上海市中预下数学专题03 方程的解与一元一次方程(考点串讲)(沪教版)(解析版)
沪教版六年级下册数学——方程与一元一次方程-
【难度】★ 【答案】 【解析】
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【例 17】 若关于 x 的方程 x n 3 2n 3 0 是一元一次方程，则这个方程的解为______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例 18】 方程 1 x 2 0 的解与 3 x k 9 的解相同，则 k =______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
（2） 2 y
y 1 y2 ． 1 3 5
【例 23】 解方程： （1） 4 x 2 5 35 x 2 ； （2） 2 x 2 5 x 2 20 8 x 2 ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例 24】 解方程： （1） 1 x 2 30%
【例 2】 列方程： （1）x 与 4 的差为 9； （2）y 的 3 倍的相反数与 5 的和为 10； （3）m 的立方与 n 的平方的商为 2； （4）一个正方形的边长为 a 厘米，周长为 36 厘米． 【难度】★ 【答案】 【解析】
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2 2 【例 3】 （1）方程 3 x mn 5 0 中，项 3x 的系数是______，次数是______；项 mn 的 3 3
【例 9】 若 x = 4 是方程 5 x mx 4 的解，求 m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例 10】 根据下列条件列出方程： 某区用一批人进行了两次数学竞赛， 第一次及格人数是不及格人数的 3 倍多 4 人， 第二 次及格人数增加了 5 人， 这时及格人数是不及格人数的 5 倍， 一共多少人参加了数学竞赛？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
xa 8 的解相同，则 a =______． 2
【习题 6】 【难度】★★ 【答案】 【解析】
六年级数学下册期中期末-专题03 方程的解与一元一次方程(真题测试)(沪教版)(解析版)
专题03 方程的解与一元一次方程【真题测试】 一、选择题1．（普陀2018期中1）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）． （A ）1123x =+；（B ）253x y +=；（C ）21603x x -=；（D ）231x x -=+. 【答案】D ；【解析】根据一元一次方程定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1次的整式方程；故只有231x x -=+满足；故选D.2.（浦东四署2019期中2）在下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A.75x +； B. 1x =； C. 8x y +=； D. 210x +>. 【答案】B ；【解析】根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程，故选B. 3．（崇明2018期中3）下列方程的变形，正确的是（ ）.（A ）由137=-x ，得713-=x （B ）由x x 567=+，得657=-x x （C ）由121=x ，得21=x （D ）由845+=x x ，得845=-x x【答案】D ；【解析】因为由713x -=，得137x -=-，故A 错误；因为765x x +=，得756x x -=-，故B 错误；由1122x x =⇒=，故C 错误；因为548548x x x x =+⇒-=，故D 正确；因此答案选D. 4. （松江2018期末18） 甲、乙两人从同一地点出发，如果甲先出发1小时后，乙从后面追赶，那么当乙追上甲时，下面说法正确的是（ ）(A)乙比甲多走了1小时； (B) 甲、乙所用的时间相等； (C) 甲、乙所走的路程相等； (D)乙走的路程比甲多. 【答案】C ；【解析】根据题意可知，甲比乙多走1个小时，两人所走的路程是相等的，故选C.5. （松江2019期中16）某班同学春季植树，若每人种4棵树，则还剩12棵树；若每人种5棵树，则还少18棵树。
若设共植树x 棵，则可列方程（ ）．（A ） 185124-=+x x （B ）185124+=-xx（C ）518412+=-x x （D ）518412-=+x x 【答案】C ；【解析】根据人数不变列方程，每人4棵树时，人数为124x -；每人种5棵时，人数为185x +，故列方程为：121845x x -+=，故选C. 6．（普陀2018期中6）一辆货车在上午8：30分以每小时30千米的速度把货物由A 地开往B 地，若8点45分一辆客车以每小时45千米的速度由A 地开往B 地，客车比货车早到17分钟，若设A 地到B 地的距离为x 千米，则下列方程正确的是（ ）.（A ）151730606045x x +-= ； （B ）151730604560x x -=- ； （C ）1517+30606045x x += ； （D ）1517+30604560x x -=.【答案】D.【解析】以时间作为等量关系，可列一元一次方程：1517+30604560x x -=. 二、填空题7．（崇明2018期中13）检验：1-和2-是否为方程022=--x x 的解？检验结果是 为这个方程的解．【答案】1x =-；【解析】当x=-1时，2(1)(1)21120----=+-==右边，故当x=-1时是方程的解；当x=-2时，2(2)(2)242240----=+-=≠，故当x=-2时不是方程的解.8.（金山2018期中14）方程3111x -=的解是 . 【答案】4x =；【解析】由3111x -=得：312x =，即4x =.9.（杨浦2019期中11）如果关于x 的方程521mx x -=-的解是2x =，那么关于y 的方程22y m -=的解是 . 【答案】3；【解析】因为关于x 的方程521mx x -=-的解是2x =，所以4m =，所以242,3y y -=∴=.10．（黄浦2018期末11）如果2x =是方程3()21x a x +=-的解，那么a 的值是 ． 【答案】1a =-；【解析】将2x =代入方程3()21x a x +=-得3(2)41a +=-，解之得1a =-. 11. （普陀2018期末14）如果关于x 的一元一次方程20ax +=的解是12x =，那么a = .【答案】4-； 【解析】将12x =代入20ax +=，得1202a +=，解得4a =-. 12．（松江2019期中12）甲、乙、丙三人年龄之比是2∶3∶4，年龄之和为45岁，则最大年龄是 岁． 【答案】20；【解析】设甲、乙、丙三人年龄分别为2x 、3x 、4x ，则9x=45,得x=5,所以最大年龄为20岁.13．（普陀2018期中17）在400米的环形跑道上，男生每分钟跑320米，女生每分钟跑280米，若他们同时同地同向出发，那么_________分钟后他们第一次相遇. 【答案】10;【解析】他们第一次相遇，说明跑的距离相差一个400米. 设经过t 分钟后两人第一次相遇，依题：320280400x x -=，解得10x =.14．（崇明2018期中17） 一种节能冰箱的进价为x 元，某商店按进价加价20%作为原售价，销售一段时间后，商店打出九折出售的广告，已知九折之后的售价为2160元，试写出求冰箱的进价x 的方程： ． 【答案】90%(120%)2160x +=；【解析】原售价为(120%)x +，九折后的售价为2160，故方程为：90%(120%)2160x +=.15.（浦东四署2019期中16）六（1）班共有学生34人，已知男生人数是女生人数的2倍少11人，如果设女生人数为x 人，那么可以列出方程 . 【答案】31134x -=;【解析】男生人数为（211x -）人，故21134x x -+=即31134x -=.16.（宝山2018期末15）对于两个不相等的有理数a 、b ，我们规定符号max ｛a 、b ｝表示a 、b 中的较大值，如：max ｛2、4｝=4，按照这个规定，方程max ｛x 、-x ｝=2x +1的解为 . 【答案】13x =-；【解析】解：当0x >时，max{}21x x x x -==+、，解得1x =-（舍去）；当0x <时，max{}x x x -=-、，所以21x x -=+解得13x =-；故原方程的解为13x =-. 三、解答题17.（松江2018期中23）解方程：)15(2)32(28-=--x x 【答案】4x =；【解析】解：去括号，得2823102x x -+=-，移项合并，得728x -=-，所以4x =. 所以原方程的解为4x =.18.（宝山2018期末22）解方程：()13292216--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x【答案】3x =【解析】解：去括号，得6322933x x ++=-+， 移项合并，得927x =， 所以3x =，所以，原方程的解是3x =.19.（金山2018期中24）解方程：21135x x +--=. 【答案】1x =；【解析】解：去分母，得5(2)3(1)15x x +--=，去括号，得5103315x x +-+=，合并化简得1x =. 所以原方程的解为1x =.20.（松江2018期中24）解方程：13125x xx +-=+. 【答案】15x =-；【解析】 解：去分母，得105(1)610x x x -+=+， 去括号，得1055610x x x --=+，移项合并，得15x -=，所以15x =-. 所以，原方程的解是15x =-. 21.（松江2019期中22）解方程：134225x x --=-. 【答案】3x =；【解析】解：去分母，得()()51210234x x -=⨯--， 去括号，得 552068x x -=-+， 56285x x +=+，得1133x =， 化简，得3x = ，所以，原方程的解是3x =． 22.（金山2018期末22）解方程：44162-=--x x 【答案】4x =-；【解析】解：去分母，得2(2)123(4)x x --=-，去括号，得2412312x x --=-. 移项、化简，得 4x =-. 所以，原方程的解为4x =-.23．（浦东2018期末20）解方程：2843245--=x x ． 【答案】15x =；【解析】解：去分母，得53(34)224x x =--⨯，去括号，得591248x x =--，移项合并，得460x -=-，所以15x =． 所以，原方程的解为15x =． 24．（松江2018期末20）解方程：854216++=x x . 【答案】6x =-；【解析】去分母：322(45)x x =++，去括号：32810x x =++，移项合并得：742x -=，解得：6x =-. 所以原方程的解为6x =-.25．（普陀2018期中25）若关于x 的方程21x a x +=-的解是2x =-，求2018a 的值. 【答案】1；【解析】解：把2x =-代入方程21x a x +=-中，得：2(2)21a ⨯-+=-- ， 解得： 1a =，20182018=1=1a ，答：2018a 的值为1，另一种解法：由关于x 的方程21x a x +=-，解得：1x a =-- 则 12a --=-，解得：1a =，20182018=1=1a ，答：2018a 的值为126.（金山2018期中28）一家商店将某种商品按成本价加价80%作为标价，又以标价的六折优惠卖出，结果每件商品仍可获利40元，这种服装每件的成本价是多少元？ 【答案】500元；【解析】设这种服装每件的成本是x 元. 根据题意得：(180%)60%40x x +⋅=+，解之得：500x =. 答：这种服装每件的成本是500元.27.（浦东四署2019期中24）一家商店将某种服装按进价加价50%作为标价，又以标价的八折优惠卖出，结果每件服装仍可获利30元，问这种服装每件的进价是多少元？ 【答案】150元；【解析】解：设这种服装每件的进价是x 元. 根据题意，得80%(150%)30x x +-=，解方程，得150x =. 答：这种服装的进价是150元.28.（杨浦2019期中28）一家商店将某种服装按成本价加价40%作为标价，又以八折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，问这种服装每件成本价是多少元？【答案】125元；【解析】解：设这种服装每件成本x 元，则80%(140%)15x x +-=，解之得125x =， 答：这种服装每件成本125元.29. （普陀2018期末24） 一家商店将某种服装按成本提高15%后标价，又以标价的9折卖出，结果每件服装仍可获利7元，问这种服装每件的成本价是多少元？ 【答案】200元；【解析】解：设这种服装每件的成本价是x 元. 根据题意，得()115%90%7x x +⨯=+. 解得200x =.答：这种服装每件的成本价是200元.30.（松江2019期中28）小明和小杰从两地相向而行，如果两人同时出发，那么经过32分钟两人相遇；如果小明出发半小时后小杰再出发，那么经过13小时两人相遇，如果小明的速度是4千米/时，问小杰的速度是多少千米/时？ 【答案】6千米/时.【解析】解：设小杰的速度是x 千米/时， 根据题意，得()()32114446023x x ⨯+=⨯+⨯+， 解得6x =，答：小杰的速度是6千米/时.31. （松江2018期中28）小丽从家到学校有公路和小路两种路径，已知公路比小路远320米。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解3--- 一元一次方程(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题03一元一次方程【思维导图】【知识要点】知识点一一元一次方程的基础等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
注意：1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。
2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
特征：它含有未知数，同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0）【特征】1. 只含有一个未知数x2. 未知数x的次数都是13. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
一元方程的解又叫根。
知识点二等式的性质（解一元一次方程的基础）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
表示为：如果a=b，则a±c=b±c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
