2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示上课稿

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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案+习题

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．预习教材P94－97完成下面问题：知识点1平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．4．坐标表示：a＝(x，y)．5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．【预习评价】思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．答案a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)知识点2平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应a－b＝(x1－x2，y1－y2)坐标的差数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa ＝(λx ，λy )重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)【预习评价】已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________．解析 2a －b ＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．答案 (5,7)题型一平面向量的坐标表示【例1】如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3．∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，323，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，323． (2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332．∴点B 的坐标为(22－32，22＋332)．规律方法求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．【训练1】已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析 MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.选A ．答案 A题型二平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4，－2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A ．答案 A(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．解因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)，所以AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．规律方法平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【训练2】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).方向1 由相等的向量求参数的值【例3-1】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3．答案－3方向2 向量运算与平面几何的综合应用【例3-2】已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．规律方法坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．【训练3】已知A (2,4)，B (－4,6)，若AC →＝32AB →，BD →＝43BA →，则CD →的坐标为________．解析设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(x 1－2，y 1－4)＝32(－6,2)＝(－9,3)，则x 1＝－7，y 1＝7，(x 2＋4，y 2－6)＝43(6，－2)＝(8，－83)，∴x 2＝4，y 2＝103，则CD →＝(11，－113)．答案 (11，－113)课堂达标1．已知点A (－2,1)，B (3，－2)，则BA →的坐标是( ) A ．(－5,3) B ．(5，－3) C ．(－5，－3)D ．(5,3)解析 BA →＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)．答案 A2．若AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,2)，则CB →等于( )A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－4,3)D ．(4，－3)解析 CB →＝AB →－AC →＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)．答案 A3．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则12a －2b 等于( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)解析 12a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．答案 A4．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________.解析设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2．答案 (0,2)5．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，求x ，y 的值．解由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.课堂小结1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．基础过关1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．答案 C2．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3)D ．(9，－3)解析设D (x ，y )，则(x ＋1，y －3)＝(10，－6)，∴x ＝9，y ＝－3，即点D 的坐标是(9，－3)．答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.答案 D4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝________(用坐标表示)．解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．答案 (－1，－1)5．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 6．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．解以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4．7．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．解设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|．当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)．当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)．能力提升8．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．答案 C9．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)，易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B ．答案 B10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________(用a ，b 表示)．解析设c ＝x a ＋y b ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，所以c ＝12a －32b ．答案 12a －32b11．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________．解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112．答案11212．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．解设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．(选做题)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →． (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23．若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13． (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．。

人教版数学高一教学设计2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

必修四第二章平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算教师活动导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。

2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。

由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i ,j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。

i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i ,j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。

解：由图可知：12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有：b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,d ＝2i －3j ＝（2,－3）。

3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；（2）已知a (x , y )和实数λ,求λa 的坐标。

解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a - b =(x 1-x 2, y 1-y 2)。

[精品课件]高中数学第二章平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算课件

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【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角，要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形式，然后写出其相应的坐标.
2
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类型三由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
2
3

高中数学四 2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(讲)

人教版必修四
2。

3.2平面向量正交分解及坐标表示(结）
命题方向1 向量的坐标表示
例1。

如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示错误!、错误!、错误!，并求出它们的坐标．
［分析］利用平行四边形法则或三角形法则．
[解析] 错误!＝6i＋2j，错误!＝2i＋4j，错误!＝－4i＋2j,
它们的坐标表示为：错误!＝（6，2）,错误!＝（2,4），错误!＝（－4,2)．规律总结:向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后,可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．
命题方向2 向量的直角坐标运算
例2若向量|a|＝｜b｜＝1，且a＋b＝(1，0），求a与b的坐标．[分析1］利用定义解题．
[解法1] 设a＝(m，n），b＝（p,q)，则有
错误!解得错误!或错误!
故所求向量为a＝（错误!，错误!)，b＝（错误!，－错误!),或a＝(错误!，－错误!），b＝(错误!,错误!）．
[分析2] 利用三角换元法求解．
[解法2] 设a＝（cosα，sinα)，b＝（cosβ，sinβ)，则有
错误!
由①②得（1－cosβ）2＋sin2β＝1，即cosβ＝错误!.
将cosβ＝错误!代入①得错误!和错误!.
故所求向量为a＝（错误!，错误!),b＝(错误!，－错误!），或a＝（错误!，－错误!）,b ＝（错误!，错误!）．
规律总结:以上三种解法各具特色，解法1利用模的概念和向量的坐标运算，通过解方程组来求解，思路自然、严谨；解法2利用“三角换元法”，将“长度”分解,借助三角变换简化了运算．。

