第06周平面向量-试题君之周末培优君2017-2018学年高考数学理含解析精品

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专题06 平面向量 (解析版)

专题06 平面向量【真题感悟】1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C．3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】(1)0 (2)【解析】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正. 比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456max AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ==4.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.【答案】 4【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有： 212a b -=+=212212cos 4cos a b θ+=+-⨯⨯⨯=，则：54cos a b a b ++-=+令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin2025,164a b a b a b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．5.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.【解析】由已知得,60<>=︒a b ，不妨取(1,0)=a ，=b ，设(cos ,sin )αα=e ，则cos cos ααα⋅+⋅=++a e b e 2cos αα，取等号时cos α与sin α同号．所以2cos 2cos αααα=αα=)αθ=+（其中sinθθ==θ为锐角）．)αθ+≤ 易知当2αθπ+=时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等．6.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有｜a·e ｜+｜b·e ｜≤,则a·b 的最大值是．【答案】12【解析】()221||||262a b e a e b e a b a b a b a b +⋅≤⋅+⋅≤+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12. 7.（2015年浙江文）已知1e ， 2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．【解析】由题可知，不妨()11,0e =，212e ⎛=⎝⎭，设(),b x y =，则11b e x ⋅==，2112b e x y ⋅=+=，所以31,3b ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，所以113b =+=.8.（2015年浙江理）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【答案】1，2，22.【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即xy y x y x |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b |x y x y xy ++--+ 22(4)5||x y x y b =+--+22243()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002000y x y y x . 【考纲要求】1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直.9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.【考向分析】1.平面向量的线性运算2.平面向量的坐标运算3.平面向量的数量积、模、夹角.【高考预测】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等或中等偏难.【迎考策略】1.向量线性运算的解题策略（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．2. 准确理解共线向量定理（1）a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线；若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔a∥b；（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具：解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB 外任意一点O ，总存在非零实数λ，使()1OP O OB A λλu u u r u u u u r u r＝＋－成立”．3. 基底的“唯一”与“不唯一”“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；“唯一”：平面内任意向量a 都可被这个平面内的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．4.平面向量数量积的计算方法①定义法求平面向量的数量积：已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②坐标法求平面向量的数量积： (a)已知或可求两个向量的坐标；(b)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积．③基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 5.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.6.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 7.巧建坐标系系，妙解向量题：坐标是向量代数化的媒介，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：（1）利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系．（2）利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．（3）三角形中有唯一一个特殊角(30°、45°、60°等)时，有以下两种建系方法（4）圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系．（5）所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系．【强化演练】1．(2019年高考北京卷理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．2.(2019届北京市通州区三模)设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量，若a 与b 夹角为2π3，则||1+=a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+=a b||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+=a b 不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D3.(浙江省温州市2019届高三2月高考适应)在平面上，，是方向相反的单位向量，||＝2 ，(-) •(-) ＝0 ，则|-|的最大值为（） A ．1 B ．2C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意(-) •(-) ＝0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量，所以有，即||＝1，记,则A,B两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当反向共线时，如图：|-|的最大值为1+2=3，故选D.4．(浙江省金华十校2019届高三上期末)已知向量，满足：，，，且，则的最小值为A．B．4 C．D．【答案】A【解析】由题意可知，把看作，，，则可表示为，点B在直线上，设，，，，，，，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出，设，由，解得，，则，故的最小值为．故选：A．5．(浙江省嘉兴市2019届高三上期末)已知向量，满足，，则的取值范围是( )A．B．C．[D．[【答案】D【解析】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.,即.故答案为：D.6．(浙北四校2019届高三12月模拟)已知向量，满足，，则的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为，，由绝对值向量三角不等式得：===1，故选A.7．(浙江省2019届高考模拟卷（一)）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A．B．C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D.8．(浙江省温州九校2019届高三第一次联考)已知是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意m,n，的最小值为1, 的最小值为2，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【答案】B【解析】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得，两式相乘可得（*）而，结合（*）可得，解得则故选B.9.(浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考)均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系则，，则满足，故，如图其轨迹图象则其最小值为故选.10．（天津市和平区2019届高三下学期第三次质量调查）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为( ) A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=.故选：B.11．(湖北省黄冈中学2019届高三三模)已知m ，n 是两个非零向量，且||2m =，|2|4m n +=，则||||m n n ++的最大值为______.【答案】【解析】设m 的起点为坐标原点，因为||2m =，所以设m 的终点坐标为(2,0)，即(2,0)m =，设(,)n x y =，因为|2|4m n +=，所以2222(22)(2)16(1)4x y x y ++=⇒++=，21x -≤≤，||||(m n n x ++=+，而2222(1)423x y x x y ++=⇒++=，所以有||||72m n n ++=+≤==1x =-时，取等号，即||||m n n ++的最大值为12．(浙江省七彩联盟2019届高三11月期中】已知向量，满足，，若对任意实数x 都有，则的最小值为______【答案】【解析】如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x 都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P在直线BC上，线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当时，．故答案为：．13．(浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末)若向量满足，且，则的最小值是_ _.【答案】【解析】设，，，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；设,，则，而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，所以，即最小值为2.故答案为2.14．(浙江省台州市2019届高三上期末)设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，分别在圆，圆上，则的最大值为__ __．【答案】【解析】以为原点，两圆圆心所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．则，，令，，所以所以，令，则，所以当时，有最大值，填．15.(2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BEy x =-，直线AE的斜率为3-，其方程为3y x =-.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.16. (2019年高考江苏卷)如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故ABAC=。

2018高考数学小题精练、b卷及解析：专题(06)平面向量

5．以原点及点为顶点作等腰直角三角形，使，则的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图
设，∵ ，，且为等腰直角三角形，∴ ，解得或，∴ 或，故选B．
6．若，且，，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示：
7．已知单位向量满足，则与夹角为（）
．
故选C．
点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．
2018高考数学小题精练+B卷及解析：专题（06）平面向量及解析
专题（06）平面向量
1．已知（）
A． B． C．－ D．
【答案】B
【解析】．
由与垂直，可得．
解得．
故选B．
2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝（）
A．－B．C．－2D．2
【答案】A
专题
1．已知向量，，且，则 =（）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【解析】因为所以，，故选B；
2．已知，，且两向量夹角为，求 =（）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
3．分别是的中线，若，且与的夹角为，则 =（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由解得
9．已知，其中，且，则向量和的夹角是

