人教版初二数学上册角平分线有关的定理

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数学人教版八年级上册角平分线的性质

角平分线的性质一、学情分析本节课选自新人教版教材《初中数学》八年级上册第十一章第三节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。

是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．二、学习目标：1、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质。

2、能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。

学习重点：探索并证明角平分线的性质。

学习难点：表达文字几何命题的证明过程。

三、教学目标：知识与技能目标：1、掌握作角的平分线和作直线垂线的方法2、学握角平分线的性质情感态度目标：1、在探讨作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，2、培养学生团结合作精神四、概念回顾1、角平分线：从一个角的顶点引出条射线，把这个角分成两个相等的角的射线有条，这条射线叫做这个角的线。

练一练：在空白处画一个△AOB,射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC==2、点到直线的距离：从直线外一点到这直线的_______的长度，叫做点到直线的距离。

（1）如图1，在Rt△ACB中，点A到CB的距离是线段______，点B到AC的距离是线段______（2）如图2，在△ACB中，画出点C到AB的距离CD四、研读课文P48--49页（一）、画出你认为重点的语句，并加以理解。

（二）、完成下面练习并体验知识点的形成过程。

CBAA BC图2图11、根据下面的操作步骤进行：（1）作任意一个角∠AOB，剪下来。

（2）将∠AOB对折.记折痕为OC,即OC是∠AOB 的线。

12.3 角的平分线的性质-2020-2021学年八年级数学上册同步课堂帮帮帮(人教版)

