2)设A 1B 与AB 1的交点为O ，连结BB 2、OD ，则OD ∥BB 2. ∵BB 2⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC ， ∴OD ∥平面ABC ，即在平面A 1BD 内存在过点D 的直线与平面ABC 平行．(3)【证明】连结AD 、B 1D ，∵Rt △A 1C 1D ≌Rt △BCD ≌Rt △ACD ， ∴A 1D ＝BD ＝B 1D ＝AD . ∴OD ⊥A 1B ，OD ⊥AB 1.∵A 1B ∩AB 1＝O ，∴OD ⊥平面A 1ABB 1.又∵OD ⊂平面A 1BD ，∴平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1.第3讲 空间向量与立体几何1．【解析】选A.DF →＝DA →＋AF →＝DC →－AC →＋12(AB →＋AA 1→)＝12C 1C →－AC →＋12AB →＋12AA 1→＝12AB →－AC →，∴α＝12，β＝－1.2．【解析】选A.由于n ＝(6，－3,6)是平面α的一个法向量，所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直，只有在选项A 中，MP →＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，MP →·n ＝(1,4,1)·(6，－3,6)＝0，所以点P (2,3,3)在平面α内．3．【解析】选B.MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA → ＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋BC →＋23DA →， 又CD →是平面BB 1C 1C 的一个法向量， 且MN →·CD →＝(23B 1B →＋BC →＋23DA →)·CD →＝0，∴MN →⊥CD →，又MN ⊄面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 4．【解析】选B.由Rt △COB ≌Rt △COA ， ∴OB ＝OA .同理可证OB ＝OC ， ∴OA ＝OB ＝OC .又因△ABC 为正三角形，∴O －ABC 为正三棱锥．A 正确．将图补成正方体如图所示．显然选项C 、D 正确，B 错误．5．【解析】选B.以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)， A 1E →＝(0,1，－1)，D 1E →＝(1,1，－1)， EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝0.所以n ＝(0,1,1)，cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22×2＝－1.所以〈n ，EA →〉＝180°，所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 6．【解析】选B.以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP →|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.7．【解析】 λa ＋b ＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得42＋1－λ2＋λ2＝29. 又λ >0，解得λ＝3. 【答案】3 8．【解析】据条件作出折叠后图示，易由A 、B 两点坐标确定AC 、BD 、CD 的距离及AC 和BD 所成的角，则AC →、CD →、DB →即可看作空间向量的一组已知基底，用其表示出向量AB →.如图为折叠后的图形，其中AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， 则AC ＝6，BD ＝8，CD ＝4，两异面直线AC 、BD 所成的角为60°，故由AB →＝AC →＋CD →＋DB →， 得|AB →|2＝|AC →＋CD →＋DB →|2＝68， ∴|AB →|＝217. 【答案】217 9．【解析】取BD 中点O ，连结AO 、CO ， 则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴BD ⊥面AOC ，∴AC ⊥BD ，又AC ＝2AO ＝AD ＝CD ， ∴△ACD 是等边三角形．而∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角，应为45°. 又A C →＝A B →＋B D →＋D C →，设AB ＝a ， 则a 2＝a 2＋2a 2＋a 2＋2·a ·2a ·(－22)＋2a ·2a (－22)＋2a 2cos 〈A B →，D C →〉， ∴cos 〈A B →，D C →〉＝12，∴AB 与CD 所成角为60°.【答案】①②④ 10．【解】(1)因为C 1D 1∥B 1A 1，所以∠MA 1B 1为异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角． 因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，所以∠A 1B 1M ＝90°.而A 1B 1＝1，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2，故tan ∠MA 1B 1＝B 1MA 1B 1＝2， 即异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值为 2.(2)【证明】由A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，BM ⊂平面BCC 1B 1，得A 1B 1⊥BM .①由(1)知，B 1M ＝2，又BM ＝BC 2＋CM 2＝2，B 1B ＝2，所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M .②又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，再由①②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M .11．【解】以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)． 设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E (a ，a 2，0)，P (0,0，a )，F (a 2，a 2，a2)．EF →＝(－a 2，0，a 2)，DC →＝(0，a,0)．(1)证明：∵EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF →⊥DC →，∴EF ⊥CD .(2)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·a 2，a 2，a 2＝0，x ，y ，z ·a ，a2，0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2x ＋y ＋z ＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)，∴cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →|·|n |＝a 2a ·6＝36.∴DB 与平面DEF 所成角的正弦值为36. 12．【解】以B 为坐标原点，BC 、BB 1、BA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C 1(1,2,0)，B 1(0,2,0)．(1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC 的一个法向量为BB 1→＝(0,2,0)，又BC 1→＝(1,2,0)，设BC 1与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BB 1→，BC 1→〉|＝255，∴tan θ＝2，即直线C 1B 与底面ABC 所成角的正切值为2.(2)设E (1，y,0)，A (0,0，z )，则EB 1→＝(－1，2－y,0)，EA →＝(－1，－y ，z )，∵EA ⊥EB 1，∴EA →·EB 1→＝1－y (2－y )＝0， ∴y ＝1，即E (1,1,0)，∴E 为CC 1的中点．(3)由题知A (0,0，2)，则AE →＝(1,1，－2)，B 1E →＝(1，－1，0)，设平面AEB 1的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0n ·B 1E →＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋y 1－2z 1＝0x 1－y 1＝0，令x 1＝1，则n ＝(1,1，2)，21 ∵BE →＝(1,1,0)，∴BE →·B 1E →＝1－1＝0，∴BE ⊥B 1E ， 又BE ⊥A 1B 1，∴BE ⊥平面A 1B 1E ，∴平面A 1B 1E 的一个法向量为BE →＝(1,1,0)，∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝22， ∴二面角A －EB 1－A 1的大小为45°.。
