线性子空间_图文
线性子空间
阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2 , , s ) 的维数与一组基.
例6 求L(1,2 ,3 ,4 ,5 ) 的维数与一组基，并把
它扩充为P4的一组基，其中
1 (1, 1,2,4), 2 (0, 3,1, 2), 3 (3,0,7,14), 4 (1, 1, 2,0), 5 (2,1,5,6)
lr lr 1
0
l1
从而有
Bj
lr lr1
0
③
而秩(Bj)＝r，∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数
l1, l2 , , lr , lr1, 使
l11 l22 lr r lr1 j 0,
1, 2, , r , j 线性相关.
故 1, 2 , , r 为 1, 2 , , s 的极大无关组，
所以 L(1, 2 , , s ) 的维数＝r＝秩(A).
注：
由证明过程可知，若1,2 , ,n 为V的一组基，
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则向量组 1, 2 , , s与矩阵A的列向量组具有相同
4、设 1,2 , ,n 为P上n维线性空间V的一组基，
A为P上一个 n s 矩阵，若
(1 , 2 , 则 L(1, 2 ,
, s ) (1,2 , ,n ) A
线性无关
, s )的维数＝秩(A).
应用方向：
向量组1, 2 , , s 与矩阵A的列向量组具有相同
§6.5 线性子空间
一、线性子空间
1.子空间的定义 2.子空间的判定定理 3.子空间举例
2. 第二讲 线性子空间
n元齐次线性方程组
1,0, ,0
0,1, ,0
得到n-s个解向量 11 , 12 , , 1s 1,0, ,0
s1
0,0, ,1
, s 2 , , ss ,0,0, ,1
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间：
V1 k1 x1 kn xn ki K , i 1, 2, , n
称为由 x1 , x2 , , xn 生成(或张成)的子空间,记为
L x1 , x2 , , xn k1 x1 kn xn
是生成的子空间的基
如果 x1 , x2 , , xm 则 x1 , x2 , , xm
线性子空间V1也是线性空间 证明：必要性由定义直接得出
充分性：各运算律已在V中定义，我们只需证明
0 V1 x V1 , x V1 实际上， 0 0 x V1
x V1 , 1 K
x 1 x V1
所以线性子空间V1也是线性空间
V1是数域K上的线性空间V上一个非空子空间
的全部解向量所成集合V对于通常的向量加法 和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间 Rn 的一个子空间，称V为方程组的解空间
方程组的解空间W的维数＝n－秩(A)， 方程组的一个基础解系就是解空间V的一组基
c11 x1 c x2 a a12 c a11snx x c0 sn 1, s 1 x s 1 c1 n xn 11 1 12 x2 a21 x1 c xx c c0 a22 x22 a sn s n 22 2, s 1 x s 1 c2 n xn 22x a x a x ca xx 0 s2 2 s1 1 sssn s n c s , s 1 x s 1 c sn xn 变形后， 用n-s组数表示自由未知量 x s 1 , , xn
3-4 线性子空间
且
一般地, 设
则
17:51
4
齐次线性方程组的解集
证明:
于是
所以 W 是一个子空间.
17:51 5
齐次线性方程组的解集
类似的可以证明齐次线性方程组
命题 4.1. 有限个线性子空间的交集仍是线性子空间.
proof
17:51
6
命题4.1的证明
所以Leabharlann 所以, W 是线性子空间.
back
17:51 7
§3.4 线性子空间
线性子空间的概念 线性子空间的交集还是线性子空间 任何线性子空间都包含0元素 若干向量的线性组合的全体的集合是线性子空间 (生成子空间) 齐次线性方程组的解集是线性子空间
17:51
1
线性子空间的定义
向量空间中的非空集合, 如果对加法和数乘封闭, 则称为线性子空间(简称子空间).
则称 W 是 V 的一个线性子空间(简称子空间).
例: (i) {0}是一个线性子空间 (有时记为0, 称为零子空间). (ii) V 是V 的一个线性子空间.