高考专题---平面向量-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版

母题五平面向量【母题原题1】【2018上海卷，8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则⋅的最小值为______.【答案】3-【解析】依题意设(0,),(0,)E a F b 不妨设a b >，则||2,(1,),(2,),2a b AE a BF b a b -===-=+所以22(1,)(2,)22(2)22(1)3AE BF a b ab b b b b b ⋅=⋅-=-+=-++=+-=+-，故所求最小值为3-.【母题原题2】【2017上海卷，7】如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【答案】【母题原题3】【2016上海卷，14】如图，在平面直角坐标系中，O 为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.【命题意图】考查平面向量的基础知识、基本运算、基本应用；考查运算求解能力以及运用数形结合思想分析与解决问题的能力；考查转化与化归思想的应用.【命题规律】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．浙江卷涉及模的最值问题考查最多.【答题模板】基于平面向量的双重性，解答平面向量最值问题：一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．【方法总结】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 2.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.3.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．1．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足k ⋅=，当⋅取得最小值时，实数的值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】2．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】在给出的下列命题中，是假命题的是（） A. 设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线 B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【解析】由则点必共线，故A正确；由平面向量基本定理可知B 正确；由可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C 正确；故选D.3．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ， 0AC AD ⋅= ， 0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（） A.12B. 2C. 4D. 8 【答案】B点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．4．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】由题意可得：，且，则：，据此有：，解得：.5．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】点1F ， 2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足： 2122MN MF MF =⋅ ，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【解析】设()00,m x y ，由2212x y +=，得()()()120,1,1,0,1,0N F F -，则由2122MN MF MF =⋅ ，可得()222200001222x y x y +-=-+，化为()2214x y ++=，可设002{ 21x sin y sin αα==-，()()12=2cos 1,21,24cos 2,42MF sin MF sin αααα--=+- ， ()1226cos 1,63MF MF sin αα+=+-，122MF MF +==== 6122MF MF +的最大值为66.【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，平面向量的数量积公式，以及三角函数求最值问题，属于难题. 求最值问题常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值；②图象法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解.6．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知向量在向量方向上的投影为，且，则=_______．(结果用数值表示) 【答案】【解析】由题向量在向量方向上的投影为，即即答案为-6.7．【上海市十二校2018届高三联考】在ABC ∆中， 120BAC ︒∠=， 2AB =， 1AC =，D 为线段BC上任一点（包含端点），则AD BC ⋅ 的最大值为________【答案】2∴cos 75AD BC AD BC ADB k ⋅=⨯⨯∠=-，分类讨论：①k =0时,D 与B 重合,由余弦定理得cosABC ∠==， 5AD BC ⋅=- ； ②01k < 时， 5752k -<- ；∴52AD BC -⋅；则AD BC ⋅的取值范围为[−5,2].其最大值为2.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】在ABC 中,边上的中垂线分别交于点若,则_______【答案】4【解析】设，则，，又，即，故答案为.9．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知向量()1,2a =-， ()3,4b =，则向量a在向量b的方向上的投影为________ 【答案】-110．【上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一条侧棱， ()1,2,,16i P i =⋯是上、下底面上其余十六个点，则()1,2,,16i AB AP i ⋅=⋯ 的不同值的个数为__________．【答案】2【解析】由题意得， i i AP AB BP =+,则()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅ ,因为i AB BP ⊥ ，所以21i AB APAB ⋅== ，所以()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同的值的个数为1.11．【2016-2017年上海市闵行区高三4月质量调研考试（二模）】已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是 .【答案】12．【2016-2017年上海市普陀区高三下学期质量调研（二模）】在△ABC 中， D 、E 分别是AB 、AC 的中点， M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2M B M C B C⋅+ 的最小值为 .【解析】因为D、E分别是AB、AC的中点，且M是直线DE上的动点，所以M到直线BC的距离等于A到直线BC的距离的一半，所以1122MBC ABCS S==，则11sin22MBCS MB MC BMC=∠=，所以1sinMB MCBMC=∠，则c o sc o ss i nB M CM B M C M B M C B M CB M C∠⋅=∠=∠，由余弦定理，得当1cos2BMC∠>时，0y'<，当1cos2BMC∠<时，0y'>，即当1cos2BMC∠=时，2cossinBMCyBMC-∠=∠。

平面向量-备战2018年高考数学(理)之高频考点解密(word版含答案)

