八年级数学角平分线的性质练习题

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12.3 角的平分线的性质人教版数学八年级上册堂堂练(含答案)

12.3角的平分线的性质—2023-2024学年人教版数学八年级上册堂堂练1.如图,OP平分,于点A,,点Q是射线OM上的一个动点,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.2.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若，，则的面积是( )A.15B.30C.45D.603.角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求.角平分线的作法依据的是( )A.SSSB.SASC.AASD.ASA4.如图，在中，，AD平分，交BC于点D．已知，，则的面积为( )A.80B.40C.20D.105.如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于( )A. B. C. D.6.如图，，，若，，则D到AB的距离为________。

7.如图，直线a，b，c表示3条互相交叉的公路.若要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有______________处.8.如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.答案以及解析1.答案：C解析:平分,于点A,点P到OM的距离等于线段PA的长度,当时,PQ有最小值,的最小值,,即,故选C2.答案：C解析：如图，作于点E，由题意知AD是的角平分线，，，，的面积，故选C.3.答案：A解析：如下图所示：连接CP、DP，在与中，由作图可知：，，故选A.4.答案：B解析：如图，作于E，，，，故选B.5.答案：C解析：过点O作于D，于E，于F，点O是内心，，，故选C.6.答案： 4.解析：作于E，，，，，，，，故答案为：4．7.答案：4解析：如图，根据角平分线的性质定理，可知内部有1个点，另外与的平分线的交点、与的平分线的交点、与的平分线的交点，共4处站址可供选择.8.解析：如图，过点M作于F，，DM平分，，M是BC的中点，，，又，点M在的平分线上，AM平分.。

八年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质(原卷版)

12.3角的平分线的性质一、单选题1．如图①，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步；画射线BP ，射线BP 即为所求．下列叙述不正确的是（）A ．0a >B ．作图的原理是构造SSS 三角形全等C ．由第二步可知，DP EP =D ．12b DE <的长 2．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于G ．若2CG =．P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（）A ．无法确定B ．1C ．2D ．43．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，用尺规分别截取BE ，BD ，使BE ＝BD ，分别以D 、E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若CG ＝1，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（）A ．无法确定B ．12C ．1D ．24．如图，//,AF CD CB 平分,ACD BD ∠平分EBF ∠，且BC BD ⊥，下列结论：①BC 平分ABE ∠，②//AC BE ；③90BCD D ∠+∠=︒；④2DBF ABC ∠=∠．其中正确的个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论中，不正确的是（）A ．DE 平分ADB ∠ B ．BD ED BC += C ．AD 平分EDC ∠ D ．ED AC AD +>6．如图，在Rt ABC 中，90,B AD ∠=︒平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若1BD =，则DE 的长为（）A ．12B ．1C ．2D ．67．如图，//AB CD ，CE 平分ACD ∠交AB 于点E ，EG 平分BEF ∠交CD 于点G ，若90CEG ∠=︒，则下列结论：①EC 平分AEF ∠；②//EF AC ；③180EFG A ∠+∠=︒；④12EGC A ∠=∠．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BDC ＝90°，∠C ＝∠ADB ，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若AD ＝4，则DP 的长不可能是（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题目 9．如图，已知AB ∥CD ，∠BFC ＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD 的度数为_____．10．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（a ＋2b ，a ＋1），则a ＋b =________．11．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（1Ω≥），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______． 12．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．13．如图所示，已知AOB ∠，求作射线OC ，使OC 平分AOB ∠，作法的合理顺序是__．（将①②③重新排列）①作射线OC ；②以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，垂足为D ，其中CE ＝4.5，AB ＝10，那么△ABE 的面积为_____．三、解答题15．如图AOB ∠是一个锐角．（1）用尺规作图法作出AOB ∠的平分线OC ；（2）若点P 是OC 上一点，过点P 作PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ，求证：OD OE =． 16．如图，已知//58AM BN A ∠=︒，，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）①ABN ∠的度数是_______度；②∵//AM BN ，∴ACB ∠=∠________．（2）求CBD ∠的度数．（3）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．17．如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转DAC ∠的度数得到AED ．（1）尺规作图：确定AED 的顶点E 的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；（2）连接AE ，DE ，设BC 的延长线交DE 于点G ，连接AG ．求证：AG 平分DGB ∠．18．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ③作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．19．（1）如图1，ABC 中，ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线交于1A ．当A ∠为80︒时，则为1A ∠的度数．（2）在（1）的条件下，若1A BC ∠的角平分线与1ACD ∠的角平分线交于2A ，2A BC ∠与A CD 2的平分线交于3A ，如此继续下去可得1A …，n A ，则6A ∠=______°；（3）如图2，四边形ABCD 中，F ∠为ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线构成的角，若230A D ∠+∠=︒，则F ∠=_________°；（4）如图3，ABC 中，ABC ∠的角平分线与ABC 的外角ACD ∠的平分线交于1A ，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，AEC ∠与ACE ∠的角平分线交于Q ，①求证1Q A ∠+∠的值为定值；②1Q A ∠-∠的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论（填编号），并写出其值．20．如图，△ABC 中，∠C =90°，请按要求解决问题．（1）求作∠A 的平分线交BC 边于点D ．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）（2）若AC =6，AB =10，求△ABD 的面积．21．如图所示，在ABC 中，AB AC =．（1）尺规作图：过点A 作ABC 的角平分线AD （不写作法，保留作图痕迹）；（2）在AD 上任取一点E ，连接BE 、CE ．求证：ABE ACE ∠∠． 22．如图，CA 平分∠BCD ，AB =AD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．（1）若∠ABE =60°，求∠CDA 的大小；（2）若AE =2，BE =1，CD =3，求四边形AECD 的面积．祝福语祝你考试成功!。

【初中数学】人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(练习题)

