初二数学角平分线的性质
初二数学-角的平分线的性质
初二数学第8课时 角的平分线的性质(1)教 学 目 标 1.通过作图直观地理解角平分线的性质定理.2.经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法. 教学重点 领会角的平分线的性质定理. 教学难点角的平分线的性质定理的实际应用. 教 学 互 动 设 计设计意图 一、创设情境 导入新课在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ,MC ⊥OA ,NC ⊥OB .MC 与NC 交于C 点.求证:∠MOC=∠NOC .通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ,即可证明∠MOC=∠NOC ,所以射线OC 就是∠AOB 的平分线.受这个题的启示,我们能不能这样做:在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ,再分别过M 、N 作MC ⊥OA ,NC ⊥OB ,MC•与NC 交于C 点,连接OC ,那么OC 就是∠AOB 的平分线了.思考:这个方案可行吗?(学生思考、讨论后,统一思想,认为可行) 议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD ,BC=DC .将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE ,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗?要说明AC 是∠DAC 的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB .∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中,那么证明这两个三角形全等就可以了.看看条件够不够. AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以△ABC ≌△ADC (SSS ). 所以∠CAD=∠CAB .即射线AC 就是∠DAB 的平分线.首先将“问题提出”,然后运用教具(如课本图11.3─1•)直观地进行讲述,提出探究的问题.小组讨论后得出:根据三角形全等条件“边边边”判定法,可以说明这个仪器的制作原理. 二、合作交流 解读探究【探究1】作已知角的平分线的方法: 已知:∠AOB .求作:∠AOB 的平分线. 作法:动手制图(尺规),边(1)以O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA 、OB 于M 、N .(2)分别以M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C .(3)作射线OC ,射线OC 即为所求. 【议一议】1.在上面作法的第二步中,去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗?2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗? 【总结】1.去掉“大于12MN 的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.2.若分别以M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB•的内部,也可能在∠AOB 的外部,而我们要找的是∠AOB 内部的交点,•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了.3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,•所以第二步中的两个限制缺一不可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.【探究2】如图,将∠AOB 的两边对折,再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?你能利用所学过的知识,说明你的结论的正确性吗?实践感知,互动交流,得出结论,“从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ,第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离,这两个距离相等.”【总结】角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知:OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别是D 、E求证:PD=PE .证明:∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中, ,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO (AAS ) ∴PD=PE画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知.三、应用迁移巩固提高【例】在一节数学课上,老师要求同学们练习一道题,题目的图形如图所示,•图中的BD是∠ABC的平分线,在同学们忙于画图和分析题目时,小明同学忽然兴奋地大声说:“我有个发现!”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的,在AB上取点E,使BE=BC,然后画DE⊥AB交AC于D,•那么BD•就是∠ABC的平分线.有的同学对小明的画法表示怀疑,你认为他的画法对不对呢?请你来说明理由.【练习】课本Р19 练习四、总结反思拓展升华本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,•探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探究到角平分线的性质.五、课堂作业P22 1 2教学理念/反思第9课时角的平分线的性质(2)教学目标1.角的平分线的性质2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.教学重点角平分线的性质及其应用.教学难点灵活应用两个性质解决问题.教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课【问题1】画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点?【问题2】如课本图11.3─5,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,•离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20 000)?二、合作交流 解读探究 【探究】小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上.证明如下:已知:PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别是D 、E ,PD=PE . 求证:点P 在∠AOB 的平分线上. 证明:经过点P 作射线OC . ∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中,,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △PEO (HL ) ∴∠AOC=∠BOC , ∴OC 是∠AOB 的平分线.【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.启发、引导学生;组织小组之间的交流、讨论;帮助“学困生”.自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.三、应用迁移 巩固提高【例1】如图,△ABC 的角平分线BM ,CN 相交于点P ,求证:点P•到三边AB ,BC ,CA 的距离相等.【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ,垂足为D 、E 、F . ∴BM 是△ABC 的角平分线,点P 在BM 上. ∴PD=PE 同理 PE=PF ∴PD=PE=PF即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等.【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.学生参与教师分析,主动探究学习.三角形的三条角平分线相交于一点.【例2】如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题,在必要时教师适当引导.【练习】课本Р22 练习四、总结反思拓展升华我们学习了关于角平分线的两个性质:①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,随着学习的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.五、课堂作业P22 3 4 5 6教学理念/反思。
初二【数学(人教版)】角的平分线的性质的综合运用
B
C
应用 如图,为了促进当地旅游发展,某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要
使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处
修建?
A
分析:
可以从定理1入手
也可以从定理2入手
B
C 总之找角平分线交点
已知△ABC,在它的内部求作一个点O,使其到三
角形三边都相等.