表示为：如果 a=b，那么ac = bc如果 a=b(c≠0)，那么 =【注意事项】1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.4.等式左右两边互换，所得结果仍是等式。
知识点三解一元一次方程合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。
移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（依据：等式的性质1）去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
去分母时不要漏乘不含分母的项。
当分母中含有小数时，先将小数化成整数。
解一元一次方程的基本步骤：知识点四实际问题与一元一次方程用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.【考查题型】考查题型一 一元一次方程概念的应用【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．典例1．（2021·四川中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1， 可得：a-2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选：C ．变式1-1．（2021·内蒙古中考真题）关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____． 【详解】 解：关于x 的方程2m 1mx m 1x 20+﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程，2m 11∴﹣＝，即m 1＝或m 0＝，方程为x 20﹣＝或x 20--＝， 解得：x 2＝或x 2=-， 当2m-1=0，即m=12时， 方程为112022x --= 解得：x=-3，故答案为：x=2或x=-2或x=-3．变式1-2．（2021·四川南充市·中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（） A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C ． 考查题型二 解一元一次方程【解题思路】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．典例2．（2021·重庆中考真题）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ．变式2-1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）． A ．1- B ．1 C ．0 D ．2【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解． 【详解】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ， 又21x =☆， ∴11x +=， ∴0x =． 故选：C ．变式2-2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =考查题型三 配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题典例3．（2021·哈尔滨市模拟）某车间有27名工人，每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配x个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（）A．22x＝64（27﹣x）B．2×22x＝64（27﹣x）C．64x＝22（27﹣x）D．2×64x＝22（27﹣x）【答案】B【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺母数量=2倍的螺栓数量，可得出方程．【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母64个或螺栓22个，∴可得2×22x＝64（27﹣x）．故选：B．变式3-1．（2021·黑哈尔滨市二模）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（）A．1200x＝2000（22﹣x）B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．变式3-2．（2021·山西阳泉市模拟）在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为（）A．1902703303079x x+=-B．1902703303079x x-=+C．7190927033030x x⨯⨯+=-D．7190927033030x x⨯⨯-=+【答案】A【分析】根据“如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱”，可得每头牛的价钱是1903307x+或270309x-，即可得出关于x的方程.【详解】解：∵如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱，∴每头牛的价钱是1903307x+；∵如果每9家共出270元，又多了30元钱，∴每头牛的价钱又可以表示为270309x-，∴可列方程为：19027033030 79x x+=-，故选A.变式3-3．（2021·广西南宁市一模）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A．120350506x x+-=+B．350506x x-=+C．120350506x x+-=+D．120350650x x+-=+【答案】C【分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数-（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数=3，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：12035050+6x x +-= 故选C ．变式3-4．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x 人，则 （ ） A ．237230x xB ．327230x xB ．C ．233072x xD ．323072x x【答案】D【分析】先设男生x 人，根据题意可得323072x x .【详解】男生x 人，则女生有(30－x)人，由题意得：323072x x，故选D.变式3-5．（2021·哈尔滨市模拟）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的13，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调x 人到甲队，列出的方程正确的是（） A ．1(96)723x x -=-B ．196723x x ⨯-=-C ．1(96)723x x +=-D ．196(72)3x x +=-【答案】C【分析】根据等量关系：乙队调动后的人数=13甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可． 【详解】设应从乙队调x 人到甲队，此时甲队有（96+x ）人，乙队有（72-x ）人， 根据题意可得：13（96+x ）=72-x ．故选C ． 考查题型四 销售盈亏问题 销售金额=售价×数量利润= 商品售价-商品进价利润率=（利润÷商品进价）×100%现售价 = 标价×折扣售价 = 进价×（1+利润率）典例4．（2021·长沙市一模）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A．180 B．170 C．160 D．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，由题意得：80%x﹣120=20%×120，解得：x=180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A．变式4-1．（2021·广东深圳市模拟）某商贩在一次买卖中，以每件135元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中，该商贩（）A．不赔不赚B．赚9元C．赔18元D．赚18元【答案】C【分析】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y；求出成本可得.【详解】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得135-x=25%xy-135=25%y解方程组，得x=108元，y=180元135+135-108-180=-18亏本18元故选：C变式4-2．（2021·长沙市二模）中国总理李克强2021年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（）A．40% B．20% C．60% D．30%【答案】B【分析】设该小商品的利润率为x，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该小商品的利润率为x，依题意，得：10×（1+100%）×0.6﹣10＝10x，解得：x＝0.2＝20%．故选：B．考查题型五比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分典例5．（2021·大庆市模拟）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解答此题可设该队获胜x场，则负了（6-x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设该队获胜x场，则负了(6－x)场．根据题意得3x＋(6－x)＝12，解得x＝3.经检验x＝3符合题意.故该队获胜3场．故选B.变式5-1．（2021·武汉市模拟）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（）A．17道B．18道C．19道D．20道【答案】C【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19故选C.变式5-2．（2021·广东深圳市模拟）在2018﹣2021赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（）A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74【答案】C【分析】根据题意分析，可以设曼城队一共胜了x场，则平了（30-x-4）场，找出等量关系：总积分=3×获胜场数+1×踢平场数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】设曼城队一共胜了x场，则平了（30﹣x﹣4）场，依题意，得：3x+（30﹣x﹣4）＝74，即3x+（26﹣x）＝74．故选：C．考查题型六方案选择问题结合实际，分情况讨论，给出合理建议。
上海市中预下数学专题04 一元一次不等式(组)(考点串讲)(沪教版)(解析版)
上海中预下数学下专题04 一元一次不等式（组）【考点剖析】 1.不等式的概念><≥≤≠⎧⎪>≥≠⎧⎨⎨⎪<≤⎩⎩________________(1)概念：用不等号“”、“”、“”、“”、“”表示的式子；； 表示“”或“”； 表；(2)常见不等号：； 表示______________________________+_“”或“___”___ 2.不等式的基本性质___________________________1;2;.3;._a b a b a b a b am bm m m a b a b am bm m m ⎧⎪>⇒>⎪⎪>⇒⎨⎪⎪>⇒⎪⎩(1)不等式的基本性质：(2)不等式的基本性质：且(3)不等式的基本性质：且3.一元一次不等式的解法_______;_____⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(1)不等式的解：能使不等式成立的；(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集；(3)解不等式：求不等式解集的过程；(4)解一元________________一次不等式的步骤：；；；化成两______________________________边同除以.① ②③④⑤ 4.一元一次不等式组(1)(2),;;________________;(3)x a x a x a x a a b x b x b x b x b ><<>⎧⎧⎧⎧>⎨⎨⎨⎨><><⎩⎩⎩⎩_____________定义：关于的合在一起组成一个元一次不等式组；解集：各个不等式的解集的叫这个一元一次不等式组的解集； 设的解集的解集的解集的解集；__________________________解法：一般步骤求各不______等式的；在______①②⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩_表示各不等式解集； 确定各不等式____解集的._____③ 【典例分析】例题1 （普陀2018期末2）已知a b <，那么下列式子中一定成立的是（ ） （A ）a b <；（B ）a b -<-； （C ）ma mb <；（D ）55a b +<+．例题2（松江2019期中10）不等式511x ->的解集是 .例题3（崇明2018期中14）不等式组⎩⎨⎧<->23x x 的解集是 ． 例题4（松江2019期中23）求不等式254(1)142x x +--≥-的负整数解.例题5（崇明2018期中24）解不等式2413145+>-x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．例题6．（崇明2018期中25）求不等式组510243(2)425(6)x x x x ->-⎧⎨-+≤-+⎩的整数解．例题7（松江2019期中25）已知32)3(2a a +=-，求关于x 的不等式(5)7a x x a ->-的解集.例题8（崇明2018期中28）小杰去超市买2千克梨和4千克苹果，小杰先挑选了每千克是3元的梨，由于小杰身边只有30元钱，那么在挑选苹果时，苹果每千克不能超过多少元？【真题训练】 一、选择题1．（普陀2018期中3）如果a b >，下列不等式一定成立的是（ ）.（A ）33a b ->-；（B ）55a b ->-；（C ）232a b a b ->-；（D ）33a bc c +<+.2. （松江2018期中18） 已知m n <，那么下列各式中，不一定成立的是（ ） （A ）33m n <；（B ）33m n ->-；（C ）31m n -<-；（D ）2m mn <．