考点1 平面向量的概念及线性运算题组一平面向量的概念调研1 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③若λa =0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa =μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当a =0时，不论λ为何值，λa =0.④错误，当λ=μ=0时，λa =μb =0，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C ．☆技巧点拨☆对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．具体应关注以下六点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.题组二平面向量的线性运算调研2 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若,AB AD ==a b ，则AF 等于A ．12a ＋14bB ．14a ＋12bC ．12a −14bD ．14a −12b【答案】A【解析】11111111()()22222424AF AE AB BE AB AD AB AD ==+=+=+=+ a b ．故选A ．调研3 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC = ，||||AB AC AB AC +=- ，则||AM =________. 【答案】2【解析】由||||AB AC AB AC +=-可知，AB AC ⊥ ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，1||||22AM BC ==.调研4 已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足,PA BP CP AP PD λ++==0，则实数λ的值为________．【答案】−2【解析】如图所示，由AP PD λ= 且PA BP CP ++=0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2AP PD =-，则λ=−2.☆技巧点拨☆平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．常见的平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.题组三共线向量定理及其应用调研5 已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c = A ．a B ．b C ．c D ．0【答案】D【解析】依题意，设a ＋b =m c ，b ＋c =n a ，则有(a ＋b )−(b ＋c )=m c −n a ，即a −c =m c −n a ．又a 与c 不共线，于是有m =−1，n =−1，a ＋b =−c ，a ＋b ＋c =0，选D ．调研 6 设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===，则AD BE CF ++ 与BCA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A【解析】由题意得13AD AB BD AB BC =+=+ ，13BE BA AE BA AC =+=+ ，CF CB BF =+= 13CB BA +，因此121()333AD BE CF CB BC AC AB CB BC BC ++=++-=+=- ，故AD BE CF ++ 与BC反向平行．选A.☆技巧点拨☆共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线．【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，,OA OB 不共线，满足OP xOA yOB =+(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y =1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．考点2 平面向量的基本定理及坐标表示题组一平面向量基本定理的应用调研1 已知直角坐标系内的两个向量a =(1，3)，b =(m ，2m −3)使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c =λa ＋μb ，则m 的取值范围是 A ．(−∞，0)∪(0，＋∞) B ．(−∞，−3)∪(−3，＋∞) C ．(−∞，3)∪(3，＋∞) D ．[−3，3)【答案】B【解析】由题意可知向量a 与b 为一组基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠−3，选B ．调研2 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点.若AB AM AN λμ=+，则λ＋μ=________. 【答案】45【解析】解法一：连接AC ，由AB AM AN λμ=+ ，得11()()22AB AD AC AC AB λμ=⋅++⋅+，即(1)2AB μ-+ ()222AD AC λλμ++= 0，即1(1)()()22222AB AD AD AB μλλμ-++++= 0，即3(1)44AB λμ+-+ ()2AD μλ+= 0.又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ=45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB =45AT ，∴45AT AB AM AN λμ==+，∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ=45.☆技巧点拨☆1．对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．（3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸． 2．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 3．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．4．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.题组二平面向量的坐标运算调研2 已知向量a =(2，1)，b =(1，−2)．若m a ＋n b =(9，−8)(m ，n ∈R )，则m −n 的值为________．【答案】−3【解析】【解析】由a =(2，1)，b =(1，−2)，可得m a ＋n b =(2m ，m )＋(n ，−2n )=(2m ＋n ，m −2n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝5，从而m −n =−3.调研3 在△ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC = ，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ=(1，5)，则BC 等于A ．(−6，21)B ．(−2，7)C ．(6，−21)D ．(2，−7)【答案】A【解析】22()(6,4),33()(6,21)AC AQ PQ PA BC PC AC AP ==-=-==-=-，故选A ．☆技巧点拨☆平面向量坐标运算的技巧1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用. 【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．题组三平面向量共线的坐标表示及运算调研4 已知向量a =(2，3)，b =(−1，2)，若(m a ＋n b )∥(a −2b )，则mn 等于A ．−2B ．2C ．−12D ．12【答案】C【解析】由题意得m a ＋n b =(2m −n ，3m ＋2n )，a −2b =(4，−1)，∵(m a ＋n b )∥(a −2b )，∴−(2m −n )−4(3m ＋2n )=0，∴m n =−12，故选C ．调研5 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC =2AB ，若三个顶点分别为A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD 中，DC =2AB ，AB ∥CD ，∴2DC AB = .设点D 的坐标为(x ，y )，则DC=(4−x ，2−y )，AB =(1，−1)，∴(4−x ，2−y )=2(1，−1)，即(4−x ，2−y )=(2，−2)，∴4222x y -=⎧⎨-=-⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，故点D 的坐标为(2，4)．调研6 已知向量a =(1−sin θ，1)，b =⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ等于 A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°【答案】B【解析】由a ∥b 得(1−sin θ)(1＋sin θ)=12，化简得1−sin 2θ=12，sin 2θ=12，又θ为锐角，所以sin θ=22，θ=45°，故选B ．调研7 设OA =(1，−2)，OB =(a ，−1)，OC =(−b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b 的最小值是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题意可得，OA =(1，−2)，OB =(a ，−1)，OC =(−b ，0)，所以AB OB OA =-=(a −1，1)，AC OC OA =- =(−b −1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC，即(a −1)×2−1×(−b −1)=0，∴2a ＋b =1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b =⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(2a ＋b )=4＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥4＋4=8，当且仅当b a =4a b ，即11,42a b ==时，取“=”．故选D ．解法二：k AB =－1＋2a －1，k AC =2－b －1，∵A ，B ，C 三点共线，所以k AB =k AC ，即－1＋2a －1=2－b －1，∴2a ＋b =1，所以1a ＋2b =2a ＋b a ＋4a ＋2b b =4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b =8(当且仅当b a =4a b ，即11,42a b ==时，取“=”号)，∴1a ＋2b 的最小值是8. 故选D ．☆技巧点拨☆平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略如下：1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.考点3 平面向量的数量积及向量的应用题组一平面向量数量积的运算调研1 设x ∈R ，向量a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，则a ·b = A ．−6 B ．10 C ． 5 D ．10【答案】D【解析】∵a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，∴−4−2x =0，x =−2，∴a =(1，−2)，a ·b =10，故选D ．调研2 在△ABC 中，AB =4，∠ABC =30°，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC ⋅=⋅ ，则AD AB ⋅ 的值为A ．0B ．−4C ．8D ．4【答案】D【解析】由AD AB AD AC ⋅=⋅ ，得()0AD AB AC ⋅-=，即0AD CB ⋅= ，所以AD CB ⊥ ，即AD ⊥CB ．又AB =4，∠ABC =30°，所以AD =AB sin30°=2，∠BAD =60°，所以AD AB ⋅ =AD ·AB ·cos ∠BAD =2×4×12=4，故选D ．☆技巧点拨☆平面向量数量积的类型及求法：1．平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +. 2．求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【注】（1）在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b =0推出a =0或b =0成立．实际上由a ·b =0可推出以下四种结论：①a =0，b =0；②a =0，b ≠0；③a ≠0，b =0；④a ≠0，b ≠0，a ⊥b ．（2）实数运算满足消去律：若bc =ca ，c ≠0，则有b =a ．在向量数量积的运算中，若a ·b =a ·c (a ≠0)，则不一定有b =c ．（3）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．题组二平面向量数量积的应用调研3 已知向量a ，b 满足(2a −b )·(a ＋b )=6，且|a |=2，|b |=1，则a 与b 的夹角为________．【答案】2π3【解析】∵(2a −b )·(a ＋b )=6，∴2a 2＋a ·b −b 2=6，又|a |=2，|b |=1，∴a ·b =−1，∴cos 〈a ，b 〉=a ·b |a |·|b |=−12，∴a 与b 的夹角为2π3.调研4 平面向量a =(1，2)，b =(4，2)，c =m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D【解析】解法一：由c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，可设c =λ⎝⎛⎭⎫a |a |＋b |b |=λ5a ＋λ25b (λ∈R )，∵c =m a ＋b ，∴⎩⎨⎧m ＝λ5，1＝λ25⇒m =2.解法二：c =m a ＋b =(m ＋4，2m ＋2)，∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，且向量夹角的取值范围是[0，π]， ∴a ·c |a |·|c |=b ·c|b |·|c |，∴2(a ·c )=b ·c ⇒2(m ＋4＋4m ＋4)=4m ＋16＋4m ＋4⇒m =2.☆技巧点拨☆平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【注】在求ABC △的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC 中，AB与BC的夹角应为120°而不是60°.题组三平面向量的模及其应用调研5 设向量a ，b 满足|a ＋b |=20，a ·b =4，则|a −b |= A ． 2 B ．2 3 C ．2 D ． 6【答案】C【解析】∵|a ＋b |=20，a ·b =4，∴|a ＋b |2−|a −b |2=4a ·b =16，∴|a −b |=2，选C ．调研6 设e 1，e 2为单位向量，它们的夹角为π3，a =x e 1＋y e 2，b =x e 1−y e 2(x ，y ∈R )，若|a |=3，则|b |的最小值为________．【答案】1【解析】∵单位向量e 1，e 2的夹角为π3，∴e 1·e 2=12，由|a |=3，得(x e 1＋y e 2)2=3，即x 2＋y 2＋xy =3，①则|b |2=(x e 1−y e 2)2=x 2＋y 2−xy ，② ①＋②得x 2＋y 2=|b |2＋32，①−②得xy =3－|b |22.又x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时“=”成立，∴|b |2＋32≥2·3－|b |22，解得|b |2≥1，因此，|b |的最小值为1.☆技巧点拨☆利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现，具有一定的综合性，且平面向量的模及其应用的常见类型与解题策略如下：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a 或坐标公式||=a 另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.题组四平面向量的应用调研7 已知D 是ABC △所在平面内一点，且满足()()0BC CA BD AD -⋅-=，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】设,,BC a AC b AB c ===，则由()()()0BC CA BD AD BC CA BA -⋅-=-⋅=，得BC BA CA BA ⋅=⋅ ，所以ac cos B =bc cos A ，即a cos B =b cos A ，利用余弦定理化简得a 2=b 2，即a =b ，所以ABC △是等腰三角形．（此题也可用正弦定理化简a cos B =b cos A 得sin()0A B -=，即A B =可得）调研8 已知ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为1，若345OA OB OC ++=0，则△AOC 的面积为A ．25B ．12C ．310D ．65【答案】A【解析】依题意得，22222(35)(4),9253016OA OC OB OA OC OA OC OB +=-++⋅= ，即34+30cos AOC ∠16=，则cos ∠AOC =−35，sin ∠AOC =1－cos 2∠AOC =45，所以△AOC 的面积为12||||OA OC·sin ∠AOC =25，选A ．调研9 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b =⎝⎛⎭⎫－sin x 2，－cos x 2，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令函数f (x )=a ·b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(−1，＋∞) D ．(2，＋∞) 【答案】A【解析】因为f (x )=a ·b =−cos 3x 2sin x 2−sin 3x 2cos x2=−sin2x ，又π≤2x ≤2π，所以−1≤sin2x ≤0，所以f (x )max =1.又c >f (x )恒成立，所以c >f (x )max ，即c >1.所以实数c 的取值范围为(1，＋∞)．故选A ．☆技巧点拨☆1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3．向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题； (2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 4．向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题．【注】常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0 或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心．(2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ .反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0 .反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC == .反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.1．（山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试）已知向量()()2110=-=,,,a b ，则向量a 在向量b 上的投影是 A ．2 B ．1 C ．−1D ．−2【答案】D【解析】向量a 在向量b 上的投影是D ． 2．（四川省绵阳市2018届高三（上）一诊）已知向量a =（x −1，2），b =（x ，1），且a ∥b ，则A B ．2C ．D ．【答案】D3．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且2BD DC =，则AB AD ⋅的值为A ．1-B ．23C ．43D ．1+【答案】B【解析】ABC △是边长为1212111323⎛⎫+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．4．（吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试）已知向量a 和b 的夹角为120︒，则()2-⋅a b a等于A ．4-B ．0C ．4D ．12【答案】D5．（吉林省普通中学2017−20182-a b 与c 垂直，则k 等于A ．B ．2C ．3-D ．1【答案】C0+=，得3k =-，故选C.6．（湖北省襄阳市2018届高三1月调研）已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2λ=-=+,a i jb i j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是AB ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，CD ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】由题得()()1,2,1,λ=-=a b ，因为它们的夹角为锐角，则·0>a b 且,a b 不共线，所以12λ<且2λ≠-，故选C ．7．（广西南宁市2018届高三（上）9月摸底数学试卷）已知O 是ABC △内部一点，OA OB OC ++=0，2AB AC ⋅=且∠BAC =60°，则OBC △的面积为A B ．12C．2D ．23【答案】A8．（河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测）如图，在ABC △中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BNm 的值为A ．1B ．12 C ．911D ．511【答案】D又()222221*********AP m AB BC m AB AC AB mAB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴，解得511m =．选D ． 9．（甘肃省张掖市2018届全市高三备考质量检测第一次考试）已知向量()2,4=-a ，()3,4=--b ，则向量a 与b 夹角的余弦值为__________．【答案】510．（湖北省襄阳市2018届高三1月调研）已知两个不共线向量OA OB、的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB的中点，点C 在直线MN 上，且()OC xOA OB y x y =+∈，R ，则22x y +的最小值为_______．【答案】18【解析】因为,,C M N所以1,22t t x y -==，12x y +=，22x y +表示原点与直线02x y +-=上的点的距离的平方，它的最小值为218=⎝⎭，故填18．【名师点睛】在向量中，如果,,C M N 三点共线，则()1OC O N t M t O =+- ，注意,OM ON前面的系数和为1，在解题时注意应用这个结论．11．（河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试（12月））在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点D ，且()0,πα∈，点E 的坐标为(-.（1）若OE OD ⊥，求点D 的坐标；（2）若(0)OE tOD t =>，且在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2=B α，b =求a c +的最大值.【答案】（1）12⎫⎪⎪⎝⎭；（2）12．（全国名校大联考2018k 为大于零的常数，函数()f x =⋅a b ，x ∈R ，且函数()f x （1）求k 的值；（2）在ABC △中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，()0f A =，且a =，求AB AC ⋅的最小值. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1所以AB AC ⋅的最小值为(201.【思路点拨】（1）利用平面向量的数量积得到()f x ，再利用二倍角公式及辅助角公式将()f x 化成的形式，再利用最值求值；（2）先求出角，再利用余弦定理和基本不等式求出的最值，最后利用平面向量的数量积进行求解即可.1．（2015新课标全国Ⅰ理科）设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =，则A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-【答案】A2．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】(4,2)m +=-a b ，由()⊥a +b b 得43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解得8m =，故选D ．【名师点睛】已知非零向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ：3．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)Px y ，所以()PA x y =- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，所以(2,2)P B P C x y +=-- ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-23322-≥-，当()P 时，所求的最小值为32-，故选B ．【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．5．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知向量1(2BA =uu r ，1),2BC =uu u r 则ABC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A（2）由向量的数量积的性质知|a·cos||||θ=a ba b，·0⇔⊥＝a b a b，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．6．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．【答案】7．（2016新课标全国Ⅰ理科）设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=___________．【答案】2-【解析】由222||||||+=+a b a b ，得0⋅=a b ，即⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-.【名师点睛】全国卷中的向量大多以客观题的形式出现，属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ，则1212x x y y ⋅=+a b . 8．（2015新课标全国Ⅱ理科）设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量λ+a b 与2+a b 平行，所以(2)k λ+=+a b a b ，则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．。

