2021版高考数学(文)导学大一轮人教A广西专用课件：高考大题增分专项六 高考中的概率、统计与统计案例
2021版高考数学(文)大一轮人教A广西专用考点33 基本不等式及其应用
考点规范练33 基本不等式及其应用考点规范练A 册第24页基础巩固1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x>0) B.sin x+1sinx ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2+1≥2|x|(x ∈R ) D.1x +1>1(x ∈R ) 答案:C解析:因为x>0,所以x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg (x 2+14)≥lg x (x>0),故选项A 不正确; 当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确; 由基本不等式可知选项C 正确; 当x=0时,1x +1=1,故选项D 不正确.2.已知a>0,b>0,a ,b 的等比中项是1,且m=b+1a ,n=a+1b ,则m+n 的最小值是( ) A.3 B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+1a =2b ,n=a+1b =2a ,故m+n=2(a+b )≥4√ab =4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a<b ),其全程的平均时速为v ,则( ) A.a<v<√ab B.v=√ab C.√ab <v<a+b 2D.v=a+b 2答案:A解析:设甲、乙两地相距s ,则小王往返两地用时为s a +sb , 从而v=2ssa +s b=2aba+b .∵0<a<b ,∴√ab <a+b 2,2ab a+b >2ab 2b=a ,∴2a+b <√ab,即2aba+b<√ab,∴a<v<√ab.4.已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则1a +4b的最小值为()A.8B.9C.16D.18答案:B解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a +4b=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54答案:C解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立), 则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2√3,则1x +1y的最大值为()A.2B.32C.1 D.12答案:C解析:由a x=b y=3,1x +1y=1log a3+1log b3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a>1,b>1,所以ab≤(a+b2)2=3,所以lg(ab)≤lg3,从而1x +1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=√3时等号成立.7.已知x>1,则log x9+log27x的最小值是.答案:2√63解析:∵x>1,∴log x9+log27x=2lg3lgx +lgx3lg3≥2√23=2√63,当且仅当x=3√6时等号成立.∴log x9+log27x的最小值为2√63.8.(2019河北涞水波峰中学高三模拟一)已知x>0,y>0,且4x +1y=1,若x+y≥m2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是.答案:[-3,2]解析:x+y=(x+y)(4x +1y)=5+xy+4yx≥5+2√xy×4yx=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+3≤9,m2+m-6≤0,解得-3≤m≤2,即实数m的取值范围是[-3,2].9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.答案:58解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx =18-(x+25x),而x>0,所以yx≤18-2√25=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18的最小值为.答案:14解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18>0.∴2a+18≥2a-3b2√2-6=14,当且仅当2a=18,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p>q>0,则提价多的方案是.答案:乙解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a(1+p+q2%)2.由于(1+p%)(1+q%)<[(1+p%)+(1+q%)2]2=(1+p+q2%)2,因此提价多的是方案乙.12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab≥2√2.答案:证明因为a ,b 均为正实数,所以1a 2+1b 2≥2√1a 2·1b 2=2ab , 当且仅当1a =1b ,即a=b 时,等号成立, 又因为2ab +ab ≥2√2ab ·ab =2√2, 当且仅当2ab =ab 时,等号成立, 所以1a +1b +ab ≥2ab +ab ≥2√2,当且仅当{1a 2=1b 2,2ab=ab ,即a=b=√24时,等号成立.能力提升13.已知不等式2x 2-axy+y 2≥0对任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.a ≤2√2B.a ≥2√2C.a ≤113D.a ≤92答案:A解析:因为2x 2-axy+y 2≥0,且y ≠0, 所以2(x y )2-a xy +1≥0.令t=xy ,则不等式变为2t 2-at+1≥0. 由x ∈[1,2],y ∈[1,3],可知t ∈[13,2], 即2t 2-at+1≥0在t ∈[13,2]时恒成立. 由2t 2-at+1≥0可得a ≤2t 2+1t,即a ≤2t+1t .又2t+1t ≥2√2t ·1t =2√2,当且仅当2t=1t ,即t=√22时等号成立,所以2t+1t 取得最小值2√2,所以有a ≤2√2,故选A . 14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x +a2x 对任意实数x ,y 都成立,则实数a 的最小值为( ) A.1 B.2C.3D.4答案:D解析:令f (y )=|y+4|-|y|, 则f (y )≤|y+4-y|=4,即f (y )max =4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x +a2x 对任意实数x ,y 都成立, ∴2x +a2x ≥f (y )max =4,∴a ≥-(2x )2+4×2x =-(2x -2)2+4恒成立; 令g (x )=-(2x )2+4×2x ,则a ≥g (x )max =4,∴实数a 的最小值为4. 