12.3 角的平分线的性质目标梳理知识梳理一、作已知角的平分线用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．2．分别以点M，N为圆心，大于__________的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．3．画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：★作图依据：构造△OMC ≌△ONC （SSS ）．二、角的平分线的性质内容：角的平分线上的点到角的两边的距离__________．【提示】1．这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；2．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； 3．使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；4．运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．三、证明几何命题的一般步骤一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行： 1．明确命题中的已知和求证；2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．四、角的平分线的判定1．内容：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．2．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．一、2． 12MN二、相等三、相等重点梳理【重点01】角的平分线的性质遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．【重点02】角的平分线的判定1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等．【重点03】角的平分线的性质的应用证明角平分线的方法：只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想．例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.求证：EB=FC.证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °在Rt△BDE 和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE ≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)， ∴CE ＝CF .例3 已知：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.证明：过点P 作PD ，PE ，PF 分别垂直于AB ，BC ，CA ，垂足分别为D ，E ，F .∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上， ∴PD=PE.同理PE=PF . ∴PD=PE=PF .即点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.例4 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥AC 交BC 于点F ，点P 是AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．解：AD 平分∠BAC ．理由如下： ∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上．,,CD CD DE DF =⎧⎨=⎩∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．例5如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD 的面积是（）A．mn B．12mn C．2mn D．13mn3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=3∶2，点D到AB的距离为6，则BC等于（）A．10 B．20 C．15 D．254．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE=AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③5．如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．OA=OC B．点O到AB、CD的距离相等C．∠BDA=∠BDC D．点O到CB、CD的距离相等6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（）A ．AD >DEB ．AD =DEC ．AD <DE D ．不确定7．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．30C ．36D ．428．如图，已知BD ⊥AE 于点B ，DC ⊥AF 于点C ，且DB =DC ，∠BAC =40°，∠ADG =130°，则∠DGF =__________．9．通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为__________．10．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是45 cm 2，AB =16 cm ，AC =14 cm ，则DE =__________．11．如图，已知射线OC 上的任意一点到∠AOB 的两边的距离都相等，点D 、E 、F 分别为边OC 、OA 、OB上，如果要想证得OE =OF ，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能的条件的序号__________．①∠ODE=∠ODF；②∠OED=∠OFD；③ED=FD；④EF⊥OC．12．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE=PF．14．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD=CD．（1）求证：D在∠BAC的平分线上；（2）若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由．15. 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC 之间的距离.16. 如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.1．【答案】A【解析】∵DE =3，AB =6，∴△ABD 的面积为12×3×6=9， ∵S △ABC =15，∴△ADC 的面积=15-9=6，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，∴AC 边上的高DE =3， ∴AC =6×2÷3=4，故选A ． 2．【答案】B【解析】如图，作DE ⊥AB 交AB 于点E ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∠C =90°，∴CD =DE =n ， ∴S △ABD =12AB ·DE =12mn ．故选B ． 3．【答案】C【解析】∵在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点D 到AB 的距离为6，∴CD =6． ∵BD ∶DC =3∶2，∴BD =32CD =32×6=9，∴BC =6+9=15．故选C ． 4．【答案】D【解析】∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ， ∴∠BEA =∠CFA =90°，在△ABE 与△ACF 中，BAE CAF BEA CFA AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），①正确；∴∠B =∠C ，AB =AC （全等三角形对应角和对应边相等）， ∴BF =CE ，在△BDF与△CDE中，B CBDA CDE BF CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE（AAS），②正确；∴DF=DE（全等三角形对应边相等），∴点D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上），③正确；故①②③都正确．故选D．5．【答案】D【解析】∵在△ADC和△ABC中，AD ABCD CBAC AC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△ABC，∴∠DCA=∠BCA，∴点O到CB、CD的距离相等．故选D．6．【答案】D【解析】∵BD平分∠ABC，∴点D到AB、BC的距离相等，∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，∴AD、DE的大小不确定．故选D．7．【答案】B【解析】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=4，∴四边形ABCD的面积1122ABD BCDS S AB DE BC CD=+=⋅+⋅△△1164943022=⨯⨯+⨯⨯=，故选B．8．【答案】150°【解析】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=12∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．故答案为：150°．9．【答案】5【解析】∵P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，∴点P到AC、BC的距离也为1．∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=12AB×1+12AC×1+12BC×1=12×（AB+AC+BC）＝12×10=5．故答案为：5．10．【答案】3 cm【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF．∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅DE+12AC⋅DF=12（AB+AC）·DE，∴12DE（AB+AC）=45，即：1(1614)452DE⨯+=，解得DE=3（cm）．故答案为：3 cm．11．【答案】①②④【解析】如图，∵射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，∴OC平分∠AOB．①若①∠ODE=∠ODF，根据ASA定理可求出△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；②若∠OED=∠OFD，根据AAS定理可得△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；③若ED=FD条件不能得出．错误；④若EF⊥OC，根据ASA定理可求出△OGE≌△OGF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确．故答案为：①②④．12．【解析】∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB BCABD CBD BD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB．∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．13．【解析】在三角形ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF．14．【解析】（1）∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，BED CFDEDB FDC BD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），∴DE=DF，∴D在∠BAC的平分线上．（2）成立．理由如下：∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，BED CFD DE DFEDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），∴BD=DC．15.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵AP平分∠BAD，PM⊥AD ，PE⊥AB，∴PM= PE.同理，PN= PE.∴PM= PN= PE=3.∴MN=6.即AD与BC之间的距离为6.16. 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.。

新人教版数学八年级上册第12章第9课时角平分线的性质习题课(教师版)

