18-19 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学案4：3.2.1 常数与幂函数的导数-3.2.2 导数公式表
3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学习目标：1．能利用导数的定义推导函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数，能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数．2．通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，掌握利用导数公式求函数导数的方法． 学习重点：常数函数、幂函数的导数．学习难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 学习过程：知能自主梳理：一、基本初等函数的求导公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 二、例题讲解例1：求下列函数的导数(1)y ＝x 3；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x 2； (4)y ＝1x 2.例2：求双曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线方程．例3：求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，22且与在这点处的切线垂直的直线方程． 变式应用：求曲线y ＝cos x 在点A (π6，32)处的切线方程．课堂巩固训练：1．函数f (x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)等于 () A ．0 B ．－13C ．3 D.133．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.1eD ．－1e 4．曲线y ＝cos x 在点P (π3，12)处的切线的斜率为____________．5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于____________．6．求曲线y ＝ln x 在x ＝e 2处的切线方程．参考答案学习过程：二、例题讲解例1：解：(1)y ′＝3x 2.(2)y ＝32x ，y ′＝3212x ＝32x . (3)∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x .(4)∵y ＝x －2，∴y ′＝－2x －3＝－2x3 例2：解：∵y ′＝(1x )′＝－1x 2，点(2，12)在双曲线y ＝1x上， ∴双曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率为y ′|x ＝2＝－122＝－14， 由直线方程的点斜式，得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即y ＝－14x ＋1. 例3：解：∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .∴y ′|x ＝π4＝cos π4＝22. ∴经过这点的切线的斜率为22，从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2. ∴由点斜式得适合题意的直线方程为y －22＝－2(x －π4)，即2x ＋y －22－24π＝0. 变式应用：解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x .y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴k ＝－12. ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12(x －π6)． 即6x ＋12y －63－π＝0.课堂巩固训练：1．【答案】A【解析】常数函数的导数为0.2．【解析】∵f (x )＝3x ＝13x ，∴f ′(x )＝1323x ， ∴f ′(1)＝13.3．【解析】y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k＝1， ∴1k ＝e ，k ＝1e. 4．【解析】∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 5．【答案】36．解：∵y ＝ln x ，y ′＝1x， ∴y ′|x ＝e 2＝1e 2，∴在(e 2,2)处的切线方程为y －2＝1e 2(x －e 2)，即x －e 2y ＋e 2＝0.。
学案3：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学习目标1.能够由定义根据求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数；2.在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力.学习重点利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究；学习难点用从特殊到一般的规律来探究公式.学习过程例题讲解例1：求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数.例2：已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．课堂练习1．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③2．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) 3．给出下列函数(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ (2)y ＝(sin x )′＋cos x(3)y ＝sin x ＋(cos x )′ (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( )A ．1B ．2C ．3D ．44．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x2 D ．若y ＝x ，则y ′＝x 25．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不能确定6．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)的切线方程． 7．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．回顾总结布置作业参考答案：例题讲解例1：解：f ′(x )＝(1x )′＝(12x -)′＝－12112x -- ＝－1232x -＝－12x 3, ∴f ′(1)＝－12×1＝－12, ∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.例2：解：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，令x ＝2－x ，得f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8，即2f (x )－f (2－x )＝x 2＋4x －4，联立f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，得f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，f ′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.课堂练习1．【答案】C【解析】当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.2．【答案】D【解析】由(sin x )′＝cos x ＝12得x ＝2k π－π3或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )． 所以切点坐标为(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )． 3．【答案】C【解析】(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ∈[－2，2]．(2)y ＝(sin x )′＋cos x ＝2cos x ∈[－2,2]．(3)y ＝sin x ＋(cos x )′＝sin x －sin x ＝0.(4)y ＝(sin x )′·(cos x )′＝cos x ·(－sin x )＝－12sin2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 4．【答案】C【解析】∵(cos x )′＝－sin x ，(sin x )′＝cos x ，(x )′＝(x 12)′＝12·x 12－1＝12x ，∴A 、B 、D 均不正确．而⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －1)′＝－1×x －1－1＝－1x 2，故C 正确． 5．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，由(x 3)′＝3x 2得在(x 0，x 30)处的切线斜率为3x 20，由3x 20＝1得x 0＝±33，故切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，所以有2条． 6．解：∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，∴k ＝32. ∴切线方程为y －12＝32(x －π6)， 化简得63x －12y ＋6－3π＝0.7．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ln x ，12x ＝a x，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2)．。
19-20 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1 x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝C f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x u f′(x)＝ux u－1(x＞0，u≠0) f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a＞0，a≠1) f(x)＝e x f′(x)＝e xf (x )＝log a x f′(x )＝1x ln a (a ＞0，a ≠1，x ＞0)f (x )＝ln xf′(x )＝1x1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.] 2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12 C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x12)′＝12x 12－1＝12x，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________．42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x . [思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11. (2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x 的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.所以所求切线方程为 y －14＝(－1)()x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1， 而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 所以所求切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.2．(变条件)若函数改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1， 则由f′(a )＝1a ＝1，得a ＝1， 故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x ，则f′(x )＝x ·3x －1.