15.已知x>0,a 为大于2x 的常数. (1)求函数y=x (a-2x )的最大值; (2)求y=1a -2x -x 的最小值.解:(1)∵x>0,a>2x ,∴y=x (a-2x )=12×2x (a-2x )≤12×[2x+(a -2x )2]2=a 28,当且仅当x=a4时取等号, 故函数y=x (a-2x )的最大值为a 28. (2)y=1a -2x -x=1a -2x +a -2x 2−a 2≥2√12−a 2=√2−a 2,当且仅当x=a -√22时取等号.故y=1a -2x -x 的最小值为√2−a2.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x )(单元:万元),当年产量不足80千件时,C (x )=13x 2+10x (单位:万元).当年产量不少于80千件时,C (x )=51x+10000x-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元,依题意得,当0<x<80时,L (x )=(0.05×1000x )-13x 2-10x-250=-13x 2+40x-250; 当x ≥80时,L (x )=(0.05×1000x )-51x-10000x +1450-250=1200-(x +10000x),则L (x )={-13x 2+40x -250,0<x <80,1200-(x +10000x ),x ≥80.(2)当0<x<80时,L (x )=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950.当x ≥80时,L (x )=1200-(x +10000x)≤1200-2√x ·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x时,即x=100时,L (x )取得最大值1000.因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000万元.高考预测17.若a ,b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围. 解:∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3, ∴(a+b )2=(ab-3)2. ∵(a+b )2≥4ab , ∴(ab-3)2≥4ab ,即(ab )2-10ab+9≥0,故ab ≤1或ab ≥9. 因此ab 的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021版高考数学(文)大一轮人教A广西专用考点5 函数及其表示
考点规范练5 函数及其表示考点规范练A 册第4页基础巩固1.已知f :x →log 2x 是集合A 到集合B 的一一映射,若A={1,2,4},则A ∩B 等于( )A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,4}答案:C解析:由题意,得f (x )=log 2x ,∵A={1,2,4},∴B={0,1,2},∴A ∩B={1,2}.2.已知等腰三角形ABC 的周长为10,则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y=10-2x ,则函数的定义域为( )A.{x|x ∈R }B.{x|x>0}C.{x|0<x<5}D.{x | 52<x <5}答案:D解析:由题意知{x >0,10-2x >0,2x >10-2x ,解得52<x<5, 故定义域为{x |52<x <5}.3.下列四个命题中,正确命题的个数是( )①函数y=1与y=x 0不是相等函数;②f (x )=√x -3+√2-x 是函数;③函数y=2x (x ∈N )的图象是一条直线;④函数y={x 2(x ≥0),-x 2(x <0)的图象是抛物线. A.1 B.2 C.3 D.4答案:A解析:只有①正确,②函数定义域不能是空集,③图象是分布在一条直线上的一系列的点,④图象不是抛物线.4.若函数y=f (x )的定义域为M={x|-2≤x ≤2},值域为N={y|0≤y ≤2},则函数y=f (x )的图象可能是( )答案:B5.已知函数f (x )={0,x >1,π,x =0,π2+1,x <0,则f (f (f (-1)))的值等于( )A.π2-1B.π2+1C.πD.0答案:C解析:由函数的解析式,得f (f (f (-1)))=f (f (π2+1))=f (0)=π.6.若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( )A.g (x )=2x 2-3xB.g (x )=3x 2-2xC.g (x )=3x 2+2xD.g (x )=-3x 2-2x答案:B解析:用待定系数法,设g (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),∵g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,∴{a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得{a =3,b =-2,c =0.∴g (x )=3x 2-2x. 7.若函数f (x )=1log3(2x+c )的定义域为(12,1)∪(1,+∞),则实数c 的值为( ) A.1B.-1C.-2D.-12 答案:B解析:由题意知不等式组{2x +c >0,2x +c ≠1的解集应为(12,1)∪(1,+∞),所以c=-1,故选B . 8.设函数f (x )={3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f (f (56))=4,则b=( ) A.1 B.78 C.34 D.12答案:D解析:∵f (56)=3×56-b=52-b ,∴f (f (56))=f (52-b).当52-b<1,即b>32时,f (52-b)=3×(52-b)-b=4,∴b=78(舍去).当52-b ≥1,即b ≤32时,f (52-b)=252-b =4,即52-b=2,∴b=12. 综上,b=12.9.函数f (x )=√-x 2-3x+4lg (x+1)的定义域为( )A.(-1,0)∪(0,1]B.(-1,1]C.(-4,-1]D.(-4,0)∪(0,1]答案:A 解析:由题意,函数f (x )=√-x 2-3x+4lg (x+1)满足{-x 2-3x +4≥0,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x ≤1且x ≠0,所以函数f (x )的定义域为(-1,0)∪(0,1].故选A .10.已知y=f (2x )的定义域为[-1,1],则y=f (log 2x )的定义域是 . 答案:[√2,4]解析:∵函数f (2x )的定义域为[-1,1],∴-1≤x ≤1.∴12≤2x ≤2.∴在函数y=f (log 2x )中,12≤log 2x ≤2,∴√2≤x ≤4.11.已知f (2x+1)=3x-4,f (a )=4,则a= .答案:193解析:令2x+1=t ,则x=t -12,则f (2x+1)=3x-4可化为f (t )=3(t -1)2-4.