新人教版八年级数学上册角平分线的性质习题课导学案一、学习目标熟练掌握角平分线的性质和判定；了解常用的辅助线，掌握角平分线辅助线的作法，会利用辅助线证明问题．二、知识回顾1．角平分线的性质定理是什么？在角平分线上的点到角的两边的距离相等．∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．2．角平分线的判定定理是什么？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（OP是∠AOB的平分线）．三、新知讲解由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看．角平分线具有两条性质：a．对称性；b．角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种；①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线，其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．添加一条垂线为辅助线【例1】（2014秋•西城区校级期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．总结：已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段，可得垂线段相等，或利用角平分线的性质可证三角形全等，继而可证边角相等．练1．（2014秋•鼓楼区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC．2．添加两条垂线为辅助线【例2】（2014秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠B AD+∠B CD=180°．总结：当题目已知条件中出现角平分线的时候，我们应立刻想到它的两个性质：1．把已知角平分成两个相等的小角；2．角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等．练2．（2010秋•柘城县校级月考）如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．五、课后小测解答题1．（2014秋•五华区校级期中）四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°．求证：2AE=AB+AD．2．（2014秋•启东市校级期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点D为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．3．（2011秋•兴庆区校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°；（2）若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换，结论还成立吗？请说明理由．4．如图所示，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P．求证：点P 到AB、AC的距离相等．5．如图，CE=BF，且S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC．6．如图，BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线．求证：P点在∠BAC的平分线上．7．（2014秋•启东市校级月考）如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN 和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．8．（2014秋•启东市校级月考）已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．9．（2012秋•房山区期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．10．（2013秋•海安县月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．11．（2012春•定陶县期末）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．典例探究答案：【例1】【解析】过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA PC PE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∴∠PAE=∠PCB ，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．练1．【解析】过点E 作EF ⊥AB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF ，然后利用“HL”证明Rt △ADE 和Rt △AFE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠AEF ，全等三角形对应边相等可得AD=AF ，再根据等角的余角相等求出∠BEC=∠BEF ，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BC=BF ，再利用AB=AF+BF 等量代换即可得证．证明：如图，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵AE 平分∠BAD ，∴DE=EF ，在Rt △ADE 和Rt △AFE 中，AE AE DE EF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △AFE （HL ），∴∠AED=∠AEF ，AD=AF ，∵AE ⊥BE ，∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，∴∠BEC=∠BEF ，又∵EF ⊥AB ，CE ⊥BC ，∴BC=BF ，∵AB=AF+BF ，∴AB=AD+BC ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【例2】【解析】首先过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，由BD 平分∠ABC ，根据角平分线的性质，即可得DE=DF ，又由AD=CD ，即可判定Rt △CDE ≌Rt △ADF ，则可证得∠B AD+∠B CD=180°．证明：过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，∵BD 平分∠ABC ，∴DE=DF.在RtCDE 和Rt △ADF 中，CD AD DE DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDE ≌Rt △ADF （HL ），∴∠FAD=∠B CD ，∴∠BAD+∠B CD=∠BAD+∠FAD=180°．点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌利用全等把相关角进行转化，使问题得解．练2．【解析】根据AD 平分∠BAC ，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由角平分线性质可知DE=DF ，△ABD 与△ACD 等高，面积比即为底边的比．证明：作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E 、F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DF ，∴S △ABD ：S △ACD =（×AB×DE ）：（×AC×DF ）=AB ：AC ．点评：本题考查了角平分线性质，三角形计算面积的方法，关键是作辅助线，得出角平分线上一点到角的两边距离相等，又是这两个三角形的高．课后小测答案：解答题1．【解析】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，∴2AE=AB+AD．2．【解析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA 平分∠BAC ，∴OB=OE ，∵点O 为BD 的中点，∴OB=OD ，∴OE=OD ，∴OC 平分∠ACD ；（2）在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，AO AO OE OB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABO ≌Rt △AEO （HL ），∴∠AOB=∠AOE ，同理求出∠COD=∠COE ，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA ⊥OC ；（3）∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB=AE ，同理可得CD=CE ，∵AC=AE+CE ，∴AB+CD=AC ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．