平面向量-2018年高考数学(文)--精校解析Word版

【母题原题1】【2018新课标1，文7】在△中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．【答案】A，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题原题2】【2017新课标1，文13】已知向量a=（﹣1，2），b =（m，1），若向量a+ b与a 垂直，则m=_________．【答案】7【解析】由题得()1,3a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以()1230m --+⨯=，解得7m =．点睛:如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0．【母题原题3】【2016新课标1，文13】设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝______________. 【答案】－23【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得，解得，故填：.考点：向量数量积【考点一：平面向量基本定理】1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．【考点二：平面向量的坐标运算】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择．1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（六）】若在中，，其外接圆圆心满足，则（）A. B. C.D.【答案】A点晴：注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系，注意区分向量积运算俩公式的区别。

2018全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量a－b＝a＋(－b)向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .【基础练习】1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →).( )2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R)，则λ＝( )A.2B.3C.－2D.－34.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →＝________(用a ，b 表示).6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【训练1】下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③考点二平面向量的线性运算【例2】 (2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13bB.－13a ＋13bC.13a －13bD.－13a －13b【训练2】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线.【训练3】已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【基础练习】1.(2017·东阳月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)2.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)3.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D的坐标为________.考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD → C.12BC → D.BC →【训练1】如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A.(－23，－12)B.(23，12)C.(7，0)D.(－7，0)【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)D.(5，14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________.考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________.第三部分平面向量的数量积及其应用1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律：(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).【基础练习】1.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1B.0C.1D.22.(2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.3.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________. 5.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.6.(2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________.【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A.20B. 15C.9D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A.－58B.18C.14D.118【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13BC →，则AE →·BD →＝________.(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 考点三平面向量的模及其应用【例3】 (2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ，由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
21
(A)
16
3
25
(B)
(C)
2
16
(D) 3
3．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则
A
0,
1 2
，
B
3 2
,
0
，
C
0,
3 2
，
D
3 2
,
0
，
点
E
在
CD
上，则
DE
DC
0
1
，设
E
x,
y
，则：
x
3 2
,
y
3 2
,
3 2
，即
x
3 2
y
3 2
3 2
，
据此可得 E
解则答b 2：设4ee
(1, b3
0)
，b 0
x
(
2
x,
y) y2
，
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示， a
OA， b
OB ，（其中
A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， AOx
.）
3
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
2．（2018 天津文）在如图的平面图形中，

2018年高三数学(理)5.平面向量Word版含解析

PA PB 的最大值为 1，选 A．
考点： 1、向量的坐标运算； 2、向量的数量积．
【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本
题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点
A、 B 的坐标，从而表示出向
2
量的坐标 PA (t 1, 2) ， PB
( 1, t
量表示，可得 m n 1 ，然后再求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得
【答案】 3
【解析】
试题分析：依题意可得， a b 3cos sin
si n
t an
3
cos
考点： 1. 平面向量的数量积； 2. 同角的基本关系 .
0 ，所以 si n
3 c o s，则
9. 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三上学期第四次考试数学（理）试题】已知向量
二．能力题组
1. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考（三）理科数学试题】已知 Rt AOB 的面
积为 1， O 为直角顶点．设向量 a
OA ，b
OB ， OP a 2b ，则 PA PB 的最大值为
OA
OB
（）
A． 1 【答案】 A
B．2
C． 3
D．4
【解析】
试题分析：以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立直角坐标系．由已知
2)
，根据向量的数量积运算，得到
PA PB 的值，
再根据基本不等式求解即可．
2. 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考数学理试题】在正方体
ABCD 中，
( ) ( ) M 是 BD 的中点，且 AM = mAB + nAD m, n ? R ，函数 f x = ex - ax +1，的图象为曲