因为f (a )=4,所以3(a -1)2-4=4,解得a=193.12.已知函数f (x )={x 2,x ≤1,x +6x -6,x >1,则f (f (-2))= ,f (x )的最小值是 .答案:-12 2√6-6 解析:f (-2)=(-2)2=4,f (f (-2))=f (4)=4+64-6=-12.当x ≤1时,f (x )min =0;当x>1时,f (x )=x+6x -6≥2√6-6,当且仅当x=6x ,即x=√6时,f (x )取最小值2√6-6;因为2√6-6<0,所以f (x )的最小值为2√6-6.能力提升13.已知函数f (x )={x 2+4x +3,x ≤0,3-x ,x >0,则方程f (x )+1=0的实根个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:当x ≤0时,x 2+4x+3+1=0,得x=-2.当x>0时,3-x+1=0,得x=4,故方程f (x )+1=0的实根个数为2.14.已知函数f (x )满足2f (x )-f (1x )=3x 2,则f (x )的最小值是( )A.2B.2√2C.3D.4 答案:B解析:由2f (x )-f (1x )=3x 2,①令①式中的x 为1x 可得2f (1x )-f (x )=3x 2.②由①②可解得f (x )=2x +x 2.由于x 2>0,因此由基本不等式可得f (x )=2x 2+x 2≥2√2x 2·x 2=2√2,当且仅当x=±214时取等号. 15.已知函数f (x )={1,x 为有理数,0,x 为无理数,则f (√1)+f (√2)+f (√3)+…+f (√2020)=( ) A.44B.45C.1 010D.2 020 答案:A 解析:由442=1936,452=2025,可知√1,√2,√3,…,√2020中的有理数共有44个,其余均为无理数,所以f (√1)+f (√2)+f (√3)+…+f (√2020)=44.16.(2019南京金陵中学模拟)已知函数f(x)={2x-1,x≥0,x2-2x,x<0,则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是.答案:[-1,2]解析:当x≥0时,2x-1≤3,解得x≤2,所以0≤x≤2;当x<0时,x2-2x≤3,解得-1≤x≤3,所以-1≤x<0.综上,x的取值范围是[-1,2].17.已知函数f(x)=√mx2+(m-3)x+1的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是.答案:[0,1]∪[9,+∞)解析:由题意得,函数f(x)=√mx2+(m-3)x+1的值域是[0,+∞),则当m=0时,函数f(x)=√-3x+1的值域是[0,+∞),显然成立;当m>0时,则Δ=(m-3)2-4m≥0,解得0<m≤1或m≥9,综上可知实数m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).高考预测18.已知函数f(x)={e x-1,x<1,x13,x≥1,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.答案:(-∞,8]解析:当x<1时,由f(x)=e x-1≤2,解得x≤1+ln2,又x<1,所以x的取值范围是x<1;当x≥1时,由f(x)=x 13≤2,解得x≤8,又x≥1,所以x的取值范围是1≤x≤8.综上,x的取值范围是x≤8,即(-∞,8].快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021版高考数学(文)大一轮人教A广西专用考点47 抛物线
考点规范练47 抛物线考点规范练A 册第36页基础巩固1.以抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是( ) A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4) 答案:B解析:由题意得,抛物线y 2=8x 的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).选B . 2.(2019全国Ⅱ,文9)若抛物线y 2=2px (p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3C.4D.8答案:D解析:∵y 2=2px 的焦点坐标为p 2,0,椭圆x 23p +y 2p=1的焦点坐标为(±√3p -p ,0),∴3p-p=p 24,解得p=8,故选D .3.抛物线y=-4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A.-1716 B.-1516C.1716D.1516答案:B解析:抛物线方程可化为x 2=-y4,其准线方程为y=116. 设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义,可知116-y 0=1,y 0=-1516.4.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,若|AB|=8,则线段AB 的中点M 到直线x+1=0的距离为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案:B解析:如图,抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A ,B 作准线的垂线,垂足为C ,D ,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB 的中点M 作准线的垂线,垂足为N ,则MN 为直角梯形ABDC 的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M 到直线x+1=0的距离为4.故选B .5.已知抛物线x 2=ay 与直线y=2x-2相交于M ,N 两点,若MN 中点的横坐标为3,则此抛物线方程为( ) A.x 2=32y B.x 2=6y C.x 2=-3yD.x 2=3y答案:D解析:设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{x 2=ay ,y =2x -2消去y ,得x 2-2ax+2a=0, 所以x 1+x 22=2a 2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x 2=3y.6.已知等边三角形AOB (O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ:y 2=2px (p>0)上,且△AOB 的面积为9√3,则p=( ) A.√3B.3C.√32D.3√32答案:C解析:根据抛物线和等边三角形的对称性可知A ,B 两点关于x 轴对称,不妨设直线OB :y=√33x ,与y 2=2px 联立得B (6p ,2√3p ),因为△AOB 的面积为9√3,所以√34×(4√3p )2=9√3,解得p=√32.故选C .7.