3. （松江2019期中17）已知m n <，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）． （A ）33m n < （B ）33m n ->- （C ）31m n -<- （D ）2m mn <4.（宝山2018期末18）如果b a >，那么下列不等式中一定成立的是（ ）A 、0<-b a ；B 、33-<+b a ；C 、22bc ac >；D 、77ba -<-. 5．（普陀2018期中4）不等式38023x x -<⎧⎨-<⎩的非负整数解有（ ）．（A ）1个 ； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个.6. （松江2019期中18）若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--x x a x x 324)23（无解，则a 的取值范围是 ( )．（A ）1<a （B ）1≤a （C ） 1>a （D ）1≥a 二、填空题7.（宝山2018期末7）不等式93x ->的解集是 . 8. （松江2018期中7）不等式组11x x >-⎧⎨≤⎩的解集是 .9. （松江2018期中10）不等式1132x ->的最大整数解是_____________. 10.（浦东四署2019期末12）不等式2(1)34x x ->-的自然数解为 .11．（普陀2018期中15）当12m -的值不小于32m +的值时，m 的取值范围是_______________． 12. （松江2018期中9）用不等式表示“x 与3差的一半是非正数”______________________. 13.（浦东四署2019期中12）用不等式表示“a 与4的和不大于-3”： . 14.（浦东四署2019期末10）用不等式表示“y 减去1的差不小于y 的一半”： .15.（杨浦2019期中12）已知关于x 的不等式组12x x m ->⎧⎨≤⎩无解，则m 的取值范围是 .16．（普陀2018期中18）不等式(3)6m x -<的解集是63x m >-，则m 的取值范围是__________.三、解答题17.（浦东四署2019期中22）解不等式：3(21)13x x -+≥+.18．（松江2018期末21）解不等式：())32(4633->+x x ， 并把它的解集在数轴上表示出来．19.（金山2018期中27）解不等式:124134x x -+-≥-，并把它的解集表示在数轴上.20.（杨浦2019期中26）解不等式：63152x x -+≤-.21．（普陀2018期中24）解不等式组433(12)321522x x x x -<+⎧⎪⎨->-⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示.22.（松江2019期中24）解不等式组：5431 1135x xx x+>+⎧⎪-+⎨≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.23、（金山2018期末25）解不等式组：72155131322x xx x--⎧<⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩①②，并把解集表示在数轴上。
上海六年级数学下册同步精练 专题03 方程的解与一元一次方程(考点串讲)(教师版)
专题03方程的解与一元一次方程【考点剖析】1.方程的解和解方程⎧⎨⎩方程的解：使方程的左右两边的叫方程的解；解方程：求方程的解的过程知数的值；相等未2.一元一次方程(0)0(0)(0).ax b a ax b a b ax b a x a ⎧⎪=≠⎧⎪⎨⎪⎪+=≠⎩⎨⎪⎪⎪=≠=⎪⎩定义：只含有，并且未知数的次数是的；最简形式：表示形式标准形式：解一元一次方程步骤：去分母；去括号；移项； 化成一个未知数一次方程；① ②③④⑤3.等式的性质⎧⎨⎩等式两边同时加上（减去）或，所得结果仍是等式；等式两同一个数同一个代数式同一个不等于零边同时乘以同一个数（或除以的数），所得结果仍是等式；①②4.一元一次方程的应用:==+=1+=+====.=1a b ⎧⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⎪⎪⨯⨯⨯⎪⨯⎪⎩步骤分配ax bx 利率本金利率期数折扣:审题；设元；列方程；解方程；检验；作答.问题：两个量之比为，则设这两个量为和;问题：利息；本利和本金利息本金（利率期数）问题：售价成本价；新售价原售价折扣.问题：路程速度时间；相遇路程时间；追及路程追及时间问题：工作时间（工作总量）利润行程速度和速度差工程工作效率①②③④⑤⑥【典例分析】例题1（奉贤2018期末4）把方程1123x x --=去分母后，正确的是（）A ．32(1)1x x --=；B ．6223=--x x ；C ．6223=+-x x ；D ．6223=-+x x .【答案】C；【解析】方程1123x x --=去分母后，得32(1)6x x --=，故答案选C.例题2（崇明2018期中12）方程532+=-x x 的解是．【答案】x=8；【解析】解：移项，得253x x -=+，所以8x =.例题3（宝山2018期末5）“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为.【答案】1202x -=；【解析】“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为1202x -=.例题4（杨浦2019期中14）有一所寄宿学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位.如果设学校宿舍有x 间，则根据题意，可列出的方程为：.【答案】4(5)3100x x -=+；【解析】如果每间宿舍住4人，则一共有住宿学生：4(5)x -人；如果每间宿舍住3人，则一共有住宿学生：3100x +人，因此列出方程为：4(5)3100x x -=+.例题5（崇明2018期中22）解方程：12()2203(1)2x x ++=--，并检验所求的解．【答案】【解析】解：去括号得：2122033x x ++=-+，移项得2320x x +=即4x =.检验：当4x =时，方程左边=12(4)2812112⨯++=++=，右边=203(41)-⨯-20911=-=，因此左边=右边，所以4x =是原方程的解.例题6（金山2018期中25）解方程：11%26%18%1x x +=-.【答案】18x =；【解析】解：去分母，得112618100x x +=-，移项得111810026x x -=--，合并，得7126x -=-，所以18x =.所以原方程的解为18x =.例题7（普陀2018期末20）解方程：534324y y +--=.【答案】2y =；【解析】解：去分母，得()()534342y y +--=⨯，去括号，得2103412y y +-+=，移项化简，得2y =．所以，原方程的解是2y =．例题8（松江2019期中8）如果方程10x +=与52m x +=的解相同，那么m =.【答案】-7；【解析】将1x =-代入52m x +=得7m =-.例题9（崇明2018期中26）已知今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15，三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍，求今年小红和爸爸分别是几岁？【答案】8，30；【解析】解：设今年小红与爸爸的岁数分别是4x 和15x 岁.1533(43)x x +=+，2x =，则48,1530x x ==.答：今年小红与爸爸的岁数分别是8岁和30岁.例题10（崇明2018期中29）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则为2ba b a +=*（1）写出2*x；（2）试求方程3*(2*)1x =的解．【答案与解析】解：（1）22*2x x +=；（2）23223*(2*)3*122xxx +++===，解得，4x =-.所以原方程的解为4x =-.【真题训练】一、选择题1.（金山2018期中1）下列等式是一元一次方程的是（）（A ）18711=+（B ）010=-x （C ）042=-x （D ）355=-y x 【答案】B ；【解析】根据一元一次方程的定义，只有B 选项符合；而A 中无未知数，是一个等式，故A 错误；C 是一元二次方程；D 是二元一次方程；故选B.2.（杨浦2019期中16）下列各式中，是一元一次方程的是（）A.0x =； B.21x x +=；C.2(3)13y x -+=；D.11x x+=.【答案】A ；【解析】A 是一元一次方程；B 是一元二次方程；C 是两元一次方程，D 是分式方程，故选A.3.（杨浦2019期中18）由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了（）A.35x +；B.35x -；C.35x -+；D.35x --.【答案】C ；【解析】由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了35x -+.4.（松江2018期中19）A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是…（）(A )2(1)313x x -+=；(B )2(1)313x x ++=(C )23(1)13x x ++=；(D )23(1)13x x +-=.【答案】A.【解析】根据题意，A 种饮料花2(1)x -；B 种饮料花3x ，故得2(1)313x x -+=，故选A.5.（杨浦2019期中20）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米.如果甲在乙前面8米处同向出发，那么经过（）秒两人首次相遇？A.208；B.204；C.200；D.196.【答案】D;【解析】这是追及问题，设x 秒后两人首次相遇，则824008,196x x x -=-∴=秒.6．（浦东2018期末3）在如图的2018年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能．．．是（）（A ）72；（B ）69；（C ）51；（D ）27．【答案】A ；【解析】依题，设任意框出表中竖列上三个相邻的数为：,7,14(116)n n n n ++≤≤，故三数之和321n +，令32172n +=，解得17n =，不合题意；令32169n +=，解得16n =，符合题意；令32151n +=，解得10n =，符合题意；32127n +=，解得2n =，符合题意；故选A.二、填空题7．（普陀2018期中10）1x =______（填“是”或“不是”）方程24927x x -=-的解.【答案】是；【解析】将1x =代入方程得，左边=24195⨯-=-，右边=2175⨯-=-，左=右，故答案：是.8.（浦东四署2019期中10）方程3306x -=的解为.【答案】12x =；【解析】由方程得336x =，所以12x =.9.（金山2018期中16）已知，关于x 的方程431m x -=的解是3x =，那么m 的值等于.【答案】2.5；【解析】将3x =代入方程431m x -=中，得491m -=，所以52m =.10.（浦东四署2019期中9）4x =-是关于x 的方程17ax -=的解，则a=.【答案】2a =-；【解析】将4x =-代入关于x 的方程17ax -=得，417,2a a --=∴=-.11.（宝山2018期末6）如果方程522mx x -=-的解是1=x ，那么m 的值是.【答案】5；【解析】将x=1代入方程522mx x -=-，得522m -=-，所以m=5.12.（金山2018期中17）已知，甲、乙、丙三人的年龄之比为4:3:2，三人年龄之和为72岁，那么乙的年龄是岁.【答案】24；【解析】设甲、乙、丙三个的年龄分别为2x 、3x 、4x ，则2x+3x+4x=72，解得x=8，故乙的年龄为3×8=24.13.（松江2018期中12）已知长方形的长与宽之比是2:3，且它的周长是20cm ，则它的面积是_____2cm .【答案】24；【解析】设长方形的长与宽分别是3x 、2x ，根据题意得3x+2x=10，解得x=2，所以3x=6，2x=4，故长方形的面积为6×4=242cm .14.（松江2018期末8）设一件商品的原价为x 元，降价12%后的售价为176元，则可列方程为．【答案】x(1-12%)176=；【解析】根据题意，得x(1-12%)176=.15.（松江2018期中13）小明的妈妈往银行里存入5000元，到期需缴纳20%的利息税，两年后她得到税后利息400元。
上海预初(六年级)下册数学讲义之一元一次方程的解法 (2)
学科教师辅导讲义学员姓名：年级：预初授课时间：课时数：2 辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题一元一次方程的解法教学目标1．了解一元一次方程的概念，灵活运用等式的基本性质和移项法则解一元一次方程，会对方程的解进行检验；2．通过对一元一次方程的解法步骤的灵活运用，培养学生的运算能力；3．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．重点1、根据题设条件列方程2、一元一次方程及其解法难点1、根据题设条件列方程考点判定（简单），解方程（简单），根据条件列方程（中等）（课题）一元一次方程的解法【知识精要】1、等式与方程等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式；未知数：表示所要求的未知数量的字母；方程：含有未知数的等式；元：在方程中，所含的未知数又称为元。
2、列方程的方法（1）根据题设条件设未知数（一般设所求的量为未知数）；（2）找____未知数与已知数之间的等量关系________。
3、方程中的项、系数、次数等概念（1）项：在方程中，被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项；（2）未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；（3）项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数；（4）常数项。
4、方程的解和解方程（1）能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解；（2）求方程解的过程叫做解方程。
5、一元一次方程（1）只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程；（2）等式性质：性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