平面向量的正交分解及坐标表示人教课标版精品课件

a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
a (x1, y1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
例３.如图，已知A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求AB 的坐标。
y
解： AB OB OA
(x2 , y2 ) (x1, y1)
A
(x2 x1, y2 y1)
B
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓

教学设计--2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计1

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学分析在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j。

于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。

这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。

教学目标1、知识与技能：（1）理解平面向量的正交分解的概念；（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。

2、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点: 平面向量的坐标的理解。

授课类型：新授课教具：课件教学过程：一、导入新课回忆：平面向量基本定理（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）即:平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量1e，2e唯一表示。

物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G。

现在将重力G分解成两个力，下滑力F1，它的方向如何？木块对斜面的压力F2，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1与F2有何位置关系？G=F1+F2F1⊥F2（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）二、新课讲解：知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.练习1：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样用向量i、j表示向量a呢？（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。

2.3.2向量正交分解及坐标表示（教学建议和反思）

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学建议（一）、复习引入：问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。

指出注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量（二）、讲解新课： 1、平面向量的正交分解问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。

设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。

指出在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。

2、平面向量的坐标表示问题3、平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。

对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。

问题4、如图，取与x 轴，y 轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量。

设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。

问题5、更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，问题6、写出、、的坐标；设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。

问题7、（1）如果A(x1, y1),O为坐标原点，那么的坐标是什么？（2）如果A(x1, y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么？（1）（2）设计意图：使学生明确向量的坐标与表示该向量的有向线数起点和终点坐标之间的关系，感悟向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关。

高中数学必修四人教版2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示5ppt课件

5.如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA = i, OB，=填j空：
（1） | ι |= __1___,| j |= _1_____, | ΟΧ |= __5____;
（2）若用 i来, j表示
O，C则, O：D
OC = _3_i__+__4_j_, OD = __5_i__+_7__j_.
y
D
a
C
A
j
x
o iB
ห้องสมุดไป่ตู้
对于该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数x、y，可使
a = xi + y j.
i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0）
这样，平面内的任一向量都可由x，a y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作 a
a (x, y)
①
其中，x叫做在xa轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐a标，①式叫做向
y
7
D
4
C
B
j
x
o iA 3 5
谢谢观看！
（3）向量 C能D否由表示i出, j来？可以的话，如何表示？
CD = 2 i + 3 j
量的坐标表示.
概念理解
y
1．以原点O为起点
a
y
A
作 OA ，a点A的位置由
谁确定?
由 a唯一确定.
j
Oi
x
x
a = xi + y j
OA = xi + y j
y
a
y
A
j
Oi
x
x
2．点A的坐标与向量的坐标a的关系？

备课教案资料(2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)

备课资料一、三角形三条中线共点的证明图10如图10所示,已知在△ABC 中,D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点,设中线AD 、BE 相交于点P.求证:AD 、BE 、CL 三线共点.分析:欲证三条中线共点,只需证明C 、P 、L 三点共线.解:设AC =a ,AB =b ,则AL =21b ,AC AL CL -==-a +21b . 设AP =m AD ,则AC +CP =m(AC +CD ),CP =(-1+m)AC +m CD =(-1+m)a +m[21(b -a )]=(-1+21m)a +21m b . ① 又设EP =n EB ,则CP -CE =n(EC +CB ),∴CP =(1-n)CE +n CB =21-(1-n)a +n(b -a )=(21--21n)a +n b . ② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-.21.2121211n m m m 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,52n m ∴CP =-32a +31b =32(-a +21b )=32CL . ∴C 、P 、L 三点共线.∴AD 、BE 、CL 三线共点.二、备用习题图111.如图11所示,已知=34,=31,用、表示,则等于( ) A.31+34 B.31-+34 C.31-OA -34OB D.31OA -34OB 2.已知e 1,e 2是两非零向量,且|e 1|=m,|e 2|=n,若c =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2∈R ),则|c |的最大值为( )A.λ1m+λ2nB.λ1n+λ2mC.|λ1|m+|λ2|nD.|λ1|n+|λ2|m3.已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心,且11A A =e 1,21B B =e 2,21C C =e 3,则21C C 等于( ) A.21(e 1+e 2+e 3) B.31(e 1+e 2+e 3) C.32(e 1+e 2+e 3) D.31-(e 1+e 2+e 3) 4.O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AB AB +,λ∈［0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5.(2005山东高考) 已知向量a 、b 且AB =a +2b ,BC =-5a +6b ,CD =7a-2b ,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.C 、B 、DD.A 、C 、D图126.2007浙江高考,15 如图12,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°, OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为________.参考答案:1.B2.C3.B4.B5.A6.62.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x i +y j .于是,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a 的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a 和b (如图2),作=a ,=b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然,当θ=0°时,a 与b 同向;当θ=180°时,a 与b 反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作a ⊥b .由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a ,均可以分解为不共线的两个向量λ1a 1和λ2a 2,使a =λ1a 1+λ2a 2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样. ②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得 a =x ｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y) ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a 与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H、M、F所在位置,有+=+=ADDMADAM abABADDC212121+=+=AB21=b+21a.ADADABADBCAHBFABAHAFHF21312131-+=-+-+=-==a61-b.点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用a与b表示向量AM与HF.变式训练图5已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.作法:(1)如图,任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2.(2)作OACB.故OC OC就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例 3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示.活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,NM +=+= ∴由CM BM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++μλ3230.∴(λ+2)+(3+3μ)NM =0. 由于和不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.NM =-=∴2=+==2a .点评:这里选取,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△ABC 中,AD 为△ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵=DC ,即-=AC -, ∴=21(+). 又∵=λ=λ(-), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵=μ,即-=μ(-),∴(1+μ)=+μ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32,∴=μ+11+)1(32μμ+. ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设=h ,k =,试证:311=+kh 解:设=a ,=b ,OG 交AB 于D,则=21(+)=21(a +b )(图略).∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,=32, 而=+=+=21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==(21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。