已知抛物线y 2=2px (p>0)上一点M (1,m )(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x 2a -y 2=1的左顶点为A ,若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行,则实数a=( ) A.19 B.14C.13D.12答案:A解析:因为抛物线的准线为x=-p2,所以1+p2=5,解得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(-√a ,0),所以1+√a=√a,解得a=19,故选A .8.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,则|AC|+|BD|的最小值为 . 答案:2解析:由题意知F (1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.已知过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值. 解:(1)由题意得直线AB 的方程为y=2√2·(x -p2),与y 2=2px 联立,消去y 有4x 2-5px+p 2=0,所以x 1+x 2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p=5p4+p=9, 所以p=4,从而该抛物线的方程为y 2=8x.(2)由(1)得4x 2-5px+p 2=0,即x 2-5x+4=0,则x 1=1,x 2=4,于是y 1=-2√2,y 2=4√2,从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3,所以[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.10.(2019全国Ⅲ,文21)已知曲线C :y=x 22,D 为直线y=-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B.(1)证明:直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程.答案:(1)证明设D (t ,-12),A (x 1,y 1),则x 12=2y 1.由于y'=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t=x 1.整理得2tx 1-2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx-2y+1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)解由(1)得直线AB 的方程为y=tx+12.由{y =tx +12,y =x 22可得x 2-2tx-1=0. 于是x 1+x 2=2t ,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t ,t 2+12). 由于EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t ,t 2-2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t )平行, 所以t+(t 2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所求圆的方程为x 2+(y -52)2=4;当t=±1时,|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,所求圆的方程为x 2+(y -52)2=2.能力提升11.设抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,A (x 1,2),B (x 2,8)是C 上两点,且x 2>x 1>0,若|BF|=3|AF|,则x 1+x 2=( ) A.3√2 B.6C.6√2D.8答案:C解析:∵3|FA|=|FB|,∴根据抛物线的定义,可得3(2+p2)=8+p2,解得p=2,∴抛物线方程为x 2=4y ,将y 1=2,y 2=8代入方程,得x 1=2√2,x 2=4√2,∴x 1+x 2=6√2.故选C . 12.已知双曲线y 24-x 2=1的两条渐近线分别与抛物线y 2=2px (p>0)的准线交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为1,则p 的值为( ) A.1 B.√2 C.2√2 D.4答案:B解析:双曲线y 24-x 2=1的两条渐近线方程是y=±2x. 又抛物线y 2=2px (p>0)的准线方程是x=-p2, 故A ,B 两点的纵坐标是y=±p. ∵△AOB 的面积为1,∴12·p2·2p=1.∵p>0,∴p=√2.13.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=54|PQ|. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l'与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程. 解:(1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8p . 所以|PQ|=8p ,|QF|=p2+x 0=p2+8p .由题设得p2+8p =54×8p ,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C 的方程为y 2=4x.(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ), |AB|=2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1). 又l'的斜率为-m ,所以l'的方程为x=-1m y+2m 2+3.将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+4m y-4(2m 2+3)=0. 设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4), 则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=-4(2m 2+3).故MN 的中点为E (2m 2+2m 2+3,-2m ), |MN|=√1+1m 2|y 3-y 4|=4(m 2+1)√2m 2+1m 2.由于MN 垂直平分AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|, 从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m 2+1)2+(2m +2m )2+(2m 2+2)2=4(m 2+1)2(2m 2+1)m 4,化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.14.已知抛物线x 2=2py (p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P (0,p )作直线与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,其中x 1>x 2.