（3）解法：去分母—去括号—移项—化成ax=b(a≠0)_的形式—去系数6.重点、难点分析本节的重点是移项法则，一元一次方程的概念及其解法，难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用．掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键．学习中应注意以下几点：1．关于移项．方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边．也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边．移项中常犯的错误是忘记变号．还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别．如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号．2．关于去分母去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数．常犯错误是漏乘不含有分母的项．如把变形为这一项漏乘分母的最小公倍数6，为避勉这类错误，解题时可多写一步．再用分配律展开．再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面．分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上，如上例提到的．3．关于去括号．去括号易犯的错误是括号前面是负号，而去括号时忘记变号；一个数乘以一个多项式，去括号时漏乘多项式的后面各项．如及都是错误的．4．解方程的思路：解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为的形式，然后再解即可．【名题精解】【例1】判断下面的移项对不对，如果不对，应怎样改正？（1）从得到；（2）从得到；（3）从得到；（4）从得到；【例2】解方程：（1）；（2）【例题3】解方程：（1） （2）【例4】解方程：解：【例5】已知关于的方程的根是2，求的值．【例6】甲、乙两工程队共有100人，甲队人数比己队人数的3倍少20人．求甲、乙两队各有多少人？【例7】解含有绝对值的方程 432x x -+-=方法提炼 零点分段法：1、先令绝对值里面的代数式为0，求出零点2、零点将数轴划分为几段3、讨论在每段区间里，绝对值是正是负，并去绝对值，得出最终结果。
专题03 一元一次方程重难点题型分类(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版
专题03 高分必刷题-一元一次方程重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含《一元一次方程》这一章除应用题之外的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：等式的性质、一元一次方程的定义、已知一元一次方程的解求参数、解一元一次方程、 同解或错解方程、含参方程解的个数问题、定义新运算类压轴题。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 等式的性质1.（青竹湖）运用等式的性质，下列等式变形错误的是（ ） A ．若x ﹣1＝2，则x ＝3 B ．若，则x ﹣1＝2xC ．若x ﹣3＝y ﹣3，则x ＝yD ．若3x ＝2x +4，则3x ﹣2x ＝4【解答】解：A 、若x ﹣1＝2，根据等式的性质1，等式两边都加1，可得x ＝3，原变形正确，故这个选项不符合题意；B 、若x ﹣1＝x ，根据等式的性质2，两边都乘以2，可得x ﹣2＝2x ，原变形错误，故这个选项符合题意；C 、两边都加上3，可得：x ＝y ，原变形正确，故这个选项不符合题意；D 、两边都减去﹣2x ，可得：3x ﹣2x ＝4，原变形正确，故这个选项不符合题意； 故选：B ．2.（师大）下列变形后的等式不一定成立的是（ ）A ．若x y =，则x y +5=+5B ．若x y =，则()x ya a a=≠0 C ．若x y -3=-3，则x y = D ．若mx my =，则x y = 【解答】解：A 、在等式x ＝y 的两边同时加上5，等式仍成立，即x +5＝y +5，故本选项正确；B 、在等式x y =的两边同时除以以a （0≠a ），等式仍成立，即()x ya a a=≠0，故本选项正确；C 、在等式﹣3x ＝﹣3y 的两边同时除以﹣3，等式仍成立，即x ＝y ，故本选项正确；D 、若m ＝0时，x ＝y 不一定成立．故本选项错误； 故选：D ．3.（广益）ma mb =，那么下列等式不一定成立的是( ) A.a b = B.66ma mb -=- C.118822ma mb -+=-+D.22ma mb +=+【解答】解：A、当m≠0时，由ma＝mb两边除以m，得：a＝b，不一定成立；B、由ma＝mb，两边减去6，得：ma﹣6＝mb﹣6，成立；C、由ma＝mb，两边乘以﹣，再同时加上8，得：﹣ma+8＝﹣mb+8，成立，D、由ma＝mb，两边加上2，得：ma+2＝mb+2，成立；故选：A．题型二一元一次方程的定义4.（青竹湖）已知下列方程，属于一元一次方程的有（）①x﹣2＝；②0.5x＝1；③＝8x﹣1；④x2﹣4x＝8；⑤x＝0；⑥x+2y＝0．A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：一元一次方程有0.5x＝1，＝8x﹣1，x＝0，共3个，故选：C．5.（一中）已知关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．2B．0C．1D．0 或2【解答】解：由题意，得|m﹣1|＝1，且m﹣2≠0，解得m＝0，故选：B．6.（广益）关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1﹣2＝0是一元一次方程，则m＝．【解答】解：由题意，知|m|﹣1＝1，且m﹣2≠0．解得m＝﹣2．故答案是：﹣2．题型三已知一元一次方程的解去求参数7.（长郡）已知2-=的解，则a=________.x=是方程102x ax【解答】解：∵x＝2是关于x的方程10﹣2x＝ax的解，∴10﹣2×2＝2a，解得a＝3．故答案是：3．8.（西雅）方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，解得：★＝1，即★处的数字是1，故选：A．9.(长梅)如果y＝3是方程2+（m﹣y）＝2y的解，那么关于x的方程2mx＝（m+1）（3x﹣5）的解是多少？【解答】解：当y ＝3时，2+m ﹣3＝6，解得：m ＝7， 将m ＝7代入方程2mx ＝（m +1）（3x ﹣5）得：14x ＝8（3x ﹣5），即14x ＝24x ﹣40，解得：x ＝4．题型四 解一元一次方程10.（西雅）下列变形中：①将方程34x =-的系数化为1，得34x =-；②将方程52x =-移项得52x =-； ③将方程()()221331x x ---=去括号得42391x x ---=； ④将方程213132x x --=+去分母得()()221133x x -=--. 其中正确的变形有( ) A.0个B.1个C.2个D.3个【解答】解：①将方程3x ＝﹣4的系数化为1，得x ＝﹣，错误； ②将方程5＝2﹣x 移项得x ＝2﹣5，错误；③将方程2（2x ﹣1）﹣3（x ﹣3）＝1去括号得4x ﹣2﹣3x +9＝1，错误； ④将方程＝1+去分母得2（2x ﹣1）＝6+3（x ﹣3），错误；故选：A ．11.（青竹湖）下列方程变形中，正确的是（ ） A ．方程3x ﹣2＝2x +1，移项得，3x ﹣2x ＝﹣1+2 B ．方程3﹣x ＝2﹣5（ x ﹣1），去括号得，3﹣x ＝2﹣5x ﹣1 C ．方程，系数化为1得，t ＝1D ．方程，去分母得，5（ x ﹣1）﹣2x ＝1【解答】解：A 、方程3x ﹣2＝2x+1，移项得：3x ﹣2x ＝1+2，不符合题意； B 、方程3﹣x ＝2﹣5（x ﹣1），去括号得：3﹣x ＝2﹣5x+5，不符合题意； C 、方程t ＝，系数化为1得：t ＝，不符合题意； D 、方程﹣＝1，去分母得：5（x ﹣1）﹣2x ＝1，符合题意，故选：D ． 12.（长郡）将方程212134x x -+=-去分母，得( ) A.()()421132x x -=-+B.()()421122x x -=-+C.()()21632x x -=-+D.()()4211232x x -=-+【解答】解：去分母得：4（2x ﹣1）＝12﹣3（x +2），故选：D ． 13.（一中）方程1134x x +-=去分母后，正确的是( ) A.4133x x -=- B.4133x x -=+ C.41233x x -=-D.41233x x -=+【解答】解：方程两边乘以12得：4x ﹣12＝3（x +1），即4x ﹣12＝3x +3， 故选：D ．14.（长郡）解方程： (1)()331x x -=+(2)223246x x +--= 【解答】解：（1）去括号，得3x ﹣9＝x +1，移项，得3x ﹣x ＝9+1，合并，得2x ＝10， 系数化为1，得x ＝5；（2）去分母，得3（x +2）﹣2（2x ﹣3）＝24，去括号，得3x +6﹣4x +6＝24， 移项，得3x ﹣4x ＝24﹣6﹣6，合并，得﹣x ＝12，系数化为1，得x ＝﹣12． 15.（青竹湖）解方程：（1） 1071453x x x +=-- （2）25123x x +-=-【解答】解：（1）10x +7＝14x ﹣5﹣3x ，10x +3x ﹣14x ＝﹣5﹣7，﹣x ＝﹣12，x ＝12；（2）＝1﹣，3（x +2）＝6﹣2（x ﹣5），3x +6＝6﹣2x +10，3x +2x ＝6+10﹣6，5x ＝10，x ＝2．16.（一中）解下列方程： (1)()()2441x x x --=-(2)2113322x x x --+=-【解答】解：（1）去括号得：x ﹣2x +8＝4﹣4x ，移项合并得：3x ＝﹣4，解得：x ＝﹣； （2）去分母得：6x +2x ﹣1＝6﹣x +1，移项合并得：9x ＝8，解得：x ＝．17．（广益）解下列方程：（1）2(21)(34)2x x +--= （2）3157146y y ---=【解答】解：（1）去括号得：4x +2﹣3x +4＝2，移项合并得：x ＝﹣4；（2）去分母得：3（3y ﹣1）﹣12＝2（5y ﹣7），去括号得：9y ﹣3﹣12＝10y ﹣14， 移项合并得：﹣y ＝1，解得：y ＝﹣1．题型五 同解、错解方程18.（青竹湖）已知关于x 的方程325+=x m .若该方程的解与方程2158-=+x x 的解相同，则m 的值是( ) A.7B.-2C.1D.3【解答】解：2x ﹣1＝5x +8，移项，得2x ﹣5x ＝8+1，合并同类项，得﹣3x ＝9，解得 x ＝﹣3． 把x ＝﹣3代入3x +2m ＝5，得3×（﹣3）+2m ＝5．移项，得2m ＝5+9．合并同类项，得2m ＝14，系数化为1，得m ＝7． 故选：A ．19．（长郡）已知方程7236x x +=-与1x k -=的解相同，则231k -的值为( ) A ．18B ．20C ．26D ．26-【解答】解：由7x +2＝3x ﹣6，得x ＝﹣2，由7x +2＝3x ﹣6与x ﹣1＝k 的解相同，得﹣2﹣1＝k ，解得k ＝﹣3．则3k 2﹣1＝3×（﹣3）2﹣1＝27﹣1＝26， 故选：C ．20.(雅礼)一元一次方程解答题已知关于x 的方程23x m mx -=-与()1221x x -=-的解互为倒数，求m 的值.【解答】解：方程x ﹣1＝2（2x ﹣1），去括号得：x ﹣1＝4x ﹣2，解得：x ＝， 将x ＝3代入方程得，＝3﹣，去分母得：9﹣3m ＝18﹣2m ，解得：m ＝﹣9．21.（青竹湖）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程； （1）若关于x 的两个方程24x =与1mx m =+是同解方程，求m 的值；（2）若关于x 的两个方程21x a =+与32x a -=-是同解方程，求a 的值；（3）若关于x 的两个方程()34513x m mn ++=与()19213x mn m -=-+是同解方程，求此时符合要求的正整数m ，n 的值.【解答】解：（1）解方程2x ＝4得x ＝2，把x ＝2代入mx ＝m +1得2m ＝m +1，解得m ＝1； （2）关于x 的两个方程2x ＝a +1与3x ﹣a ＝﹣2得x ＝，x ＝，∵关于x 的两个方程2x ＝a +1与3x ﹣a ＝﹣2是同解方程，∴＝，解得a ＝﹣7；（3）解关于x 的两个方程5x +（m +1）＝mn 与2x ﹣mn ＝﹣（m +1）得x ＝，x ＝，∵关于x 的两个方程5x +（m +1）＝mn 与2x ﹣mn ＝﹣（m +1）是同解方程， ∴＝，∴mn ﹣3m ﹣3＝0，mn ＝3（m +1），∵m ，n 是正整数，∴m ＝3，n ＝4或m ＝1，n ＝6．22．（青竹湖）我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：26x =与方程412x =的解都为3x =，所以它们为同解方程．（1）若方程2311x -=与关于x 的方程453x k +=是同解方程，求k 的值；（2）若关于x 的方程3[2()]43k x x x --=和3151128x k x+--=是同解方程，求k 的值；（3）若关于x 的方程223x a b -=和243x a b ++=是同解方程，求22214686a ab a b +++的值．【解答】解：（1）∵方程2x ﹣3＝11与关于x 的方程4x +5＝3k 是同解方程，∴2x ﹣3＝11，解得x ＝7，把x ＝7代入方程4x +5＝3k ，解得k ＝11，所以k 的值为11； （2）∵方程3[x ﹣2（x ﹣）]＝4x 和﹣＝1是同解方程，∴3[x ﹣2（x ﹣）]＝4x 解得，x ＝，﹣＝1解得，x ＝（27﹣2k ），∴＝（27﹣2k ），解得k ＝；所以k 的值为；（3）∵方程2x ﹣3a ＝b 2和4x +a +b 2＝3是同解方程，∴2x ﹣3a ＝b 2即4x ﹣6a ＝2b 2，∴4x ＝6a +2b 2，∵4x +a +b 2＝3，∴6a +2b 2+a +b 2＝3，即7a +3b 2＝3，∴14a 2+6ab 2+8a +6b 2＝2a （7a +3b 2）+7a +3b 2+a +3b 2＝6a +3+a +3b 2＝7a +3b 2+3＝3+3＝6． 所以14a 2+6ab 2+8a +6b 2的值为6．题型六 含参方程解的个数问题23.问当a 、b 满足什么条件时，方程bx a x -=-+152：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
沪科版第三章一次方程与方程组复习课件剖析
(3)移项：把含有未知数的项移到方程 的一边，其他项移到另一边，注意移 项，要改变符号
(4)合并同类项：把方程化成ax＝ b(a≠0)的形式．
（5）、系数化为1：方程两边同除以 x系数，化成 x= b
a
4．列方程(组)的应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知 量． 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)． [注意] 审题是基础，列方程是关键．
[解析] 相等关系：顺水航行时间＋逆
水航行时间＝往返一次共用时间．
解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km， 依题意得7＋x 2＋7－x 2＝28， 解得 x＝90. 故甲、乙两码头之间的距离是 90 km.