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第五章平面向量(含解析)

第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示题型59 向量的概念及共线向量题型60 平面向量的线性表示——暂无题型61 向量共线的应用1.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以22125BD +BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD 上的高．1222525BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅====△，即C 25．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==+．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ=)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3. 2.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b的最小值是，最大值是 .解析解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ．易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==；当AO BC ⊥时，ABAC +最大，此时2AB AC AB +==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值题型62 平面向量基本定理及应用1.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且t a n 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若O C m O A n O =+(),m n ∈R ，则m n += ．ba a -ba +b AD OCB解析解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OA OC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ （*）而由tan 7α=，得sin α=cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3m n +=．故填3．解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin 10α=，cos 10α=，如图所示，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．题型63 平面向量的坐标运算1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是．解析不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知052,52x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无第二节平面向量的数量积题型65 平面向量的数量积1.（2017天津理13）在ABC △中，60A =∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.解析解法一：如图所示，以向量AB ，AC 为平面向量的基底，则依题意可得1c o s 603232A B A C A B A C ⋅==⨯⨯=.又因为2BD DC =，则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭，解得311λ=. DCBA解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B ，(C ，()=3,0AB ，(BC =-，(=1,3AC .则可得233A D AB B D A BC ⎛=+=+= ⎝⎭，()AE AC AB λλ=-=-，于是有()511432533ADAE λλλ-=⋅=-+=-，解得311λ=.2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.（2017全国1理13）13.已知向量a ，b 的夹角为60，2=a ， 1=b ，则2+=a b .解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+==a b 4.（2017全国2理12）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）.A.2-B.32-C. 43- D.1- 解析解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ，取AD 的中点E ，由2PB PC PD +=，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=()222PE ED-= 2221132422PE ADAD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，当且仅当20PE =，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B.解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点，所以(0A ，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()PA x y =-，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，y =．故选B.5.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD 上的高．1222525BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅====△，即C 25．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P 坐标满足的参数方程00252251x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==+．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ=)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA6.（2017山东理12）已知12,e e12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 解析)()221212112122λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=e e e e e e e e ，122-===e ，12λ+===e e2221cos601λλλ=+=+，解得3λ=7.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB = ，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则（）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<解析如图所示，动态研究问题:D D ¢®，O O ¢®．此时有90AOB?o ，90BOC?o ，90COD?o ，且CO AO >，DO BO >．故OB OCOA OBOC OD ???uu u r uuu ruu r uu u ruuu r uuu r .8.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b的最小值是，最大值是 .解析解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则A()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ．易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==；当AO BC ⊥时，AB AC +最大，此时2AB AC AB +==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()22222222cos 2cos θθ+++++-a ba b a b a b ab 2101022516cos θ+=+-θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b取得最大值题型66 向量与三角形的四心——暂无a。

【山东省】2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习-答案

山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量答案【真题回访】回访一平面向量的线性运算 1．A 2．12回访二平面向量的数量积 3．D 4．16热点题型1 平面向量的运算【例1】 (1)B (2)B【变式训练一】 (1)32(2)－2热点题型2 三角与向量的综合问题【例2】 (1)85(2)122⎤--⎢⎥⎣⎦ 【变式训练二】 (1)6π(2)6x π=，()gx 的最大值为32.专题限时集训(三) 平面向量【A 组高考达标】一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 二、填空题 6．65 7．712 8．16三、解答题 9．(1)∵23m n ==，()1,2AB =，()2,1AC =，∴()()()221,22,12,233OP =+=， ∴22OP ==.(2)∵()()()1,22,12,2OP m n m n m n =+=++， ∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m n y x -=-.令y x t -=，由图知，当直线y x t =+ 过点()2,3B时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.10．(1)由2BA BC =得cacosB 2=. 因为1cosB 3=，所以6ac =. 余弦定理，得2222accosB a c b +=+. 又3b =，所以2292213a c +⨯=+=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2a =，=3c 或3a =，2c =.因为ac >，所以3a =，2c =.(2)在ABC △中，sinB 3===，由正弦定理，得2sin C sin B 339c b ==⨯=.因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos C 9===.于是1723cos cosBcosC sinBs ()inC 393927B C -+=⨯+==.【B 组名校冲刺】一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．2 6．－3 三、解答题7．(1)因为向量22sin ,03a x πω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos ,30b x ωω=>，所以函数())22134sin cos 4sin cos cos 23cos 322sin cos 1cos 2sin 2x 2cos 26a b x x x x x x x x x xf x πωωωωωωπωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭由题意可知f (x )的最小正周期为πT =，所以2π=π2ω，即1ω=. (2)已知()2co =s 26f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故[π2π6],2πx +∈或[π23π],4π6x +∈时，函数()f x 单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设BC ，CA ，AB 依次为a ，b ，c ，则6a b c ++=，2b ac =.在ABC △中，22222212cosB 222a c b a c ac ac a ac ac c ac +-+-==-≥=，故有03B π≤＜，又622a c bb +-≤==，从而02b <≤. (1)22111πsin sin 2sin 32223S ac B b B ==≤=当且仅当a c =，且π3B =，即ABC△为等边三角形时面积最大，即max S =.(2)()()()22222222263cos 327.222a c acb b b ac b BA BC ac B b +----+-=====-++∵02b <≤，∴821BA <≤，即BA BC 的取值范围是[)2,18.山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量解析【真题回访】回访一平面向量的线性运算1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.]回访二平面向量的数量积3．D[由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．16[已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.] 热点题型1 平面向量的运算【例1】(1)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. ](2)B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]【变式训练一】(1)32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.](2)－2 [∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题【例2】[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12.11分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， ∴32－1≤y ≤2－12，即y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.12分【变式训练一】[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分所以x ＝π6，.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分＝32sin2x ＋12－12cos 2x 7分＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.8分将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.10分因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取最大值1，11分所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量【A 组高考达标】一、选择题1．B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD→＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.] 3．D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝b ·(a －b )|b |·|(a －b )|＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC→|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.]二、填空题6．65 [设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x－2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(2x －2y )＝1，λ(x －2y )＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．712 [∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝⎛⎭⎫332＝－16.] 三、解答题9．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.10分于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分【B 组名校冲刺】一、选择题1．B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3． B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.] 4．A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3，所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.]二、填空题5．2 [由题意得|a |＝12＋(3)2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题 7．[解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3，由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)已知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.8．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b ≤2. (1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27. ∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18，即BA →·BC →的取值范围是[2,18).。