( ) (3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x 2.( ) [提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3x ln 3. (3)× f′(x )＝－4x 2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36 B ．0 C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.]3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6. (3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x . (4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．课时分层作业(十七) 常数与幂函数的导数导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C ．19D ．13B [∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.] 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．0 B ．1e C ．1D ．eB [∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，则f ′(e)＝1e ，故选B.] 3．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4. ∴α＝－4.]4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A ．1e B ．－1e C ．－eD ．eD [y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝k x 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.]5．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0C [因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0.]6．已知函数f (x )＝x m －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 12 [∵f (x )＝x m －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎨⎧m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.] 7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(1,1) [因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率为k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1·k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．]8．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．21 [∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.]9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解] (1)因为y ′＝3x 2， 所以切线斜率k ＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3， 所以(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 所以x 1＝1，x 2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)． 10．若曲线y ＝x－12在点(a ，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a 的值．[解] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a－12)处的切线的斜率为k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a－12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0， 得x ＝3a .由题意知，a >0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝9，∴a ＝16.[能力提升练]1．设曲线y ＝x 在点(2，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．22B ．24C ．－2 2D ．2 2D [∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12＝12x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝122，由已知，得－a ＝－22，即a ＝22，故选D.]2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 020(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xA [f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，所以f 2 020(x )＝f 505×4(x )＝sin x ．]3．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．12log 2e [y ′＝1x ln 2＝1x ·log 2e ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝log 2e ，切线方程为y ＝(x －1)log 2e ，令x ＝0，得y ＝－log 2e ，令y ＝0，得x ＝1，因此所求三角形的面积S ＝12×1×log 2e ＝12log 2e.]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln x ，0＜x ＜1，，f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．112或－2 [由题意得 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x ≤0，1x ，0＜x ＜1，若 f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1a＝12或⎩⎨⎧a ≤0，3a 2＝12，解得a ＝112或a ＝－2.]5．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]如图，当曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P 到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e x)′＝e x，所以e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．由点到直线的距离公式，得最小距离为d＝|－1|2＝22.11/11。
高中数学第3章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学案新人教B版选修1_1
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表1．常数与幂函数的导数1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.]2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x ，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________． 42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x 2；(5)y ＝log 12x .[思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x－4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？ 提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动； 若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 所以所求切线方程为 y －14＝(－1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x，则f′(x )＝x ·3x －1.( )(3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x2.( )[提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3xln 3. (3)× f′(x )＝－4x2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36B ．0C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.] 3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e .] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x2x；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x6.(3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5xln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．。
2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件新人教B版选修1_1
x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)y′＝0. (2)∵y＝x15＝x－5， ∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－x56. (3)∵y＝ x2x＝x32. ∵y′＝(x32)′＝32x12＝32 x.
第三章 导数及其应用
3.2 导数的运算 3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.2 导数公式表
学习目标
核心素养
1.能根据定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，通过利用基本初等函数
y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公
的导数公式求简单函数 的导数的学习，提升学
式求简单函数的导数．(重点、难点) 生的数学运算素养.
1
f′(x)＝_x_
1．下列结论：
2
①(sin x)′＝cos x；②(x3)′＝x3；
③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x.
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个
C．2 个
D．3 个
C [∵②(x53)′＝53x23；③(log3x)＝xln1 3；∴②③错误，故选 C.]
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45.
(3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x35－1
＝35x－25＝ 5
3 5
. x2
(4)∵y＝2sin2xcos2x＝sin x，∴y′＝cos x. (5)y′＝(log12x)′＝ 1 1＝－xln1 2.
xln2
用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根 据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式.
