2019学年高中数学人教A版浙江专版必修5：第一章 1.2 应用举例 Word版含答案

应用举例第一课时 解三角形的实际应用举例[新知初探]实际测量中的有关名称、术语[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( )预习课本P11～16，思考并完成以下问题(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)方位角和方向角是一样的()解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．答案：(1)×(2)×(3)×2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：选B如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故选B.3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为() A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.4.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为1 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为________km.解析：由题意得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°，又AC＝1，BC＝3，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 150°＝7，∴AB＝7.答案：7测量高度问题[典例] 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两点C 与D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .[解] 在△BCD 中， ∠CBD ＝π－(α＋β)．由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD .∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β).在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·sin βtan θsin (α＋β).[活学活用]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100 m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 如图，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.解析：因为∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.在△ABS中，AB＝AS·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，所以BC＝AB·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)．答案：1 000[典例]如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？[解]由题意，知AB＝5(3＋3) n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， ∴在△DBC 中，由余弦定理，得 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ，则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h.[活学活用]在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22，∴∠ABC ＝45°，BC 与正北方向成90°角．∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBDCD ＝10t sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题点一：两点间不可通又不可视1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长． 解：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m. 题点二：两点间可视但有一点不可到达2.如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. 答案：20 6题点三：两点都不可到达3.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DCsin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)． ∴A ，B 两点间的距离为64km.层级一 学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B ，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3. 2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762n mile/hB ．34 6 n mile/hC.1722n mile/hD ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762 n mile/h.3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )A.a sin α·sin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin α·cos βsin (β－α) D.a cos α·sin βcos (α－β)解析：选A 设AB ＝x ，则在Rt △ABC 中，CB ＝x tan β，所以BD ＝a ＋x tan β，又因为在Rt △ABD 中，BD ＝x tan α，所以BD ＝a ＋x tan β＝x tan α，从中求得x ＝a1tan α－1tan β＝a tan αtan βtan β－tan α＝a sin αsin βsin βcos α－sin αcos β＝a sin αsin βsin (β－α)，故选A.4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2)m,20 3 mD.1532 m ，2033m解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．5．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )A.1507min B.157hC ．21.5 minD ．2.15 h解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t 小时后，甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图．则BC ＝10－4t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝120°，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD ＝(10－4t )2＋36t 2＋6t (10－4t )＝28t 2－20t ＋100，所以当t ＝514时，CD 2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是1507min ，故选A.6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7. 则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：77．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°，设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°， 又DA ＝BD ·cos 45°＝100×22＝502， 所以x ＝DA ·tan 45°tan 30°－DA ＝502×133－50 2＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：10639.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．解：如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×13＝102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴(B 1B 2)2＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里．10．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 千米，AC ＝3 千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C 点)．解：由∠ADC ＝150°知∠ADB ＝30°，由正弦定理得1sin 30°＝AD sin 120°，所以AD ＝ 3. 在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos 150°，即32＝(3)2＋DC 2－2·3·DC cos 150°，即DC 2＋3·DC －6＝0，解得DC ＝－3＋332≈1.372 (千米)，∴BC ≈2.372(千米)，由于2.372<2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.层级二 应试能力达标1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ， 由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×32＝1532m. 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )A ．485 海里/小时B ．385 海里/小时C ．27 海里/小时D ．4 6 海里/小时解析：选A 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝(202)2＋102－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为28512＝485海里/小时．5.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)解析：如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ.设CO ＝x ，则OP ＝33x . 在Rt △ABC 中，AB ＝15，AC ＝25，所以BC ＝20. 所以cos ∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625.故tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝⎛⎭⎫25x －452＋925 .当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 答案：5396．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.解析：如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C 处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝t v ，AC ＝3t v ，又B ＝120°，则由正弦定理BC sin ∠CAB ＝AC sin B ，得1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a (n mile) 答案：北偏东30°3a7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4， 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°. 因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3.所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m.8.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421千米． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．第二课时 三角形中的几何计算[新知初探] 三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B.[点睛] 三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝12a ·h (h 为a 边上的高)的关系为：h ＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公式S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积( )(2)三角形中已知三边无法求其面积( )(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( ) 解析：(1)正确，S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积． (3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．答案：(1)√ (2)× (3)√预习课本P16～18，思考并完成以下问题2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32B.332C. 3D ．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( )A ．60°或120°B ．60°C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.4．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋⎝⎛⎭⎫1－sin A 42＝1，sin A ＝817. 答案：817[典例] 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32. ∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.[活学活用]△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小． 解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.[典例] 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.证明：[法一 化角为边]左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2ac b －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A ＝右边， 其中R 为△ABC 外接圆的半径． ∴a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A .