山东省实验中学高三上学期第二次诊断性测试(数学文).doc

山东省实验中学2008级第二次诊断性测试数 学 试 题(文科) （2010.12）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第Ⅱ卷3至6页.共150分.考试时间120分钟.2．考生一律不准使用计算器. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{|1),{|21}xM x x N x =<=>，则MN 等于A ．∅B ．{|0}x x <C ．{|1}x x <D ．{|01}x x << 2．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限, 则角α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．等差数列{n a }中，前10项和10S =120，那么92a a +的值是 A ．12 B ．16 C ．24 D ．48 4．给出如下四个命题：① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ②命题“若122,->>bab a 则”的否命题为“若a b ≤，则221a b≤-”;③ “∀x ∈R，2x ＋1≥1”的否定是 “∃x ∈R，2x ＋1≤1”;④ 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 其中不正确．．．的命题的个数是A ．4B ．3C ． 2D ． 15．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==6．已知n m ,是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n7．数列{n a }中3a =2，7a =1，如果数列{11n a +}是等差数列，那么11a =A ．0B ．12 C ．23D ．1 8．已知n S 是等差数列)}({*N n a n ∈的前n 项和，若57S S >，则A ．076<+a aB ．39S S >C ．087>+a aD ．410S S >9．若一圆锥与一球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥侧面积与此球的表面积之比为A ．2:2B ．2:5C ．2:3D ．2:310．定义在R 上的函数)(x f 满足0)()2(<'+x f x ，又)3(log 21f a =，))31((3.0f b =，)3(ln f c =，则A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<11．下列四个正方体图形中，B A ,为正方体的两个顶点，P N M ,,分别为其所在棱的中点，能得出//AB 面MNP 的图形的序号是A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③12．已知)(x f y =是奇函数，且满足,0)(3)2(=-++x f x f 当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，)(x f 的最小值为A ．1-B ．31-C ．91- D ．91第Ⅱ卷（非选择题 共90分）题号 二三总分 17181920 21 22 分数二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.）13．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,,且 060,10,15===A b a ，则B cos= .14．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *都有12-=n n a S ，数列{}n a 的通项公式=n a .16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 平方单位.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3, （Ⅰ）证明: 0)1()2(=+f f ;（Ⅱ）若)(log )2(221m m f -=,且1)1(<f ，求实数m 的取值范围.16题图19．（本小题满分12分）设函数()22cos 2f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当]3,4[ππ-∈x 时，求()f x 的值域．20、（本小题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中,2==BC AB ,过B C A ,,11三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111D C A ABCD -，这个几何体的体积为340． （Ⅰ）证明：直线B A 1∥平面D D CC 11；（Ⅱ）求棱A A 1的长；（Ⅲ）求经过D B C A ,,,11四点的球的表面积.21．（本小题满分12分） 设32()f x ax bx cx =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图像开口向下且经过点(2,0)-，2(,0)3.（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）方程0)(=+p x f 有唯一实数解，求p 的取值范围. (Ⅲ)若对[-3,3]x ∈都有2()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知xxx f +=1)(，数列}{n a 为首项是1，以)1(f 为公比的等比数列；数列}{n b 中211=b ，且)(1n n b f b =+， （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）令)11(-=nn n b a c ，}{n c 的前n 项和为n T ，证明:对∀+∈N n 有41<≤n T .山东省实验中学2008级第二次诊断性测试（文科数学）答案 一.选择题1．D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.D 11.A 12.C 二.