2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习-答案

山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量答案【真题回访】回访一平面向量的线性运算 1．A 2．12回访二平面向量的数量积 3．D 4．16热点题型1 平面向量的运算【例1】 (1)B (2)B【变式训练一】 (1)32(2)－2热点题型2 三角与向量的综合问题【例2】 (1)85(2)122⎤-⎢⎥⎣⎦【变式训练二】 (1)6π(2)6x π=，()g x 的最大值为32. 专题限时集训(三) 平面向量【A 组高考达标】一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 二、填空题 6．65 7．712 8．16三、解答题9．(1)∵23m n ==，()1,2AB =u u u r ，()2,1AC =u u u r ，∴()()()221,22,12,233OP =+=u u u r ，∴OP ==u u u r(2)∵()()()1,22,12,2OP m n m n m n =+=++u u u r，∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m n y x -=-.令y x t -=，由图知，当直线y x t =+ 过点()2,3B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.10．(1)由2BA BC =u u u r u u u rg 得cacosB 2=. 因为1cosB 3=，所以6ac =. 余弦定理，得2222accosB a c b +=+. 又3b =，所以2292213a c +⨯=+=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2a =，=3c 或3a =，2c =.因为ac >，所以3a =，2c =.(2)在ABC △中，sinB 3===，由正弦定理，得2sin C sin B 339c b ==⨯=. 因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos C 9===.于是1723cos cosBcosC sinBs ()inC 393927B C -+=⨯+⨯==. 【B 组名校冲刺】一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．2 6．－3 三、解答题7．(1)因为向量22sin ,03a x πω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos ,30b x ωω=>，所以函数())2214sin cos 4sin cos cos cos 3222sin cos 1cos 2sin 2x 2cos 26a b x x x x x x x x x x f x πωωωωωωπωωωωω⎛⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭g g g 由题意可知f (x )的最小正周期为πT =，所以2π=π2ω，即1ω=. (2)已知()2co =s 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故[π2π6],2πx +∈或[π23π],4π6x +∈时，函数()f x 单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设BC u u u r ，CA u u u r ，AB u u u r依次为a ，b ，c ，则6a b c ++=，2b ac =.在ABC △中，22222212cosB 222a c b a c ac ac a ac ac c ac +-+-==-≥=，故有03B π≤＜，又622a c bb +-≤==，从而02b <≤.(1)22111πsin sin 2sin 2223S ac B b B ==≤=g g 当且仅当a c =，且π3B =，即ABC△为等边三角形时面积最大，即max S .(2)()()()22222222263cos 327.222a c acb b b ac b BA BC ac B b +----+-=====-++u u u r u u u r g ∵02b <≤，∴821BA <≤u u u rg ，即BA BC u u u r u u u rg 的取值范围是[)2,18.山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量解析【真题回访】回访一平面向量的线性运算1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.]回访二平面向量的数量积3．D[由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．16[已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.] 热点题型1 平面向量的运算【例1】(1)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM → )＋μ(BA →＋AD → )＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD → )＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. ](2)B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]【变式训练一】(1)32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.](2)－2 [∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题【例2】[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12.11分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， ∴32－1≤y ≤2－12，即y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.12分【变式训练一】[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分所以x ＝π6，.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分＝32sin2x ＋12－12cos 2x 7分＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.8分将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.10分因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取最大值1，11分所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量【A 组高考达标】一、选择题1．B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.] 3．D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝b ·(a －b )|b |·|(a －b )|＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.] 二、填空题6．65 [设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(2x －2y )＝1，λ(x －2y )＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．712 [∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB → ·OC →＝(AB →－AO → )·(AC →－AO → )＝AB → ·AC →－AO → ·AC →－AO → ·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝⎛⎭⎫332＝－16.] 三、解答题9．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.10分于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分【B 组名校冲刺】一、选择题1．B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3． B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.] 4．A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3，所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.]二、填空题5．2 [由题意得|a |＝12＋(3)2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题 7．[解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3，由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)已知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.8．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b ≤2. (1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27. ∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18，即BA →·BC →的取值范围是[2,18).。