人教版高中数学必修二1.2.2 空间几何体的三视图学案+课时训练
人教版高中数学必修二第1章空间几何体1.2.2空间几何体的三视图学案【要点梳理夯实基础】知识点1投影的概念阅读教材P11～P12第二行内容，完成下列问题．1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影[思考辨析学练结合]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形的平行投影一定是矩形．()(2)平行四边形的平行投影可能是正方形．()(3)两条相交直线的平行投影可能平行．()(4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．()【解析】利用平行投影的概念和性质进行判断．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√知识点2三视图阅读教材P12第三行～P14内容，完成下列问题．1．三视图的有关概念空间几何体的三视图是用正投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图.正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
规律：一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样。
2．三视图的画法(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线；(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图；(3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．3．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的主视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形．[思考辨析学练结合]1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台[解析][先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.][答案] D2. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)球的任何截面都是圆．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×3．下列命题中正确的是()A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．正方形的直观图是正方形[解析]B[用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；平行四边形的直观图是平行四边形；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；正方形的直观图是平行四边形，故选B.][答案]B【合作探究析疑解难】考点1 中心投影与平行投影[典例1]如图，点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________．(要求把可能的序号都填上)[点拨]利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断．[解答]其中(2)可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影．(3)可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影．[答案](2)(3)[解法总结]画投影图的关键及常用方法1．关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影．2．常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法．1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．图1-2-3①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．[解析]①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E ＝5，故四边形AGD′E不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．[答案]①③考点2 画空间几何体的三视图[典例2]画出下列几何体的三视图．(1)(2)(3)[点拨]确定正前方→画正视图→画侧视图→画俯视图[解答]三视图如图(1)(2)(3)所示．画三视图的注意事项1．务必做到长对正，宽相等，高平齐．2．三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．3．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．2．画出如图所示几何体的三视图.解：图①为正六棱柱，正视图和侧视图都是矩形，正视图中有两条竖线，侧视图中有一条竖线，俯视图是正六边形．图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图所示．考点3 由三视图还原空间几何体探究1如图是一个立体图形的三视图，请观察三视图，由三视图，你能知道该几何体是什么吗？并试着画出图形．[提示]由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．探究2若某空间几何体的正视图和侧视图均为正三角形，请探究该几何体的形状．[提示]若该几何体的正视图和侧视图均为正三角形，则该几何体为轴截面为等边三角形的圆锥，如图所示．[典例3]根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．[点拨]由正视图、侧视图确定几何体为锥体，再结合俯视图确定其是四棱锥，由俯视图可知其底面形状，再结合正视图、侧视图所给信息画直观图．[解答]由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；再由正视图和侧视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所示．[解法总结]由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状.3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？()[解析]由俯视图可知该几何体为旋转体，由正视图、侧视图、俯视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成．[答案] D【学习检测巩固提高】1．一条直线在平面上的正投影是()A．直线B．点C．线段D．直线或点[解析]当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置时其正投影均为直线，故选D.[答案] D2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是()A．长方体B．圆柱C．立方体D．圆锥[解析]俯视图是圆，所以为旋转体，可排除A、C，又正、侧视图为矩形，所以不是圆锥，排除D.故选B.[答案] B3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[解析][由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.][答案] A4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的正投影可能是()A．①②B．①④C．②③D．