人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(348) 1.如图，已知∠1=∠2，BA<BC，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180∘2.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，. 求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．3.如图，已知AD//BC，∠D=90∘．(1)如图①，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，CD经过点P．试问：P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图②，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35∘，求∠PAD的度数4.如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤35.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为（）A.3B.4C.6D.57.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是．8.如图，在△ABC中，两条外角平分线交于点P，PM⊥AC交AC的延长线于点M．若PM=6cm，则点P到AB的距离为．9.如图，已知AB//CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC于点E，OE=2，则AB与CD之间的距离为．10.如图，已知点B，D分别在∠DAB的两边上，C为∠DAB的内部的一点，且AB=AD，DC=BC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．试判断CE与CF是否相等，并说明理由．11.如图，利用尺规作∠AOB的平分线OC，其作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点②分别以D，E为圆心，以大于12C；③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．这样作图的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS12.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C,D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD13.求证：直角三角形的两锐角互余14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=50∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；②分别以点E,F为圆心，大于12③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.40∘B.55∘C.65∘D.75∘15.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画圆弧，分别交AB，AC于E，EF的长为半径画圆弧，两条圆弧交于点G，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12作射线AG交CD于点H．若∠C=140∘，则∠AHC的大小是（）A.20∘B.25∘C.30∘D.40∘参考答案1.【答案】:证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ． ∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于点F ，∴PE =PF ，∠PEA =∠PFC =90∘．在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA =PC ，PE =PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC(HL )，∴∠PAE =∠PCB ．∵∠PAE +∠BAP =180∘，∴∠PCB +∠BAP =180∘．2.【答案】:解：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D,E 求证：PD =PE证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90∘．在△PDO 和△PEO 中，{∠PDO =∠PEO ，∠AOC =∠BOC ，OP =OP.∴△PDO ≌△PEO(AAS )，∴PD =PE .3(1)【答案】解：P 是线段CD 的中点．理由如下：如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵AD//BC ，∠D =90∘，∴∠C =180∘−∠D =90∘，即PC ⊥BC ．∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，∴PD =PE ，PC =PE ，∴PC=PD，∴P是线段CD的中点.(2)【答案】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E．∵AD//BC，∠D=90∘，∴∠C=180∘−∠D=90∘，即PC⊥BC．在△PBE与△PBC中，{∠PEB=∠C，∠PBE=∠PBC，PB=PB.∴△PBE≌△PBC(AAS)，∴∠EPB=∠CPB=35∘，PE=PC．∵PC=PD，∴PD=PE．在Rt△PAD与Rt△PAE中，{PA=PA，PD=PE∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL)，∴∠APD=∠APE．∵∠APD+∠APE=180∘−2×35∘=110∘，∴∠APD=55∘，∴∠PAD=90∘−∠APD=35∘．4.【答案】:C【解析】:作PM⊥OB于点M．∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3. 故选 C5.【答案】:B【解析】:因为BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点D，所以DE=EC，AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故选 B.6.【答案】:A【解析】:如图，过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2.由图可知S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12×4×2+12AC×2=7，解得AC=3.故选A．7.【答案】:12【解析】:解：∵∠C=90∘，∴AC⊥CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12.8.【答案】:6cm【解析】:如图，过点P作PN⊥BC于点N，PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q．∵PB，PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，PM⊥AC,∴PN=PM，PQ=PN，∴PQ=PM．∵PM=6cm，∴PQ=6cm，即点P到AB的距离为6cm．9.【答案】:4【解析】:如图，过点O作MN，使MN⊥AB于M，交CD于N．∵AB//CD，∴MN⊥CD．∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2.∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4.10.【答案】:解：CE=CF．理由：∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∴∠DAC=∠BAC，∴AC为∠EAF的平分线．∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).11.【答案】:A12.【答案】:B【解析】:∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC=PD，故A项正确．在Rt△OCP与Rt△ODP中，∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△OCP≌Rt△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D两项正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B项错误．故选B13.【答案】:已知：在△ABC中，∠C=90∘．求证：∠A+∠B=90∘．证明：∵∠A+∠B+∠C=180∘，而∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，即∠A与∠B互余.14.【答案】:C【解析】:根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50∘，∠CAB=25∘，∴∠CAD=12∵∠C=90∘，∴∠CDA=90∘−25∘=65∘.故选C.15.【答案】:A【解析】:解：由题意可得AH平分∠CAB．∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180∘，∠HAB=∠AHC．∵∠ACD=140∘，∴∠CAB=40∘．∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20∘，∴∠AHC=20∘.。

2019-2020学年八年级上学期数学专题12.3 角平分线的性质(测试)(解析版)

专题12.3角平分线的性质（测试）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD=DE，∵D到AB的距离等于4，∴CD=DE=4，又∵BD=2CD，∴BD=8，∴BC=4+8=12，故选：C．2．如图，图中直线表示三条相互交叉的路，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则选择的地址有（）A．4处B．3处C．2处D．1处【答案】A【解析】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ， ∴PE=PF ，PF=PD ， ∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个．故选：A ．3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒,10AB =,AD 是ABC ∆的一条角平分线.若3CD =，则ABD ∆的面积为( )A ．3B ．10C ．12D ．15【答案】D【解析】解：如图，作DE ⊥AB 于E ，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为12×3×10=15．故选：D．4．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝12×AB×CB＝84，S△ABC＝12AB×x+12AC×x+12BC×x＝12（AB+BC+AC）•x＝12×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．5．如图，OP平分∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是（）A ．OC ＝ODB ．∠CPO ＝∠DPOC ．PC ＝PD D ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB【答案】C【解析】∵OP 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOP ＝∠BOP ，而OP 是公共边，A 、添加OC ＝OD 可以利用“SAS ”判定△POC ≌△POD ，B 、添加∠OPC ＝∠OPD 可以利用“ASA ”判定△POC ≌△POD ， C 、添加PC ＝PD 符合“边边角”，不能判定△POC ≌△POD ， D 、添加PC ⊥OA ，PD ⊥OB 可以利用“AAS ”判定△POC ≌△POD ，故选：C ．6．如图，已知ABC ∆的面积为28cm ，BP 为ABC ∠的平分线，AP BP ⊥于点P ，则PBC ∆的面积为（）.A ．23.5cmB ．23.9cmC ．24cmD ．24.2cm【答案】C【解析】延长AP 交BC 的延长线于点E ， ∵AP 垂直PB 且PB 平分ABC ∠， ∴ABP EBP ∠=∠.又BP BP =，90APB BPE ∠=∠=︒， ∴()ABP EBP ASA ∆≅∆. ∴BAP BEP S S ∆∆=，AP PE =. ∴APC PCE S S ∆∆=.设ACE S m ∆=，∴8ABE ABC ACE S S S m ∆∆∆=+=+，∴284cm 211222PBC ABE ACE S S S m m ∆∆∆+-==-=.7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 边的距离为（）.A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∵AD 平分BAC ∠，∴DC DE =.又:9:7BD CD =且32BC =，∴18BD =，14CD =. 即14DE =.即点D 到AB 边的距离为14. 故选C8．如图所示，P 是BAC ∠的平分线上一点，PM AB ⊥于点M ，PN AC ⊥于点N .有下列结论：①PM PN =；②AM AN =；③APM ∆与APN ∆面积相等；④90PAN APM ∠+∠=︒，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由角平分线性质可知①是正确的；可证()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆，∴AM=AN,APM APN S S ∆∆=，可得②③是正确的；由()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆可得∠APM=∠APN ，由∠APN+∠PAN=90°可得∠PAN+∠APM=90°，可知④是正确的，故选D.9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，下列结论中正确的个数是（）.①AD 平分CDE ∠：②BAC BDE ∠=∠；③DE 平分ADB ∠；④AB AC BE =+. A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个【答案】A【解析】因为DE AB ⊥，所以90AED ∠=︒.又AD 是CAB ∠的角平分线，AC CD ⊥，由角平分线的性质得DC DE =，又AD AD =，故ACD AED ∆≅∆，所以ADC ADE ∠=∠，故①成立；在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，故90BAC B ∠+∠=︒，在Rt BDE ∆中，90B EDB ∠+∠=︒，因此BAC B B EDB ∠+∠=∠+∠，即BAC BDE ∠=∠，故②成立；∵ACD AED ∆≅∆，故AC AE =，因此AB AE EB AC BE =+=+，④成立；当60B ∠=︒时，30EDB ∠=︒，75ADE ∠=︒，显然EDB ADE ∠≠∠，故③不成立.10．作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【解析】连接CD、CE,根据作图步骤知OD=OE、CD=CE、OC=OC所以根据SSS可判定△OCE≌△OCD,所以∠BOC=∠AOC，OC平分∠AOB故用尺规作图画∠AOB的角平分线OC，作图依据是SSS，故选：D．11．如图，点P在∠MON的角平分线上，A、B分别在∠MON的边OM、ON上，若OB=3，S△OPB=6，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】作PC⊥OM于C，PD⊥ON于D，如图所示：∵点P在∠MON的角平分线上，∴PC=PD，∵S△OPB=12OB⋅PD=6，OB=3，∴PD=4，∴线段AP的长不可能是3，故选：A.12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA=11352︒⨯=67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②错误；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∴AE=AC=BC ， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD ，∴AE-BE=BC-CD=BD ，∴③正确；△BDE 周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm ，∴④正确；即正确的个数是3，故选：B ．13．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，112884422AC ∴=⨯⨯+⨯⨯，∴AC ＝6．故选：C ．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④△ABD 边AB 上的高等于DC.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠BAD =∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．15．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，∵D 是∠ABC 平分线上一点，DG ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴DH=DG ，在Rt △DEG 和Rt △DFH 中，DG DH DE DF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △DEG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠DEG=∠DFH ，又∠DEG+∠BED=180°，∴∠BFD+∠BED=180°，∴∠BFD 的度数=180°-140°=40°，故选：A ．16．如图，在四边形ABDC 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，且点O 在线段BD 上，BD ＝4，则点O 到边AC 的距离是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：过O 作OE ⊥AC 于E ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，∴OB ＝OE ＝OD ，∵BD ＝4，∴OB ＝OE ＝OD ＝2，∴点O到边AC的距离是2，故选：C．二、填空题17．如图，以O为圆心，适当长为半径画弧，交横轴于点M，交纵轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P．若点P到横轴和纵轴的距离分别为2a-1、a+2，则a=_____．【答案】3【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a-1=a+2，整理得：a =3，18．如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点O，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______.【答案】4【解析】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE＝OF，OE＝OG，∴OE＝OF＝OG＝2，∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴∠EOF＋∠EOG＝（180°−∠BAC）＋（180°−∠ACD）＝180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离＝OF＋OG＝2＋2＝4．故答案为：4．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于DC＝2，∴PD的最小值为2．故答案为2．20．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．【答案】1【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，∴S△ABC=12AC•BC=12(AC+BC+AB)•r，∴3×4=(3+4+5)×r，解得：r=1．故答案为：1．三、解答题21．按下列要求画图并填空：(1)过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段的长.(2)用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，若角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过你的测量，点P到边BC的距离是cm(保留作图痕迹).【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)如图所示：点B到直线AC的距离是线段BE的长.(2) 如图所示：点P到边BC的距离是3cm.22．在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．【答案】45°【解析】∵在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣110°＝50°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝25°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝20°+25°＝45°．∵AD⊥BC，∴∠D ＝90°，∴∠EAD ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣45°＝45°．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于点E ，F 在AC 上且BE=FC,BD=FD ，求证：AD 是∠BAC 的平分线。

