第四讲流体弹塑性模型
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物质相态的改变
❖ 改变的条件 压强或温度。
❖ 相变类型 第一类相变：伴随着相变潜热和体积跃变。如：固固相变、固 夜相变、以及一般的气液相变等。 第二类相变：没有相变潜热和体积跃变，但是有比热等的变化。 如：铁磁体转变为顺磁体，二元合金中的有序无序转变，金属 转变为超导态，液态氦转变为超流态等。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
2. 状态方程导引
状态方程的概念
通常是指物体的 PVT关系，即压强P、体积V、温 度T之间的函数关系。有时除上述关系外，还将内能函 数E(V、T)包括在内。
状态方程的建立
理论模型－－通过量子力学和统计物理的概念和方 法从原子、分子运动角度建立模型。
工程理论－－在部分理论模型的基础上确定状态方 程的基本形式，通过实验研究确定参数。
屈服函数
f ( ij , eij ) C
f (I1, I2 , I3) C
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 初始屈服准则 （续）
应力偏量张量 sij ij p ij
应变偏离张量
应力偏离形式屈服准则（不计静水压效应）
ij
eij
3
ij
f (J2,2
s22 s33
2. 状态方程导引（续）
c) 高温低密度
密度：稍大于常密度至远小于常密度
温度：几个105K至107K 物质状态：由于系统密度较低，温度较高，点阵结 构不存在，分子的离解及原子中电子的电离现象十分显 著。系统中粒子差不多都是带电粒子，需考虑粒子间静 电相互作用。
采用的模型：
用离解电离平衡方程描述分子离解和电离过程。
用Debye－Huckel理论描述静电相互作用
2. 状态方程导引（续）
d) 过渡区（a、b区之间过渡区）
密度：压缩比3～5 温度：104K至105K 物质状态：点阵处在崩溃的过程中，原子中的电子 结构处于电离阶段。 采用的模型：
由于物理过程复杂，至今没有好的方法，现在主 要采用数值插值方法，从a、b两区合理外推延伸。
2. 状态方程导引（续）
b) 高密度区
压强：重材料, 几个TPa以上; 轻材料, 10TPa以上 密度：重材料, 压缩3－4倍; 轻材料, 压缩5－10倍以上 物质状态：物质的晶体结构和原子的电子壳层结构已 不存在，原子内的电子可以看作连续分布，忽略原子 间的相互作用，可以把材料看成由许多全同的中性原 子所组成。 采用的模型：Thomas－Fermi统计理论
介质作用过程状态特征
类型
Y(MPa)
地下核爆炸 5×102
土岩爆破 10～5×102
爆炸硬化
103
陨石碰撞 102～5×102
p(MPa) 106
5×103 104
105～106
破甲 穿甲 爆炸焊接
103
104～3×105
103
5×103
103
104～5×104
Y/p 5×10-4 2×10-3～10-1
1。区别材料类型 2。划分状态区域及选取理论模型和计算方法 3。收集实验数据 4。确定参数 5。计算数据和分析结果
2. 状态方程导引（续）
1. 区分材料类型
a。密实程度：密实材料和疏松材料 b。导电性能：金属材料和非金属材料 c。化学成分：单质材料和复合材料
（复合材料：混合物和化合物） d。原子量：重材料和轻材料 e。聚集状态：气态、液态、固态
❖ 分区模型 ✓ 各物质状态区分别建模描述（近区：流体区，远区：固体区） ✓ 各分区间建立界面条件 ❖ 分区模型的不足 ✓ 人为划分方法，引入较多不确定因素。
流体弹塑性模型基本概念
把通常的介质当作兼有流体性质和弹塑性或粘弹塑性固体性质 的连续介质。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
流体弹塑性主要参量
❖ 特征屈服极限Y ❖ 特征压力片p或特征动压ρv2/2 ❖ 它们的比值Y/p
❖ 流体弹塑性模型
1. 流体弹塑性基本概念 2. 状态方程导引 3. 弹塑性应力应变关系 4. 流体弹塑性方程组 5. 实例介绍
1. 流体弹塑性基本概念
物质的状态
❖ 固体： 组成它的原子或分子有规则的排列，原子只能在其平