②④[解析][P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△P AC在上底面或下底面的投影为①，在前面、后面以及左面，右面的投影为④，故选B.][答案] B5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱[解析][由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．][答案] B6．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是______(填序号).①②③④[解析]①③④的正视图为长方形，②的正视图为等腰三角形．[答案]①③④7．一物体及其正视图如图所示：①②③④则它的侧视图与俯视图分别是图形中的________．[解析]侧视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视图为矩形中间有两条实线，且为上下方向，应选②.[答案]③②8．如图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．[解]该三视图表示的是一个四棱台，如图．[解题反思]已知三视图，判断几何体的技巧①一般情况下，根据主视图、俯视图确定是柱体、锥体还是组合体．②根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置．③综合三视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．④一定要熟记常见几何体的三视图！。
空间几何体课时同步练及答案
3．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可 能是( )
A
B
C
D
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解析 阳光可看作平行光线，所以树影可以看作平行投影。两棵小树的影 子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，所以 A，B 选项错误；在同 一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 C 选项错误。故选 D。
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解析 由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面。正视图中，长方体上 底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故 A 正 确，B 错；侧视图中矩形右上角的斜线应是虚线且线的比例不对，故 C 错；俯 视图中矩形右下角的斜线应是实线，故 D 错。
答案 A
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解 棱柱的底面是一个直角三角形，根据“长对正，高平齐，宽相等”的
x＋y－2＝8， x＋y＝10，
x＝7，
原则可知x－y＋5＝3y， 即x－4y＝－5， 解得y＝3。
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对接名校练
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14．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的 空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ入水池。类似地，有一 个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞， 则该几何体为( )
解析 根据平行投影和中心投影的概念，逐个进行判断。根据中心投影和 平行投影的特点可知①②③都是正确的，太阳光线形成的投影是平行投影。
答案 ①②③
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三、解答题 12.画出如图所示的几何体的三视图。
解 三视图如下图所示。
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13．如图所示是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组， 求出 x，y 的值。
空间几何体课时同步练及答案
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13．已知 a，b，c，d 是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线 a，b， c，d 共面。
证明 ①无三线共点情况，如图①所示，设 a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P， a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，因为 a∩d＝M，所以 a，d 可确定一个平面 α。
因为 N∈d，Q∈a，所以 N∈α，Q∈α， 所以 NQ⊂α，即 b⊂α。 同理 c⊂α，所以 a，b，c，d 共面。
解析 A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B 是平面的基本 性质公理；C 是平面的基本性质公理；D 是平面的基本性质公理。
答案 A
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6．空间四点 A、B、C、D 共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
解析 如图①②所示，选项 A、C、D 均不正确，只有选项 B 正确。
答案 B
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2．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析 画两个相交平面时，应画出两平面的交线，被遮住的部分用虚线表 示，能看见的部分用实线表示。
答案 D
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3．若点 Q 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 Q，b，β 之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β
答案 B
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7.如图所示，平面 α∩平面 β＝l，点 A，B∈α，点 C∈β，直线 AB∩l＝R， 设过 A，B，C 三点的平面为 γ，则 β∩γ＝( )
A．直线 AC C．直线 CR
B．直线 BC D．以上均不正确
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2016-2017学年北师大版必修二空间几何体的结构课时训练(含答案)
高一数学自助餐内容:空间几何体的结构自助学习 增强感悟 自我发展 不断提高1．设有四个命题，其中，真命题的个数是( )①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥； ③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台； ④侧面都是长方形的棱柱叫长方体． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 A2．三棱锥的四个面中可以作为底面的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 D3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是( )A ．圆锥B ．圆柱C ．球体D ．以上都可能 答案 D4．下列命题中错误的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面高一数学D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案 B5．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点答案 C6．下列说法中：①棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为三角形的面围成的几何体；②用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台；③以一个半圆的直径所在的直线为轴，旋转一周而成的几何体是球；④夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．