人教版数学第二章2-3《平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算》(共27张PPT)教育课件

d 4i 2 j d (4,2)
3.（2014·北京高考）已知向量 a =（2,4），b =（-1,1），
则 2 a - b =（ A ） A.（5,7） C.（3,7）
B.（5,9） D.（3,9）
【解析】选Ａ. 2 a - b =2（2,4）-（-1,1）=（5,7）。
4.已知点A(3,1),a(x 2 ,2 xy 5 )，若向量 a OA, O为坐标原点，则x=___5_____,y=___-_4_____.
5 . 已知 A ( - 1 ， - 5 ) 和向量 a = （ 2 ， 3 ），若 A B = 3 a ，则点B的坐标为_（__5_，__4__）_.
6.已知：点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若 AP=AB+λAC(λ R) ，试求λ为何值时, （1）点P在一、三象限角平分线上? （2）点P在第三象限内?
，，所
以
x
y
5 5 ，
4 7 .
所以P(5+5λ,4+7λ)，
（1）若点P在一、三象限角平分线上, 则 5+5λ=4+7λ，
所以 1. 2
（2）若点P在第三象限内，
则
5 4
5 7
0， 0，
所以
1 ， 4．
7
所以λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
一、知识技能
1.平面向量的坐标表示 a xi y j (x, y).
——兰斯顿•休斯
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，

课件8：2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算

跟踪训练
2．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A， C→N＝2C→B，求 M、N 的坐标和M→N的坐标．
解：因为 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)．设 M＝(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)．由C→M＝3C→A得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)，即xy＋＋34＝＝32，4，解得xy＝＝02，0，即 M(0,20)．同理可得 N(9,2)，所以M→N＝(9，－18).
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点的坐标为13，0.
【正确解答】由|A→P|＝2|P→B|知A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B.设 P 点的坐标为(x，y)．
当A→P＝2P→B时，得(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
基础梳理
一、平面向量的坐标表示 1．向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直单位向量的向量，叫做把向量正交分解． 2．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝__xi_＋__y_j __，则有序数对 (x，y) 叫做向量a的坐标，记作a＝ (x，y) ，其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【特别提醒】(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． (2)要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． (3)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．

课件7：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算

类型 2 平面向量的坐标运算
例 2 (1)设A→B＝(2，3)，B→C＝(m，n)，C→D＝(－1，4)，则
D→A等于( )
A．(1＋m，7＋n)
B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m，7－n)
D．(－1＋m ，－7＋n)
(2)已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是( ) A．－4，12 B．4，－12 C．－1，－23 D．(8，1) (3)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求A→B＋2B→C，B→C－12A→C的坐标．
(3)解：∵A→B＝(－2，10)，B→C＝(－8，4)，A→C＝(－10，14)， ∴A→B＋2B→C＝(－2，10)＋2(－8，4) ＝(－2，10)＋(－16，8) ＝(－18，18)， B→C－12A→C＝(－8，4)－12(－10，14) ＝(－8，4)－(－5，7) ＝(－3，－3)．
【提示】 ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，∴t＝－23. 若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，∴t＝－13. 若点 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，，∴－23<t<－13.
探究 2 对于探究 1 条件不变，四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．【提示】 ∵O→A＝(1，2)，P→B＝(3－3t，3－3t)．若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B， ∴33－－33tt＝＝12，，该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．
预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同． ( ×) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( × ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( × )