【解析】（1）首先过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，再根据条件AB+BC=2BE 可得AB+EC=BE ，再证明Rt △BFD ≌Rt △BED ，可得FB=BE ，即AB+AF=BE ，进而得到AF=EC ，然后再证明△AFD ≌△CED 可得∠DCE=∠FAD ，再根据∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；（2）过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，首先证明∠DCE=∠FAD ，再证明△AFD ≌△CED ，可得AF=EC ，然后证明Rt △BFD ≌Rt △BED 可得FB=BE ，再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE ．（1）证明：过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，∵AB+BC=2BE ，∴AB=BE+BE ﹣BC ，AB=BE+BE ﹣BE ﹣EC ，AB=BE ﹣EC ，AB+EC=BE ，∵BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF=DE ，在Rt △BFD 和Rt △BED 中DB DB DF DE=⎧⎨=⎩，∴Rt △BFD ≌Rt △BED （HL ），∴FB=BE ，∴AB+AF=BE ，又∵AB+EC=BE ，∴AF=EC ，在△AFD 和△CED 中，90AF EC DFA DEC DF DE =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△CED （SAS ），∴∠DCE=∠FAD ，∵∠BAD+∠FAD=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°；（2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下：过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°∴∠DCE=∠FAD ，∵BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF=DE ，在△AFD 和△CED 中，90DF DE FAD ECDDFA DEC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△AFD ≌△CED （AAS ），∴AF=EC ，在Rt △BFD 和Rt △BED 中，DB DB DF DE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BFD ≌Rt △BED （HL ），∴FB=BE ，∴AB+AF=BE ，AB=BE ﹣AF=BE ﹣EC=BE ﹣（BC ﹣BE ）=BE ﹣BC+BE=2BE ﹣BC ，即：AB+BC=2BE ．点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等．4．【解析】过点P 作PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PG ⊥BG ，垂足分别为E 、F 、G ，再由角平分线的性质即可得出结论．证明：过点P 作PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PG ⊥BG ，垂足分别为E 、F 、G ，∵BP是∠ABC的平分线，∴PE=PG．∵CP是∠ACD的平分线，∴PF=PG，∴PE=PF，即点P到AB、AC的距离相等．点评：本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质求解是解答此题的关键．5．【解析】过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM=DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，则S△DBF=BF•DM，S△DCE=DN•CE，∵S△DCE=S△DBF，∴BF•DM=DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC．点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．6．【解析】首先过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，由BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，根据角平分线的性质，易证得PM=PN=PG，又由在角内部，且到角两边距离相等的点，在此角的平分线上，证得P点在∠BAC的平分线上．证明：过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，∵BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，∴PM=PN，PG=PN，∴PM=PG，∴P点在∠BAC的平分线上．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．7．【解析】首先证明△MOE≌△NOD（SAS），然后利用图形中的面积关系求得S△MDC=S△NEC，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是CG，CF，所以点C 在∠AOB的平分线上．证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，在△MOE和△NOD中，OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，∴△MOE≌△NOD（SAS）．∴S△MOE=S△NOD．∴S△MOE﹣S四边形ODCE=S△NOD﹣S四边形ODCE，∴S△MDC=S△NEC，∵OM=ON，OD=OE，∴MD=NE，由三角形面积公式得：DM×CG=×EN×CF，∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点C在∠AOB的平分线上．点评：本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的逆定理．而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统．正确作出辅助线是解题的关键．8．【解析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．解答：答：PC=PD．证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF，∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°，∴∠1=∠2，在△CFP和△DEP中，12CFP DEP PE PF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩， ∴△CFP ≌△DEP （ASA ），∴PC=PD ．点评：此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9．【解析】连接BD ，CD ，由角平分线的性质可得DM=DN ，线段垂直平分线的性质可得BD=CD ，所以Rt △BMD ≌Rt △CND （HL ），则BM=CN ．解答：解：BM=CN ．理由：连接BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分BC ，∴BD=CD ，在Rt △BMD 与Rt △CND 中∵BD CD DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴BM=CN ．点评：此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．10．【解析】首先过D 作DN ⊥AC ，DM ⊥AB ，分别表示出再△DCE 和△DBF 的面积，再根据条件“△DCE 和△DBF 的面积相等”可得到BF•DM=DN•CE ，由于CE=BF ，可得结论DM=DN ，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD 平分∠BAC ．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：BF•DM，△DCE的面积为：DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴BF•DM=DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．11．【解析】连接AC，证明△ABC≌△ADC，求得AC平分∠EAF，再由角平分线的性质即可证明CE=CF．证明：连接AC，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC=∠BAC．又∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．点评：本题主要考查平分线的性质，综合利用了三角形全等的判定，辅助线的作法是解决问题的关键．。