衡位置附近作微小振动。 ❖ 液体：
组成它的原子或分子有规则的排列，分子能在较大范 围运动。 ❖ 气体：
zy
z
应变张量
ex exy exz
Te eyx ey eyz
e
zx
ezy
ez
应力不变量
I1 11 22 33
I2
( 11 22
22 33
33 11
2 12
2 23
2 31
I3 11 22 33 12 23 31 31 32 21 13 22 31 12 21 33 11 32 23
流体弹塑性体的运动特点：
✓ 塑性应力所做的功使介质温度显著升高，相应地引起压力和 密度的变化，从而造成剪切变形和体积变形的相互耦合，以及机 械效应和热效应的相互耦合； ✓ 温度、压力和应变率的变化往往对屈服极限发生影响。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
流体弹塑性模型的内容
模型融合了流体性质（体变）和固体性质（主要是畸变） 以及固体变形的弹性和塑性两方面的内容
组成它的分子是完全无序的，分子的运动非常自由。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
物质相态特征
❖ 固体： 具有一定的外形和强度。
❖ 液体： 能保持一定的体积，具有表面张力。在微小切应力作
用下，立即产生流动。 ❖ 气体：
总是充满整个容器，在微小切应力作用下产生流动。 流体：液体和气体的总称。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
2. 区分状态区域，选取理论模型及计算方法 区分依据：温度、密度和压强 a) 低温低压区（冲击压缩区） b) 高密度区 c) 高温低密度区 d) 过渡区 e) 弹塑性区
2. 状态方程导引（续）
a) 低温低压区（冲击压缩区）
压强：常压105Pa～1TPa 温度：298K～104K 密度：常密度～压缩3－4倍 物质状态：存在点阵结构，对状态方程的主要贡献来 自点阵振动以及成键电子运动。 加载条件：静力压缩、炸药爆轰、轻气炮可以达到。 采用的模型：点阵振动模型和电子能带模型 模型的基本方程：Gruneisen方程及能量表示式。
在这种应力范围内，固态强度对于材料高速变形是不可忽 略的因素。
❖ 塑性应力应变关系特点
出现塑性变形后，应力和应变之间不存在单值对应关系， 应变不但由当时的应力决定，而且依赖于加载历史。
加载和卸载时，应力和应变的关系不同。
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 弹塑性应力－应变关系基本内容
1。初始屈服准则 材料由弹性变形开始转变到塑性变形时的判别准则。
2. 状态方程导引（续）
状态方程的使用要求
1。在计算具体物质的状态方程时，要恰当选择理 论模型和计算方法。
2。由于实际问题中物质可能出现几种状态，要运 用几种理论模型来给出状态方程。
3。实际计算中，状态方程应有尽可能简单的形式， 最好是不同的物态能用一个统一的形式表达。
2. 状态方程导引（续）
确定状态方程的具体步骤
2. 状态方程导引（续）
e) 弹塑性区
压强：低于20GPa至材料的动态断裂强度 密度：稍高于常密度至稍低于常密度
温度：室温至103K以下 物质状态：在此范围内将出现双波结构，在弹性前 驱波之后跟随着塑性冲击波。材料强度对材料变形的影 响不可忽略。随着塑性流动发展，将出现断裂。
采用的模型：弹塑性模型
2. 状态方程导引（续）
状态方程应用中几种具体形式
1. P(E, ) 形式 若不考虑热传导，则方便的形式是用能量E作变
量，而不用温度T作变量。
2. P(T, ) E(T, ) 形式 若必须考虑热传导效应，则方便的形式是用温度
T作变量。
2. 状态方程导引（续）
Mie-Gruneisen方程
p pk V V E Ek V
应力张量经过一个微小变化能否继续再发生塑性变形的判别准则。
加载准则主要类型 （1）各向同性硬化 （2）各向异性硬化
各向同性硬化： 在 t 时刻物质微元虽发生了塑性变形，并处在相应应力－应变状 态下，但仍具有各向同性的性质。
（介于固态与液态之间的玻璃态）
2. 状态方程导引（续）
1. 区分材料类型（续） 不同材料类型状态方程理论模型的差别