八年级数学角的平分线的性质、判定(人教版)(基础)(含答案)

角的平分线的性质、判定（人教版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC，射线OC即为所求．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )A.SSSB.ASAC.AASD.SAS答案：A解题思路：由作法得OM=ON，CM=CN，在△OMC和△ONC中∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC（全等三角形对应角相等）即OC是∠AOB的平分线故选A．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD答案：B解题思路：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB∴PC=PD在Rt△OPC和Rt△OPD中，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）∴∠CPO=∠DPO，OC=OD故选B．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是( )A.2B.4C.6D.8答案：B解题思路：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD过点P，且与AB垂直∴AD⊥CD∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC∴PA=PE∵CP平分∠BCD，PD⊥CD，PE⊥BC∴PE=PD∴PA=PE=PD即PE=AD==4故选B．试题难度：三颗星知识点：略4.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点答案：C解题思路：由角平分线的性质“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，故要使集贸市场到三条公路的距离相等，集贸市场应建在∠A，∠B，∠C的角平分线的交点处．故选C．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，已知PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB．若∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA 为( )A.20°B.45°C.55°D.80°答案：C解题思路：∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB∴点P在∠MON的角平分线上即OP平分∠MON∴∠POC=∠MON=50°=25°∵∠PCA是△POC的一个外角∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°故选C．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )A.15B.30C.45D.60答案：B解题思路：如图，过点D作DE⊥AB于E，由题意可知AP是∠BAC的平分线∵∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 的长是( )A.3B.4C.5D.6答案：A解题思路：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF∴∴AC=3故选A．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是( )A.25B.84C.42D.21答案：C解题思路：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD，∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OF=OD，故选C．试题难度：三颗星知识点：略9.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A.11B.5.5C.7D.3.5答案：B解题思路：如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DF在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）∴，在Rt△ADF和Rt△ADH中，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）∴，设，则，∴，∴，解得：．故选B试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数有( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③S△DAC:S△ABC=1:3．A.0个B.1个C.2个D.3个答案：D解题思路：由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°，∵在△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，故②正确如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB∴DC=DE在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴，在△ADE和△BDE中，∴△ADE≌△BDE（AAS），∴，∴，∴S△DAC:S△ABC=1:3，故③正确故选D试题难度：三颗星知识点：略。

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质(含答案解析)

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质（含答案解析）专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥ABBAC B∶∶于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A﹨B﹨C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC﹨BC两边高线的交点处B．在AC﹨BC两边中线的交点处C．在∠A﹨∠B两内角平分线的交点处D．在AC﹨BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO ∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°，又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BEDAED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ． 4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A ﹨∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．。

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．64．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则＝；（2）若∠3＝∠4，则＝．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝cm．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝cm．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1∠2．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．参考答案一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α【解答】解：A、画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D、正确．故选：D．2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝1.5cm，∵BD＝3cm，∴BC＝BD+DC＝3cm+1.5cm＝4.5cm，故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．6【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝4，∴DE＝4．故选：A．4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，∴结论不正确的是AE＝CE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE．故选：C．6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，∴P在∠COD的角平分线上，即∠1＝∠2，故选：B．7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定【解答】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE＝DF，∴点D在∠AOB的平分线上，∴∠AOD＝∠BOD．故选：B．8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等【解答】解：A、两角平分线交点在三角形内，正确；B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．故选：D．9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据角平分线性质的逆定理，在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，故本选项错误；②角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，故本选项错误；③任何一个命题都有逆命题，正确；④假命题的逆命题不一定是假命题，如：假命题“相等的两个角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故本选项错误．故选：A．10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．故选：B．11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD【解答】解：A、根据HL可求得Rt△POE≌Rt△POD，∴∠DOP＝∠EOP，故正确；B、OD＝OE，正确；C、DPO＝∠EPO，正确；D、错误．故选：D．二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．【解答】解：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．故答案为：BC，DC；AB，AD．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为6．【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，∴点M到OB的距离＝6．故答案为：6．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝2cm．【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM ＝2cm，∴PN＝PM＝2cm．故答案为：2．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有①②．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，∴DA平分∠EDF；故①②正确，∵无法判定AD⊥BC且平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，∵图中只有1对全等三角形，故③④错误．故答案为：①②．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为3．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵BC＝5，BD＝2，∴CD＝5﹣2＝3，∵AD为角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝8cm．【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵DE＝3cm，BD＝5cm，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm．故答案为：8．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE＝DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1＝∠2．【解答】解：（1）∵已知∠1＝∠2∴AD为∠BAC的平分线又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴由角平分线性质得DE＝DF．（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE，DF为点D到角两边的距离．又∵DE＝DF，∴由角平分线性质知AD为角平分线．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝2．【解答】解：作OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠C＝∠CFO＝∠OEC＝90°，∴四边形CFOE是矩形；∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB，∴OE＝OP＝OF，∴四边形CFOE是正方形，设OE＝OP＝OF＝x，则AP＝AF＝5﹣x，BP＝BE＝12﹣x，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，∴OP＝OE＝2．故答案为2．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．【解答】解：点P如图所示．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．【解答】证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．【解答】解：∵CE⊥P A，ED⊥PB，CE＝ED，∴∠APE＝∠APB＝×60°＝30°，在△PEF中，∠CFE＝∠APE+∠PEF＝30°+15°＝45°．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，∴CD＝＝28，∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝28．答：D到AB的距离为28．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝90，即×18•DE+×12•DE＝90，解得DE＝6．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则S△ABD＝AB•DM，S△ACD＝AC•DN，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．【解答】证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴AP平分∠BAC，即AQ，BM，CN交于一点P．。

人教版八年级数学上册《12.3 角平分线性质》培优练习卷(含答案)