人教版数学八年级上册12.3角的平分线的判定教学设计

4.能够运用角的平分线性质解决相关问题，如求角的度数、证明线段相等或比例关系等。
（二）过程与方法
1.采用探究式教学方法，引导学生从实际操作中发现角的平分线的判定定理，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，提高解决问题的能力和团队协作精神。
3.设计具有梯度性的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，逐步提高解题能力，培养良好的学习习惯。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：教师给出几个实例，让学生分组讨论如何找出这些角的平分线。
2.小组讨论：学生在小组内分享自己的思考过程，讨论如何运用角的平分线判定定理解决问题。
3.教师指导：教师巡回指导，对学生的疑问进行解答，引导学生运用角的平分线性质解决问题。
（四）课堂练习
1.教学内容：教师布置以下练习题，让学生独立完成。
a.判断题：判断下列各题中，哪个是角的平分线。
b.解答题：已知一个角的度数，求这个角的平分线。
c.应用题：运用角的平分线性质解决实际问题。
2.解答与讲解：教师选取部分学生的答案进行展示和讲解，指出解题过程中的关键步骤和注意事项。
（五）总结归纳
1.教学内容：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结角的平分线的定义、性质和判定定理。
1.学生在空间想象力方面的发展水平，引导他们通过实际操作，将抽象的角的平分线概念具体化、形象化。
2.学生在逻辑推理能力上的差异，针对不同水平的学生设计不同难度的问题，使他们在解决问题的过程中逐步提高推理能力。
3.学生在团队合作中的表现，鼓励他们积极参与讨论，学会倾听他人意见，提高沟通能力和团队协作精神。
4.培养学生的创新意识，鼓励他们敢于尝试、勇于探索，形成独立思考的能力。

人教新版数学初二(八年级)上册垂直角平分线和角平分线综合题型归纳总结

线段的垂直平分线与角平分线1 知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB于点D ， ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.图1图2图4定理的数学表示：如图5，∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图8BCD APBF2 垂直平分线题型例1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=_________;（2）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是______;（3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC=___.(如果BC=BE) Tip:求周长与角度变型：在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