2017年高考数学第02期小题精练系列专题06平面向量理含解析

专题06 平面向量1. 已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】考点：向量的运算．2. 如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】试题分析：若P 在线段AB 上，设BP PA λ=，则有()OP OB BP OB PA OB OA OP λλ=+=+=+-，所以1OB OA OP λλ+=+,又由(),OP xOA yOB x y R =+∈，则1,11x y λλλ==++，所以1x y +=，若点P在线段MN 上，设MP PN λ=，则有1OM ON OP λλ+=+，当1,0x y ==时，最小值为13，当0,1x y ==时，最大值为23，所以范围为12[,]33，由于在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，则11(,)22OP xOA yOB xOM yON x y R =+=+∈，则111,2121x y λλλ==++，故由2x y +=，当2,0x y ==时有最小值14，当0,2x y ==时，有最大值34，所以范围为13[,]44，若点P 在边界上，则113[,]244y x y +∈++，故选C.考点：平面向量的基本定理及其意义.3. 已知向量)1,2(),1,(=-=b m m a ，且b a ⊥，则=a _______.【答案】53【解析】考点：向量的运算及向量的模．4. 过ABC ∆的重心G 的直线l 分别与边AB 、AC 交于F 、E 两点，设)0,0(,>>==y x y x ，则y x +的最小值为______.【答案】43【解析】试题分析：由题意得，利用向量的基本定理，可得311=+y x ，则113()()()24x yx y x y x y y x+=++=++≥，所以43x y +≥．考点：平面向量的基本定理及意义．5. 已知向量a ，b 满足(1,3)a =，||1b =，且0a b λ+=（0λ>），则λ= ．【答案】2 【解析】试题分析：设(,)b x y =，则221x y +=，又因为0a b λ+=，即3)(,)0x y λ+=，所以1030x y λλ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13,x y λ=-=-，即2213()()1λ-+-=，解得2λ=．考点：向量的坐标运算．6. 已知平面向量b a ,满足3,2||,3||-=⋅==b a b a ，则=+|2|b a ．【答案】7 【解析】试题分析：由题意得222|2|44344437a b a b a b +=++⋅=+⨯-⨯=，所以=+|2|b a 7.考点：向量的运算.7. 已知向量a ，b 满足|a |2=，(b a)3a -=-，则向量b 在a 方向上的投影为 . 【答案】12【解析】考点：向量的数量积的应用.8. 已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅的值为（） A ．85 B ．75 C.15- D ．45【答案】C 【解析】试题分析：1OA OB OC ===，由3450OA OB OC ++=得345OA OB OC +=-，两边平方得0OA OB ⋅=，同理，由由3450OA OB OC ++=得354OA OC OB +=-，和453OB OC OA +=-，两个式子平方可得34,55OA OC OB OC ⋅=-⋅=-，故()15OC AB OC OB OA OC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅-⋅=-. 考点：向量运算.9. 已知向量(1,1)a =-，向量(1,2)b =-，则(2)a b a +⋅= ．【答案】1试题分析：()()()21,01,11a b a +⋅=⋅-=. 考点：向量运算.10. 已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A ．1e 在2e 方向上的投影为cos θB ．2212e e = C ．()()1212e e e e +⊥- D ．121e e = 【答案】D 【解析】试题分析：1212cos cos e e e e θθ⋅=⋅=，故D 错误. 考点：向量运算.11. 如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则3λμ-=__________．【答案】0 【解析】考点：向量运算. 12．已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π【解析】试题分析：()2212cos 0,cos ,24a ab a a b πθθθ⋅-=-⋅=-===. 考点：向量运算.13. 已知,A B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且0120,AOB MN ∠=是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足()()1OC OA OB R λλλ=+-∈，则CM CN 的最小值为（） A ．12-B ．14-C ．34- D ．-1 【答案】C 【解析】考点：向量运算.14. 已知向量i 与j 不共线，且AB i m j =+，AD ni j =+，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是（） A ．1mn = B ．1mn =- C ．1m n += D ．1m n +=-【答案】A 【解析】试题分析：依题意，AB AD ，∴AB AD λ=，即11mn =，求得1mn =，故选A. 考点：共线向量定理.15. 若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB = ．【答案】5【解析】试题分析：由向量(1,3)OA =-，||||OA OB =()221310=+-=0OA OB ⋅=，则OA OB ⊥，根据几||AB =2225OA OB +=，故填25.考点：1、平面向量的模；2、平面向量数量积；3、平面向量的几何意义.16. 已知两个非零向量b a ,满足0)(=-⋅b a a ，且||||2b a =，则>=<b a ,（） A ．30 B ．60 C ．120 D ．150 【答案】B 【解析】考点：1、平面向量数量积公式；2、向量的模与夹角.17. 已知两个单位向量i ，j 互相垂直，且向量24k i j =-，则||k i += ．【答案】5 【解析】试题分析：因为两个单位向量i ，j 互相垂直，且向量24k i j =-，所以234,91625,5k i i j k i k i +=-+=+=+=，故答案为5.考点：1、向量垂直的性质；2、向量的模. 18. 已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量()()tan ,1,tan ,2AB BC αα==，则AC 等于（）A ．()2,3-B ．()1,2C ．()4,3D ．()2,3 【答案】D 【解析】试题分析：()()sin 1,cos sin ,tan 1,2tan ,32,3sin cos 2AC AB BC ααααααα====+==+∴∴∴，故选D.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、向量的运算.19. 已知向量()()(),2,2,1,3,a x b c x ===，若//a b ，则向量a 在向量c 方向上的投影为．【答案】4【解析】试题分析：因为向量()()(),2,2,1,3,a x b c x ===，所以由//a b ，得1220x ⨯-⨯=，解得()()4,3,4,4,212820x c a a c ====+=∴，，向量a 在向量c 方向上的投影为22=43+4，故答案为4.考点：1、平行向量的性质；2、平面向量的数量积公式.20. 已知向量(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则||a b +=（） A ．5 B ．5C ．42D ．31【答案】A 【解析】考点：1、向量的模及垂直向量的性质；2、平面向量的数量积公式. 21. 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且3243AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（）A BCD M NA ．35B ．37 C.613 D ．617【答案】D 【解析】试题分析：因为()++AP AC AB AD AB AD λλλλ===，又3243AM AB AN AD ==，，所以4332AP AM AN λλ=+，而,,P M N 三点共线，43132λλ+=，43132λλ+=，λ=617，故选D. 考点：1、平面向量的共线的性质；2、向量运算的平行四边形法则.22. 已知向量()()()1,2,1,0,3,4a b c ===，若λ为实数，()b ac λ+⊥，则λ的值为___________.【答案】311- 【解析】试题分析：由于()b ac λ+⊥，所以()3110b a c b c a c λλλ+⋅=⋅+⋅=+=，所以311λ=-. 考点：向量运算.23. 已知点O 在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为（）A ．4：2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5【答案】A 【解析】AO考点：向量运算.24. 已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，且320OA OB OC ++=，则AOC ∠= ．【答案】23π 【解析】试题分析：不妨设外接圆半径为1，32023OA OB OC OA OC OB ++=⇔+=-，两边平方得1443OA OC ++⋅=，即1cos 2AOC ∠=-，故23AOC π∠=.考点：向量运算.25. ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120︒，则AB AC =（） A ．89 B ．49 C. 13 D ．23【答案】D 【解析】考点：数量积定义及其平行四边形法则、三角形法则等基础知识与基本技能.26. 在Rt AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ===边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若34OE EA =，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ．32 B ．1 C ．1或12 D ．12或32【答案】D 【解析】试题分析：因为，0=•所以，OB OA ⊥5AB =，ＯＢＯＡ２１ＯＤ＝ＡＢ２１＝△ＯＡＢ••••S ，所以2AB OB OA OD =•=.因为43DEA cos EA OE =∠=•，所以，43ED OE =所以432=-ED ED （2321ED 或=，故选项为D.考点：向量的数量积.27. 设向量,,a b c 满足：11,,,602a b a b a c b c ===<--≥，则c 的最大值为（） A ．2 B ．3 C. 2 D ．1【答案】B【解析】考点：向量的数量积.28. 已知平形四边形ABCD 的对角线分别为AC BD ，，且2AE EC =，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则（）A ．151212FE AB AD =-- B ．151212FE AB AD =- C. 511212FE AB AD =- D ．511212FE AB AD =-- 【答案】C【解析】试题分析：2AE EC =,点F 是BD 上靠近D 的四等分点, 61,41==∴， 6141+=+=∴，=-=+, ， 121125)(61)(41-=++-=∴，所以C 选项是正确的. 考点：向量的基本运算.29. 设向量a b 、是互相垂直的两个单位向量，且|3|||a b m a b +=-，则实数m 的值为（）A．2 B．22 C．5 D．25【答案】C【解析】考点：向量的运算.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

《推荐》第06周平面向量-试题君之周末培优君2017-2018学年高考数学(理)人教版Word版含解析

第06周平面向量（测试时间：50分钟，总分：80分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1，若∥a b ，则k =A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】D，∥a b ，10k ∴⨯=，3k ∴=，故选D.2．已知平面向量()()()1,,2,5,,0m m ===a b c ，且()+a c ⊥()-a b ，则m =A ．3+B ．3C ．3±D ．3-±【答案】C【名师点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．3．已知向量,a b 的夹角为60°，且22=-=||,||a a b||=b A ．2 B ．−2 C ．3D ．−3【答案】C【解析】∵2-=||a b，()2228∴-=a b ，即cos604|+b.本题选择C 选项.4．已知非零向量,a b 满足||a ,a 在b 方向上的投影是3||2-b ,则a 与b 的夹角是A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π6【答案】C【解析】设a 与b 的夹角为θ.由题意可得：a 在b 方向上的投影为3cos ||2θ⨯=-a b ,即3cos ,2⨯=-θb b cos 2∴=-θ,则a 与b 的夹角θ是5π6.本题选择C 选项. 5．在ABC △上，点D 满足2AD AB AC =-，则 A ．点D 不在直线BC 上 B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上D ．点D 在CB 的延长线上【答案】D【解析】根据题意2AD AB AC AD AB AB AC BD CB =-⇒-=-⇒=，故点D 在CB 的延长线上，故选D.6．如图，已知AB =a ，AC =b ，3DC BD =，2AE EC =，则DE =A B CD 【答案】D7．如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=A ．32 B ．32-C ．34D ．34-【答案】A【解析】连接HF ，取HF 中点O ，连接OE ，OG ，易知四边形EFGH 为平行四边形，O 为HF 中点.则22213124EF FG EF EH EO OH ⎛⎫⋅=⋅=-=-= ⎪⎝⎭, GH HE GH GF ⋅=⋅=222112GO OH ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭34=，因此32EF FG GH HE ⋅+⋅=，选A. 8．已知,a b 是单位向量，,a b 的夹角为90，若向量c 满足，则||c 的最大值为A ．2 BC ．2D ．2+【答案】D二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知向量()()2,1,3,x =-=a b ，若·3=a b ，则x =_________. 【答案】3【解析】由平面向量的数量积定义可得：233x ⋅=⨯-=a b ，解得：3x =.10．设向量a ,b 满足，则⋅a b =_________.【答案】1【解析】两式平方后相减可得：44⋅=a b ，解得1⋅=a b ，故答案为1.11．已知向量()()3,0,2,1,==-⊥a b b c ，且t =+a b c ，则t =_________.【解析】因为()2,1,=-⊥b b c ,所以可设(),2x x =c ,由t =+a b c 可得2+320t x t x -=⎧⎨+=⎩,求解可得12．已知向量()(),,1,2m n ==-a b ，若(0)λλ==<a a b ，则m n -=_________.【答案】6-【解析】因为()1,2=-，b 所以()1,2==-λλa b ，则λ==a ,所以2λ=-,则平面向量()2,4,=-a 又因为向量(),m n =a ，所以2,4m n =-=，则6m n -=-.13．已知点在直线上，点的坐标为，为坐标原点，且，则_________.【答案】【解析】设点的坐标为，则，故，则，故.14．已知向量AB 与AC 的夹角为120，且3,2,A B A C ==若,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实数λ的值为_________. 【答案】712三、解答题（本大题共1小题，共10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量()2sin ,1=θa ，()2cos ,1=-θb ，其中（1）若⊥a b ，求角θ的大小；（2tan θ的值.【答案】（1（2）tan 3θ=.（2）由题得()2sin 2cos ,2-=-θθa b ，，得()224-=a b b ，即()224sin cos 416cos 4θθθ-+=+，整理得22sin 2sin cos 3cos 0θθθθ--=，所以cos 0θ≠，等式两边同时除以2cos θ得，2tan 2tan 30θθ--=，即()()tan 3tan 10θθ-+=，解得tan 3θ=或tan 1θ=-，所以tan 3θ=．。