不正确的序号是________．答案①②③④解析③应为球面而不是球．7．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案①③④⑤解析在正方体ABCD－A′B′C′D′中，①ACC1A1为矩形，②不存在，③四面体A′－ABD，④四面体A′－BC′D，⑤四面体A′－BB′C.8．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；其中正确说法的序号是________．答案①解析因为直径一定过球心，故②不对；用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，故③不对．9．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．10．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．答案 411．用一个平面截半径为25 cm的球，截面面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________ cm.答案2012．(1)观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有几对？(2)观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？答案(1)平行平面共有三对，任意一对平行平面都可以作为棱柱的底面．(2)平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面．13．如下图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于桌面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状是否形成棱柱体．答案形成棱柱体。
高中数学1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素课后训练新人教B版必修2(2021学年)
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1．1 构成空间几何体的基本元素课后训练１.下列叙述中,一定是平面的是( ）．A．一条直线平行移动形成的面Ｂ．三角形经过延展得到的面C.组成圆锥的面D.正方形围绕一条边旋转形成的面2.下面空间图形的画法中错误的是( )．３．下列说法正确的是( ).Ａ.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面必重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内Ｄ.三角形是平面图形４．如图，在正方体ABCD－Ａ１B1C1Ｄ1中，M,N,P，Q分别是线段Ｃ1D1，A1D１,BD1,BC的中点,给出下面四个命题:①ＭＮ∥平面APＣ；②B1Q∥平面AＤD1A１;③A,Ｐ，M三点共线；④平面MNQ∥平面ＡBCD.其中正确的序号为( ).A.①②B.①④C.②③D.③④５．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到下侧的平面图形,则标“△”的面的方位是( ）．Ａ.南Ｂ.北Ｃ．西Ｄ.下６.在长方体ＡBCD-Ａ1B1C１D1中（如图所示)，和棱Ａ1B1不相交的棱有__＿_＿＿＿___条．7．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是__＿_____＿_．８.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A,B,Ｃ为其上三点,则在正方体盒子中,∠AＢC等于____＿__＿__．９.如下图所示,画出(1),（2)中直线ｌ′围绕直线ｌ旋转一周形成的空间几何体．10.如图是边长为1 m的正方体,有一蜘蛛潜伏在A处,B处有一小虫被蜘蛛网粘住,请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线.ﻬ参考答案１.答案:B 直线平行移动可以形成平面或曲面，只有在方向不变的情况下才能得到平面．2。
专题8.2 空间几何体的表面积与体积(课时训练)(解析版)
专题8.2 空间几何体的表面积与体积课时训练【基础巩固】1.（一中2019届高三质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13D.14【答案】C【解析】由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13.2.（广西南宁二中2019届高三调研）已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．48 cm 3 B.78 cm 3 C ．88 cm 3 D ．98 cm 3【答案】D【解析】由三视图可知几何体为一个长方体截去一个角后剩余的几何体，所以其体积是6×3×6－13×12×4×5×3＝98(cm 3)．3.（海南中学2019届高三模拟）如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64【答案】A【解析】易知三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，又三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.4.（四川成都七中2019届高三模拟）已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A.83πB.323π C ．16π D ．32π 【答案】B【解析】设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π.5.在三棱锥P -ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝2，AB ＝AC ＝3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C ．8π D ．12π【答案】C【解析】)易知△ABC 是等边三角形．如图，作OM ⊥平面ABC ，其中M 为△ABC 的中心，且点O 满足OM ＝12PA ＝1，则点O 为三棱锥P -ABC 外接球的球心．于是，该外接球的半径R ＝OA ＝AM 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3×232＋12＝ 2.故该球的表面积S ＝4πR 2＝8π. 6.（云南昆明一中2019届高三调研）已知三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，PA ⊥PB ，则三棱锥P -ABC 的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C ．273π D ．27π【答案】B【解析】∵三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，∴△PAB ≌△PBC ≌△PAC .∵PA ⊥PB ，∴PA ⊥PC ，PC ⊥PB .以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P -ABC 的外接球．∵正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，∴其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P -ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝2732π.7.（甘肃兰州一中2019届高三调研）把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A ．10 3 cm B.10 cm C ．10 2 cm D ．30 cm 【答案】B【解析】依题意，在四棱锥S -ABCD 中，所有棱长均为20 cm ，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，则SO ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝10 2 cm ，易知点O 到AB ，BC ，CD ，AD 的距离均为10 cm ，在等腰三角形OAS 中，AO ＝SO ＝10 2 cm ，SA ＝20 cm ，所以O 到SA 的距离d ＝10 cm ，同理可证O 到SB ，SC ，SD 的距离也为10 cm ，所以球心为四棱锥底面ABCD 的中心O ，所以皮球的半径r ＝10 cm.8.