合作探究 提素养
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表教学
3．2.1 常数与幂函数的导数3．2.2 导数公式表[学习目标] 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y ＝f (x )的导数？答：(1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． [预习导引]12x要点一 利用导数定义求函数的导数例1 用导数的定义求函数f (x )＝2014x 2的导数．解 f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－2014x 2x ＋Δx －x＝lim Δx →02014[x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2]－2014x 2Δx＝lim Δx →04028x ·Δx ＋Δx 2Δx ＝lim Δx →0 (4028x ＋2014Δx ) ＝4028x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n(n ∈N ＋)等也趋于0. (3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．解 y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 2＋a x ＋Δx ＋b －x 2＋ax ＋bΔx＝lim Δx →0x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋a ·Δx ＋Δx 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x .解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5xln5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据要解决问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4) y ′＝1x ln13＝－1x ln3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程． 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线(斜率均存在)斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A ．0B ．2x C ．6D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36B ．0C.12x D.32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3．f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.103 答案 D解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.1.利用基本初等函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归． 2．有些函数可先化简再求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.。
课件4：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝3x2.
3
(2)y＝x2
，y′＝32x21 ＝32
x.
(3)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
(4)∵y＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－x23.
方法总结：
(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但 运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求 导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
方法总结 (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步骤： ①先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)， 即切线斜率 k＝f′(x0)． ②根据直线方程的点斜式得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可．
(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰 当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行 化简整理．这样能够简化运算过程．
跟踪训练 1 求下列函数的导数． (1)y＝ax(a>0 且 a≠1)； (3)y＝ex；
(2)y＝log3x； (4)y＝lnx.
解：(1)y′＝axlna. (2)y′＝xl1n3. (3)y′＝ex. (4)y′＝1x.
教材自主预习
2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
跟踪训练 3 求曲线 y＝cosx 在点 A(6π， 23)处的切线方程． 解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx. y′|x＝π6＝－sin6π＝－12，∴k＝－12. ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12(x－6π)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.
第一部分 第3章 3.2 3.2.1 常见函数的导数
6．若曲线
y＝x
1 2
在点(a，a
1 2
)处的切线与两坐标轴围成的三
角形的面积为 18，求 a 的值．
解：y′＝－12x
3 2
(x>0)，故在点(a，
a
1 2
)处的切线的斜率
k＝－12a
3 2
，
所以切线方程为
y－a
1 2
＝－12a
3 2
(x－a)，
易得切线在
x
轴，y
轴上的截距分别为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)∵2－x＝12x，
∴f′(x)＝12x′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝x·l1n 2. (4)∵y＝－2sinx21－2cos2x4 ＝2sinx22cos2x4－1 ＝2sinx2cosx2＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x.
[一点通] (1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点 P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上； ②求过点 P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定 在曲线上． (2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤： ①求出 f′(x0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程． (3)求过点 P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x0，y0)； ②写出切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)； ③代入点 P 的坐标，求出方程．
2．基本初等函数的求导公式 (1)(xα)′＝__α_x_α_－_1 (α 为常数)； (2)(ax)′＝_a_x_l_n_a_ (a＞0，且 a≠1)； (3)(logax)′＝_1x_l_o_g_ae_＝xln1 a(a＞0，且 a≠1)； (4)(ex)′＝_e_x_；
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.1
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -， 所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案3
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案[教学目标]:应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； [教学重点]:四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 [教学难点]:四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式 [教学过程]:一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的基本步骤.(1)求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( (3)取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.(1)、y =x (2)、y =x 2 (3)、y =x 3思考：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？二、新知讲解1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆2．函数y f =的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆4．函数()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆限.三、例题解析例:求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.四、课堂检测1、()0f x =的导数是( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 2、已知2()f x x =，则(3)f '=( )A ．0B ．2xC ．6D ．9 3、 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244、 过曲线1y x =上点1(2,)2且与过这点的切线垂直的直线方程是五、回顾与反思。
18-19 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
合 作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主 预 习
4．过曲线 y＝sin x 上的点 Pπ6，12的切线方程为________.