人教版2020年八年级数学上册《角平分线性质》培优练习卷一、选择题1.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°2.如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是( )A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四边形OCED=CD•OE3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：54.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（）A.4B.5C.6D.75.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AB=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=6，AC=3，则BE=（）A. 6B. 3C. 2D. 1.57.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A.6cmB.4cmC.10cmD.以上都不对8.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定9.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25°B．30° C．35° D．40°10.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D，∠ABD1与∠ACD1的角平分1线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．56° B．60° C．68° D．94°11.如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（）A．∠C=∠ABC B．BA=BG C．AE=CE D．AF=FD12.如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，AC=8cm，AE=4cm，则DE的长是．14.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，若AB=18，AC=12，△ABC的面积等于36，则DE= ．15.若△ABC的周长为41 cm，边BC=17 cm，AB<AC，角平分线AD将△ABC的面积分成3：5的两部分，则AB= cm．16.．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．17.如图所示，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是．18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为．三、解答题19.如图所示，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE=DF．20.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.(1)求证：CO平分∠ACD；(2)求证：AB+CD=AC.21.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE.22.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.23.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．24.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式.参考答案1.D2.答案为：C.3.C4.D5. 答案为：A；6. 答案为：D；7.A．8.C9.C10.A11.B12.答案为：D.13.答案为：3cm．14.答案为：2.4．15.答案为：9;16.答案为：125°．17.答案为：36．18.答案为：6；19.证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．20.证明：(1)过O点作OE⊥AC于点E.∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC∴OB=OE，又∵O是BD中点∴OB=OD，∴OE=OD，∵OE⊥AC，∠D=90°∴点O在∠ACD 的角平分线上∴OC平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中∵∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，∴AB=AE，在Rt△CDO和Rt△CEO中∵∴Rt△CDO≌Rt△CEO(HL)，∴CD=CE，∴AB+CD=AE+CE=AC.21.(1)证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴△BCE≌△DCF；(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.22.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B23.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．24.（1）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上，从而得到2∠PAC+∠BAC=180°。

人教版八年级上册数学12.3角平分线性质证明题训练

人教版八年级上册数学12.3角平分线性质证明题训练1．已知，如图，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，求证：CE 平分∠BCD．（提示：需过点E作CD的垂线段）2．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的长．3．四边形ABCD中（BC＞AB），BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于E．（1）求证：∠BAD＋∠BCD＝180︒；（2）如果BC＝5，AB＝3，求CE的长．4．如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点E 在BD 上，连接AE ，CE ，DF ⊥AE ，DG ⊥CE ，垂足分别是F ，G ．（1）求证：△ABE ≌△CBE ；（2）求证：DF ＝DG ．5．已知：如图，,BD AC CE AB ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，BD 与CE 相交于点O ，AO 平分BAC ∠．求证：OB OC =．6．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ､F ，连接EF ，EF 与AD 相交于点G ．AD 与EF 垂直吗？证明你的结论．7．如图，四边形ABCD 中，AB CB AD CD ==，，对角线AC ，BD 相交于点O ，,OE AB OF CB ⊥⊥，垂足分别是E 、F ，求证：OE OF =．8．已知:如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，过点E 作EF AB ⊥于交AB 于,F EC AC ⊥交AC 的延长线于G .求证:BF CG =.9．如图，在ABC △中，BM MC =，ABM ACM ∠=∠．求证：AM 平分BAC ∠．10．如图，PB 、PC 分别是ABC △的外角平分线且相交于点P ．求证：点P 在A ∠的平分线上．11．如图，AP 、CP 分别是ABC 外角MAC ∠，NCA ∠的平分线，它们交于点P ，PD BM ⊥，PF BN ⊥，垂足分别为D 、F ，则BP 是MBN ∠的平分线吗？请说明理由．12．如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，3E ∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠．13．如图，△ABC 中，∠A =46°，CE 是∠ACB 的平分线，B 、C 、D 在同一直线上，FD ∥EC ，∠D =42°，求证：∠B =50°．14．如图，OC 是∠AOB 的平分线，且∠1＝∠2，试说明EF∥OB．15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，高CD 和角平分线AE 交于点F ，EH⊥AB 于点H ，那么CF=EH 吗？说明理由．16．如图所示，点B，C在∠A的两边上，且AC＝AB，P为∠A内一点，PC＝PB，PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：PE＝PF．17．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD=CD．(1)求证：D在∠BAC的平分线上；(2)若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠BDC的度数．19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．20．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．(1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABC＝∠ACB；(2)如图2，若点O在△ABC的内部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？并说明理由；(3)若点O在△ABC的外部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？请画图表示．参考答案1．证明：如图，过E 作EQ CD ⊥于,Q 而∠A =∠B =90°，90,A DQE ∴∠=∠=︒DE 平分∠ADC ，,ADE QDE ∴∠=∠,DE DE =,ADE QDE ∴≌,AE QE ∴=E 是AB 的中点，,EA EB ∴=,QE BE ∴= 而90,B EQC ∠=∠=︒CE ∴平分.BCD ∠2．（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠E ＝∠DFC ＝90°，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，BD CD BE CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ）， ∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 平分∠BAC ；（2）由（1）知，Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∵AB ＝AE −BE ＝AF −BE ＝AC −CF −BE ，BE ＝CF ， ∴AB ＝AC −2BE ， ∵AB ＝12，AC ＝20， ∴BE ＝2012422AC AB --==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL （直角三角形），全等三角形的对应边相等，对应角相等．3．（1）证明见解析；（2）1 【分析】（1）过点D 作DF ⊥BA ，交BA 延长线于F ，由角平分线的性质即可得到DF =DE ，由此证明△DFA ≌△DEC 得到∠ECD =∠FAD ，再由∠FAD +∠BAD =180°，即可得到∠BCD +∠BAD =180°；（2）由△DFA ≌△DEC ，即可得到AF =CE ，DE =DF ，从而可证△BFD ≌△BED 得到BF =BE ，则BE =BF =AB +AF =AB +CE =3+CE ，再由BC =BE +CE =5求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 延长线于F ， ∵DF ⊥BA ，DE ⊥BC ，BD 是∠ABC 的角平分线， ∴∠DFA =∠DEC =90°，DF =DE ，又∵AD =CD ，∴△DFA ≌△DEC （HL ）， ∴∠ECD =∠FAD ， ∵∠FAD +∠BAD =180°， ∴∠BCD +∠BAD =180°；（2）∵△DFA≌△DEC，∴AF=CE，DE=DF，又∵BD=BD，∠BFD=∠BED=90°，∴△BFD≌△BED（HL），∴BF=BE，∴BE=BF=AB+AF=AB+CE=3+CE，∵BC=BE+CE=5，∴3+CE+CE=5，∴CE=1．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质．4．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据BD是∠ABC的平分线，可得ABE CBE∠=∠，进而根据边角边证明≌即可；ABE CBE△△（2）由(1)得AEB CEB∠=∠，由DF AE DG CE∠=∠，从而AED CED，，根据角⊥⊥平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DF DG=．【详解】（1） BD是∠ABC的平分线，∴ABE CBE∠=∠，在ABE△与CBE△中，AB BC ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBE △△≌，（2）ABE CBE △△≌∴AEB CEB ∠=∠，∴AED CED ∠=∠，又∵DF AE DG CE ⊥⊥，， ∴DF DG =． 5．证明：∵AO 平分BAC ∠，,BD AC CE AB ⊥⊥ ∴ OEOD ，90,90BEO CDO ∠=∠=在BOE △和COD △中，90BEO CDO OE OD BOE COD ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BOE COD ≌ ∴OB OC = 6．证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ，∠AED =∠AFD =90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD ADDE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ， ∴AE =AF ， ∵DE =DF ，∴AD 是EF 的垂直平分线， ∴AD 与EF 垂直． 7．在△ABD 和△CBD 中，AB CB AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD≌△CBD（SSS ），∴∠ABD=∠CBD，∴BD 平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．8．证明：连接BE 、EC ，∵ED⊥BC，D 为BC 中点，∴BE＝EC ，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE 平分∠FAG，∴FE＝EG ，在Rt△BFE 和Rt△CGE 中BE CE EF EG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL ），∴BF＝CG9．证明：如图，过点M 作ME AB ⊥，MF AC ⊥，垂足分别为E 、F ．∴90BEM CFM∠=∠=︒．在BEM△和CFM△中，BEM CFMEBM FCM BM CM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BEM△≌CFM△．∴ME MF=．又ME AB⊥，MF AC⊥，∴点M在BAC∠的平分线上，即AM平分BAC∠．10．证明：如图，过点P作PE、PF、PG分别垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G．∵PB、PC分别是ABC△的外角平分线，∴PE PF=，PF PG=，∴PE PG=．∴点P在A∠的平分线上．11．解：BP为MBN∠的平分线．理由如下：作PE AC⊥，垂足为E．∵AP ，CP 分别是MAC ∠与NCA ∠的平分线，且PD BM ⊥，PF BN ⊥， ∴PD PE =，PF PE =．∴PD PF =．又PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴点P 在MBN ∠的平分线上．∴BP 为MBN ∠的平分线．12．∵AD BC ⊥，EG BC ⊥，∴90ADC EGC ∠=∠=︒．∴AD EG ．∴13∠=∠，2E ∠=∠．又3E ∠=∠，∴12∠=∠．∴AD 平分BAC ∠．13．证明：∵FD ∥EC ，∠D =42°，∴∠BCE =42°，∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACB =2∠BCE =84°，∵∠A =46°，∴∠B =180°-84°-46°=50°14．∵OC 平分∠AOB(已知)，∴∠1＝∠BOC(角平分线的定义)∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BOC(等量代换)，∴EF∥OB(内错角相等，两直线平行)．15．【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH⊥AB于点H，∴CE=HE，∠CAE=∠EAH，∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAH+∠AEF=90°∴∠AEC=∠AEH，∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CD∥EH，∴∠EFC=∠AEH，∴∠AEC=∠E FC，∴CE=CF，∴CF=EH．16．【详解】证明：如图连接AP，在△ABP和△ACP中，∵AB ACAP APPB PC=⎧⎪=⎨⎪=⎩（公共边），∴△ABP≌△ACP（SSS），∴∠BAP＝∠CAP（三角形全等对应角相等），又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF．17．（【详解】（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠B ED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BED CFDEDB FDCBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等），∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：成立．理由如下：∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BED CFDDE DFEDB FDC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）．18．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE=DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．（2）解：∵∠C=90°，∠A=36°，∴∠ABC=54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=27°．19．解：证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP 平分∠DAC，即PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）∵PA 平分∠BAC 的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED 和△AEC 中，DAE CAE AE AEDEA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED≌△A EC （ASA ），∴CE=ED．20．（1）证明：如图1，过O 作OE⊥AB 于E ，OF⊥AC 于F ，则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OE B 和Rt△OFC 中，OB OC OE OF⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL ），∴∠ABC=∠ACB；（2）证明：如图2，过O 作OE⊥AB 于E ，OF⊥AC 于F ，则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OEB 和Rt△OFC 中OB OC OE OF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL ），∴∠ABO=∠ACO，∵∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB；（3）解：若O 点在△ABC 的外部，∠ABC=∠ACB 不一定成立，理由是：①当∠A 的平分线和BC 的垂直平分线重合时，如图3，过O 作OE⊥AB 交AB 的延长线于E ，OF⊥AC 交AC 的延长线于F ，则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OEB 和Rt△OFC 中OB OC OE OF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL ），∴∠EBO=∠FCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO）， ∴∠ABC=∠ACB；②当∠A 的平分线和BC 的垂直平分线不重合时，如图④，此时∠ABC 和∠ACB 不相等．。