{0}和V统称为V 的平凡子空间, 其它的子空间称为非平凡子空间.
17:51 2
例子4.2
验证: 有
17:51
3
生成子空间(张成子空间)
高等代数§6.5 线性子空间
其次， , W 3 , k P ,
设 ( x 1 , x 2 , , x n 1 , 0 ), ( y 1 , y 2 , , y n 1 , 0 ) 则有 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n 1 y n 1 , 0 ) W 3
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn 的一个子 空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A
( a ij ) s n
；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
例5
判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
n 1 (1, 0 , , 0 , 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x 1 , x 2 , , x n ), ( y 1 , y 2 , , y n )
则 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n y n )
设 l1 1 l 2 2 l r r l r 1 j 0 , 即
l1 ( 1 , 2 , , r , j ) 0, lr l r 1
l1 则有 ( 1 , 2 , , n ) B j l 0 r l r 1
则对 i , i 1, 2 , , r , 有 i L ( 1 , 2 , , s )， 从而 i 可被 1 , 2 , , s 线性表出；
同理每一个 i 也可被 1 , 2 , , r 线性表出.
第五节 线性子空间
维数为 3 .
▲
§6.5 线性子空间
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
a1n xn 0 , a2n xn 0 ,
amn xn 0
§6.5 线性子空间
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
§6.5 线性子空间
例6
判断
W
§6.5 线性子空间
定理 1 设W 是P 上的线性空间 V 的非空子集, 则 W 是V 的子空间的充要条件是:
(1) , W + W ; (2) kP , W k W.
注 ◆ 要判定子集W 是 V 的子空间, 需要验证 W 非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：
1) 设 W 是 V 的一个子空间，且 W 包含1, 2, … , r , 则
L (1 , 2 , … , r ) W .
2) 设 V 是一个有限维线性空间，W 是 V 的一
个子空间，则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r
是 W 的一个基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
第4节 线性子空间
都线性相关，从而
k11 k2 2 kr r , l11 l2 2 lr r ,
于是对任意的数x, y, 有
x y ( xk1 yl1 )1 ( xkr yl r ) r ,
它是V 注释1 （1）线性空间V是它自身的子空间， 的子空间中最大的。 它是V的子空间中最小的， （2）{0}也是V的子空间， 称为V的零子空间。 二、线性子空间的性质 命题4.1 线性空间V的有限个子空间的交仍是V的 子空间。
注释2 线性空间V的两个子空间的并是子空间吗？
两个子空间的并不一定是子空间， 例如
V1 {(a ,0,0) a R}; V2 {(0, b,0) b R}
它们的并集 都是R3的子空间，
V1 V2 {(a ,0,0),(0, b,0) a , b R} {(a , b,0) a , b R 且a 0或b 0}
不是R3的子空间. 因它对R3的加法运算不封闭。 事实上，
问 例4.2 设 1 , 2 , 3 是立体空间上 R3 的向量，
L(1 , 2 , 3 ) l11 l2 2 l3 3 : l1 , l2 , l3 R
有可能表示空间的什么图形？