a。对于疏松材料，由于热效应显著，需要仔细考 虑状态方程中的点阵项及电子项。
b。对于金属材料的电子贡献采用自由电子模型， 而非金属材料只能采用半导体模型或其它模型。
c。对于混合物，体积相加模型常被用来计算高压 混合物物态方程，虽然对于低压范围缺乏实验数据， 对于很多混合物，相加模型还是相当可靠。
4. 确定参数
主要指对半经验、半理论方法而言，由实验数据来 确定状态方程理论形式中的待定参量实际上是用一定 的函数形式来拟和实验数据。
5. 计算数据和分析结果
按照所要研究的问题中材料可能出现的状态范围计 算压强、能量等数据。计算等温线、Hugoniot曲线 和等熵线。
考察计算结果的合理性，是否满足热力学稳定性及 压强和能量是否自恰。
由应力、应变张量之间的关系来描写弹塑性流动。 应变依赖于应力、加载的历史，而且加载、卸载有别， 与材料温度及应变率有关。
2. 状态方程导引（续）
3. 收集实验数据 a) 常态附近（包括低温、低压）的一些物
性数据。 b) 静力压缩压强－体积关系实验数据 c) 动力压缩Hugoniot实验数据
2. 状态方程导引（续）
10-1 10-3～5×10-4
10-1～3×10-3 2×10-1
10-1～2×10-2
备注 p表示初压 p表示初压 p表示炸药的爆压 p表示初始激波压力： p=ρUu，U为激波波速 ，u为质点速度跃变值 p表示特征动压 p表示特征动压 p表示特征动压
1. 流体弹塑性基本概念（续）
流体弹塑性概念的提出
( 11
22 )2
( 22
33 )2
( 33
11 ) 2
6(
2 12
2 23
2 31
)
6C
2 M
温度、压力、应变率修正 max( 1, 2 , 3 ) f ( p,T.e)
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 加载函数与Drucker位势理论
加载准则： 对已经发生了塑性变形的材料从一个状态转变到其临近状态，即
燃烧、爆炸条件
❖ 爆炸中心及其附近（流体情况） ✓ 温度：可以达到3000K。 ✓ 压力：超过10～30GPa或更高 ❖ 离开爆炸中心一定距离（固体情况） ✓ 温度、压力下降，随着距离的增加，压力逐渐衰减为材料强度
的量级或更低。
燃烧、爆炸作用下介质的状态 流体状态－－塑性状态－－弹性状态
1. 流体弹塑性基本概念（续）
2。加载函数 塑性变形的增量 deijp 会不会发生？已经发生了塑性变形
的材料从一个状态转变到其临近状态能否继续发生塑性变形。
3。 的大小和 t 时刻的状态以及应力增量之间的关系
deijp
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 初始屈服准则
应力张量
x xy xz
T yx y yz
zx
2. 状态方程导引（续）
1. 区分材料类型（续） e。对于重材料，可以使用Thomas-Fermi原子统
计理论。对于轻材料，使用原子统计理论要注意。 f。在常态下呈现晶体结构的固体，Gruneisen状
态方程是一个很好的近似。对于液体如水以及聚合 物等材料，要用到一些半经验方法处理。
2. 状态方程导引（续）
理想气体状态方程
P ( 1)(E u 2 v2 w2 )
2
pM
RT
1 NS mi
M W i1 i
凝结态炸药爆轰产物状态方程
P
C11
r1v
e
r1v
C2 1
r2 v
e
r2
v
e
v
3.弹塑性应力应变关系
❖ 塑性激波现象
一维应变平板撞击中，平均压力在数万至数十万大气压范 围内，出现双波结构，即弹性前驱波和尾随着的塑性激波。
❖ 模型假设： 1。应力和应变由体变和畸变两部分组成
ij ii 3 ij sij
eij eii 3 ij ij
2。应变有弹性和塑性两部分
eij eiej eipj
eii
3 ij
e ij
p ij
3。描写流体性质的状态量服从“状态方程”。
4。描写固体性质的状态量服从“弹塑性盈利——应变关系”， 包括弹性-屈服-塑性三部分
s33s11
s122
s
2 23
s321
1 6
[(
11
22 )2
( 22
33 )2
( 33
11 )2
6(
2 12
2 23
2 31
)]
Tresca屈服函数
max( 1, 2 , 3 )
max[
1
3 2
,
2
3 2
,
1
3 2
] CT