12.3角平分线的性质同步练习2021-2022人教版八年级上册数学

12.3角平分线的性质一．选择题1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（）处．A．1B．2C．3D．44．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）A．2B．3C．4D．65．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接P A、PB、PC，若△P AB、△PBC、△P AC的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＞S2+S3D．无法确定S1与（S2+S3）的大小6．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）A．3B．4C．5D．67．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝9.6cm，则D到AB的距离为（）A．2.2cm B．3.2cm C．4.8cm D．6.4cm9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．510．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠AGH＝∠BAE+∠ACB；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为．14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC＝．15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为cm2．三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．17．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．18．如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AC＝5，BC＝4，△ABC的面积为9，求DE的长．参考答案一．选择题1．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．2．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴EC＝ED＝3cm．故选：C．3．解：如图，油库的可选位置有4处．故选：D．4．解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面积＝△DGH的面积，设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积＝△ADH的面积，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故选：B．5．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：A．6．解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵AB＝6，AC＝4，∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故选：C．7．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．8．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵BD：DC＝2：1，∴DC＝BC＝×9.6＝3.2（cm），∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3.2cm，即D到AB的距离为3.2cm．故选：B．9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．10．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴，∵S△AEB：S△AEC＝，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，故选：D．二．填空题11．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.412．解：∵AD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝3，∵BD＝5，∴BE＝＝＝4，故答案为4．13．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝3，又∵AB＝10，∴△ABD的面积为＝15，故答案为：15．14．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∴O为△ABC的三内角平分线的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∴∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故答案为：125°．15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．三．解答题16．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C．17．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，∴＝，∵CE＝BF，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．18．解：作DF⊥BC，垂足为F．如图：∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC．∴DF＝DE．∵AC＝5，BC＝4，△ABC的面积为9．∴．即：．∴DE＝2．。

人教版八年级上数学12.3《角平分线的性质》同步练习(有答案)

八年级上数学12.3《角平分线的性质》同步练习一、选择题：1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB 的距离是______．2、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=a（a>0），∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB垂足为E，则△DEB的周长等于( )A. aB. 1.5aC. 2aD. 1.2a3、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是( )A. 13B. 12C. 24D. 154、如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A.PC＞PDB.PC=PDC.PC＜PDD.不能确定5、如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8.若S△ABC=28，则DE=( )A. 3B. 3.6C. 4D. 56、如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A. ∠BAC=70°B. ∠D OC=90°C. ∠BDG=35°D. ∠D AC=55°7、如图,已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF如图,已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF的角度为（）A. 150°B. 130°C. 120°D. 160°8、如图所示，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是( )A. 31.5B. 30C. 12D. 16.59、如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是( )A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°10、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE. 其中一定正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④二、填空题：11、在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.12、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 .13、如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=2cm，AB+BC=8，S△ABC= 。

初二数学试题角的平分线的性质练习题及答案

同步习题及讲解一、选择题．1．如图6，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）．A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC>AD2．如图7：△ABC中，∠C=90°，E是AB中点，D在∠B的平分线上，DE⊥AB，则（）． A．BC>AE B．BC=AE C．BC<AE D．以上全不对A．三角形的一个外角等于两个内角和 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有两边对应相等的两个直角三角形全等二、证明题．4．如图，AD是∠BAC的角的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么EB与EC•的关系是怎样的呢？请证明你的结论．5．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于F，那么点F是否在∠DAE的平分线上？请证明你的结论．三、探索题:6．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角的平分线，探索：在AB上是否存在点E，DE•不与AB垂直，而△BDE之周长等于AB的长．若点E存在，请你出证明；若点E不存在，请说明理由．四、聚焦中考:答案:一、1．B 2．B 3．D二、4．提示：∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠DBA=∠DCA，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=DC，又∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴BE=EC5.过F作FM⊥AD于M，作FN⊥AE于N，作FP⊥BC于P，∵BF是∠DBC平分线，•∴FM=FP，同理FN=FP，∴FM=FN，∴F在∠DAE平分线上．三、6.不存在，作DH⊥AB于H，设点F在AB上，且AF=BD，点E是HB上任一点，有FE=FH+HE，又可证得DH=DC，△BDE的周长等于AB的长，由三角形三边关系得FE=•EH+•DH>DE，所以“周长”BD+DE+EB<EB+AF+DH+HE=AB，同样可证：AH•上任一点也不满足题目要求．。