(1)若直线AB 的斜率为12,过A ,B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程.(2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,是否存在异于点P 的点Q ,使得对任意λ,都有QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(QA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λQB ⃗⃗⃗⃗⃗ )?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由已知得p=2,直线和y 轴交于点(0,2), 则直线AB 的方程为y-2=12x ,即x-2y+4=0. 由{x -2y +4=0,x 2=4y ,得A ,B 的坐标分别为(4,4),(-2,1).又x 2=4y ,可得y=14x 2,故y'=12x , 故抛物线在点A 处切线的斜率为2. 设圆C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2, 则{b -4a -4=-12,(a +2)2+(b -1)2=(a -4)2+(b -4)2,解得a=-1,b=132,r 2=1254,故圆的方程为(x+1)2+(y -132)2=1254,即为x 2+y 2+2x-13x+12=0.(2)依题意可设直线AB 的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x 2=4y 得x 2-4kx-8=0, 故x 1x 2=-8.①由已知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ 得-x 1=λx 2. 若k=0,这时λ=1,要使QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(QA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λQB⃗⃗⃗⃗⃗ ),点Q 必在y 轴上. 设点Q 的坐标是(0,m ),从而QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2-m ), QA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λQB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1-m )-λ(x 2,y 2-m ) =(x 1-λx 2,y 1-m-λ(y 2-m )),故QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(QA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λQB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(2-m )[y 1-λy 2-m (1-λ)]=0, 即y 1-λy 2-m (1-λ)=0, 即x 124+x 1x 2·x 224-m (1+x1x2)=0, 即14x 2(x 1+x 2)(x 1x 2-4m )=0,将①代入得m=-2.所以存在点Q (0,-2)使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(QA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λQB⃗⃗⃗⃗⃗ ). 高考预测15.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为π3的直线l过焦点F 且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案:B解析:过点A作AB⊥x轴于点B,则Rt△ABF中,∠AFB=60°,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cos∠AFB=12|AF|=1,|AB|=|AF|sin∠AFB=√3.设点A的坐标为(x0,√3)(x0>p2),由{x0+p2=2, 3=2px0,解得p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021版高考数学(文)大一轮人教A广西专用考点28 数列的概念与表示
考点规范练28 数列的概念与表示考点规范练B 册第18页基础巩固1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( )A.n 2n+1B.n 2n -1C.n 2n -3D.n 2n+3 答案:B2.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =n n+1,则1a 5等于( ) A.56B.65C.130D.30 答案:D 解析:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n n+1−n -1n =1n (n+1), 则1a 5=5×(5+1)=30. 3.已知数列{a n }满足a n+1+a n =n ,若a 1=2,则a 4-a 2=( )A.4B.3C.2D.1答案:D解析:由a n+1+a n =n ,得a n+2+a n+1=n+1,两式相减得a n+2-a n =1,令n=2,得a 4-a 2=1.4.(2019广东六校第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n+1,b n =(-1)n a n (n ∈N *),则数列{b n }的前50项和为( )A.49B.50C.99D.100答案:A解析:由题意得,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n ,当n=1时,a 1=S 1=3,所以数列{b n }的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A .5.已知数列{a n }满足a n+2=a n+1-a n ,且a 1=2,a 2=3,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 016的值为( )A.0B.2C.5D.6答案:A解析:∵a n+2=a n+1-a n ,a 1=2,a 2=3,∴a 3=a 2-a 1=1,a 4=a 3-a 2=-2,a 5=a 4-a 3=-3,a 6=a 5-a 4=-1,a 7=a 6-a 5=2,a 8=a 7-a 6=3…. ∴数列{a n }是周期为6的周期数列.又2016=6×336,∴S 2016=336×(2+3+1-2-3-1)=0,故选A .6.设数列√2,√5,2√2,√11,…,则√41是这个数列的第 项.答案:14解析:由已知,得数列的通项公式为a n =√3n -1.令√3n -1=√41,解得n=14,即为第14项.7.(2019安徽合肥高三调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n+1=2S n (n ∈N *),则a 10= .