高中数学教案-人教A版必修5(9)——等比数列的前n项和(一)

等比数列的前n项和(一)
教学目标：
会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养.
教学重点：
1.等比数列的前n项和公式.
2.等比数列的前n项和公式的推导.
教学难点：
灵活应用公式解决有关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.
(1)定义式：a n
a n－1
＝q(n≥2，q≠0)
(2)通项公式：a n＝a1q n－1(a1，q≠0)
(3)性质：①a，G，b成等比数列 G2＝ab
②在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q
Ⅱ.讲授新课
前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求?下面我们先来看引言.
引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和.
1.前n 项和公式
一般地，设有等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .
刚才问题即为求：S 64＝a 1＋a 2＋…＋a 64＝1＋2＋4＋…＋263 ① 我们发现，若在①式两边同乘以2，则得 2S 64＝2＋4＋…＋263＋264 ②
由②－①可得：S 64＝264－1
同理，可知，若S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
又∵在等比数列中，a n ＝a 1q n －1，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1,
qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n －1＋a 1q n 不妨将上两式相减可得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n （1）当q ＝1，S n ＝na 1
（2）当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q
① 或S n ＝a 1－a n q
1－q
②
若已知a 1，q ，n ，则选用公式①；当已知a 1，q ，a n 时，则选用公式②.
2.例题讲解
［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和. 分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列. 解法一：由1，2，4，…可知：a 1＝1，q ＝2
∴a n ＝2n －1，∴a 5＝24＝16，a 10＝29＝512.
从第5项到第10项共有6项，它们的和为：16（1－26）
1－2 ＝1008.
答案：从第5项到第10项的和为1008.
解法二：从第5项到第10项的和为：a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝S 10－S 4
由a 1＝1，q ＝2得S n ＝a 1（1－q n ）
1－q ＝2n －1，∴S 10＝210－1＝1023
S 4＝24－1＝15，S 10－S 4＝1008. 答：从第5项到第10项的和为1008.
［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?
分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.
解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a 1＝1，q ＝2的等比数列.
一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S 24＝1－224
1－2
＝224－1 答：一天时间可传遍224－1人.
评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决. Ⅲ.课堂练习
课本P 54练习1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：S n ＝a 1（1－q n ）1－q 或S n ＝a 1－a n q
1－q (q ≠1)及
推导方法：错位相减法.是本节课应重点掌握的内容，课后应进一步熟练公式掌握其基本应用. Ⅴ.课后作业
课本P 58习题 1，2，7
等比数列的前n项和(一)
1．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n－1(a≠0)，则这个数列的特征是（）
A.等比数列
B.等差数列
C.等比或等差数列
D.非等差数列
2．等比数列{a n}中，若S6＝91，S2＝7，则S4为（）
A.28
B.32
C.35
D.49
3．数列{a n}的通项公式为a n＝
1
n＋n＋1
，若S n＝9，则n等于（）
A.9
B.10
C.99
D.100
4．使数列10
11
1，10
11
2，10
11
3，…，10
11
n ，…，前n 项之积大于105，则自然数n 值为（ ）
A.6
B.9
C.11
D.12
5．已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是 （ ）
A.x 2＋10x ＋8＝0
B.x 2－10x ＋64＝0
C.x 2＋20x ＋64＝0
D.x 2－20x ＋64＝0 6．在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ .
7．在正实数组成的等比数列中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝ . 8．在等比数列中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝9，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14
＋a 15＝ . 9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9
a 2＋a 4＋a 10 ＝ .
10．数列112 ，214 ，31
8
，…的前n 项和为 .
11．已知等比数列中{a n }：1，2，4，8，……，它的第n 项为a n ，求a 3n .
12．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1＝4a n ＋2(n ＝1，2，…)，a 1＝1
（1）设b n ＝a n +1－2a n (n ＝1，2，…)，求证{b n }是等比数列；
（2）设c n ＝a n
2n (n ＝1，2，…)，求证{c n }是等差数列；
（3）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式.
等比数列的前n 项和(一)答案
1．C 2．A 3．C 4．C 5．D
6．70 7．43 8．27 9．1316 10．12 （n 2＋n ＋2）－12n 11．a 3n ＝23n －
1
12．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1＝4a n ＋2(n ＝1，2，…)，a 1＝1 （1）设b n ＝a n +1－2a n (n ＝1，2，…)，求证{b n }是等比数列；
（2）设c n ＝a n
2
n (n ＝1，2，…)，求证{c n }是等差数列；
（3）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式. 解：（1）∵S n +1＝4a n ＋2 ① ∴S n +2＝4a n +1＋2 ②
②－①得：S n +2－S n +1＝4a n +1－4a n (n ＝1，2，…)，即a n +2＝4a n +1－4a n a n +2－2a n +1＝2(a n +1－2a n )
∵b n ＝a n +1－2a n (n ＝1，2，…) ∴b n +1＝2b n
由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列. 由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，得a 2＝5
∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴b n ＝3·2n －
1 (2)∵c n ＝a n
2
n (n ＝1，2，…)，
∴c n +1－c n ＝a n ＋12n ＋1 －a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1 ＝b n
2n ＋1 将b n ＝3·2n
－1
代入，得c n +1－c n ＝3
4
( n ＝1，2，…)
由此可知：数列{c n }是公差为34 的等差数列，c 1＝a 12 ＝1
2
故c n ＝12 ＋34 （n －1）＝34 n －1
4
(3)∵c n ＝34 n －14 ＝1
4
（3n －1）
∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －
2(n ＝1，2，…)
当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －
1＋2. 由于S 1＝a 1＝1也适合于此式,
∴前n 项公式为：S n ＝(3n －4)·2n －
1＋2。