湖南省醴陵一中、攸县一中、浏阳一中2013年高三元月联合考试数学(理)试题

2013年元月醴陵一中、攸县一中、浏阳一中联合考试理数学时量：150分 分值：150分 命题人：黎友贵 审题人：陈昌龙参考公式：（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（2）球的表面积公式S=4πR 2，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．若(),,,11R b a bi a ii ∈+=+-则ab的值是 ( )A . 1B . 0C . 1-D . 2-2．全集,R U =且},086|{},21|{2<+-=>-=x x x B x x A 则=⋂B A C U )(（ ） A ．)4,1[- B. )3,2( C. ]3,2( D. )4,1(- 3．命题“"041,2≥+-∈∀x x R x 的否定是（ ）A ．041,2<+-∈∀x x R x B ．041,2<+-∉∀x x R x C ．041,2<+-∉∃x x R x D ．041,2<+-∈∃x x R x4．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x =3π对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（ ）A ．y = sin(2x －6π) B ．y = sin(2x +6π) C ．y = sin(2x+6π) D ．y = sin|x |5．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}nA 为等比数列的充要条件为 A ．{}n a 是等比数列。

B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a是等比数列。

C ．1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列。

D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a均是等比数列，且公比相同。

6．已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f -=+，且 当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则=+-)2012()2011(f f （ ）A ．3log 12+B ．3log 12+-C ．1-D ．17.设m>1，在约束条件下，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 目标函数z=x+my 的最大值大于2，则m 的取值范围为A ．)21,1(+B ．),21(+∞+C ．（1，3） D ．),3(+∞ 8．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M (x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()OB OA ON λλ-+=1，若不等式k 恒成立，则称函数()f x 在[,a b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( ) A ．[0，+∞) B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,223D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,223二.填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

(一)、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9． 在极坐标系中，点()20P ，与点Q 关于直线22)4cos(=-πθρ对称，PQ = ．10．如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ．11．已知：x+2y+3z=1,则222x y z ++的最小值是 .(二)、必做题（12~16题）12. 如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 012的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是.13、已知向量a , b ，其中2||,2||==b a，且a b a⊥-)(，则向量a 和b 的夹角是 . 14、已知F 1、F 2分别是双曲线221412xy-=的左、右焦点，点P 是双曲线上的点，且|PF 1|=3，则|PF 2|的值为 .15．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为 ．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，……．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_____________.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点租车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ.18. （本小题满分12分）已知数列}{n a 满足条件：1a t =,121n n a a +=+ （1）判断数列}1{+n a 是否为等比数列； （2）若1t =，令12nn n n c a a +=⋅, 记n n c c c c T ++++= (321)证明：1n T <19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P--ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB=AD=PB=3，BC=6．点E 在棱PA 上，且PE=2EA.(1)求异面直线PA 与CD 所成的角； (2)求证：PC ∥平面EBD ；(3)求二面角A —BE--D 的余弦值．20(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元．（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．21.(本小题满分13分) 设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为4,点M （2）在椭圆上，。

（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且O A O B ⊥，求△OAB 的面积的取值范围。

22.（本小题满分13分）已知函数()ln f x x =，21()22g x x x =-．（Ⅰ）设)()1()(x g x f x h '-+=（其中)(x g '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()(2)2b a f a b f a a-+-<；（Ⅲ）设k Z ∈,当1x >时,不等式4)(3)()1(+'+<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.参考答案一．选择题 BCDA D CBD二．填空题9．22； 10.4； 11．11412. i<1007？ 13.4π； 14.7；15.-1； 16.3959三．解答题17. (本小题满分12分)解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅=则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=……………………………..4分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8…………….5分1(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=……………………………………………….10分分布列ξ0 246 8P185165163161165591784822E ξ=+++=………………………………………………………….12分18. （本小题满分12分）解:（1）证明：由题意得11222(1)n n n a a a ++=+=+ ……………2分 又111a t +=+, 所以，当1t =-时，{1}n a +不是等比数列当1t ≠-时，{1}n a +是以1t +为首项，2为公比的等比数列． …………5分 (2)解：由⑴知21n n a =-， ……………7分 故1112211(21)(21)2121nn n nn nn n n c a a +++===----- 111nn a a +=-……………9分12311111113372121n n n n T c c c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111121n +=-<-…………12分19．(本小题满分12分)解： (1)∵PB ⊥底面ABCD ，在直角梯形ABCD 中AB=AD=3，∴BC=6 取BC 的中点F ，连结AF ，则AF ∥CD.∴异面直线PA 和CD 所成的角就是PA 和AF 所成的角∠PAF （或其补角），在△PAF 中，AF=PA=PF=32，∴∠PAF=60° ………………3分 （2）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，∵,21==BCAD GCAG 又,21=EPAE∴EPAE GCAG =∴PC ∥EG又EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD.∴PC ∥平面EBD ……………7分 （3）∵PB ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PB.又∵AD ⊥AB,∴AD ⊥平面EAB.作AH ⊥BE,垂足为H,连结DH,则DH ⊥BE,∴∠AHD 是二面角A-BE-D 的平面角.在△ABE 中,BE=5AH=,55345sin =∙∙BEAE AB∴tan ∠AHD=5=AHAD , 所以，二面角A-BE-D 的余弦值为6……………12分20. （本小题满分13分） 解：（I ）设容器的容积为V ，由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又故322248044203()333V rl r r rrr ππ-==-=-由于2l r ≥因此0 2.r <≤……………………………………………………………………………………………….3分所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c r ππππ=⨯+=⨯-⨯+因此21604(2),0 2.y c r r rππ=-+<≤……………………………………………………..5分（II ）由（I ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r rrc πππ-=--=-<<-由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时令,m =则0m >所以2228(2)'()().c y r m r rm m rπ-=-++……………………………………………………….7分（1）当9022m c <<>即时，∈∈当r=m 时,y'=0;当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。