堂 达 标
•
•
探
固
新 知
6 3x－12y－ 3π＋6＝0 [曲线 y＝sin x 在点 Pπ6，12处的切线斜率为 k
双 基
合 作 探
＝y′|x＝6π＝cosπ6＝
3 D. 2
• 固 双
知
基
合
作 探 究 •
A
[∵f′(x)＝21
x，∴f′(3)＝2
1
＝ 3
3 6 .]
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主 预
3．设函数 f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则 a＝________.
堂 达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
基
1 e
[∵f′(x)＝xln1 a，∴f′(1)＝ln1a＝－1，∴a＝1e.]
[基础自测]
自
1．思考辨析
当
主
堂
预 习 •
(1)若函数 f(x)＝log2π，则 f′(x)＝πl1n 2.(
)
达 标 •
探
固
新 知
(2)若函数 f(x)＝3x，则 f′(x)＝x·3x－1.( )
双 基
合 作
(3)若函数 f(x)＝4x，则 f′(x)＝x42.(
)
探
究 •
[提示] (1)× π 为常数．
双 基
合 作 探
高中数学 3.2.13.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
思考 2 函数 y=x 的导数的几何意义和物理意义分别是指什
么? 提示:y'=1 表示函数 y=x 图象上每一点处的切线斜率都为 1,任一点处
答案:3
4.以曲线 y=ex 上的点 P(0,1)为切点的切线方程为 答案:y=x+1
12345
.
12345
5.已知直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,且与曲线 y=x3 相切,求直线 l 的方程. 分析:由直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,可得 kl=3,设切点为(a,b),则 y'|x=a=3a2=3,可得 a,即可求出 b,从而可求出切线方程. 解:设切点为(a,b).
而
1 ������
'=(x-1)'=-x-1-1=-���1���2,故 C 正确.
答案:C
2.若 y=cos23π,则 y'=( )
A.-
3 2
B.-12
C.0
解析:常数函数的导数为 0.
答案:C
12345
D.12
12345
3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n=
.
解析:因为 y'=nxn-1,所以 y'|x=2=n·2n-1=12,所以 n=3.
三角形的面积为 18,求 a 的值. 思路分析:先求出切线方程,再求出切线在 x 轴、y 轴上的截距,利用三
角形面积公式列方程求 a.
探究一
探究二
解:y'=-12 ������-32(x>0),故在点(a,������-12)处的切线的斜率 k=-12 ������-32,
高中数学第三章3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表自我小测新人教B版选修1_
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表自我小测1．下列命题正确的是( )A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x )′＝3xD ．(3x )′＝3xln 3 2．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2 D.123．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32 4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )5．函数f (x )＝5x 3，则f ′(x )＝__________.6．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________．7．设点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离． 8．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，a 在曲线y ＝cos x 上，直线l 是以点P 为切点的切线． (1)求a 的值；(2)求过点P 与直线l 垂直的直线方程．参考答案1. 答案：D2. 解析：因为y ′＝1x ，所以y ′|x ＝2＝12， 故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 答案：D3. 解析：y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3＝cos π3＝12. 答案：A4. 解析：观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f (－x )＝f (x )知f (x )为偶函数，故g (x )为奇函数，从而g (－x )＝－g (x )．答案：D5. 解析：因为f (x )＝5x 3＝35x ，所以f ′(x )＝3525x -. 答案：3525x - 6. 解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0)，所以y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1，所求切线方程为y ＝x －1.答案：y ＝x －17. 解：根据题意，设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线y ＝e x 上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P (x 0，y 0)，因为y ′＝(e x )′＝e x，所以由题意得e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22. 8. 分析：(1)点P 在曲线上，将其坐标代入曲线方程即可求得a ；(2)利用导数先求直线l 的斜率，即可得到所求直线的斜率，然后用点斜式写出所求直线方程．解：(1)因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，a 在曲线y ＝cos x 上， 所以a ＝cos π3＝12. (2)因为y ′＝－sin x ，所以k l ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 又因为所求直线与直线l 垂直，所以所求直线的斜率为－1k l ＝233， 所以所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝233x －23π9＋12.。
高中数学第三章3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表预习导学案新人教B版选修1_06
3.2.2 导数公式表
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能根据导数的定义，求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝ 的导数．
2．掌握基本初等函数的导数公式．
3．能应用基本初等函数的导数解决有关问题.