人教版八年级数学上册第12单元第3节第1课时角平分线的性质同步练习题(含答案)

12.3 角的平分线的性质一、选择题1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E,且DE=3cm,则点D 到AC 的距离是( ) A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm3．如图1，已知CE 、CF 分别是△ABC 的内角和外角平分线，•则图中与∠BCE 互余的角有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图2，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③D CBA EFPDCBAEPDCBA E（1） (2) (3) 二、填空题5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．7．如图3，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=•2cm ，则AB 与CD 之间的距离是___________．三、解题题8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．9．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，CB=CD ，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证PE=PF ．PDC BAEF10．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，•求证：PB=PC ．PDCBA参考答案:1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略 9．证明AC 平分∠BCD10．先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD。

角平分线(练习)(解析版)-八年级数学下册

第一章三角形的证明第四节角平分线精选练习一、单选题1．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．【详解】解：∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，符合题意，选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；选项C中的作图作的是两个内角的平分线，不符合题意，选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC 交CD 于点E ，8,3BC DE ，则BCE 的面积等于（）A ．24B ．12C ．8D ．4∵CD 是AB 边上的高线，∴DE BD ，∵BE 平分ABC ，3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，DE 平分ADC ，55B ，35C ，则ADE （）A ．50B ．55C ．60D ．62.5123货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处【答案】D 【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．5．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，Rt ABC △中，90A ，BP 平分ABC 交AC 于点P ，若4cm PA ，13cm BC ，则BCP 的面积是（）A ．252cm B ．213cm C ．245cm D ．226cm 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到线段两端的距离相等，可得4cm PH PA ，即可直接求得BCP 的面积．【详解】解：过点P 作PH BC 于点H ，∵BP 平分ABC ，4cm PH PA ，∵13cm BC ，2113426cm 2BCP S△．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是作出垂线求得BCP 的高．．（秋八年级单元测试）如图，是ABC 的角平分线，于点，且DE DG ，52ADG S ，38AED S △，则DEF 的面积为（）A ．7B ．12C ．8D ．14【答案】A 【分析】过点D 作DH AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF DH ，然后利用“HL ”证明Rt DEF △和Rt DGH △全等，根据全等三角形的面积相等可得EDF GDH S S ，设面积为S ，然后根据ADF ADH S S V V 列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH AC 于H ，∵AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，∴DF DH ，在Rt DEF △和Rt DGH △中，DE DG DF DH，∴ Rt Rt HL DEF DGH ≌ ，∴EDF GDH S S ，设面积为S ，同理Rt Rt ADF ADH ≌ ，∴ADF ADH S S V V ，即3852S S ，解得7 S ，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明Rt Rt DEF DGH ≌ ．二、填空题7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P 是AOB 的平分线上的一点，过点P 作PC OA ∥交OB 于点C ，PD OA ，若60AOB ，8OC ，则PD ___________为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB BC 、于点D 、E ；②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于点G ．如果6AB ，8BC ，ABG 的面积为12，则CBG 的面积为________．【答案】16【分析】由作图步骤可知：BG 为ABC 的角平分线，过G 作,GH BC GM AB ，可得GM GH ，然后再结合已知条件和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：由作图作法可知：BG 为ABC 的角平分线过G 作,GH BC GM AB ，∴GM GH∴16218ABG AB GM S AB S BC为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示，若DE =3，则DF =_______．【答案】6【分析】过点D 作 DM OB ，垂足为M ，则3DM DE ，在Rt OEF △中，利用三角形内角和定理可求出30 DFM ，在Rt DMF △中，由30 角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【详解】解：过点D 作 DM OB ，垂足为M ，如图所示．OC ∵是AOB 的平分线，3DM DE ．在Rt OEF △中，90OEF ，60EOF ，30OFE ，即30 DFM ．在Rt DMF △中，90DMF ，30 DFM ，26DF DM ．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30 角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键．10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如图，在ABC 中，90B Ð=°，AD 平分BAC ，10BC ，6CD ，则点D 到AC 的距离为______．【答案】4【分析】过点D 作DE AC 于点E ，再根据角平分线的性质，即可进行解答．【详解】解：过点D 作DE AC 于点E ，∵10BC ，6CD ，∴1064BD BC CD ，∵AD 平分BAC ，90B Ð=°，DE AC ，∴4DE BD ，即点D 到AC 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等．三、解答题11．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）如图，DE AB 于E ，DF AC 于F ，AD 平分BAC ，若BD CD ，10AB ，18AC ，求BE 的长．【答案】4BE ，【分析】先证明Rt BDE 与Rt CDF 全等得BE CF ，再证明Rt ADE △与Rt ADF 全等得AE AF ，设=BE CF x ，通过等量代换列方程即可求解．【详解】解：DE AB DF AC ∵，，AD 平分BACDE DF在Rt BDE 与Rt CDF 中DE DF BD CDRt BDE Rt CDF HL BE CF在Rt ADE △与Rt ADF 中DE DF AD ADRt ADE Rt ADF HL AE AF设=BE CF x ，18AC ∵，10AB ，∴18AF AC FC x ，10AE AB BE x1810x x4x 即4BE 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和直角三角形全等的判定．12．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）已知：如图，AD 为ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ，求证：AD 垂直平分EF【答案】见解析【分析】根据AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，可得DE DF ，90DEA DFA ，则可证DEF DFE ，并得AEF AFE ，可证得AE AF ，根据DE DF ，AE AF ，得到点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，可证AD 垂直平分EF ．【详解】证明∵AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，∴DE DF ，90DEA DFA ，∴DEF DFE ，∴DEA DEF DFA DFE ，∴AEF AFE∴AE AF ，∵DE DF ，AE AF ，∴点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．一、填空题1．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，AD 平分CAB ，若:4:5ACD ABD S S △△，则:AB AC ________．【答案】5:4【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得两个三角形的高一样，再根据三角形面积公式即可求得．【详解】∵AD 平分CAB ，∴D 到AC 、AB 的距离相等，又∵:4:5ACD ABD S S △△根据三角形面积等于底乘以高，∴:5:4AB AC ，答案为∶5:4．【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是熟悉角平分线的性质和三角形面积公式．2．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，E为AC的中点，AD平分23BAC BA CA，：：，AD与BE相交于点O，若OAE△的面积比BOD的面积大2，则ABC的面积是_____∵AD平分BAC，∴DM DN，∴121ABDAB DN S BD△是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AF ，若26ACB ，25CBE ，则AED ∠___________．【答案】39°【分析】连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE BE ，ER EF ，根据全等求RCE EBF ，求出26ACB QED ，求出65BED CED ，求出REF 的度数，再求出CAB ，求出CAE ，根据三角形的外角性质求出DOE ，再求出答案即可．【详解】解：连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，∵DE 是线段BC 的中垂线，∴90EDC ，CE BE ，∴ECB CBE ，∵25CBE ，∴25ECB ，∴902565DEB CED ，∵ER AC ED BC ，，∴90QRC QDE ，9090ACB CQR EQD QED ，，CQR EQD ∵，ACB QED ，26ACB ∵，26QED ，AE ∵平分CAM ER AC EF AM ，，，ER EF ，在Rt ERC 和Rt EFB △中，CE BE ER EFRt ERC Rt EFB HL ≌（），262551EBF ACE ACB ECD ，90EFB ∵，90905139BEF EBF ，266539130REF RED BED BEF ，90ARE AFE ∵，360909013050CAM ，AE ∵平分CAM ，252651DOE CAE ACB ，ED BC ∵，90EDB ，90905139AED DOE ，故答案为：39°．【点睛】本题考查角平分线性质、中垂线性质、三角形内角和180°、三角形外角等于与它不相邻内角和、全等三角形的性质与判定，掌握这些并正确添加辅助线才能解答正确．4．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB ，OC OD ，OA OC ，40AOB COD ．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①40AMB ，②AC BD ，③OM 平分AOD ，④MO 平分AMD ∠．其中正确的结论有______．（填序号）【答案】①②④【分析】由SAS 证明AOC BOD △△≌得出OCA ODB ，AC BD ，②正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，得出40 AMB AOB ，①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示：则90OGA OHB ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分AMD ∠，④正确；假设MO 平分AOD ，则 DOM AOM ，由全等三角形的判定定理可得AMO DMO ≌ ，得AO OD ，而OC OD ，所以OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵40AOB COD ，∴AOB BOC COD BOC ，即AOC BOD ，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD，∴AOC BOD △△≌ SAS ，∴OCA ODB ，AC BD ，故②正确；同时OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，∴40 AMB AOB ，故①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示，则90OGA OHB ，∵AOC BOD △△≌，∴OG OH ，∴MO 平分AMD ∠，故④正确；假设MO 平分AMD ∠，则 DOM AOM ，在AMO 与DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO，∴AMO DMO ≌ SAS ，∴AO OD ，∵OC OD ，∴OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；正确的个数有3个，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．5．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，BAC 的角平分线与线段BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ，DF AC ，垂足分别为点E 、F ．若10＝AB ，8AC ＝，则BE ______．【答案】1【分析】先根据角平分线性质定理得到DF DE ，再利用中垂线性质得到CD BD ．进而证明 Rt Rt CDF BDE HL ≌，通过线段之间的数量关系即可求解．【详解】解：如图，连接CD ，∵AD 是BAC 的平分线，DE AB ，DF AC ，∴DF DE ，90F DEB ，ADF ADE ，∴AF AE ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD BD ，在Rt CDF △和Rt BDE △中，CD BD DF DE，∴ Rt Rt CDF BDE HL ≌，∴BE CF ，∴2AB AE BE AF BE AC CF BE AC BE ，∵10AB ，8AC ，∴1BE 故答案为：1【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL 证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．二、解答题6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，点C 是MAN 的平分线上一点，CE AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且2AE AD AB ．求证：12180 ．34 ∵，CE AM ，CF CE ，CFD CEB 1AE AD AB∵，AD AF ACE ，BD 交AC 于点F ，连接AD ．(1)当40BAC =时，求BDC 的度数．(2)请直接写出BAC 与BDC 的数量关系，并给出证明．(3)求证：AD BE ∥．【答案】(1)20(2)12BDC BAC ，证明见解析(3)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出70ABC ACB ，再利用邻补角的定义得到110ACE ，然后根据角平分线的定义可计算出1352DBC ABC ，1552ECD ACE ，再利用三角形外角性质可计算出BDC ；（2）由外角的性质得到1122BDC ABC ACE ，BAC ABC ACE ，即可得出12BDC BAC ；（3）作DM BG 于M ，DN AC 于N ，DH BE 于H ，根据角平分线的定义以及平行线的判定即可得到结论．【详解】（1）解：∵AB AC ，40BAC ，∴ 118040702ABC ACB，∴110ACE ，∵BD ，CD 分别平分EBA ，ECA ，形的性质，角平分线的定义与性质与判定，平行线的判定，熟练的利用角平分线的性质与判定进行证明是解本题的关键．8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）己知ABC 为等边三角形，取ABC 的边,AB BC 中点,D E ，连接DE ，如图1，易证DBE 为等边三角形，将DBE 绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度ABD ，其中080I ．(1)如图2，当60 时，连接,AD CE ，求证：AD CE ；(2)在DBE 旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接,AD CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，求证：FB 平分AFE ；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段,AF BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AF CF BF ，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到答案；（2）过点B 作BN AD 于N ，过点B 作BH CE 于H ，如图所示，根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到AD CE ，ABD CBE S S ，BAD BCE ，利用等面积得到BN BH ，再根据角平分线的判定定理即可得到答案；（3）在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示，根据等边三角形的判定与性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABM CBF △≌△，利用全等的性质即可得到答案．ABC ∵ ，DBE 都是等边三角形，AB BC ，BD BE ，ABC ABD CBE ，在ABD △和CBE △中，FB 平分AFE ；（3）解：AF CF BF ．理由如下：在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示：60AFB ∵，MF FB ，MFB △是等边三角形，MB BF ，60MBF ABC ，ABM CBF ，在ABM 和CBF V 中，CB AB ABM CBF BM BFSAS ABM CBF △≌△，AM CF ，AF AM MF ∵，AF CF BF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，根据题意，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．。