Von-Mises屈服函数 i [J2 (sij )]1/ 2 CM
❖ 改变的条件 压强或温度。
❖ 相变类型 第一类相变：伴随着相变潜热和体积跃变。如：固固相变、固 夜相变、以及一般的气液相变等。 第二类相变：没有相变潜热和体积跃变，但是有比热等的变化。 如：铁磁体转变为顺磁体，二元合金中的有序无序转变，金属 转变为超导态，液态氦转变为超流态等。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
2. 状态方程导引
状态方程的概念
通常是指物体的 PVT关系，即压强P、体积V、温 度T之间的函数关系。有时除上述关系外，还将内能函 数E(V、T)包括在内。
状态方程的建立
理论模型－－通过量子力学和统计物理的概念和方 法从原子、分子运动角度建立模型。
工程理论－－在部分理论模型的基础上确定状态方 程的基本形式，通过实验研究确定参数。
屈服函数
f ( ij , eij ) C
f (I1, I2 , I3) C
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 初始屈服准则 （续）
应力偏量张量 sij ij p ij
应变偏离张量
应力偏离形式屈服准则（不计静水压效应）
ij
eij
3
ij
f (J2,2
s22 s33
2. 状态方程导引（续）
c) 高温低密度
密度：稍大于常密度至远小于常密度
温度：几个105K至107K 物质状态：由于系统密度较低，温度较高，点阵结 构不存在，分子的离解及原子中电子的电离现象十分显 著。系统中粒子差不多都是带电粒子，需考虑粒子间静 电相互作用。
采用的模型：
用离解电离平衡方程描述分子离解和电离过程。
用Debye－Huckel理论描述静电相互作用
2. 状态方程导引（续）
d) 过渡区（a、b区之间过渡区）
密度：压缩比3～5 温度：104K至105K 物质状态：点阵处在崩溃的过程中，原子中的电子 结构处于电离阶段。 采用的模型：
由于物理过程复杂，至今没有好的方法，现在主 要采用数值插值方法，从a、b两区合理外推延伸。
2. 状态方程导引（续）
b) 高密度区
压强：重材料, 几个TPa以上; 轻材料, 10TPa以上 密度：重材料, 压缩3－4倍; 轻材料, 压缩5－10倍以上 物质状态：物质的晶体结构和原子的电子壳层结构已 不存在，原子内的电子可以看作连续分布，忽略原子 间的相互作用，可以把材料看成由许多全同的中性原 子所组成。 采用的模型：Thomas－Fermi统计理论
介质作用过程状态特征
类型
Y(MPa)
地下核爆炸 5×102
土岩爆破 10～5×102
爆炸硬化
103
陨石碰撞 102～5×102
p(MPa) 106
5×103 104
105～106
破甲 穿甲 爆炸焊接
103
104～3×105
103
5×103
103
104～5×104
Y/p 5×10-4 2×10-3～10-1
1。区别材料类型 2。划分状态区域及选取理论模型和计算方法 3。收集实验数据 4。确定参数 5。计算数据和分析结果
2. 状态方程导引（续）
1. 区分材料类型
a。密实程度：密实材料和疏松材料 b。导电性能：金属材料和非金属材料 c。化学成分：单质材料和复合材料
（复合材料：混合物和化合物） d。原子量：重材料和轻材料 e。聚集状态：气态、液态、固态
❖ 分区模型 ✓ 各物质状态区分别建模描述（近区：流体区，远区：固体区） ✓ 各分区间建立界面条件 ❖ 分区模型的不足 ✓ 人为划分方法，引入较多不确定因素。
流体弹塑性模型基本概念
把通常的介质当作兼有流体性质和弹塑性或粘弹塑性固体性质 的连续介质。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
流体弹塑性主要参量
❖ 特征屈服极限Y ❖ 特征压力片p或特征动压ρv2/2 ❖ 它们的比值Y/p
❖ 流体弹塑性模型
1. 流体弹塑性基本概念 2. 状态方程导引 3. 弹塑性应力应变关系 4. 流体弹塑性方程组 5. 实例介绍
1. 流体弹塑性基本概念
物质的状态
❖ 固体： 组成它的原子或分子有规则的排列，原子只能在其平
衡位置附近作微小振动。 ❖ 液体：
组成它的原子或分子有规则的排列，分子能在较大范 围运动。 ❖ 气体：