基本初等函数的导数
(1)几个常用函数的导数：
函数
导数
函数
导数
y＝f(x)＝C
C′＝0
y＝f(x)＝x
x′＝1
y＝f(x)＝x2
y′＝
7
y＝lnx
y′＝
8
y＝sinx
y′＝cos_x
9
y＝cosx
y′＝－sin_x
思考1常数函数y＝C的导数的几何意义和物理意义是什么？
提示：y′＝0表示函数y＝C图象上每一点的切线的斜率都为0；若y＝C表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
思考2函数y＝x的导数的几何意义和物理意义分别是指什么？
(x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ′＝2x
y＝f(x)＝ (x≠0)
′＝－
(2)基本初等函数的导数公式：
序号
y＝f(x)
y′＝f′(x)
1
y＝C
y′＝0
2
y＝xn
y′＝nxn－1，n为自然数
3
y＝xμ(x＞0，μ≠0)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
4
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝axln_a
5
y＝ex
y′＝ex
高中数学 第三单元 导数及其应用 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表教学案 新人教B版选修11
3．2.1 常数与幂函数的导数3．2.2 导数公式表学习目标 1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 常数与幂函数的导数知识点二 基本初等函数的导数公式表类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x 2；(5)y ＝log 12x ；(6)y ＝3x.反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导． 跟踪训练1 给出下列结论： ①(cos x )′＝sin x ； ②(sin π3)′＝cos π3；③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；④(2e x)′＝2e x； ⑤(log 4x )′＝1x ln 4； ⑥(2x)′＝2x.其中正确的有________个． 类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由． 引申探究若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．1．下列结论： ①(sin x )′＝cos x ； ②(53x )′＝23x ； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 3．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.4．求过曲线y ＝sin x 上的点P (π6，12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程．5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cos(π2－x )．1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．答案精析知识梳理 知识点一 0 1 2x －1x2知识点二 0 ux u －1cos x －sin x a xln ae x1x ln a 1x题型探究例1 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(6)y ′＝(3x)′＝3xln 3. 跟踪训练1 3解析 因为(cos x )′＝－sin x ， 所以①错误；因为sin π3＝32，而(32)′＝0，所以②错误；因为f ′(x )＝(1x 2)′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227，所以③正确；因为(2e x)′＝2e x，所以④正确；因为(log 4x )′＝1x ln 4，所以⑤正确； 因为(2x)′＝2xln 2，所以⑥错误．例2 解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1， 又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为(－12，14)．所以所求切线方程为y －14＝(－1)(x ＋12)，即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.所以切点为M (12，14)，所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.跟踪训练2 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．例3 解 依题意知，抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)． ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离为d ＝|12－14－2|2＝728.跟踪训练3 解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率为k ＝ y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1， 故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大， 故点M (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大． 当堂训练1．C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )′＝1x ln 3，∴②③错误，故选C.] 2．A [∵根据导数的定义， 可得f ′(x )＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.] 3.1e解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ， 则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.4．解 曲线y ＝sin x 在点P (π6，12)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233(x －π6)， 即123x ＋18y －23π－9＝0. 5．解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x6.(3)∵y ＝x 2x ＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5xln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .。
2020学年高中数学3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件人教B版选修1_1
设 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直 线 y＝x 的最小距离．
解：如图所示，设与直线 y＝x 平
行的直线 l 与曲线 y＝ex 相切于点
P(x0，y0)． 因为 y′＝ex，所以 ex0＝1，所以 x0
＝0.
代入 y＝ex，得 y0＝1，
所以 P(0，1)．
所以点 P 到直线 y＝x 的最小距离为
(5)y′＝(log1x)′＝ 1 3 xln
1＝－xln1 3. 3
用公式求函数导数的方法 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其合理转化为 可以直接应用公式的基本函数的形式，如 y＝x13可以写成 y ＝x－3，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免 在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
【解】 (1)因为 y＝ax，所以 y′＝(ax)′＝ax·ln a， 则 y′|x＝3＝a3·ln a. (2)因为 y＝ln x，所以 y′＝(ln x)′＝1x，则 y′|x＝5＝15.
求函数 f(x) 在 x＝x0 处的导数的方法与步骤 (1)由已知函数解析式先求 f′(x)； (2)求 f′(x0)的值．
求下列函数的导数：
(1)y＝x15；(2)5 x3； (3)y＝3x；(4)y＝log2x.