解 如果 1 2 3 0, 则 L(1 , 2 , 3 ) (0,0,0) , 此时 L(1 , 2 , 3 ) 就是立体空间的坐标原点。 如果 1 , 2 , 3 不全为0并且三个向量共线，则
从而 x y W . 即 1 , 2 , , r , x y 线性相关，
（2） 不能构成子空间， 因为加法一般不封闭。
例如， 在向量空间 K 4 中取向量
2. 线性空间与线性子空间
§2 线性空间与线性子空间一、 线性空间[线性运算] 设F 是一个域，其元素a ，b ，c ，…作为数量；V 是任一种类对象的集，其元素用希腊字母α,β,γ,…表示. 确定两个运算法则：1o V 中元素的加法. 对V 中任二元素α，β，总有唯一确定的元素γ与它们对应，称为α与β之和，记作βγ+=α.2o F 中的数量与V 中元素的乘法. 对F 中任一数a 与V 中任一元α，总有唯一确定的元素δ与它们对应，称为a 与α的数乘，记作αδa =这两个运算法则称为线性运算.[线性空间及其性质] 设F 是一个域，V 是任一种类对象的集，若对线性运算满足以下条件，则称V 为域F 上的线性空间：(i) V 是一个加法群；(ii) 对任意元a ∈F 与α∈V ，对应着唯一确定的一个元V a ∈=αβ(iii) 满足分配律和结合律，即对V F b a ∈∈βα,,,有)()()(,)(αααααβαβαb a ab b a b a a a a =+=++=+ 域F 的元素称为线性空间的数量，V 的元素称为它的矢量，因而线性空间又称矢量空间. 加法群的单位元称为零矢量，记作0，（-1）α是α∈V 的逆元，称为负矢量.实数域上的线性空间称为实线性空间；复数域上的线性空间称为复线性空间. 例1 三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间.例2 数域F 上的多项式环F [x ]，按照通常的多项式加法与多项式乘法，组成数域F 上的线性空间.例3 元素属于数域F 的m ×n 矩阵，按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法，组成数域F 上的线性空间.例4 按照通常的加法和乘法，实数全体是实数域R 上的线性空间. 复数全体是复数域C 上的线性空间. 任一域是用自己当作数量域的线性空间.例5 把在一个实区间（a ，b ）中定义的每个连续实函数当作一个元素，任意两个元素f 与g 的和记作g f +，g f +是在),(b a 中定义的一个连续实函数，它在每一点x 的值规定为)()())((x g x f x g f +=+又把一个元素f 乘实数c 所得到的元素cf 规定为b x a x cf x cf <<=),())(( 则这些元素全体组成一个实线性空间.线性空间有以下性质：1o 零矢量是唯一的.2o 负矢量是唯一的.3o F c c V ∈=∈=,;,0000αα.4o 若0=∈∈ααc V F c ,,则c =0或α=0.[线性相关与线性无关] 域F 上的线性空间V 中一组有限个矢量{}n ααα,,,21 ,如果对F c c c n ∈,,,21 ,仅当021====n c c c 时等式02211=+++n n c c c ααα才成立，则称矢量组{}n ααα,,,21 为线性无关，否则称为线性相关. 若矢量组{}n ααα,,,21线性相关，则其中至少有一个矢量i α是其余矢量)(i k k ≠α的一个线性组合：n n i i i i i k k k k ααααα+++++=++-- 111111含零矢量0的任一组矢量是线性相关的.假定域F 上的线性空间V 上又定义了收敛性（第二十一章，§3，四）,V 中一组无限多个矢量{} ,,21αα,如果对F 中的 ,,21c c 仅当021=== c c 时等式0=++ 2211ααc c才成立，则称矢量{} ,,21αα为线性无关，否则称为线性相关.[基底与坐标] 域F 上的线性空间V 中一组矢量},,{1n αα 如果满足(i) },,,{21n ααα 是线性无关的;(ii) V 中任一矢量都是矢量),,2,1(n i i =α的一个有限线性组合；则称},,,{21n ααα 为V 的一个有限基底，也称},,,{21n ααα 生成（或张成）这个空间，},,,{21n ααα 为空间的一组生成元.设},,,{21n ααα 为V 的一组基底，则V 中任一矢量α一定可以用n ααα,,,21 的线性组合来表示：n n a a a αααα+++= 2211式中复数n a a a ,,,21 是唯一确定的，它称为矢量α关于基底},,,{21n ααα 的坐标.