人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质课时训练（含答案）

人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质课时训练（含答案）人教版八年级数学上册12.3 角平分线的性质课时训练一、选择题1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的理由是()A．SAS B．AAA C．SSS D．HL2. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是()A．4 B. 3 C．2 D．13. 如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．50°4. 下面是黑板上给出的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交__○__于点N；②分别以点__⊕__为圆心，大于__△__的长为半径画弧，两弧在__?__的内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．则下列回答正确的是()A．○表示OA B．⊕表示M，CC．△表示MN D．?表示∠AOB5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-26. 如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS7. 如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC 的大小是()A.20°B.25°C.30°D.40°8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是()A．14 B．32 C．42 D．569. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．4210. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6 cm,DE=4 cm,S△ABC=30 cm2,则AC的长为()A.10 cmB.9 cmC.4.5 cmD.3 cm二、填空题11. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．12. 如图,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6 cm,则点P到AB的距离为.13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．14. 如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：(1)若∠1＝∠2，则________＝________．(2)若∠3＝∠4，则________＝________．15. 如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC交BC于点D,AB︰AC=2︰3,AD与BE相交于点O.若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是.三、解答题16. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．17. 如图，已知∠1=∠2,BA18. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点D，M和点E，N，使OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.19. 如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE.(1)求证：OC平分∠MON；(2)如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.人教版八年级数学上册12.3 角平分线的性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】C[解析] 如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2.3. 【答案】C[解析] ∵点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM ＝PN，∴OC是∠AOB的平分线．∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°.4. 【答案】D5. 【答案】A[解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵点D的坐标是(0，-3)，∴OD=3.∵AD是△OAB的角平分线，∴ED=OD=3，即点D到AB的距离是3.6. 【答案】A7. 【答案】A[解析] 由题意可得AH平分∠CAB.∵AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.∴∠AHC=20°.8. 【答案】B[解析] 如图，过点D作DH⊥AB于点H. 由作法得AP平分∠BAC.∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4.∴S△ABD＝12×16×4＝32.9. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H. ∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.10. 【答案】B[解析] 如图,过点D作DF⊥AC于点F.∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF=4.∵AB=6,∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =×6×4+AC ×4=30, 解得AC=9(cm).故选B .二、填空题11. 【答案】3 【解析】如解图，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，∵OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OB 于点C ，∴PD ＝PC ，∵PC ＝3，∴PD ＝3，即点P 到点OA 的距离为3.12. 【答案】6 cm[解析] 如图,过点P 作PN ⊥BC 于点N ,PQ ⊥AB 交AB 的延长线于点Q.∵BP ,CP 是两条外角的平分线,PM ⊥AC ,∴PN=PM ,PQ=PN.∴PQ=PM.∵PM=6 cm,∴PQ=6 cm,即点P 到AB 的距离为6 cm .13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上14. 【答案】(1)BCCD (2)AB AD15. 【答案】10[解析] 如图,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,DN ⊥AB 于点N.∵AD 平分∠BAC,DM ⊥AC ,DN ⊥AB , ∴DM=DN.∵S △ABD ︰S △ADC =BD ︰DC ,且S △ABD =·AB ·DN ,S △ADC =·AC ·DM ,∴BD ∶DC=AB ∶AC=2∶3. 设△ABC 的面积为S ,则S △ADC =S.∵E 为AC 的中点, ∴S △BEC =S.∵△OAE 的面积比△BOD 的面积大1, ∴△ADC 的面积比△BEC 的面积大1. ∴S-S=1.∴S=10.故答案为10.三、解答题16. 【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)．∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)，△ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.17. 【答案】证明:如图,过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E.又∵∠1=∠2,PF ⊥BC ,∴PE=PF ,∠PEA=∠PFC=90°. 在Rt △PEA 与Rt △PFC 中,∴Rt △PEA ≌Rt △PFC (HL). ∴∠P AE=∠PCB. ∵∠P AE+∠BAP=180°, ∴∠PCB+∠BAP=180°.18. 【答案】证明:如图，过点C 作CG ⊥OA 于点G ，CF ⊥OB 于点F .在△MOE 和△NOD 中，∴△MOE ≌△NOD (SAS). ∴S △MOE =S △NOD .∴S △MOE -S 四边形ODCE =S △NOD -S 四边形ODCE ，即S △MDC =S △NEC .由三角形面积公式得DM ·CG=EN ·CF .∵OM=ON ，OD=OE ，∴DM=EN.∴CG=CF . 又∵CG ⊥OA ，CF ⊥OB ，∴点C 在∠AOB 的平分线上.19. 【答案】解：(1)证明：∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴∠CDA ＝∠CEB ＝90°.在Rt △ACD 与Rt △BCE 中，CA ＝CB ，AD ＝BE ，∴Rt △ACD ≌Rt △BCE(HL)．∴CD＝CE.又∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴OC 平分∠MON. (2)在Rt △ODC 与Rt △OEC 中，CD ＝CE ，OC ＝OC ，∴Rt △ODC ≌Rt △OEC. ∴OD ＝OE. 设BE ＝x.∵BO ＝4，∴OE ＝OD ＝4＋x. ∵AD ＝BE ＝x ，∴AO ＝OD ＋AD ＝4＋2x ＝10. ∴x ＝3.∴OD ＝4＋3＝7.20. 【答案】证明：如图，连接BF.∵F 是△ABC 的角平分线AD ，CE 的交点，∴BF 平分∠ABC. ∵FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，∴FM ＝FN ，∠DNF ＝∠EMF ＝90°.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝15°. ∴∠CDA ＝75°.∵CE 平分∠ACB ，∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝45°. ∴∠MEF ＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，∠DNF ＝∠EMF ，∠NDF ＝∠MEF ，FN ＝FM ，∴△DNF ≌△EMF(AAS)．∴FE ＝FD.。