人教版八年级数学上册教案《角的平分线的性质》

《12.3 角的平分线的性质》教学设计第一课时教材分析:本节内容是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．教学目标：【知识与能力目标】1.掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；2.掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式．【过程与方法】1.在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考，并进行简单的推理．2.使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题．【情感态度与价值观】在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，获得解决问题的成功体验，增强解决问题的信心．教学重难点：【教学重点】探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．【教学难点】角平分线性质的推导过程．课前准备：三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板)教学过程：问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．[追问1] 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？[追问2] 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD ，BC =DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法．教师出示作图过程：已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线．作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容．2．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS )解决问题的能力．3．从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.问题2 【探究1】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？[师生活动]学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断．最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．【探究2】我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法．如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？[师生活动]学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP＝OP，PD＝PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP 平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．[练习]练习1 下列结论一定成立的是．（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．[练习2] 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．【设计意图】1.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.2.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识．3．运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质与判定．通过举例，说明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力.问题3：例1要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处(比例尺为1∶20000)?[师生活动]学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．例2如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．[思路点拨]因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．[变式]△ABC的面积是24 cm2，它的三条内角平分线的交点到AB的距离为3 cm，则△ABC的周长为________．【设计意图】1.利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段．2．教师注意提醒学生：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.问题4：探究交流：你能找到OP＝OP′的条件吗？已知点C是∠AOB平分线上一点，点P，P′分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加下列条件中的某一个即可．请写出所有可能的条件的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC；⑤CP⊥OA且CP′⊥OB.[解析] 这是一道角平分线的性质与三角形全等知识的综合题，可通过是否具备全等，是否具备角平分线性质中的条件来加以判断．①如果∠OCP＝∠OCP′，又因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(ASA)，得到OP＝OP′；②如果∠OPC＝∠OP′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(AAS)，得到OP＝OP′；④如果PP′⊥OC，设PP′交OC于D，因为∠ODP＝∠ODP′，∠POC＝∠P′OC，OD＝OD，可证△POD≌△P′OD(ASA)，得到OP＝OP′；⑤如果CP⊥OA且CP′⊥OB，因为∠POC＝∠P′OC，所以CP＝CP′.又因为OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(HL)，得到OP＝OP′；③如果PC＝P′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，这样三个条件不能证明三角形全等，当CP不垂直于OA时，以C为圆心，CP为半径画弧与OP有两个交点，其中的一个交点使△OP′C≌△OPC不成立．所以正确答案为①②④⑤.【设计意图】1.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力．2．培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.问题5：课堂小结：(1)学生自行小结角平分线性质及其判定定理和它们的区别．(2)说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏)．布置作业：布置作业：课本P51中的习题12.3.【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.问题6 知识网络：【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络.教学反思：1.本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练．2.教师教学中注意：学生对定理的图形语言认识不足．角平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度，而不是过此点与角平分线垂直(或仅仅相交)的直线与角两边相交所得的线段的长度．学生往往出现如下错误：∵点P在∠AOB的平分线上，∴PD＝PE.3.通过师生互动得到结论，教学中教师要重视知识的发生发展过程．第二课时教材分析:在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理——角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．教学目标：【知识与能力目标】探索并证明角平分线性质定理的逆定理.【过程与方法】会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．【情感态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．教学重难点：【教学重点】角平分线性质定理的逆定理．【教学难点】角平分线的性质的探究.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．[追问]你能证明这个结论的正确性吗？证明略[练习]判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；（）（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；（）（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．（）（2）在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．a.这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？b.若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？C.如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE,同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【设计意图】通过一步一步深入探究，由易到难理解新知识.问题2 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？[变式1] 如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在△ABC另一个外角的平分线上．[变式2] 如图，P 点是△ABC的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在∠BAC 的平分线上．[变式3] 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？【设计意图】通过实际问题的探究，使所学的知识得到熟练的应用；通过不断深入的变式，使学生掌握知识的核心.问题3：课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联系是什么？（3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？布置作业：教科书习题12.3第3、7题．【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.教学反思：本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练．。

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题07角平分线的性质(含答案)

∴∠CAB=∠B=45°， ∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°， ∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°， ∵∠CDA=∠EDA，
1 135
∴∠CDA=∠EDA= 2
=67.5°≠45°，
∴∠EDA≠∠BDE，
∴DE 不平分∠BDA，∴②错误； ∵AD 平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE， ∵AC=BC， ∴AE=AC=BC， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD， ∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确； △BDE 周长是 BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确；即正确的个数是 3，故选：B．【名师点拨】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线性质等知识点，能求出 AC=AE=BC 和 CD=DE=BE 是解此题的关键．变式 3-3．（2020·嵩县期末）如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）
A．3 【答案】A 【详解】
B．4
C．5
D．6
作 DE⊥AB 于 E， ∵AB=10，S△ABD =15， ∴DE=3， ∵AD 平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=3，故选 A.
变式 2-2．（2020·景泰县期中）如图所示，OP 平分 AOB ， PA OA ， PB OB ，垂足分别为 A、B．下列结
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故选 C．考查题型二角平分线的性质定理典例 2（2019·云龙县期中）如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是 OC 上一点,PD⊥OA 于点 D,PD=6,则点 P 到边 OB 的距离为( )

八年级上册人教版数学知识点7篇

八年级上册人教版数学知识点7篇八年级上册人教版数学知识点11全等三角形的对应边、对应角相等2边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等6斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上9角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合10等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)11推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边12等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合13推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°14等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)15推论1三个角都相等的三角形是等边三角形16推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形17在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半18直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半19定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等20逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上初二数学求定义域口诀求定义域有讲究，四项原则须留意。

负数不能开平方，分母为零无意义。

指是分数底正数，数零没有零次。

限制条件不唯一，满足多个不等式。

求定义域要过关，四项原则须注意。

负数不能开平方，分母为零无意义。

分数指数底正数，数零没有零次。

限制条件不唯一，不等式组求解集。

初中提高数学成绩诀窍很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了，但是一做到综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。