平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算课件

它们的坐标表示为：
→ OA
＝(6,2)，
→ OB
＝(2,4)，
→ AB
＝(－
4,2)．
规律总结：向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．
探索延拓创新
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋ b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
名师辨误作答
已知平行四边形的三个顶点坐标为 A(0,0)，B(0，b)， C(a，c)．求第四个顶点 D 的坐标．
[错解] 设第四个顶点的坐标为 D(x，y)，如图所示．则A→C ＝(a，c)，
B→D＝(x，y－b)，由A→C＝B→D，得(a，c)＝(x，y－b)． ∴ac＝＝yx－b ⇒xy＝＝ab＋c ，即 D 点坐标为：(a，b＋c)．
建模应用引路
已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)若A→P＝A→B＋λA→C(λ ∈R)，试求 λ 取何值时，点 P 在第三象限内？
[分析] 要判断点 P 所在的象限，须知 P 点坐标，为此需求 O→P＝O→A＋A→P的坐标．或由A→P＝A→B＋λA→C找出坐标的关系，求出 P 点坐标．
(2)当四顶点按逆时针 ACBD 排列时，由A→C＝(a，c)，D→B＝(－x，b－y)，及A→C＝D→B得，(a，c) ＝(－x，b－y)． ∴ac＝＝b－－xy ，∴xy＝＝－ b－ac ，则此时 D 点坐标为(－a，b－c)．
(3)当四顶点按逆时针 ADCB 排列时，由A→D＝(x，y)，B→C＝ (a，c－b)，及A→D＝B→C，得(x，y)＝(a，c－b)．
规律总结：准确、熟练掌握向量的加法、减法、数乘的坐标运算公式．牢记公式、细心计算．

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若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则
AB
( x2 x1, y2 y1)
y
B1 P(x,y) 1
O
问2:相等向量的坐标有什么关系？结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
B(x2,y2)
a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，则：
5 i +7 j 3 i +4 j OC = ________,OD = _________.
B
C
j o iA
x
3 5
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD = 2 i + 3 j
练习：如图所示，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且 OA＝(－1，－1)，试求 OB、OC、OD 的坐标．
练习：若向量 a＝(x＋3，x －3x－4)与 AB 相等，其中 A(1,2)，B(3,2)，则 x＝________.
解析：∵A(1,2)，B(3,2)．则有 AB―→＝(2,0)，又∵a＝AB―→，它们的坐标对应相等， ∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)，
2
x＋3＝2， ∴ 2 x －3x－4＝0. x＝－1，解得 x＝－1或x＝4.
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若a b ， a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ), 则( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),即x1 x2 , y1 y2 .
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1
解：由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
a=(2,3) 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5
i1 2 3 4 x d
d=2i-3j=(2,-3)
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
平面向量的正交分解及坐标表示
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；
a = ( x, y )
y
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
yj j O i
a x
xi
y
a
A (x,y)
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。
y
j O i
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标； x
反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。
x
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
. A(1, 2)
a
x
.
o
b
o
x
如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标.
∴x＝－1.
小结平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示
2.已知点A(8,2)，点B(3,5) ，将 AB 沿x轴
向左平移5个单位得到向量
CD ，则
(-5， 3) CD ________.
3.如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设OA = i,OB = j ，填空：
y
7 4
D
1 1 （1） | ι |= _____,| j |= ______, 5 | ΟΧ |= ______; C
高考链接
1（2008辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC 2 AD，则顶点D 的坐标为（ A ） A.
7 （ 2， 2
）
1 B.（2， 2
）
C. （3，2）
D.（ 1，3）
课堂练习
1.若向量 a =（1，-2）的终点在原点，那么
这个向量的始点坐标是（-1，2）．
b 2i 3 j ( 2, 3)
b
y 5 4 3 2 1
-2 -1
O
B
AB 2i 3 j (2,3)
a
A
j
-4 -3 c 2i 3 j
( 2, 3)
-1 -2
i1
2
3
4
x
c
d
d 2i 3 j (2, 3)
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系?
y yj j O i a
xi
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标
y
向量a、b有什么关系? a＝b
yj yj j O i
a
b
能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi xi x

相等的向量坐标相同
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
2
P（x，y）
yj
1
j
-2
O
-1 -2
2
i
xi
4
6
OP xi y j ( x, y)
向量
-3
OP
一一对应
P（x ，y）
小结:对向量坐标表示的理解:
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。
新课引入
F1 G F2
G = F G与 F F ? 1+F2 1, 2有什么关系 G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？