[法二 化边为角]左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos Bsin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A .[活学活用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A.证明：法一：由正弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝2R sin C －2R sin B cos A 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C.法二：由余弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝c －b 2＋c 2－a 22cb －b 2＋c 2－a 22b＝a 2＋c 2－b 22c b 2＋a 2－c 22b ＝a 2＋c 2－b 22ac b 2＋a 2－c22ab＝cos B cos C .题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B －c ＝b 2.(1)求角A 的大小；(2)若b －c ＝6，a ＝3＋3，求BC 边上的高． 解：(1)由a cos B －c ＝b2及正弦定理可得，sin A cos B －sin C ＝sin B2， 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin B 2＋cos A sin B ＝0.因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12，因为0<A <π，所以A ＝2π3.(2)由余弦定理可知， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ， 所以(3＋3)2＝b 2＋c 2＋bc ＝(b －c )2＋3bc ＝6＋3bc ， 解得bc ＝2＋2 3.设BC 边上的高为h ，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ，得12(2＋23)sin 2π3＝12(3＋3)h, 解得h ＝1. 题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)求3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6的取值范围． 解：(1)由正弦定理得：(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 即sin C (2cos B －1)＝0，∵sin C ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，∴C ＝2π3－A ，∴3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈(1,2]， ∴3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6的取值范围是(1,2]． 题点三：三角形中的最值问题3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc .(1)求角A 的大小；(2)当a ＝6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状． 解：(1)由sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc ，得sin (A －B )sin (A ＋B )＝sin B ＋sin Csin C .又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin B ＋2 cos A sin B ＝0， 又sin B ≠0，∴cos A ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)S ＝12bc sin A ＝34bc ＝34×2R sin B ·2R sin C＝3R 2sin B ·sin C ＝3R 2sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝32R 2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－34R 2，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3. 由正弦定理2R ＝asin A＝6sin2π3＝43，∴R ＝2 3.当2B ＋π6＝π2，即B ＝C ＝π6时，S max ＝33，∴△ABC 面积的最大值为33，此时△ABC 为等腰钝角三角形． 题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C.3 D ．2 3 解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78 B.78 C ．－87 D.87解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b2×b ×154＝154，所以b ＝2，选C. 5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2 解析：选A 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C ，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.答案：5628．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.答案：9289．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )， 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，由正弦定理，得ABsin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，解得BD ＝922，故BD 的长为922.层级二 应试能力达标1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°，∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A＝4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， 设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4， ∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB AC ________.解析：S △ABC ＝12·AB AC sin A ，即3＝12·AB AC |·32，AB AC 4，AB AC AB AC cos A ＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：∵b a ＋ab ＝6cos C ，∴a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2， 又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos Bsin B cos C＝sin C (sin B cos A ＋cos B sin A )sin A sin B cos C＝sin C sin (B ＋A )sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2aba 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案：47．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C . (1)求a 2＋b 2c 2的值；(2)若a ＝22c ，且△ABC 的面积为4，求c 的值． 解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b 2c2的值为3.(2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55. 所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2 B ＋C2＋sin A ＝45. (1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值.解：2cos 2B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15.又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎨⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103. (2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C )＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ] ＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎨⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010 ，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到．此时b ＝asin Asin B ＝10.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选A 由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形． 2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6解析：选C 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53B.23 C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.4．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.7．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154 B.1534C.2134D.3534解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22AB ·AD＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22×32a ·32a＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C .∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a2a ·223＝66.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则这个三角形的形状是________． 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C ，三角形ABC 为等边三角形．答案：等边三角形10．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则A ＝________，a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3. 答案：30° 1∶1∶ 311．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则B ＝________，△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：π3 3412．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________，三角形的形状为________．解析：∵b ＝2a ，由正弦定理，得sin B ＝2sin A ，又B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即12sin A ＋32cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝33.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°，B ＝90°.答案：30° 直角三角形13．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC 的最大值是________．解析：由题意得， 12bc sin A ＝12a 2⇒bc sin A ＝a 2，因此AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC ＝b c ＋c b ＋a 2bc ＝b 2＋c 2＋a 2bc ＝a 2＋2bc cos A ＋a 2bc ＝2cos A ＋2sin A ＝22sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤22，从而所求最大值是2 2.答案：2 214．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则sin C ＝________，c ＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：5665 14515．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)．答案：36三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin Csin A＝5.17.(15分)如图，观测站C 在目标A 的南偏西20°方向，经过A 处有一条南偏东40°走向的公路，在C 处观测到与C 相距31 km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20 km 到达D 处，此时测得C ，D 相距21 km ，求D ，A 之间的距离．解：由已知，得CD ＝21 km ，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ， 在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝－17.设∠ADC ＝α，则cos α＝17，sin α＝437，在△ACD 中，由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CD sin ∠CAD ，得ADsin (60°＋α)＝21sin 60°，所以AD ＝423sin(60°＋α)＝423⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝15(km)，即所求D ，A 之间的距离为15 km.18.(15分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．解：由题意知AB ＝40，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°， 所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40， 所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120° ＝402＋402－2×40×40×⎝⎛⎭⎫－12＝402×3，。