zy
z
应变张量
ex exy exz
Te eyx ey eyz
e
zx
ezy
ez
应力不变量
I1 11 22 33
I2
( 11 22
22 33
33 11
2 12
2 23
2 31
I3 11 22 33 12 23 31 31 32 21 13 22 31 12 21 33 11 32 23
流体弹塑性体的运动特点：
✓ 塑性应力所做的功使介质温度显著升高，相应地引起压力和 密度的变化，从而造成剪切变形和体积变形的相互耦合，以及机 械效应和热效应的相互耦合； ✓ 温度、压力和应变率的变化往往对屈服极限发生影响。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
流体弹塑性模型的内容
模型融合了流体性质（体变）和固体性质（主要是畸变） 以及固体变形的弹性和塑性两方面的内容
组成它的分子是完全无序的，分子的运动非常自由。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
物质相态特征
❖ 固体： 具有一定的外形和强度。
❖ 液体： 能保持一定的体积，具有表面张力。在微小切应力作
用下，立即产生流动。 ❖ 气体：
总是充满整个容器，在微小切应力作用下产生流动。 流体：液体和气体的总称。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
2. 区分状态区域，选取理论模型及计算方法 区分依据：温度、密度和压强 a) 低温低压区（冲击压缩区） b) 高密度区 c) 高温低密度区 d) 过渡区 e) 弹塑性区
2. 状态方程导引（续）
a) 低温低压区（冲击压缩区）
压强：常压105Pa～1TPa 温度：298K～104K 密度：常密度～压缩3－4倍 物质状态：存在点阵结构，对状态方程的主要贡献来 自点阵振动以及成键电子运动。 加载条件：静力压缩、炸药爆轰、轻气炮可以达到。 采用的模型：点阵振动模型和电子能带模型 模型的基本方程：Gruneisen方程及能量表示式。
在这种应力范围内，固态强度对于材料高速变形是不可忽 略的因素。
❖ 塑性应力应变关系特点
出现塑性变形后，应力和应变之间不存在单值对应关系， 应变不但由当时的应力决定，而且依赖于加载历史。
加载和卸载时，应力和应变的关系不同。
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 弹塑性应力－应变关系基本内容
1。初始屈服准则 材料由弹性变形开始转变到塑性变形时的判别准则。
2. 状态方程导引（续）
状态方程的使用要求
1。在计算具体物质的状态方程时，要恰当选择理 论模型和计算方法。
2。由于实际问题中物质可能出现几种状态，要运 用几种理论模型来给出状态方程。
3。实际计算中，状态方程应有尽可能简单的形式， 最好是不同的物态能用一个统一的形式表达。
2. 状态方程导引（续）
确定状态方程的具体步骤
2. 状态方程导引（续）
e) 弹塑性区
压强：低于20GPa至材料的动态断裂强度 密度：稍高于常密度至稍低于常密度
温度：室温至103K以下 物质状态：在此范围内将出现双波结构，在弹性前 驱波之后跟随着塑性冲击波。材料强度对材料变形的影 响不可忽略。随着塑性流动发展，将出现断裂。
采用的模型：弹塑性模型
2. 状态方程导引（续）
状态方程应用中几种具体形式
1. P(E, ) 形式 若不考虑热传导，则方便的形式是用能量E作变
量，而不用温度T作变量。
2. P(T, ) E(T, ) 形式 若必须考虑热传导效应，则方便的形式是用温度
T作变量。
2. 状态方程导引（续）
Mie-Gruneisen方程
p pk V V E Ek V
应力张量经过一个微小变化能否继续再发生塑性变形的判别准则。
加载准则主要类型 （1）各向同性硬化 （2）各向异性硬化
各向同性硬化： 在 t 时刻物质微元虽发生了塑性变形，并处在相应应力－应变状 态下，但仍具有各向同性的性质。
（介于固态与液态之间的玻璃态）
2. 状态方程导引（续）
1. 区分材料类型（续） 不同材料类型状态方程理论模型的差别
a。对于疏松材料，由于热效应显著，需要仔细考 虑状态方程中的点阵项及电子项。