填空题 13．36 14.23 15.12-n 16.53+ 三.解答题17．（I ）设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q = n n a 2=.……4分（Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则38b =，532b =设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩从而1612(1)1228n b n n =-+-=-…………………8分所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-…………12分18．解：(1)由奇函数得，)1()1(f f -=-；由周期得, )2()31()1(f f f =+-=- 所以，0)1()2(=+f f . …………4分 (2)由(1)知,1)1()2(->-=f f ,故1)(log 221->-m m =2log 21 ………8分即等价于⎪⎩⎪⎨⎧<->-222m m m m 所以)2,1()0,1( -∈m …………12分19．解: （I ）()22cos 22sin 21,6f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==．…………………………4分 由222262k x k πππππ-≤+≤+,,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调递增区间是 [,]()36k k k Z ππππ-+∈．………………8分 （Ⅱ）当]3,4[ππ-∈x 时，]65,3[62πππ-∈+x ，∴]1,23[)62sin(-∈+πx , ()f x 的值域为]3,31[-.…………………………12分 20．（1）证法1：如图，连结1D C ， ∵1111ABCD A B C D -是长方体， ∴11A D BC 且11A D BC =． ∴四边形11A BCD 是平行四边形．∴11A B D C ．∵1A B ⊄平面11CDD C ，1D C ⊂平面11CDD C ， ∴1A B平面11CDD C ． …………4分证法2：∵1111ABCD A B C D -是长方体， ∴平面1A AB 平面11CDD C ．∵1A B ⊂平面1A AB ，1A B ⊄平面11CDD C ，∴1A B平面11CDD C ． …………4分（2）解：设1A A h =，∵几何体111ABCD AC D -的体积为340∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=，即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =．…………8分 ∴1A A 的长为4．（3）如图，连结1D B ，设1D B 的中点为O ，连11OA OC OD ，，， ∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴11A D ⊥平面1A AB ． ∵1A B ⊂平面1A AB ，∴11A D ⊥1A B ．∴1112OA D B =．同理1112OD OC D B ==． ∴11OA OD OC OB ===．∴经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的球心为点O ．∵2222222111124224D B A D A A AB =++=++=．∴()2221144242D B S OB D B ππππ⎛⎫=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭球．故经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的表面积为24π. …………12分21．解：（1）2'()32f x ax bx c =++，且'()y f x =的图象过点2(2,0),(,0)3-⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-∴a c a b a c ab 42332232322 …………2分 ∴32()24f x ax ax ax =+-，由图象可知函数()y f x =在(,2)-∞-上单调递减，在2(2,)3-上单调递增，在),32(+∞上单调递减，(不说明单调区间应扣分)∴()(2)f x f =-极小值，即32(2)2(2)4(2)8a a a -+---=-，解得1a =-∴32()24f x x x x =--+ …………4分(2) )(x f p =-,又因为()(2)f x f =-极小值=-8. 2740)32()(==∴f x f 极大值 由图像知,82740-<->-p p 或,即 82740>-<p p 或 …………8分 （3）要使对[3,3]x ∈-都有2()14f x m m ≥-成立，只需2min ()14f x m m ≥-由（1）可知函数()y f x =在)2,3(--上单调递减，在2(2,)3-上单调递增， 在)3,32(上单调递减，且(2)8f -=-，32(3)32343338f =--⨯+⨯=-<-33)3()(min -==∴f x f …………10分∴11314332≤≤⇔-≥-m m m .故所求的实数m 的取值范围为}.113|{≤≤m m …………12分 22．解:(1)21)1(=f ,1)21(-=n n a . …………2分 由1)(1+==+n n n n b b b f b 两边同取倒数得,1111=-+n n b b ,数列}1{nb 为等差数列. 故，11+=n b n ，所以11+=n b n . …………6分 (2)1)21(-⋅=n n n c ,110)21()21(2)21(1-⨯++⨯+⨯=n n n T n n n T )21()21(2)21(12121⨯++⨯+⨯= ,两式相减整理得, 1224-+-=n n n T …………10分 因为0221>+-n n ,所以42241<+-=-n n n T又0)1(21)]3(42[21232211>+=+-+=+-+=--+n n n n n T T n n n n n n ,所以}{n T 单调递增.1}{1min ==T T n ,所以41<≤n T …………14分。