（宁夏银川一中2019届高三模拟）古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米．已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛 B.420斛 C ．430斛D ．441斛【答案】D【解析】粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约441斛．【三年模拟】9.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4AA BC BAC π==∠=，则三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A ．123πB ．83πC ．63πD ．43π【答案】D【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，111A B C ∆的外接圆圆心为2O ， 球的球心为O ，因为三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直， 所以球的球心为12O O 的中点，且直线12O O 与上、下底面垂直，且12222sin4O C π==，11O O =，所以在1O Rt O C ∆中，123OC =+=，即球的半径为3，所以球的体积为34433R ππ=，故选D 。
空间几何体课时同步练及答案
4．如图所示的蒙古包可以看作是由________构成的几何体( )
A．三棱锥、圆锥 C．圆锥、圆柱
B．三棱锥、圆柱 D．圆锥、三棱柱
解析 上部分可看成圆锥，下部分是圆柱，故选 C。 答案 C
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5．将各选项中的三角形分别绕直线 l 旋转一周，其中能得到右图所示的几 何体的是( )
解析 由题中右图知，所得几何体是组合体，上、下各是一个圆锥，显然 B 正确。
解 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示。
设圆锥内接正方体的棱长为 x，则在轴截面中，正方体的对角面 A1ACC1 的 一组邻边的长分别为 x 和 2x。
因为△VA1C1∽△VMN，所以 22rx＝h－h x，所以 2hx＝2rh－2rx，解得 x＝
2rh 2r＋
2h，即圆锥内接正方体的棱长为2r＋2rh
A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱 C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱
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解析 易知螺母的结构特征是一个棱柱中挖去一个圆柱。故选 B。 答案 B
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2.如图所示的组合体，其结构特征是( )
A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
A
B
C
D
解析 内切球和三棱锥的四个面均切于各面的中心，而与各侧棱无公共点， 如图。故选 B。
答案 B
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二、填空题 9．如图所示的几何体的结构特征是______由__一__个__四__棱__锥__和__一__个__同_底 _____ ______的__四__棱__柱__拼_接 __，__又__在__四__棱__柱__中__挖__去__了__一__个__圆__柱__而__形__成__的______________。
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一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是()
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．
【答案】 B
2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】如图，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．
【答案】 D
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()
A．圆锥B．圆柱
C．球D．棱柱
【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．
【答案】 D
4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.
【答案】 B
5．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图1-1-21所示，则截面可能的图形是()
图1-1-21
A．①③B．②④
C．①②③D．②③④
【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.
【答案】 C
二、填空题
6．如图1-1-22是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.
图1-1-22
【解析】一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．【答案】圆柱
7．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．【解析】作轴截面如图，则
r 3＝6－4
6＝
1
3，
∴r＝1.
【答案】 1
三、解答题
8．指出如图1-1-23(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
图1-1-23
【解】图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合
体．
图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
9．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：
(1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长．
【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．
由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm)，
下底半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，
所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．
(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆
锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[自我挑战]
10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0.5
【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.
∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，
∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.
【答案】 B
11．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．
(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S; (2)当x 为何值时，S 最大？
【解】 (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r
＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．
(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，
∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。