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题八年级上册数学的角平分线的性质知识点即将学完，教师们腰围同学们准备精选练习题，下面是店铺为大家带来的关于八年级数学上册角平分线的性质精选的练习题，希望会给大家带来帮助。

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题目一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )A.SASB.AASC.SSSD.ASA2. ∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD3. Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm4. △ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长为( )A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定5.OP平分，，，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )A. B. 平分 C. D. 垂直平分6.AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是( )A. 4B. 3C. 6D. 57.AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A、11B、5.5C、7D、3.58.已知：△ABC中，∠C=90o，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于( )(A)2cm、2cm、2cm. (B)3cm、3cm、3cm.(C)4cm、4cm、4cm. (D)2cm、3cm、5cm.二、填空题9.P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出中一对相等的线段(只需写出一对即可) .10.在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠AB C，AD=2 cm，则点D到BC的距离为________cm.11 .OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为.12.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为14.已知△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=.15.AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为.17.AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为18. △ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO =三、解答题19.已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C.20. 画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由.21.AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.(1)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数;(2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN.22. 已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系?并加以证明.23. △ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G.求证：BF=CG.八年级数学上册角平分线的性质精选练习题答案一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9. PC=PD(答案不唯一) 10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B=∠C.20. 解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF.21.(1)解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB= ∠CAB=33°(2)证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∴△ACN≌△MCN.22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中∴Rt△BAE≌Rt△BDE(HL)，∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE. 23. 证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE (HL)，∴BF=CG。

角的平分线的性质—数学人教版八年级上册随堂小练

角的平分线的性质—数学人教版八年级上册随堂小练1.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，4CD =，则点D 到AB 的距离是()A.4B.2C.3D.62.如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若4PA =，则PQ 的长不可能是()A.3.5B.4C.4.5D.53.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P ，其中一把直尺边缘和射线OA 重合，另一把直尺的下边缘与射线OB 重合，连结OP 并延长.若54AOB ∠=︒，则AOP ∠的度数为()A.54︒B.36︒C.36︒D.26︒4.如图，BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥于点E ，4DE =，7AB =，则ABD △的面积等于()A.28B.21C.14D.75.在Rt ABC 中，90C ∠︒＝，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，74BC BD ＝，＝，则点D 到AB 的距离是()A.3B.4C.5D.76.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，若4BC =， 1.6DE =，则BD 的长为______.7.在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，DE BC ⊥于点E ，且DE DA =，连接DB .若20C ∠=︒，则DBE ∠的度数为______°.8.如图,在ABC △中,90C ∠=︒.(1)实践与操作：用尺规作图法作B ∠的平分线；(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)应用与计算：设(1)中B ∠的平分线交AC 于点D ,若ABC △的面积为6,8AB BC +=,求点D 到AB 的距离.答案以及解析1.答案：A解析：如图，过点D作DE AB⊥于点E，则DE即为所求，，AD平分BAC∠，交BC于点D，∠=︒C90∴==，4DE DC故选：A.2.答案：A解析：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，P A=4，∴4，==PQ PA最小值即PQ的最小值为4，∴PQ的长不可能是3.5，故选A.解析：作DF BA⊥交BA的延长线于F，BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，4DF DE ∴==，ABD ∴ 的面积11741422AB DF =⨯⨯=⨯⨯=，故选：C.5.答案：A解析：过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ，∵90C ∠=︒，∴DC AC ⊥，∵AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，∴CD ED =，∵,7,4BC BD DC BC BD =+==，∴743DC BC BD =-=-=，∴3ED =，即点D 到AB 的距离是3，故选：A.6.答案：2.4解析：AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥， 1.6DE =，1.6CD DE ∴==，4BC = ，4 1.6 2.4BD BC CD ∴=-=-=，故答案为：2.4.7.答案：35解析：DE AB ⊥，90A ∠=︒，且DE DA =，ABD EBD ∴∠=∠，90A ∠=︒ ，20C ∠=︒，902070ABC ∴∠=︒-︒=︒170352DBE ∴∠=⨯︒=︒，故答案为：35.8.答案：(1)图见解析(2)32DH =解析：(1)B ∠的角平分线下图所示.(2)如图,过点D 作DH AB ⊥于点H ,D 为角平分线上的点,DC BC ⊥,DH AB ⊥,DH DC ∴=,111()222ABC BCD BAD S S S BC DC AB DH DH BC AB ∴=+=⋅+⋅=+△△△,6ABC S = △,8BC AB +=,即1862DH ⨯=,32DH ∴=.。

2022-2023学年八年级数学上《角的平分线的性质》测试卷及答案解析

A．4B． C． D．6
5．（2021秋•博兴县期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．（2020秋•大连期末）下列作图语句中，叙述正确的是（）
A．延长线段AB到点C，使BC＝AB
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•高陵区期中）如图，在△ABC中，O是在△ABC内一点，且点O到在△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为（）
A．72°B．27°C．54°D．108°
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．
14．（2021秋•西平县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是．
15．所谓尺规作图中的尺规是指：．
16．判断下列作图语句是否正确．
延长线段AB＝a．
三．解答题（共4小题）
17．（2021秋•台江区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A＝180°−（∠ABC+∠ACB）＝180°−2（∠OBC+∠OCB）＝180°−2×（180°−∠BOC）＝180°−2×（180°−126°）＝72°，
故选：A．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
2．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）