人教版-数学-八年级上册-角的平分线的性质课标解读

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角的平分线的性质课标解读
一、课标要求
人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》一节的主要内容是全等三角形的概念、性质和判定方法，以及角的平分线的性质．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本章内容提出的教学要求是：探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
二、课标解读
对于角的平分线的性质，《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求是“探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．”教科书首先由平分角的仪器工作原理引出了作一个角的平分线的尺规作图，然后探究并证明了角的平分线的性质，同时总结了证明一个几何命题的一般步骤，最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理．教学时不需要向学生提出逆定理的概念，只要让学生认识到这两个定理的题设和结论是相反的就可以了．这里也让学生经历了猜想验证的过程．
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角平分线的定义是什么判定定理有哪些

角平分线的定义是什么判定定理有哪些角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。

角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交。

角平分线的定义角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。

角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线，也叫三角形的内角平分线。

由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

角平分线的判定角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上角平分线的交点叫什么心“角平分线的交点叫内心，垂线的交点叫垂心，中线的交点分别叫重心，垂直平分线的交点叫外心，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。

三角形有许多性质，存在很多“心”的性质：1、重心：三角形重心是三角形三条中线的交点。

当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

2、外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

人教版初二数学上册：角的平分线的性质(基础)知识讲解

角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ）， ∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论. 【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DPF ≌△EPF ， ∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键. 类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ．故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。

数学人教版八年级上册角平分线有关的定理

角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线.
注：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段.角的平分线是射线.
拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心).
定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.
逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，。

人教版八年级数学上册1角平分线的性质

（3）、角平分线的性质是全等三角形知识的延续，为后面学习角平分线的判定定理、圆这一章中内心的学习奠定了基础．
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律
2、教材目标
知识与技能: （1）掌握角平分线的作法（2）理解角平分线的性质（3）会运角平分线的性质解决问题过程与方法: （1）经历角平分线的探究过程，增强学生的实验、猜想、推理意识（2）依据性质进行简单说理，培养学生动手操作能力、逻辑推理能力（3）初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用。情感目标:激发学生学习兴趣,增强学生学好数学的信心.
A
N
D P
F
M
∟
点P在BM上,
B
∴ PD=PE. 同理 PE=PF.
C E
∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
三.说教学过程
复
创
例
习
设
题
提
情
讲
问
景
解
导
探
形
入
究
成
新
新
技
课
知
能
合
课
作
堂
交
小
流
结
布
置
巩
达
作
固
标
业
提
测
高
试
自主探究巩固提高
1.如图,E是∠AOB的角平分线OC上的一点,EM⊥OB垂足为M,
（ 2）其次学生们的实际水平有所不同，全面深入探究问题能力有所差异,他们对问题的理性推理有待于提高。
二.说教学法
采用“先学后教·当堂训练“ 教学法

人教版初二数学上册角平分线定理和逆定理讲义

角平分线定理和逆定理解题技巧：1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线2、“角平分线”是一个关键词，看见它，我们马上要想到“全等”3、角平分线定理：角平分线上的一点，到这个角两边的距离相等角平分线有以下两个常考的全等模型：例1、如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥AO，PD⊥BO，C、D分别是垂足，则下列说法正确的个数是（）①∠COP=∠DOP ②PC=PD ③OC=OD ④∠CPO=∠DPO ⑤OC=OPA、2个B、3个C、4个D、5个例2、如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为______1、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是____________2、如图，AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，CB=8，EB=5，则△BDE的周长为________3、如图，MQ是∠PMN的角平分线，PQ⊥MP，QT⊥MN，PN=12，△NQT的周长为20，MP=15，则MN的长度是______________例2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D。

若AB=10,S△ABD=15，则CD=______4、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是_______5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=64，BD：CD=9:7，则点D到AB的距离是___________6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，AB=7，CD=2，则△ABD的面积是_________7、如图，已知AB//CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM=5，则AB、CD之间的距离是___________8、如图，已知AD平分∠BAC，求证：ABAC =BDDC例3、如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于点F。

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