答案:256解析:因为a 1=S 1=1,S n+1=2S n ,所以数列{S n }是公比为2的等比数列,所以S n =2n-1,所以a 10=S 10-S 9=29-28=28=256.8.(2019河北衡水中学摸底联考)已知数列{a n },若数列{3n-1a n }的前n 项和T n =15×6n -15,则a 5的值为 .答案:16解析:根据题意,得a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =15×6n -15,故当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=15×6n-1-15,两式相减,得3n-1a n =15×6n -15×6n-1=6n-1.即当n ≥2时,a n =2n-1,故a 5=16.9.设数列{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)a n+12-n a n 2+a n+1·a n =0,则它的通项公式a n = .答案:1n解析:∵(n+1)a n+12-n a n 2+a n+1·a n =0,∴[(n +1)a n+1-na n ](a n+1+a n )=0.∵{a n }是首项为1的正项数列,∴(n+1)a n+1=na n , 即a n+1a n =n n+1,∴a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 2a 1·a 1=n -1n ·n -2n -1·…·12·1=1n . 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n =(-1)n+1·n ,求a 5+a 6及a n ;(2)若S n =3n +2n+1,求a n .解:(1)因为S n =(-1)n+1·n ,所以a 5+a 6=S 6-S 4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(-1)n+1·n-(-1)n ·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).又a 1也适合于此式,所以a n =(-1)n+1·(2n-1).(2)当n=1时,a 1=S 1=6;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n +2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①因为a 1不适合①式,所以a n ={6,n =1,2·3n -1+2,n ≥2.能力提升11.设数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,且2na n =(n-1)a n-1+(n+1)·a n+1,则a 20的值是( )A.415B.425C.435D.445 答案:D解析:由2na n =(n-1)a n-1+(n+1)a n+1,得na n -(n-1)a n-1=(n+1)a n+1-na n =2a 2-a 1=5.令b n =na n ,则数列{b n }是公差为5的等差数列,故b n =1+(n-1)×5=5n-4.所以b 20=20a 20=5×20-4=96,所以a 20=9620=445. 12.已知函数f (x )是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x ,y 都有f (xy )=f (x )+f (y ).若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足f (S n +2)-f (a n )=f (3)(n ∈N *),则a n 等于( )A.2n-1B.nC.2n-1D.(32)n -1 答案:D解析:由题意知f (S n +2)=f (a n )+f (3)=f (3a n )(n ∈N *),∴S n +2=3a n ,S n-1+2=3a n-1(n ≥2),两式相减,得2a n =3a n-1(n ≥2).又当n=1时,S 1+2=3a 1=a 1+2,∴a 1=1.∴数列{a n }是首项为1,公比为32的等比数列.∴a n =(32)n -1.13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .答案:2n -1解析:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1),即a n =2a n-1+1∴a n +1=2(a n-1+1).又S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n-1=2n ,∴a n =2n -1.14.(2019辽宁五校联考)若数列{a n }满足a 1=-12,a n +a n+1=2n 2+2n ,则a 10= .答案:111110解析:(方法一)因为a n +a n+1=2n 2+2n ,所以a n +a n+1=2n (n+2)=1n −1n+2,所以a 1+a 2=1-13.因为a 1=-12,所以a 2=1-13+12;因为a 2+a 3=12−14,所以a 3=13−14-1;因为a 3+a 4=13−15,所以a 4=14−15+1;……所以a 10=110−111+1=111110. (方法二)因为a n +a n+1=2n 2+2n ,所以a n+1=2n (n+2)-a n .因为a 1=-12=11×2-1,所以a 2=23+12=76=12×3+1;a 3=22×4−76=-1112=13×4-1;a 4=23×5+1112=2120=14×5+1……归纳,可得a n =1n (n+1)+(-1)n ,所以a 10=110×11+(-1)10=111110.15.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a (a ≠3),a n+1=S n +3n ,n ∈N *,b n =S n -3n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)若a n+1≥a n ,求a 的取值范围.解:(1)因为a n+1=S n +3n ,所以S n+1-S n =a n+1=S n +3n ,即S n+1=2S n +3n ,由此得S n+1-3n+1=2(S n -3n ),即b n+1=2b n .又b 1=S 1-3=a-3,故{b n }的通项公式为b n =(a-3)2n-1.(2)由题意可知,a 2>a 1对任意的a 都成立.由(1)知S n =3n +(a-3)2n-1.于是,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n +(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,故a n+1-a n =4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2[12(32)n -2+a -3]. 当n ≥2时,由a n+1≥a n ,可知12(32)n -2+a-3≥0,即a ≥-9.又a ≠3,故所求的a 的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).高考预测16.已知数列{a n }的通项公式是a n =-n 2+12n-32,其前n 项和是S n ,则对任意的n>m (其中m ,n ∈N *),S n -S m 的最大值是 .答案:10解析:由a n =-n 2+12n-32=-(n-4)·(n-8)>0得4<n<8,即在数列{a n }中,前三项以及从第9项起后的各项均为负且a 4=a 8=0,因此S n-S m的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021高考数学(理)大一轮人教A广西专用高考大题专项练六 高考中的概率与统计