►考点七 工程问题
例7 一项工作，甲单独做8天完成， 乙单独做12天完成，丙单独做24天 完成．现甲、乙合作3天后，甲因 有事离去，由乙、丙合作，则乙、 丙还要几天才能完成这项工作？
考点一 等式的基本性质
例 1 下列说法正确的是( D )
A．x＋1＝2＋2x 变形得到 1＝x B．2x＝3x 变形得到 2＝3 C．将方程 2x＝32系数化为 1，得 x＝43 D．将方程 3x＝4x－4 变形得到 x＝4
训练
1．下列运用等式的性质，变形正确的是( B )
A．若x＝y，则x－5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bc C．若ac＝bc，则2a＝3b D．若x＝y，则xa＝ya
第3章 |复习
训练
1．若( m＋3)x| m|－2＋2＝1是关于x的一元一次方程，则 m的 值为________．
[答案] 3
一元一次方程及其解法PPT课件(沪科版)
这节课你学到了什么？
1、移项 移项时要改变符号.
2、解一元一次方程的一般步骤 （1）去括号； （2）移项； （3）合并同类项； （4）把未知数x的系数化成1； （5）得到方程的解.
移项，得 3x – 5x = - 7 – 5
合并同类项 ,得 －12x=－12. 系数化1，得 x=2.
注意：移项要变号哟！
例3 解方程：2(x-2)-3（4x-1）＝9(1-x)；
解：⑴去括号得 2x-4-12x+3=9-9x. 移项，得2x-12x+9x=9+4-3.
合并同类项，得-x=10. 两边除以-4，得x=-10 .
请你判断
例 下列方程变形是否正确？
⑴6－x=8，移项得x－6=8.
错 －x=8-6.
⑵6+x=8，移项得x=8+6.
错 x=8－6.
⑶3x=8－2x，移项得3x+2x=－8.
错 3x+2x=8.
(4)5x－2=3x+7,移项得5x+3x=7+2.
错 5x－3x=7+2.
例1 解下列方程：
1 x 2 x 1.
回顾与思考
1、解方程的基本思想是经过对方程一系列的变形， 最终把方程转化为“x=m”的情势.
即：①等号左、右分别都只有一项，且左边是未知数项， 右边是常数项； ②未知数项的系数为1．
2、目前为止，我们用到的对方程的变形有：
等号两边同加减(同一代数式)、 等号两边同乘除(同一非零数) 等号两边同加减的目的是: 使项的个数减少; 等号两边同乘除的目的是: 使未知项的系数化为1.
沪科版七年级上册
问题1
在参加2008年北京奥运会的中国代表 队中，羽毛球运动员有19人，比跳水 运动员的2倍少1人。参加奥运会的跳 水运动员有多少人？
八年级数学下册期中期末-专题03 整式方程与分式方程(考点串讲)(解析版)
专题03 整式方程与分式方程【考点剖析】整式方程：1字母系数：关于x 的方程20,0mx n ax bx c +=++=中，把用字母表示的已知数m 、n 、a 、b 、c 叫做字母系数.2.含字母系数的一元一次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n ；其中n 大于2的方程称为一元高次方程.5.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：00,(,)0n ax b a b n +=≠≠是正整数.二项方程的解法：将方程0nax b +=变形为nbx a=-，当n 为奇数时，x =n 为偶数时，如果0ab <，x =；如果0ab >，那么方程没有实数根. 分式方程：6.可化为一元二次方程的分式方程解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.7.用换元法解分式方程（组） 【典例分析】例题1（松江2018期中6）二项方程511602x -=的实数根是 .【答案】2x =； 【解析】由二项方程511602x -=得532x =，所以5322x ==. 例题2（崇明2018期中12）关于x 的方程21a x x +=的解是 . 【答案】211x a =+； 【解析】由21a x x +=得2(1)1a x +=，因为210a +≠，故211x a =+. 例题3 （杨浦2019期中11）关于x 的方程：2210x kx +-=是二项方程，k= . 【答案】0；【解析】如果关于x 的方程2210x kx +-=是二项方程，那么0k =.例题4（静安2018期末10）如果关于x 的方程bx 2＝2有实数解，那么b 的取值范围是 ． 【答案】b ＞0；【解答】解：根据题意得b ≠0，22x b =，当20b>时，方程有实数解，所以b ＞0． 例题5 （黄浦2018期中14）在公式12111R R R =+中，已知正数R 、R 1（R ≠R 1），那么R 2=______． 【答案】11RR R R-；【解析】解：1211111R RR R R RR -=-=，则121RR R R R =-，故答案是：11RR R R-． 例题6（长宁2019期末4）若关于x 分式方程＝有增根，则m ＝ ．【答案】1；【解析】解：去分母得：x ﹣m ＝1，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，代入整式方程得：2﹣m ＝1，解得：m ＝1，故答案为：1例题7（浦东四署2019期末12）解分式方程22141x x x x --=-时，设21xy x =-，则原方程化为关于y 的整式方程是 . 【答案】2410y y --=；【解析】因为21x y x =-，所以原方程可化为14y y -=，变形得2410y y --=.例题8（松江2019期中19）解关于x 的方程：(5)1a x x -=+. 【答案】当1a ≠时，方程的根是151ax a +=-； 当1a =，方程没有实数根. 【解析】解：51ax a x -=+，51ax x a -=+，(1)51a x a -=+，当10a -≠时，151ax a +=-； 当10a -=时，方程无实数解∴当1a ≠时，方程的根是151ax a +=-；当1a =，方程没有实数根. 例题9（浦东四署2019期末20）解方程：214124x x -=--. 【答案】1x =-；【解析】解：去分母，得：2244x x +-=-，整理，得：220x x --=，解得21x x ==-或，经检验2x =是原方程的增根，舍去；1x =-是原方程的解.所以原方程的解是1x =- 例题10（闵行2018期末19）解分式方程：22161242x x x x +-=--+. 【答案】x ＝﹣5；【解析】解：去分母得：（x +2）2﹣16＝x ﹣2，整理得：x 2+3x ﹣10＝0，即（x ﹣2）（x +5）＝0， 解得：x ＝2或x ＝﹣5，经检验x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝﹣5． 【真题训练】 一、选择题1.（浦东一署2018期中1）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.519x= B. C. D.【答案】D【解析】解：A 、是关于x 的分式方程，错误； B 、是关于x 的一元四次方程，错误； C 、是关于x 的一元一次方程，错误； D 、是关于x 的一元二次方程，正确； 故选：D ．2.（浦东四署2019期中1）下列方程中，是二项方程的是（ ） A.224x y +=； B.20x =； C.22x x -=； D.320x +=. 【答案】D ；【解析】根据二项方程定义“0(0,0,)nax b a b n +=≠≠是正整数”可知答案选D. 3.（崇明2018期中3）下列说法正确的是（ ） A.224x y -=是二元二次方程； B.1423x x--=是分式方程； 2223x x -=是无理方程； D.20x x -=是二项方程.【解析】A 、224x y -=是二元二次方程，正确；B 、是整式方程，故B 错误；C 、是整式方程，故C 错误；D 、不是二项方程，故D 错误；因此答案选A.4.（浦东2018期末1）在下列方程中，分式方程是（ ）A. B. C. D.【答案】C ；【解析】解：A 、该方程是整式方程，故本选项错误； B 、该方程是无理方程，故本选项错误； C 、该方程符合分式方程的定义，故本选项正确； D 、该方程属于无理方程，故本选项错误； 故选：C ．5.（浦东2018期中1）方程2402x x -=-的根是（ ）A.，B.C.D. 以上答案都不对【答案】C【解析】解：两边都乘以x-2，得：x 2-4=0， 解得：x=2或x= -2， 当x=2时，x-2=0，舍去； 当x= -2时，x-2= -4，符合题意； 故选：C ．6. (长宁2018期末3)下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. 330x +=； B. 230x +=； C.2103x =-； D.30x +=.【答案】A ；【解析】解：A 、330x +=，33x =-，有实数根，正确；B 、平方不能为负数，无实数根，错误；C 、分式方程中分母不能为零，无实数根，错误；D 、算术平方根不能是负数，无实数根，错误；故选：A ．7. (奉贤2018期末3)已知一元二次方程x 2-2x -m =0有两个实数根，那么m 的取值范围是（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】∵一元二次方程x 2-2x-m=0有两个实数根， ∴△=4+4m≥0， 解得：m≥-1． 故选：B ．8．（普陀2018期末3）用换元法解方程2231512x x x x -+=-时，如果设21xy x =-，则原方程可化为（ ） A ．152y y +=； B ．22520y y -+= C ．26520y y ++=； D. 1532y y +=.【解析】解：设21xy x =-，则原方程变形为：1532y y +=，故选：D ． 二、填空题9.（崇明2018期中16）方程510x +=的解是 . 【答案】1x =-；【解析】由510x +=得51x =-，所以1x ==-10.（嘉定2019期末10）二项方程32540x +=在实数范围内的解是 . 【答案】3x =-；【解析】32540x +=变形得327x =-，所以3x ==-.11.（浦东四署2019期中8）方程41208x -=的根是 . 【答案】2x =±；【解析】原方程变形得416,2x x =∴==±.12.（浦东四署2019期末7）方程4232x =的根是 . 【答案】2±；【解析】由方程4232x =得：416x =，所以2x =±. 13.（静安2019期末9）方程3640x -=的根是 . 【答案】4x =；【解析】解：3640x -=得364x =，所以4x ==.14.（松江2018期中4）关于x 的方程6ax =-有解的条件是 . 【答案】0a ≠；【解析】关于x 的方程6ax =-有解的条件是0a ≠.15.（浦东四署2019期中10）如果关于x 的方程(23)3m x +=有解，则m 的取值范围是 . 【答案】32m ≠-； 【解析】因为关于x 的方程(23)3m x +=有解，所以230m +≠即32m ≠-. 16. （浦东2018期末8）当k =______时，方程kx +4=3-2x 无解．【解析】解：∵kx+4=3-2x ， ∴（k+2）x=-1， ∴k+2=0时，方程kx+4=3-2x 无解， 解得k=-2． 故答案为：-2．17．（青浦2018期末10）关于x 的方程ax ﹣2x ﹣5＝0（a ≠2）的解是 ． 【答案】52x a =- 【解析】解：ax ﹣2x ﹣5＝0，（a ﹣2）x ＝5， 522a x a ≠∴=-Q ，故答案为：52x a =-．18.（崇明2018期中13）方程132x x =-的解为 . 【答案】1x =-； 【解析】由方程132x x =-得，23x x -=，解得1x =-，经检验1x =-是原方程的解. 19. （松江2019期中12）方程2101x x -=-的解是___________. 【答案】x=-1【解析】解：2101x x -=-，去分母得：x 2﹣1=0，解得x=±1，当x=1时，x ﹣1=0，舍去，则原方程的解为x=﹣1.故答案为：x=﹣1. 20.（金山2018期中14）如果分式方程133x kx x -=--有增根，那么k 的值是 . 【答案】3；【解析】将分式方程133x kx x -=--去分母得：(3)x x k --=，再将方程的增根3x =代入得3k =. 21. （杨浦2019期中10）若方程111ax x +=-有增根，则a 的值为 .【答案】-1；【解析】解：去分母得11ax x +=-，将增根1x =代入得1a =-，故a 的值为 - 1.22.（崇明2018期中15）用换元法解方程123021x x x x ++-=+时，如果设12x y x+=，那么原方程可化为含y 的整式方程是 . 【答案】2310y y -+=；【解析】根据题意，得130y y+-=，整理得：2310y y -+=. 23.（松江2018期中8）用换元法解方程2231712x x x x -+=--时，如果设21x y x-=，那么原方程可化为关于y 的整式方程，这个整式方程是 . 【答案】22760y y ++=；【解析】因为21x y x -=，所以原方程可化为：372y y +=-，整理得：22760y y ++=.24. （杨浦2019期中7）已知方程212212=---x x x x 若设21x y x-=,则原方程可化为关于y 的整式方程 . 【答案】2220y y --=；【解析】因为21x y x-=，所以原方程可化为：22y y -=，整理得：2220y y --=.25. (长宁2018期末11)用换元法解方程15132x x x x -+=-，若设1x y x =-，则原方程可以化为关于y 的整式方程是______．