解：(1)y′＝(x15)′＝(x－5)′＝－5x－6＝－x56；(2)y′＝(5
3
x3)′＝(x5)′
＝35x－52＝553x2；(3)y′＝3xln 3；(4)y′＝xln1 2.
求函数在某点处的导数 (1)求函数 y＝ax 在点 P(3，f(3))处的导数； (2)求函数 y＝ln x 在点 P(5，ln 5)处的导数．
教学设计1：3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.1 常数与幂函数的导数【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能能够由定义根据求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数；（2）过程与方法在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力；（3）情感、态度与价值观教学的核心问题是让学生能够根据定义和求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数，通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。
（二）教学重点利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究；（三）教学难点用从特殊到一般的规律来探究公式。
（四）教学建议本节课要以教师为主导，以学生为主体，以能力的发展为目标，从学生的认知规律出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。
【教学过程】一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=三．课堂练习1．课本P 87 练习A 1、2、3题2．课本P 87 练习B 1、2题3．求函数y =四．回顾总结五．布置作业。
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第三章 导数及其应用3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首学习目标：1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[自 主 预 习·探 新 知]1．常数与幂函数的导数原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝ f (x )＝x f ′(x )＝f (x )＝x 2f ′(x )＝f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2012x课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2.基本初等函数的导数公式表原函数 导函数f (x )＝C (C 为常数)f ′(x )＝f (x )＝x uf ′(x )＝(x ＞0，u ≠0)f (x )＝sin x f ′(x )＝f (x )＝cos x f ′(x )＝f (x )＝a xf ′(x )＝(a ＞0，a ≠1)0cos x －sin x a xln a ux u －1课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首f (x )＝e xf ′(x )＝f (x )＝log a x f ′(x )＝ (a ＞0，a ≠1，x ＞0)f (x )＝ln xf ′(x )＝ e x 1x1x ln a课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[基础自测]1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2À，则f ′(x )＝1Àln 2.( )(2)若函数f (x )＝3x，则f ′(x )＝x ·3x －1.( )(3)若函数f (x )＝4x ，则f ′(x )＝4x 2.( )[提示] (1)× À为常数． (2)× f ′(x )＝3xln 3. (3)× f ′(x )＝－4x 2.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( )【导学号：73122222】A ．0B ．－12 C.12D ．1C [∵f ′(x )＝(x )′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x ，∴f ′(1)＝12，故选C.]课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首3．曲线y ＝sin x在À4，22处的切线方程为________． 42x －8y ＋2(4－À)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝À4＝cos À4＝22，∴切线方程为y －22＝22x －À4，即42x －8y ＋2(4－À)＝0.]课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[合 作 探 究·攻 重 难]利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数.【导学号：73122223】(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x .课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[规律方法] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首导数公式的综合应用[探究问题]1．怎样求常见函数的导数？怎样理解它们的几何意义和物理意义？ [提示] (1)常数函数f (x )＝c ：导数值为0，几何意义为函数图象在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0，当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(2)一次函数y ＝x ：导数值为1，几何意义为函数图象在任意点处的切线的斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数时，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数图象在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数的变化越快.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(3)二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处切线的斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示物体作变速运动，在时刻x 的瞬时速度为2x .(4)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义表示函数y ＝1x 的图象上点(x ，y )处切线的斜率为－1x 2.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x的导数是y ＝a x(a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.【导学号：73122224】[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解．课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直， 所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为－12，14.课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首所以所求切线方程为y －14＝(－1)x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首母题探究：1.(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x2的切线方程．[解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首所以切点为M12，14， 所以所求切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．(变条件)若函数改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1， 则由f ′(a )＝1a ＝1，得a ＝1， 故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[规律方法] 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x . 其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.]课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32A [∵f ′(x )＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首3．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.1e [∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.]课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首4．过曲线y ＝sin x 上的点PÀ6，12的切线方程为________.63x －12y －3 À＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点PÀ6，12处的切线斜率为k＝y ′|x ＝À6＝cos À6＝32.所以切线方程为y －12＝32x －À6，即63x －12y －3 À＋6＝0.]课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos À6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x2x；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cosÀ2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6.课时分层作业当堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首(3)∵y ＝x2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5xln 5.(6)∵y ＝cosÀ2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．课时分层作业当 堂 达 标•固 双 基自 主 预 习•探 新 知合 作 探 究•攻 重 难返首课时分层作业（十七）点击上面图标进入…谢谢观看。