b。对于金属材料的电子贡献采用自由电子模型， 而非金属材料只能采用半导体模型或其它模型。
c。对于混合物，体积相加模型常被用来计算高压 混合物物态方程，虽然对于低压范围缺乏实验数据， 对于很多混合物，相加模型还是相当可靠。
4. 确定参数
主要指对半经验、半理论方法而言，由实验数据来 确定状态方程理论形式中的待定参量实际上是用一定 的函数形式来拟和实验数据。
5. 计算数据和分析结果
按照所要研究的问题中材料可能出现的状态范围计 算压强、能量等数据。计算等温线、Hugoniot曲线 和等熵线。
考察计算结果的合理性，是否满足热力学稳定性及 压强和能量是否自恰。
由应力、应变张量之间的关系来描写弹塑性流动。 应变依赖于应力、加载的历史，而且加载、卸载有别， 与材料温度及应变率有关。
2. 状态方程导引（续）
3. 收集实验数据 a) 常态附近（包括低温、低压）的一些物
性数据。 b) 静力压缩压强－体积关系实验数据 c) 动力压缩Hugoniot实验数据
2. 状态方程导引（续）
10-1 10-3～5×10-4
10-1～3×10-3 2×10-1
10-1～2×10-2
备注 p表示初压 p表示初压 p表示炸药的爆压 p表示初始激波压力： p=ρUu，U为激波波速 ，u为质点速度跃变值 p表示特征动压 p表示特征动压 p表示特征动压
1. 流体弹塑性基本概念（续）
流体弹塑性概念的提出
( 11
22 )2
( 22
33 )2
( 33
11 ) 2
6(
2 12
2 23
2 31
)
6C
2 M
温度、压力、应变率修正 max( 1, 2 , 3 ) f ( p,T.e)
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 加载函数与Drucker位势理论
加载准则： 对已经发生了塑性变形的材料从一个状态转变到其临近状态，即
燃烧、爆炸条件
❖ 爆炸中心及其附近（流体情况） ✓ 温度：可以达到3000K。 ✓ 压力：超过10～30GPa或更高 ❖ 离开爆炸中心一定距离（固体情况） ✓ 温度、压力下降，随着距离的增加，压力逐渐衰减为材料强度
的量级或更低。
燃烧、爆炸作用下介质的状态 流体状态－－塑性状态－－弹性状态
1. 流体弹塑性基本概念（续）
2。加载函数 塑性变形的增量 deijp 会不会发生？已经发生了塑性变形
的材料从一个状态转变到其临近状态能否继续发生塑性变形。
3。 的大小和 t 时刻的状态以及应力增量之间的关系
deijp
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 初始屈服准则
应力张量
x xy xz
T yx y yz
zx
2. 状态方程导引（续）
1. 区分材料类型（续） e。对于重材料，可以使用Thomas-Fermi原子统
计理论。对于轻材料，使用原子统计理论要注意。 f。在常态下呈现晶体结构的固体，Gruneisen状
态方程是一个很好的近似。对于液体如水以及聚合 物等材料，要用到一些半经验方法处理。
2. 状态方程导引（续）
理想气体状态方程
P ( 1)(E u 2 v2 w2 )
2
pM
RT
1 NS mi
M W i1 i
凝结态炸药爆轰产物状态方程
P
C11
r1v
e
r1v
C2 1
r2 v
e
r2
v
e
v
3.弹塑性应力应变关系
❖ 塑性激波现象
一维应变平板撞击中，平均压力在数万至数十万大气压范 围内，出现双波结构，即弹性前驱波和尾随着的塑性激波。
❖ 模型假设： 1。应力和应变由体变和畸变两部分组成
ij ii 3 ij sij
eij eii 3 ij ij
2。应变有弹性和塑性两部分
eij eiej eipj
eii
3 ij
e ij
p ij
3。描写流体性质的状态量服从“状态方程”。
4。描写固体性质的状态量服从“弹塑性盈利——应变关系”， 包括弹性-屈服-塑性三部分
s33s11
s122
s
2 23
s321
1 6
[(
11
22 )2
( 22
33 )2
( 33
11 )2
6(
2 12
2 23
2 31
)]
Tresca屈服函数
max( 1, 2 , 3 )
max[
1
3 2
,
2
3 2
,
1
3 2
] CT
Von-Mises屈服函数 i [J2 (sij )]1/ 2 CM