【答案】261520y y -+=； 【解析】解：用换元法解方程15132x x x x -+=-，若设1xy x =-，则原方程可以化为关于y 的整式方程是261520y y -+=，故答案为：261520y y -+=．26. (奉贤2018期末10)用换元法解方程22321121x x x x +-=+时，如果设221x y x =+，那么原方程化成以“y ”为元的方程是______ 【答案】2310y y --=；【解析】解：22321121x x x x +-=+，设221x y x =+，原方程化为：131y y-=，即2310y y --=，27.（嘉定2019期末11）用换元法解方程22111x x x x --=-时，如果设21xy x =-，那么所得到的关于y的整式方程为 . 【答案】210y y +-=； 【解析】21xy x =-Q，所以原方程变为11y y -=，所以得210y y +-=. 三、解答题28.（金山2018期中22）解关于x 的方程：2222(1)ax x a -=+≠.【答案】1a >时，1x a =±-；当1a <时，方程无实数根. 【解析】解：原方程变形为：2(1)4a x -=，110a a ≠∴-≠Q ，所以241x a =-；当101a a ->>即时，x =；当101a a -<<即时，方程无实数根；所以，当1a >时，1x a =±-；当1a <时，方程无实数根. 29.（金山2018期中20）解方程：2211233x x x x +=+-+.【答案】122,1x x ==-；【解析】解：方程两边同乘以(1)(3)x x -+得：22(1)23x x x x +-=+-，整理，得：220x x --=，解之得：122,1x x ==-，经检验：122,1x x ==-都是原方程的根，所以原方程的根是122,1x x ==-.30.（松江2018期中21）解方程：2231211x x x x-=---.【答案】13x =-；【解析】解：原方程变形为：2231211x x x x -=+--，去分母得：2232(1)(1)x x x x -=-++，整理，得23210x x --=，解得113x x =-=或，经检验，1x =是原方程的增根，13x =-是原方程的根. 故原方程的根是13x =-.31. （黄浦2018期中19）解方程：12111x x =--+． 【答案】x 1=0，x 2=3； 【解析】解：12111x x =--+，方程两边都乘以（1-x ）（1+x ）得：1+x =2（1-x ）+（1-x ）（1+x ），整理得：x 2-3x =0，解得：x 1=0，x 2=3，经检验x 1=0，x 2=3都是原方程的解，所以原方程的解为：x 1=0，x 2=3．32.（浦东四署2019期中20）解方程：12111x x =--+. 【答案】120,3x x ==；【解析】解：去分母，得2112(1)x x x +=---，整理，得230x x -=，解得：120,3x x ==，经检验：120,3x x ==都是原方程的根. 所以原方程的根为120,3x x ==.33. （杨浦2019期中20）解方程：48322-=-+x x x 【答案】1x =；【解析】解：去分母得：2(2)3(4)8x x x ---=，整理，得：220x x +-=，解之得：21x x =-=或， 经检验：2x =-是增根，舍去，1x =是原方程的根；所以原方程的解是1x =. 34. （松江2019期中21）解分式方程：22116224x x x x +-=-+-. 【答案】5x =-；【解析】解：方程两边同时乘以(2)(2)x x -+，得2(2)(2)16x x +--= ，整理，得: 23100x x +-=，因式分解得:(2)(5)0x x -+= ，解这个整式方程得：25x x ==-或 ，经检验知2x =是原方程的增根，5x =-是原方程的根. 则原方程的根是5x =-.35．（青浦2018期末19）解方程：2654111x x x x x +-=--+. 【答案】x ＝9；【解析】解：原方程可变形为2654111x x x x x ++=--+，方程的两边都乘以(1)(1)x x +-，得 65(1)(4)(1)x x x x ++=+-，整理，得x 2﹣8x ﹣9＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣1；检验：当x ＝﹣1时，(1)(1)x x +-＝0，所以x ＝﹣1不是原方程的根．所以原方程的解为：x ＝9．36.（崇明2018期中24）517311 x y x yx y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩.【答案】3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【解析】解：设11,A Bx y x y==+-，则原方程组华为：5731A BA B+=⎧⎨-=⎩，解之得：12AB=⎧⎨=⎩，所以1112x yx y⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.经检验：3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解. 故原方程组的解为3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。
上海初中数学一元一次方程知识点总结
等式性质2
等式两边乘同一个数，或 除以同一个不为0的数， 结果仍相等。
运算规则
去分母、去括号、移项、 合并同类项、系数化为1 。
02
一元一次方程解法
合并同类项法
合并同类项
将方程中的同类项进行合并，简化方程的形式。
解方程
通过合并同类项后，将未知数系数化为1，解出未知数的值。
移项法
移项
将方程中的某一项从等号的一边移到另一边，注意移项时要改变符号。
利润与折扣问题
利润、成本和售价的关系
利润率及其计算
$text{利润} = text{售价} - text{成本 }$。这个公式用于计算商品的利润。
利润率是利润与成本的比值，用于衡 量企业的盈利能力。计算利润率时， 需要将利润除以成本并乘以$100%$ 。
折扣的含义和计算方法
折扣是商品售价的减少部分，可以用 百分比或小数表示。计算折扣后的售 价时，需要将原价乘以$(1 - text{折 扣率})$。
算行程中的基本问题。
02 03
相遇和追及问题
当两物体在同一直线上运动时，可能会相遇或追及。相遇时，两物体走 过的路程之和等于两地距离；追及时，快物体走过的路程减去慢物体走 过的路程等于两地距离。
流水行船问题
当船在流水中行驶时，需要考虑水流速度对船速的影响。顺流时，船速 等于船在静水中的速度加上水流速度；逆流时，船速等于船在静水中的 速度减去水流速度。
解法
解含有绝对值的一元一次方程时，需要根据绝对 值的性质进行分类讨论，分别求解不同情况下的 方程。
分式与一元一次方程
分式概念
分式是指两个多项式的商，其中分子和分母都是多项式， 且分母不为零。
分式与一元一次方程的结合
沪教版初中数学认识并解决一元一次方程教案2023
沪教版初中数学认识并解决一元一次方程教案20231. 教学目标：- 了解一元一次方程的基本概念；- 掌握解一元一次方程的常用方法；- 培养学生解决实际问题的能力。
2. 教学准备：- 教师：黑板、彩色粉笔、课件、习题解析；- 学生：笔、纸、教材。
3. 教学过程：第一步：导入（5分钟）- 引出本节课的主题，提问学生对一元一次方程的认识；- 示范一个简单的一元一次方程求解过程，激发学生学习的兴趣。
第二步：讲解（15分钟）- 用图像和具体例子向学生展示一元一次方程的概念，并解释系数、常数项的意义；- 介绍解一元一次方程的常用方法：等式法、因式分解法等；- 引导学生分析不同方法的优缺点，培养灵活运用的能力。
第三步：练习（20分钟）- 针对不同程度的学生，提供一元一次方程的练习题，包括基础题和拓展题；- 引导学生运用所学方法逐步解答问题，并及时给予指导和反馈；- 鼓励学生之间相互合作，共同解决难题。
第四步：归纳总结（10分钟）- 收集学生的解题思路和方法，让他们发表意见和观点；- 整理归纳一元一次方程的解题规律，并帮助学生总结记忆；- 强调数学知识在实际生活中的应用意义，引导学生思考实际问题与数学模型的关系。
第五步：拓展延伸（10分钟）- 提供一些与一元一次方程相关的应用问题，激发学生运用所学知识解决实际问题的能力；- 引导学生分组合作，分享解题过程和解题思路，展示解决问题的不同方法。
第六步：作业布置（5分钟）- 布置一些练习习题，内容与本节课所学内容相符，要求学生用不同的方法解决；- 根据学生的实际情况，布置巩固训练或拓展作业。
4. 教学反思：本节课通过引导学生认识并解决一元一次方程，旨在提高学生的数学解题能力和实际问题的解决能力。
课堂设置了导入、讲解、练习、归纳总结、拓展延伸和作业布置等环节，充分调动了学生的积极性和主动性。
通过学生之间的互动与合作，提高了问题解决的效率，并拓宽了学生对数学知识的应用范围。
沪教版初中数学一元一次方程的解法教案2023
沪教版初中数学一元一次方程的解法教案2023【教案】沪教版初中数学一元一次方程的解法引言：一元一次方程是初中数学的重要内容之一，也是未来学习更高级数学知识的基础。
掌握一元一次方程的解法对于学生的数学学习起着关键作用。
本教案将介绍一种教学方法来帮助学生理解和掌握一元一次方程的解法。
一、引入在开始解一元一次方程之前，我们先通过一道例题来引入本节课的内容。
请同学们思考以下方程的解：4x + 3 = 11通过学生讨论，引导他们发现将方程变换成等价的方程4x = 11 - 3可以更容易地解决问题。
二、等式的性质在解一元一次方程之前，我们先了解等式的性质。
请同学们思考以下问题：1. 相等的两个数交换位置，等式的结果是否改变？2. 等式两边同时加（或减）一个数，等式的结果是否改变？3. 等式两边同时乘（或除）一个数，等式的结果是否改变？引导学生思考以上问题，并通过实际例子和数学推理来回答这些问题，帮助他们理解等式的性质。
三、解一元一次方程的基本思路解一元一次方程的基本思路是通过变换等价的方程，使得变量的系数为1，从而得到方程的解。
我们可以通过以下步骤来解决问题：1. 如果方程中存在项含有未知数，则将未知数的系数移到等式的另一边；2. 如果方程中存在项含有数字，则将数字移到等式的另一边；3. 最后，通过分离系数为1的项，求出变量的值。
四、解题方法通过以上基本思路，我们将介绍两种常用的解题方法：平衡法和移项法。
1. 平衡法平衡法是将方程中的未知数项与数字项平衡，即让方程两边的式子相等。
请看以下例题：例题1：解方程5x - 7 = 8 - 3x解题步骤：将方程中的未知数项移到等式的另一边，数字项移到另一边：5x + 3x = 8 + 7通过合并同类项，得到一个等式：8x = 15最后，将系数为1的项分离出来，解得未知数的值：x = 15 ÷ 82. 移项法移项法是通过移动方程中的项来平衡方程。
请看以下例题：例题2：解方程2x - 5 = 3x + 1解题步骤：将方程中的未知数项移到等式的一边，数字项移到另一边：2x - 3x = 1 + 5通过合并同类项，得到一个等式：-x = 6最后，将系数为1的项分离出来，解得未知数的值：x = -6五、实际应用一元一次方程在实际生活中有广泛的应用。
沪教版 一元一次方程及其解法
移项 把含有未知数的项移到等号的一边，
把常数项移到等号的另一边。
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练习2
判断下列变形对不对，如果不对，请指出错在哪 里，并将其改正。
（1） 3 x- 18 = 9 + 2 x
x x 移项得：3 + 2 = 9 - 18
3x- 2x= 9 + 18
x （2）
1 5
x- 12 =
-5
x 移项得： 5 - 12 = - 1 x
x 化简，得 3 = 6
x 系数化1，得
=2
（等式性质2）
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练习3
解方程
（1） x+8=-17 （2） 8- 5x=x+2
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思考题
1、若关于x的方程 2xa10是一元一
次方程，那么a满足什么条件？
2、关于x的方程 a2xb x10是一
元一次方程，则a、b分别满足什么条件？
叫做一元一次方程。
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练习1
判断下列方程是不是一元一次方程，简要说 明理由。
（1） x =4
（2）x - 2y =56
（3）4x =18-2x
（4） 3 + 5 = 8
x （5）
2
- 14 = 0
（6） -2x + 3
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解方程
y-9 = 15 y= 24
3x= 6 x= 2
等式性质1. 等式两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式。 等式性质2. 等式两边同时乘以同一个数（或除以 同一个不为零的数），所得结果仍是等式。
运用等式性质可以求方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
【沪科版预初】一元一次方程及其应用知识点及例题精讲
第五讲一元一次方程及其应用一、 一元一次方程的概念：1、概念：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。
2、一元一次方程的形式：①最简形式：)0(≠=a b ax ②标准形式：)0(0≠=+a b ax二、等式的基本性质：基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式；基本性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式。