高考大题专项练六高考中的概率与统计高考大题专项练第12页1.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表:(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可.(2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:(3)因为K 2=40×(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.2.(2019全国Ⅱ,理18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P (X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.(1)证明X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P (X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)解X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.3.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望; ②设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人. (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X=k )=C 4k ·C 33-k C 73(k=0,1,2,3).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.②设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B ∪C ,且B 与C 互斥.由①知,P (B )=P (X=2),P (C )=P (X=1),故P (A )=P (B ∪C )=P (X=2)+P (X=1)=67. 所以,事件A 发生的概率为67.4.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p ),求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求E (X ); ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )=C 202p 2(1-p )18.因此f'(p )=C 202[2p (1-p )18-18p 2(1-p )17]=2C 202p (1-p )17(1-10p ). 令f'(p )=0,得p=0.1. 当p ∈(0,0.1)时,f'(p )>0; 当p ∈(0.1,1)时,f'(p )<0.所以f (p )的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1.①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B (180,0.1), X=20×2+25Y , 即X=40+25Y.所以E (X )=E (40+25Y )=40+25E (Y )=490.②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于E (X )>400,因此应该对余下的产品作检验.5.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w∑i=18(x i -x )2∑i=18(w i -w )2∑i=18(x i -x )(y i -y )∑i=18(w i -w )(y i -y )46.65636.8289.81.6 1 469 108.8表中w i =√x i ,w =18∑i=18w i .(1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②当年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(u i -u )(v i -v )∑i=1n(u i -u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. (2)令w=√x ,先建立y 关于w 的线性回归方程. 因为d ^=∑i=18(w i -w )(y i -y )∑i=18(w i -w )2=108.81.6=68,c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w , 因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x .(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68√49=576.6, 年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68√x )-x=-x+13.6√x +20.12.所以当√x =13.62=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故当年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.6.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^,用样本标准差s 作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2), 则P (μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997 3.0.997 316≈0.957 7,√0.008≈0.09.解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027, 故X~B (16,0.0027).因此P (X ≥1)=1-P (X=0)=1-0.997316≈0.0423. X 的数学期望为E (X )=16×0.0027=0.0432.(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ⅱ)由x =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。