作图:
分别作∠BAC和
A
∠ABC的平分线,
P.求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
A
ND
F
M
思路:过点P分别向三角形 各边作垂直,标垂足.
P
由角的平分线的性质得
B
E
C
PD = PE 及 PE = PF.
进而PD = PE = PF.
于是问题得证.
追问 点P在∠BAC的平分线上吗?
这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
A
ND
F
M
分析:“双垂距离推角分” 略证:(用已证结论)
两线交于点O,
则点O即为所求.
O
课下可以试试证明.
B
C
发展 已知△ABC,求作一个点O,使其到三角形
三边都相等. A
分析:
(1)根据之前的Biblioteka 研究,在三角形内O1
部,两条角平分线
B
C
的交点符合要求;
(2)在三角形的外部呢? 有相邻两外角的平分线的交点,符合要求吗?
O2 B
A
O1 C
作法:如图 (1)作△ABC两 内角的平分线,其 O3 交点为O1; (2)分别作 △ABC两外角平分 线,其交点分别为 O2,O3,O4.
O4
初中数学教学课例《角的平分线的性质》教学设计及总结反思
证明后,教师强调经过证明正确的命题可作为定 理.同时强调文字命题的证明步骤.。
3.合作交流。 判断正误,并说明理由:: (1)如图 1,P 在射线 OC 上,PE⊥OA,PF⊥OB,则 PE=PF. (2)如图 2,P 是∠AOB 的平分线 OC 上的一点,E、F 分别在 OA、OB 上,则 PE=PF.。 (3)如图 3,在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P,若 P 到 OA 的距离为 3cm,则 P 到 OB 的距离边为 3cm。 (4)例题讲解 例 1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F.。 求证:EB=FC.。 变题 1:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,且 BD=DF,求 证:CF=EB. 变题 2:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线, DE⊥AB 于 E,BC=8,BD=5,求 DE.。 教师用多媒体展示问题,学生观察识图,独立思考,
整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合
作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力。
对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规
作图中浪费了一部分时间,当然这一环节时间的浪费与
我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的,以至于在
后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不
够完整。再就是课堂上安排的内容过多,也是导致前面
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种 数学情境,在这种情境下,通过思考和操作活动,研究数 学现象的本质和发现数学规律.根据如今各学校实际教 教学策略选 学环境及本节课的实际教学需要,我选择电脑及投影仪 择与设计 多媒体教学系统辅助教学,另外借助一定的教学软件, 如“几何画板”,“Powerpoint”等将有关教学内容用 动态的方式展示出来,让学生能够进行直观地观察,并 留下清晰的印象,从而发现变化之中的不变.这样,吸引
八年级数学-第十一章-第3节-角平分线的性质-人教新课标版
初二数学第十一章第3节角平分线的性质人教新课标版一、学习目标:1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义,会用尺规作一个角的平分线;2. 掌握角平分线的性质和判定;3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
二、重点、难点:重点:角平分线的性质和判定。
难点:角平分线的性质和判定的综合应用。
三、考点分析:对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的,但这两个知识点属于基础知识,出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题,题型多为作图题,属中档难度题。
角平分线的性质是本章的重要内容,它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。
中考命题中,多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查,题型多为选择、填空、作图题,分值在3~6分。
这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领,并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。
1. 角平分线的定义2. 角平分线的尺规作法3. 角平分线的性质4. 角平分线的判定知识点一作角平分线例1:如图,已知点C为直线AB上一点,过C作直线CM,使CM AB⊥于C。
思路分析:由于AB是直线,要求作CM AB⊥,实际上就是要作平角ACB∠的平分线。
根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。
解答过程:作法:1、以C为圆心,适当的长为半径画弧,与CA、CB分别交于点D、E;2、分别以D、E为圆心,大于12DE的长为半径画弧,使两弧交于点M;3、作直线CM。
所以,直线CM即为所求。
解题后的思考:此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是:半径如果小于12DE ,则两弧无法相交;而半径如果等于12DE ,则两弧交点位于C 点处,无法作出直线CM 。
在数学学习中,不光要知道怎么做题,还要知道为什么要这样做。
小结:本题属于作图题。
在解决作图题时要求做到规范地使用尺规,规范地使用作图语言,规范地按照步骤作出图形,并且作图的痕迹要保留,不能擦掉。
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等;2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理,要正确加以区分,性质1是指如果一个点在一个角的平分线上,可以得出它到角的两边的距离相等; 而性质2却与它恰好相反,如果一个点到角的两边距离相等,那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说,性质1是先知点的位置,得到它的性质;性质2先由点满足某个性质,再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知:如图所示,E 是AD 上一点,∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ,,。
求证:∠=∠DBE DCE分析:欲证∠=∠DBE DCE ,只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边,只要证出BE=CE ,∠=∠BED CED 即可,或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线,EB AB EC AC ⊥⊥,,可得出EB EC =,由∠=∠AEB AEC ,可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明:∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠,,∴=EB EC (角的平分线上的点到角的两边的距离相等)∵ABE BAE BED ∠+∠=∠,∠=∠+∠CED CAE ACE (三角形的外角等于不相邻的两个内角的和)DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌)(SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析:如果由两次三角形全等来解决此题,实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍,走了一个弯路,因此可直接由角平分线的性质,得出EB=EC 。