三、利用等式的基本性质解一元一次方程：1、求方程的解得过程叫做解方程；2、具体步骤如下：利用等式的性质解一元一次方程，一般是先利用等式性质1，将是已知数）、且b a a b ax ,0(0≠=+变形为b ax -=，然后再利用等式性质2，将bax -=变形为ab x -=即可。
四、列方程解应用题的一般步骤：1、审题：弄清题意及题目中的数量关系；2、设元：用字母表示题目中的一个未知数；3、列方程：根据题目中的等量关系列方程；4、解方程：求出未知数；5、检验：检验所求解是否符合题意；6、作答。
五、一般应用的的类型：1、按比例分配问题；2、利率问题：利息=本金×利率×期数； 本利和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；利息税=利息×税率； 税后利息=利息-利息税=利息×（1-税率）；税后本利和=本金+税后利息。
3、折扣问题：利润额=成本×利润率； 售价=成本价+利润额；新售价=原售价×折扣。
4、行程问题：路程=速度×时间；相遇路程=速度和×相遇时间； 追及路程=速度差×追及时间。
5、工程问题：解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”。
基本关系为：工作效率×工作时间=1（工作总量）【例题1】【基础题】有以下式子：（1）0=x ；（2）523=+；（3）41=x ；（4）92=x ；（5）x x 32=；（6）x 43-；（7）2)1(2=+x ；（8）02=+y x ，其中一元一次方程的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【延伸题】如果关于x 的方程83)1(2=+-m x m 是一元一次方程，试求m 的值是多少？【拓展题】设d c b a 、、、为有理数，现规定一种新的运算bc ad d c b a-=，那么当77253-=-x 时，x 的值是多少？【基础题】解方程245-=x x 时，两边同除以减去x 4，得2-=x ，这是根据等式的性质： （写出具体内容）。
上海预初(六年级)下册数学讲义之一元一次方程的解法
学科教师辅导讲义（课题）一元一次方程的解法【知识精要】1、等式与方程等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式；未知数：表示所要求的未知数量的字母；方程：含有未知数的等式；元：在方程中，所含的未知数又称为元。
2、列方程的方法（1）根据题设条件设未知数（一般设所求的量为未知数）；（2）找____未知数与已知数之间的等量关系________。
3、方程中的项、系数、次数等概念（1）项：在方程中，被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项；（2）未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；（3）项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数；（4）常数项。
4、方程的解和解方程（1）能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解；（2）求方程解的过程叫做解方程。
5、一元一次方程（1）只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程；（2）等式性质：性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
（3）解法：去分母—去括号—移项—化成ax=b(a≠0)_的形式—去系数6.重点、难点分析本节的重点是移项法则，一元一次方程的概念及其解法，难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用．掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键．学习中应注意以下几点：1．关于移项．方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边．也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边．移项中常犯的错误是忘记变号．还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别．如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号．2．关于去分母去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数．常犯错误是漏乘不含有分母的项．如把变形为这一项漏乘分母的最小公倍数6，为避勉这类错误，解题时可多写一步．再用分配律展开．再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面．分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上，如上例提到的． 3．关于去括号．去括号易犯的错误是括号前面是负号，而去括号时忘记变号；一个数乘以一个多项式，去括号时漏乘多项式的后面各项．如及都是错误的．4．解方程的思路：解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为的形式，然后再解即可．【名题精解】【例1】 判断下列各式哪些是方程,哪些不是方程:(1)13(2)20(3)2(4)13(5)322x x y xm n a ππ=+-=-=⨯=【例2】 根据下列条件列出方程:(1)50千克含糖5%的盐水,现在要把它的浓度提高到含糖15%,需要加糖千克；（2）商店对某种商品调价，按原价的八折出售，此时商品的利润率是15%，此时商品的原价为300， 商品的进价是x 元。
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上海市中预下数学专题03 方程的解与一元一次方程【考点剖析】 1.方程的解和解方程⎧⎨⎩____________方程的解：使方程的左右两边的叫方程的解；解方程：求方程的解的过程；__2.一元一次方程___________(0)0(0).__ax b a ax b a b x a ⎧⎪=≠⎧⎪⎨⎪⎪+=≠⎩⎨⎪⎪⎪=⎪⎩定义：只含有，并且未知数的次数是的；最简形式：表示形式标准形式：解一元一次方程步骤：去分母；去括号；移项； ____________________化成；① ②③④⑤3.等式的性质⎧⎨⎩等式两边同时加上（减去）或，所得结果仍是等式；等式两边同时乘以同一个数（或除___________________________以的数），所得结果仍_____是等式___；_①② 4.一元一次方程的应用:==+=1___+=+====_.a b ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯:审题；设元；列方程；解方程；；作答.问题：两个量之比为，则设这两个量为和;问题：利息；本利和本金利息本金（）问题步骤______分配______利率_________________折扣____行程______：售价成本价；新售价原售价折扣.问题：路程速度时间；相遇路程时间；追及路程追及时间______工程________问题：①②③④⑤⑥=1⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⨯⎪⎩工作时间（工作总量）__ 【典例分析】例题1 （奉贤2018期末4）把方程1123x x --=去分母后，正确的是（ ） A ．32(1)1x x --=； B ．6223=--x x ； C ．6223=+-x x ； D ．6223=-+x x .例题2（崇明2018期中12）方程532+=-x x 的解是 ．例题3（宝山2018期末5）“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为 .例题4（杨浦2019期中14）有一所寄宿学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位. 如果设学校宿舍有x 间，则根据题意，可列出的方程为： .例题5 （崇明2018期中22）解方程：12()2203(1)2x x ++=--， 并检验所求的解． 例题6（金山2018期中25）解方程：11%26%18%1x x +=-. 例题7 （普陀2018期末20）解方程：534324y y +--=.例题8（松江2019期中8）如果方程10x +=与52m x +=的解相同，那么m = .例题9 （崇明2018期中26）已知今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15，三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍，求今年小红和爸爸分别是几岁？例题10（崇明2018期中29）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则为2ba b a +=* （1）写出2*x ； （2）试求方程3*(2*)1x =的解．【真题训练】 一、选择题1.（金山2018期中1）下列等式是一元一次方程的是（ ）（A ）18711=+ （B ）010=-x （C ）042=-x （D ）355=-y x 2.（杨浦2019期中16）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A.0x =； B.21x x +=； C. 2(3)13y x -+=； D. 11x x+=. 3.（杨浦2019期中18）由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了（ ） A.35x +； B.35x -； C. 35x -+； D. 35x --.4. （松江2018期中19）A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是…（ ）(A )2(1)313x x -+=； (B )2(1)313x x ++= (C )23(1)13x x ++= ； (D )23(1)13x x +-=. 5.（杨浦2019期中20）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米. 如果甲在乙前面8米处同向出发，那么经过（ ）秒两人首次相遇？ A.208； B.204； C. 200； D. 196.6．（浦东2018期末3）在如图的2018年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能．．．是（ ） （A ）72； （B ）69； （C ）51； （D ）27．二、填空题7．（普陀2018期中10）1x = ______（填“是”或“不是”）方程24927x x -=-的解. 8.（浦东四署2019期中10）方程3306x -=的解为 .9.（金山2018期中16） 已知，关于x 的方程431m x -=的解是3x =，那么m 的值等于 . 10.（浦东四署2019期中9）4x =-是关于x 的方程17ax -=的解，则a= . 11.（宝山2018期末6）如果方程522mx x -=-的解是1=x ，那么m 的值是 .12.（金山2018期中17） 已知，甲、乙、丙三人的年龄之比为4:3:2，三人年龄之和为72岁，那么乙的年龄是 岁.13. （松江2018期中12）已知长方形的长与宽之比是2:3，且它的周长是20cm ，则它的面积是_____2cm . 14.（松江2018期末8）设一件商品的原价为x 元，降价12%后的售价为176元，则可列方程为 ．15. （松江2018期中13）小明的妈妈往银行里存入5000元，到期需缴纳20%的利息税，两年后她得到税后利息400元。
如果设年利率为x ，那么可列出方程_____________________________.16. （松江2019期中14）如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知卡片的短边长是12cm ，那么图中三块阴影部分的总面积 是 2cm ．三、解答题17．（普陀2018期中22）解方程：2(21)+33(52)x x -=--18. （松江2019期中21）解方程： 14()953(1)2x x ++=--.19．（普陀2018期中23）解方程：121146x x -+=-20.（崇明2018期中23）解方程：21168x x -=+.21.（浦东四署2019期中21）解方程：4121136x x -+-=.22.（杨浦2019期中25）解方程：10121164x x x ++-=-.23．（黄浦2018期末20）解方程：325146x x +-=．24. （奉贤2018期末20）解方程: 2132314-=-+x x25. （松江2018期中26）如果2x =-是方程()253x x a +=+的解，求21a -的值.26．（普陀2018期中27）一家商店将某种服装按成本提高15%后标价，又以标价的9折卖出，结果每件服装仍可获利7元，问：（1）这种服装每件的成本价是多少元？（2）成本提高15%后的标价是多少元？27. （松江2018期中27）某种电子商品的标价为每件240元，为尽快回笼资金，商家决定打八折再让利12元进行促销，这样仍能获利20%，则这种电子商品的进价为多少元？28．（松江2019期中27）一家商店将某种服装按进价提高15%后标价，又以标价的9折卖出，结果每件服装仍可获利7元，问这种服装每件的进价是多少元？29. （奉贤2018期末25）小明的爸爸三年前为他存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时 的本利和为3243元，请你算一算这种储蓄的年利率？（教育储蓄不收利息税）30.（普陀2018期末26）小明和小杰从两地相向而行，如果两人同时出发，那么经过32分钟两人相遇；如果小明出发半小时后小杰再出发，那么经过13小时两人相遇，如果小明的速度是4千米/时，问小杰的速度是多少千米/时？31．（崇明2018期中27）A 、B 两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米。