如果V 有一个有限基底，就称V 是一个有限维线性空间，否则，称为无限维空间. 有限维线性空间V 的基底的矢量个数称为V 的维数，记作V dim .[第一维数定理] 域F 上有限维线性空间V 的任意两个基底有相同个数的元素. 推论 设},,,{21k ααα 为一个n 维线性空间V 中一组线性无关的矢量，显然n k ≤，则在V 中存在一个基底使得},,,{21k ααα 是它的一部分.二、 线性子空间[线性子空间] 设S 是域F 上线性空间V 的一个非空子集，若S 对于V 的线性运算也构成线性空间，则称S 为V 的一个线性子空间，简称为子空间.设S 是域F 上线性空间V 的一个子集，若关于线性运算是封闭的，即(i) 若S ∈βα,则S ∈+βα；(ii) 若F a S ∈∈,α,则S a ∈α；则S 是V 的子空间.例如，在线性空间V 中的单个零矢量所组成的子集是V 的一个子空间，称为零子空间. V 本身也是V 的一个子空间. 这两个子空间称为V 的平凡子空间.设r ααα,,,21 为域F 上线性空间V 中的一组矢量，这组矢量的一切线性组合),,2,1(,2211r i F c c c c i r r =∈+++ααα构成V 的一个子空间，称为由r ααα,,,21 生成（或张成）的子空间. 这是V 的非平凡子空间.[子空间的交与和] 设S ，T 是域F 上线性空间V 的子空间，属于S 又属于T 的V 中一切矢量所构成的子集称为S 与T 的交（通集），记作T S . 由能表示为),(T S ∈∈+βαβα的一切矢量构成的子集称为S 与T 的和（和集），记作T S +（或T S ）.设S 与T 是F 上线性空间V 的两个子空间，则S 与T 的交T S 以及和T S +都是V 的子空间.[第二维数定理] 设S 与T 是线性空间V 的两个子空间，则)dim()dim(dim dim T S T S T S ++=+（这里V dim 表示线性空间V 的维数）.推论 若n 维线性空间V 中两个子空间S 与T 的维数之和大于n ，则S ，T 必含有公共非零矢量.例如，三维空间中两个不同平面（二维子空间）交于一条直线，由于422dim dim =+=+T S ，但3)dim(=+T S ，所以1)dim(=T S .[子空间的直和] 设k S S S ,,,21 是线性空间V 的子空间，若和k S S S +++ 21中每个矢量α的分解式),,2,1(,21k i S i i k =∈+++=ααααα是唯一的. 这个和就称为直和，记作k S S S ⊕⊕⊕ 21子空间的直和具有以下性质：1o 和k S S S +++ 21是直和的充分必要条件是：),,2,1(,21k i S i i k =∈=+++αααα0仅当i α全为零矢量时才成立.2o 和k S S S +++ 21是直和的充分必要条件是：=∑≠ij j i S S Φ（空集）),,2,1(k i =3o 设k S S S ,,,21 是线性空间V 的子空间，若k S S S W ⊕⊕⊕= 21则 k S S S W d i m d i m d i m d i m 21+++=其逆也真.这表明对于子空间的直和，维数是可加的. 由此可见，若k S S S W ⊕⊕⊕= 21把子空间),,2,1(k i S i =的基),,,(,,,k i i in i i 2121=ααα合并起来就得到子空间W 的一组基.[商空间] 设S 是V 的一个子空间，并设两个矢量V ∈',αα，若S ∈-αα'，则说α和'α是等价的，记作'~αα. 实际上，这个关系具有等价关系的三个性质：(i) 反身性 对每个S ∈α，有'~αα；(ii ) 对称性 若'~αα，则αα~'；(iii) 传递性 若'~αα，"'~αα，则"~αα.和集合的情形一样，称两个等价的矢量α和'α是属于同一类. 每个矢量V ∈α恰好包含在一个类中，这一类记作_α. V 中的零矢量0包含在与子空间S 重合的_0类中.若把每个类作为一个元素，则这一切元素组成的集是一个线性空间，称为V 关于S 的商空间，记作S V /. 商空间的零矢量是_0，且有S V S V dim dim /dim -=由此可见，若V S =，则商空间的维数是零；又若S 是零空间，则商空间的维数与V 的维数相同.。
线性代数上18线性子空间
(3, 5, 1)T 为 W1∩W2 的一组基, 所以 dim(W1∩W2) = 1,
dim(W1+W2) = 3, α1,α2 , β1 为 W1+W2 的一组基.