专题04 平面向量理-2018年高考题和高考模拟题数学(理)分项版汇编(解析版)

4．平面向量1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 考点：平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：3.【2016理数】已知向量1(,22BA =，3(22BC =（） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.5.【2008年海南宁夏理8文9】平面向量a ，b 共线的充要条件是（）A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=【标准答案】：Ｄ【试题解析】：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使得120a b λ+λ=；若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ【高考考点】向量共线及充要条件等知识。

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第06周平面向量
（测试时间：50分钟，总分：80分）
班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．已知向量()(
)
1,3,3,k ==a b ，若∥a b ，则k =
A ．1-
B ．1
C ．3-
D ．3
【答案】D
【解析】∵()(
)
1,3,3,k ==
a b ，∥a b ，1330k ∴⨯-⨯=，3k ∴=，故选D.
2．已知平面向量()()()1,,2,5,,0m m ===a b c ，且()+a c ⊥()-a b ，则m = A ．310+ B ．310- C ．310±
D ．310-±
【答案】C
【名师点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
3．已知向量,a b 的夹角为60°，且2227=-=||,||a a b ，则||=b A ．2 B ．−2 C ．3
D ．−3
【答案】C
【解析】∵227-=||a b ，()2
228∴-=a b ，即224cos604||28-+=b a a b ，
21
442|4|282
∴-⨯⨯+=b b ，即260--=b b ，解得3=b （负值舍去）.本题选择C 选项.
4．已知非零向量,a b 满足||=3||a b ,a 在b 方向上的投影是3
||2
-b ,则a 与b 的夹角是
A ．2π3
B ．π3
C ．5π6
D ．π6
【答案】C
【解析】设a 与b 的夹角为θ.由题意可得：a 在b 方向上的投影为3
cos ||2
θ⨯=-
a b ,即33cos ,2⨯=-θb b 3
cos 2
∴=-θ,则a 与b 的夹角θ是5π6.本题选择C 选项.
5．在ABC △上，点D 满足2AD AB AC =-，则 A ．点D 不在直线BC 上 B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上
D ．点D 在CB 的延长线上
【答案】D
【解析】根据题意2AD AB AC AD AB AB AC BD CB =-⇒-=-⇒=，故点D 在CB 的延长线上，故选D.
6．如图，已知AB =a ，AC =b ，3DC BD =，2AE EC =，则DE =
A ．31
43-b a B ．
53
124-a b C ．31
43
-a b
D ．53124
-b a
【答案】D
7．如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=
A ．3
2 B ．32-
C ．3
4
D ．34
-
【答案】A
【解析】连接HF ，取HF 中点O ，连接OE ，OG ，易知四边形EFGH 为平行四边形，O 为HF 中点.则
2
2
2
13124EF FG EF EH EO OH ⎛⎫⋅=⋅=-=-= ⎪⎝⎭, GH HE GH GF ⋅=⋅=2
22112GO OH ⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
34=，因此3
2
EF FG GH HE ⋅+⋅=，选A. 8．已知,a b 是单位向量，,a b 的夹角为90，若向量c 满足2--=c a b ，则||c 的最大值为 A ．22- B ．2 C ．2
D ．22+
【答案】D
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
9．已知向量()()2,1,3,x =-=a b ，若·
3=a b ，则x =_________. 【答案】3
【解析】由平面向量的数量积定义可得：233x ⋅=⨯-=a b ，解得：3x =.
10．设向量a ,b 满足10+=a b ，6-=a b ，则⋅a b =_________.
【答案】1 【解析】∵22210+=
++⋅=a b a b a b ，2226-=+-⋅=a b a b a b ，两式平方后相减可得：
44⋅=a b ，解得1⋅=a b ，故答案为1.
11．已知向量()()3,0,2,1,==-⊥a b b c ，且t =+a b c ，则t =_________.
【答案】6
5
-
【解析】因为()2,1,=-⊥b b c ,所以可设(),2x x =c ,由t =+a b c 可得2+3
20
t x t x -=⎧⎨
+=⎩,求解可得
36,55x t ==-，故答案为65
-.
12．已知向量()(),,1,2m n ==-a b ，若25,(0)λλ==<a a b ，则m n -=_________.
【答案】6-
【解析】因为()1,2=-，b 所以()1,2==-λλa b ，则5
25λ==a ,所以2λ=-,则平面向量
()2,4,=-a 又因为向量(),m n =a ，所以2,4m n =-=，则6m n -=-.
13．已知点在直线
上，点的坐标为
，为坐标原点，且
，则
_________.
【答案】
【解析】设点的坐标为
，则
，故
，则
，故
.
14．已知向量AB 与AC 的夹角为120，且3
,2,A B A C ==若,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实数λ
的值为_________. 【答案】
7
12
三、解答题（本大题共1小题，共10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量()2sin ,1=θa ，()2cos ,1=-θb ，其中π0,
2⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
θ. （1）若⊥a b ，求角θ的大小；（2）若2-=a b b ，求tan θ的值. 【答案】（1）π12=
θ或5π12
=θ；（2）tan 3θ=.
（2）由题得()2sin 2cos ,2-=-θθa b ，
由2-=a b b ，得()2
24-=a b b ，即()2
2
4sin cos 416cos 4θθθ-+=+，
整理得22
sin 2sin cos 3cos 0θθθθ--=，
因为π0,
2⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
θ，所以cos 0θ≠，等式两边同时除以2cos θ得，2
tan 2tan 30θθ--=，即()()tan 3tan 10θθ-+=，
解得tan 3θ=或tan 1θ=-，因为π0,
2⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
θ，所以tan 3θ=．。