（1）两车分别从A 、B 两地同时同向而行（甲在乙后面），经过多少小时两车相遇？（2）两车分别从A 、B 两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶多少时间后与甲车相遇？32. （奉贤2018期末26）某校有400米的环形跑道，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲的速度与乙的速度的比是5:3，两人同时由同一起点背向出发，经过50秒两人第一次相遇. (1)两人的速度各是多少？(2)在(1)的速度下, 两人同时由同一起点同向出发,那么经过几秒两人第一次相遇？33.（金山2018期中30）观察下列等式：()()()()()222535533535353⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯()()()()()()()[]()()3333233322232323232⨯-=⨯⨯⨯-⨯-⨯-=⨯-⨯⨯-⨯⨯-=⨯-222514151514141514151415141⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 结论：两个有理数乘积的乘方等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘.根据上述材料完成以下各题：（1）填空：225542711⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .（2）填空：54(4) 2.5-⨯= .（3）解方程：02117251343=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛x .34. （松江2019期中29）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A 种每台1500元，B 种每台2100元，C 种每台2500元．（1）若家电商场同时购进A 、B 两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？（2）若商场销售一台A 种电视机可获利150元，销售一台B 种电视机可获利200元，销售一台C 种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？35．（普陀2018期中26） A 仓库有20吨化肥，B 仓库有30吨化肥，现往两仓库再运进共50吨化肥，使得A 、B 两仓库的化肥重量比为3：2，那么A 、B 仓库分别运进了多少吨化肥？36．（浦东2018期末26）某校数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中， 一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．（1）求该店有客房多少间？房客多少人？（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．如果诗中“众客”再次一起入住，要求订房更合算，请你帮他们做个方案．37. （松江2018期末28）上海、大连各有机床12台和16台，现将这些机床运往海南15台和厦门13台，每台运费如下表. 已知从上海、大连运往海南机床共花费51万元.（1）求上海运往海南的机床台数是多少台？（2）求从上海、大连运往海南、厦门的总运费为多少万元？专题03 方程的解与一元一次方程【考点剖析】 1.方程的解和解方程⎧⎨⎩方程的解：使方程的左右两边的叫方程的解；解方程：求方程的解的过程知数的值；相等未2.一元一次方程(0)0(0)(0).ax b a ax b a b ax b a x a ⎧⎪=≠⎧⎪⎨⎪⎪+=≠⎩⎨⎪⎪⎪=≠=⎪⎩定义：只含有，并且未知数的次数是的；最简形式：表示形式标准形式：解一元一次方程步骤：去分母；去括号；移项； 化成一个未知数一次方程；① ②③④⑤3.等式的性质⎧⎨⎩等式两边同时加上（减去）或，所得结果仍是等式；等式两同一个数同一个代数式同一个不等于零边同时乘以同一个数（或除以的数），所得结果仍是等式；①② 4.一元一次方程的应用:==+=1+=+====.=1a b ⎧⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⎪⎪⨯⨯⨯⎪⨯⎪⎩步骤分配ax bx 利率本金利率期数折扣:审题；设元；列方程；解方程；检验；作答.问题：两个量之比为，则设这两个量为和;问题：利息；本利和本金利息本金（利率期数）问题：售价成本价；新售价原售价折扣.问题：路程速度时间；相遇路程时间；追及路程追及时间问题：工作时间（工作总量）利润行程速度和速度差工程工作效率①②③④⑤⑥ 【典例分析】例题1 （奉贤2018期末4）把方程1123x x --=去分母后，正确的是（ ） A ．32(1)1x x --=； B ．6223=--x x ； C ．6223=+-x x ； D ．6223=-+x x .【答案】C ； 【解析】方程1123x x --=去分母后，得32(1)6x x --=，故答案选C. 例题2（崇明2018期中12）方程532+=-x x 的解是 ． 【答案】x=8；【解析】解：移项，得253x x -=+，所以8x =.例题3（宝山2018期末5）“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为 . 【答案】1202x -=； 【解析】“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为1202x -=. 例题4（杨浦2019期中14）有一所寄宿学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位. 如果设学校宿舍有x 间，则根据题意，可列出的方程为： . 【答案】4(5)3100x x -=+；【解析】如果每间宿舍住4人，则一共有住宿学生：4(5)x -人；如果每间宿舍住3人，则一共有住宿学生：3100x +人，因此列出方程为：4(5)3100x x -=+.例题5 （崇明2018期中22）解方程：12()2203(1)2x x ++=--， 并检验所求的解． 【答案】【解析】解：去括号得：2122033x x ++=-+，移项得2320x x +=即4x =. 检验：当4x =时，方程左边=12(4)2812112⨯++=++=，右边=203(41)-⨯-20911=-=，因此左边=右边，所以4x =是原方程的解.例题6（金山2018期中25）解方程：11%26%18%1x x +=-. 【答案】18x =；【解析】解：去分母，得112618100x x +=-，移项得111810026x x -=--，合并，得7126x -=-，所以18x =. 所以原方程的解为18x =. 例题7 （普陀2018期末20）解方程：534324y y +--=.【答案】2y =；【解析】解：去分母 ，得()()534342y y +--=⨯，去括号，得2103412y y +-+=，移项化简，得2y =．所以，原方程的解是2y =．例题8（松江2019期中8）如果方程10x +=与52m x +=的解相同，那么m = . 【答案】-7；【解析】将1x =-代入52m x +=得7m =-.例题9 （崇明2018期中26）已知今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15，三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍，求今年小红和爸爸分别是几岁？ 【答案】8，30；【解析】解：设今年小红与爸爸的岁数分别是4x 和15x 岁.1533(43)x x +=+，2x =，则48,1530x x ==. 答：今年小红与爸爸的岁数分别是8岁和30岁.例题10（崇明2018期中29）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则为2ba b a +=* （1）写出2*x ； （2）试求方程3*(2*)1x =的解．【答案与解析】解：（1）22*2x x +=；（2）23223*(2*)3*122xxx +++===，解得，4x =-. 所以原方程的解为4x =-. 【真题训练】 一、选择题1.（金山2018期中1）下列等式是一元一次方程的是（ ）（A ）18711=+ （B ）010=-x （C ）042=-x （D ）355=-y x 【答案】B ；【解析】根据一元一次方程的定义，只有B 选项符合；而A 中无未知数，是一个等式，故A 错误；C 是一元二次方程；D 是二元一次方程；故选B.2.（杨浦2019期中16）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A.0x =； B.21x x +=； C. 2(3)13y x -+=； D. 11x x+=. 【答案】A ；【解析】A 是一元一次方程；B 是一元二次方程；C 是两元一次方程，D 是分式方程，故选A. 3.（杨浦2019期中18）由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了（ ） A.35x +； B.35x -； C. 35x -+； D. 35x --. 【答案】C ；【解析】由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了35x -+.4. （松江2018期中19）A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是…（ ） (A )2(1)313x x -+=； (B )2(1)313x x ++=(C )23(1)13x x ++= ； (D )23(1)13x x +-=.【答案】A.【解析】根据题意，A 种饮料花2(1)x -；B 种饮料花3x ，故得2(1)313x x -+=，故选A.5.（杨浦2019期中20）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米. 如果甲在乙前面8米处同向出发，那么经过（ ）秒两人首次相遇？A.208；B.204；C. 200；D. 196.【答案】D;【解析】这是追及问题，设x 秒后两人首次相遇，则824008,196x x x -=-∴=秒.6．（浦东2018期末3）在如图的2018年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能．．．是（ ） （A ）72； （B ）69； （C ）51； （D ）27．【答案】A ；【解析】依题，设任意框出表中竖列上三个相邻的数为：,7,14(116)n n n n ++≤≤，故三数之和321n +，令32172n +=，解得17n =，不合题意；令32169n +=，解得16n =，符合题意；令32151n +=，解得10n =，符合题意；32127n +=，解得2n =，符合题意；故选A.二、填空题7．（普陀2018期中10）1x = ______（填“是”或“不是”）方程24927x x -=-的解.【答案】是；【解析】将1x =代入方程得，左边=24195⨯-=-，右边=2175⨯-=-，左=右，故答案：是.8.（浦东四署2019期中10）方程3306x -=的解为 .【答案】12x =；【解析】由方程得336x =，所以12x =.9.（金山2018期中16） 已知，关于x 的方程431m x -=的解是3x =，那么m 的值等于 .【答案】2.5；【解析】将3x =代入方程431m x -=中，得491m -=，所以52m =. 10.（浦东四署2019期中9）4x =-是关于x 的方程17ax -=的解，则a= .【答案】2a =-；【解析】将4x =-代入关于x 的方程17ax -=得，417,2a a --=∴=-.11.（宝山2018期末6）如果方程522mx x -=-的解是1=x ，那么m 的值是 .【答案】5；【解析】将x=1代入方程522mx x -=-，得522m -=-，所以m=5.12.（金山2018期中17） 已知，甲、乙、丙三人的年龄之比为4:3:2，三人年龄之和为72岁，那么乙的年龄是 岁.【答案】24；【解析】设甲、乙、丙三个的年龄分别为2x 、3x 、4x ，则2x+3x+4x=72，解得x=8，故乙的年龄为3×8=24.13. （松江2018期中12）已知长方形的长与宽之比是2:3，且它的周长是20cm ，则它的面积是_____2cm .【答案】24；【解析】设长方形的长与宽分别是3x 、2x ，根据题意得3x+2x=10，解得x=2，所以3x=6，2x=4，故长方形的面积为6×4=242cm .14.（松江2018期末8）设一件商品的原价为x 元，降价12%后的售价为176元，则可列方程为 ．【答案】x(1-12%)176=；【解析】根据题意，得x(1-12%)176=.15. （松江2018期中13）小明的妈妈往银行里存入5000元，到期需缴纳20%的利息税，两年后她得到税后利息400元。