8
二、子空间的直和
定义5 设 W1 和 W2 是 V 的子空间, 如果 W1∩W2 = {0}, 则 称 W1+W2 为W1 与 W2 的直和, 记为 W1 ⊕W2.
例7 设 W1 是 V 的一个子空间, 存在一个子空间 W2 使得 W1∩W2 = {0}, 且 W1+W2 = V, W2 称为W1 的补空间.
例8 设 α1, α2 为两个线性无关的空间向量, 它们生成的过
原点的平面记为 W1 = L(α1, α2), 设 α3∉W1, 则 W2 = L(α3)
W1 = R(A), W2 = R(B), 求 W1+W2 和 W1∩W2 的维数与基.
⎡1 1 1⎤
⎡ 2 1 −1⎤
解 记 ⎢⎢2
1
3⎥⎥
=
(α1,α2
,α3
)
,
⎢ ⎢
3
2 −1⎥⎥ = ( β1, β2, β3 ) ,
⎢⎣1 −1 3⎥⎦
⎢⎣−1 2 3 ⎥⎦
⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1 ⎤
∀α , β ∈W1 ∩W2，有α + β ∈W1 ∩W2. ∀k ∈ F，有 kα ∈W1 ∩W2.
所以 W1∩W2 是 V 的一个子空间.
3
定义2 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1+W2 = {α⏐α = α1+ α2, α1∈W1, α2∈W2} 称为 W1 与 W2 的和.
第五节线性子空间
2 生成子空间的性质
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价； 2） L(1, 2 ,, r ) 的维数等于向量组1,2 ,, r 的秩；
定理 4 设W 是 n 维线性空间V 的 m 维子空间，1, 2 ,, m 是W 的一组 基，那么这组基必定可扩充为整个空间的基，即在V 中必定可以找到 n m 个 向量 m1, m2 ,, n ，使得1, 2 ,, m ， m1, m2 ,, n 是V 的一组基。
例 7 设W {A | A P nn ,且 | A | 0} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
二、子空间的构造 1 生成子空间
r
L(1, 2 ,, r ) { ki i | ki P, i 1,2,, r} i 1
例 8 在 P[x] 中，由1, x, x2 ,, xn1 生成的子空间为 L(1, x, x 2 ,, x n1 ) P[x]n 。
n
例 4 设W {(a1, a2 ,, an ) | ai 0, ai P} ，问W 是否是 Pn 的子空 i 1
间？ 例 5 设 A Pmn ， X (x1, x2 ,, xn ) ，令W {X | AX 0}，问W 是
否是 Pn 的子空间？
例 6 设W {A | A P nn ,且A A} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
3）当
A
0
0
2 0
0
时，求
C(
A)
的维数和一组基。
6.5 线性子空间
一. 子空间的概念 二. 子空间的性质
一. 子空间的概念
1。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间
1） W V ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间.
寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间 研究的一个重要问题 →
□
作业： P269 习题 12，13，15，习题 16. 2），习题 17.
证明：1) L(1,2 , ,r ) L(1, 2, , s ) → i L(1,2 , ,r ) L(1, 2, , s ) (i 1, 2, , r) → {1,2, ,r}线表{1, 2, , s}； 同理可得 {1, 2, , s}线表{1,2, ,r} → 向量组{1,2 , ,r}与 {1, 2 , , s} 等价.
即算律3), 4)成立 → W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 → 据定
义7即知W是V的子空间.
□
子空间本身就是一个线性空间 → 线性空间维数，基，坐标的概念及 性质在子空间上仍然成立 .
设W是V的子空间，则dimW≤dimV .
补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间
, W, a,b P, a b W.
证明： 对 n－m 进行数学归纳.
当 n－m = 0 时，即 n = m 1, d,imn线V性n无关 1,2 , ,n 已经是 V 的基， 即命题成立. 现假定 n－m = k 时命题成立，证 n－m = k+1 时命题成立.
此时，n－m = k+1＞0 → m＜n, 即1,2, ,m 线性无关，并且不是 V 的基 → V 中定存在m1 不能被1,2, ,m 线性表示（否则， V ， 由 线表{1,2, ,m}将推出1,2 , ,m 是 V 的基）→ 1,2 , ,m , m1 线性无关（否则，将推出m1 线表{1,2, ,m} ）→ n－(m+1) = (n－m)－1= k＋1－1= k 归纳 假定 1,2 , ,m ,m1 可扩充为 V 的基.
线性子空间
它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2,L , xn1)
a0 a1 x L an1xn1 a0 ,a1,L ,an1 P
第六章 线性空间 §5 线性子空间
有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 ,L ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 ,L ,r ) 2、（定理3）
第六章 线性空间 §5 线性子空间
由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
第六章 线性空间 §5 线性子空间
例7 在Pn 中，
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L ,n
为Pn的一组基， (a1,a2,L ,an ) Pn
有 a11 a2 2 L an n
故有 Pn L(1,2,L ,n )
事实上，任一有限 维线性空间都可由
即Pn 由它的一组基生成.
第六章 线性空间 §5 线性子空间
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn元齐次线性方程组
x1 x2 L xn 0
4 - 5 线性子空间
坐标和方程组的关系
注意：定义中可以写成如下形式
Ax = α， 其中，x=(x1，x2，…，xs)T。 因此，求向量 α 在 A下的坐标就等价于 求解线性方程组(**)。 (**)
四、两组基之间关系
设 A：α1，α2，…，αs为空间V的一组基，
B：β1， β2，…，βs为V的另一组基。βk 在 A下的坐标 Pk=(p1k，…， psk)T∈Rs； 即 βk = APk。令 P = (P1，P2，…，Ps)，则 B = AP。称 P 为从基 A 到 B 的过渡矩阵
的全部解的集合，称之为解空间。
回顾：对于齐次线性方程组
Ax=0
对系数矩阵作行初等变换
1 A 0 0 0 1 c11 ck1 0 c1，n k ck，n k
c1，n k c11 c12 ck，n k ck 1 ck 2 1 1 ， 2 0 ， ， n k 0 0 0 1 1 0 0
例8：p85，习题21
例8：p85，习题21
回顾上次课一个重要结论
推论： 可由 1，2，…，m 唯一线性 表示 ，1，2，…，m线性相关，
并且 1，2，…，m 线性无关
例8：p85，习题21 证明：将 αk 逐个添加到向量组 B 中，若
添加之后线性相关，则放弃，否则继续
B：β1， β2，…，βt，
A可以由B线性表示 L(A)L(B)；
证明：充分利用矩阵和向量之间的关系。 “” A可以由B线性表示 存在矩
阵C，A=BC。另一方面，xL(A) 存
在向量p，x=Ap。综合可知结论成立
线性子空间
不难看出 3, 4 两个条件是多余的，它们已经包 含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此，我们得到
定理 3 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对
于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么W 就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面 我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可 以应用到线性子空间上. 因为在线性子空间中不可 能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量. 所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空 间的维数.
主要内容定义第五节线性子空间非空子集构成子空间的条件向量组生成的子空间一定义定义13数域p上线性空间v的一个非空子集合的一个非空子集合w称为v的一个线性子空间或简称子空间如果w对于v中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域p上的线性空间
一、定义
定义 13 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子 集合W 称为 V 的一个线性子空间(或简称子空间),
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节 节想 想击本 本容单单若 若束内请 请返结节节已想 想击本本容单单若回束内请返结节节已想 想击本本容单单若回束内 内请返结 结节 节已击想 想击本本容单单若回束内内结请返结 结堂节已击击想按本本容单若回束内内结请返结 结堂节已击击想按本本容 容单若回束 束内 内结请返返结 结堂节已击想击按本容容束单回束 束课内结返返结钮堂节已击想按本容容束单回束 束课内结返返结钮堂节已 已击想按本 本容 容束单回回束 束课内结返返结钮堂已已击按本 本,容束回回束课.内!结返结钮堂已已击按本 本,容束回回束课.内!结 结返结钮堂 堂已 已击按按本 本,容束回回束课.!结结返钮堂 堂已按按本,容束回束课.!结结返钮堂 堂已按按本,容束 束回束课 课.!结 结返钮钮堂 堂已按按本,束束回课 课.!结钮钮堂已按本,束束回课 课.!结钮钮堂已按本,,束束回课 课..!!结钮钮堂按,,束课..!!结钮堂按,,束课..!!结钮堂按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
lecture2线性子空间
第二讲 线性子空间与同构一、线性子空间的定义及其性质1. 定义：设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的一个非空子集。
如果W 对于线性空间V 所定义的加法运算及数量乘法运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 为V 的线性子空间，简称子空间。
定理：设W 是数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合。
则W 是V 的线性子空间的充要条件是： （1） 如果x 、y ∈W ，则x ＋y ∈W ； （2） 如果x ∈W ，λ∈P ，则x W λ∈。
换言之：线性空间V 的一个非空子集是子空间的充要条件是，W 关于V 中定义的两个运算是封闭的。
例：在n 维线性空间P n 中，子集 {|0,}n W x Ax x P ==∈构成P n 的一个n-r 维子空间。
r 是m n A P ×∈的秩。
证明：任取12,,x x W ∈则120,0Ax Ax ==， 于是，12()0A x x +=，12x x W +∈；又取,,0y W P Ay λ∈∈=则()0,A y Ay y W λλλ==∈。
得证。
2. 性质：（1）线性子空间V 1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V 1中元素的负元素仍在V 1中。
[证明]（1）0x =01x V V ∈⊂∵∴ V 中的零元素也在V 1中，V 1与V 享有共同的零元素。
（2）1x V ∀∈（－1）x =(－x )1V ∈ 封闭性∴ V 1中元素的负元素仍在V 1中3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：{0}和V 本身（两个） 非平凡子空间：除以上两类子空间4. 生成子空间：设x 1、x 2、···、x m 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合1|,1,2m i i i i k x k P i m =⎧⎫∈=⎨⎬⎩⎭∑ 也是V 的线性子空间，称为由x 1、x 2、···、x m 生（张）成的子空间，记为L (x 1、x 2、···、x m )或者Span (x 1、x 2、···、x m )。
大学课程大一数学线性代数上册18.线性子空间课件
第十八讲 清华大学数学科学系
1
第十八讲 线性子空间
一、线性子空间 定义1 设 V 是 F 上的线性空间, W 为 V 的非空子集, 如果 W 对于 V 和 F 上的 +, ·仍为线性空间, 则称 W 是 V 的子空 间. {0} 和 V 称为平凡子空间.
例1 若AX = 0 有非零解, 则这些解的任意线性组合仍是解, 因此这个解集合满足子空间的定义, 也就是说齐次线性方程 组 AX = 0 的全体解向量构成 Rn 的一个子空间, 记为 N(A), 称为 AX = 0 的解空间(维数与基?). 例2 V = {(x, -x, 0)T | xR} 是R3 的子空间. 例3 V = {(1, 0, -z)T | zR} 不是R3的子空间.
W1 + W2 的一组基. 设
11 L tt t1 t1 L r r t1 t1 L s s 0 (1)
W1
W2
W1 I W2 , 故存在 1,L , t F , 使
t1 t1L s s 11 L tt
11 L tt t1 t1 L s s 0
6
Q 1,L ,t , t1,L , s 为 W2 的一组基, i 0, i 1L s. 代入(1)式得 11 L tt t1t1 L r r 0, Q 1,L ,t , t1,L , r 为 W1 的一组基, i 0, i 1,L r.
= 1+2, 1W1, 2W2,
(1 1) (2 2 ) W1 W2.
k k1 k2 W1 W2.
W
5
定理4 设 W1, W2 为 V 的两个子空间，则
dimW1+dimW2 = dim(W1+W2)+dim(W1∩W2).