例2. 已知:如图所示,△ABC 中,D 是BC 的中点,F AC DF E AB DE 于,于⊥⊥,BE=CF 。
求证:AD 平分∠BAC 。
B D C分析:欲证AD 平分∠BAC ,由于DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,因此只要证明DE=DF 即可,可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
《角的平分线的性质》说课稿
《§11.3 角的平分线的性质》说课稿第1课时尊敬的各位评委老师,大家好!今天我说课的内容是人教版八年级数学上册第十一章第三节《角的平分线的性质》第一课时。
下面我将从教材分析、学法、教法、教学程序、教学设想等五个方面进行说明,教学程序将是我阐叙的重点。
一、教材分析:1、教学内容分析:本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的,内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。
作角的平分线是基本作图,角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径,体现了数学的简洁美,同时也是全等三角形知识的延续,又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理,符合学生的心理特点和认知规,它既是对前面所学知识的应用,又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用,因此本节课在教材中占有非常重要的地位。
2、教学对象分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强,但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱,思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺,需要在课堂教学中进一步加强引导。
根据学生的认知特点和接受水平,我把第一课时的教学任务定为:掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题,同时为下节判定定理的学习打好基础。
3、教学目标:在新课程改革背景下的数学教学应以学生的发展为本,学生的能力培养为主,同时从知识教学、技能训练等方面,根据《新课程》对本节课内容的要求及本节课的学习结果类型,针对学生的一般性认知规律及学生个性品质发展的需要,确定教学目标如下:知识与技能:(1)掌握用尺规作已知角的平分线的方法.(2)理解角的平分线的性质并能初步运用.(3)过程与方法:在经历角平分线的性质定理的推导过程中,提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力,并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
(4)情感态度:培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的自信心。
4、教学重点、难点:根据教材的内容及作用确定本节课的教学重、难点重点:掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。
人教版初中八年级数学上册角的平分线的性质教案
12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法,然后用三角形全等证明角平分线的性质定理.教学目标1.知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.2.过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.3.情感、态度与价值观激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力.重点难点1.重点:领会角的平分线的两个互逆定理.2.难点:两个互逆定理的实际应用.教具准备投影仪、制作如课本图11.3─1的教具.教学方法采用“问题解决”的教学方法,让学生在实践探究中领会定理.教学过程一、创设情境,导入新课【问题探究】(投影显示)如课本图11.3─1,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?【教师活动】首先将“问题提出”,然后运用教具(如课本图11.3─1•)直观地进行讲述,提出探究的问题.【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等条件“边边边”课本图11.3─1判定法,可以说明这个仪器的制作原理.【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题.操作观察:已知:∠AOB.求法:∠AOB的平分线.作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.(2)分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC•即为所求(课本图11.3─2).【学生活动】动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知.【媒体使用】投影显示学生的“画图”.【教学形式】小组合作交流.二、随堂练习,巩固深化课本P19练习.【学生活动】动手画图,从中得到:直线CD与直线AB是互相垂直的.【探研时空】(投影显示)如课本图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?【教师活动】操作投影仪,提出问题,提问学生.【学生活动】实践感知,互动交流,得出结论,“从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.”论证如下:已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E(课本图11.3─4)求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中,,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO (AAS )∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等.【教学形式】师生互动,生生互动,合作交流.三、情境合一,优化思维【问题思索】(投影显示)如课本图11.3─5,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,•离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20 000)?【学生活动】四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线. 证明如下:已知:PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别是D 、E ,PD=PE .求证:点P 在∠AOB 的平分线上.证明:经过点P 作射线OC .∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中,,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △P EO (HL ) ∴∠AOC=∠BOC ,∴OC 是∠AOB 的平分线.【教师活动】启发、引导学生;组织小组之间的交流、讨论;帮助“学困生”.【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【教学形式】自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.四、范例点击,应用所学【例】如课本图11.3─6,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P•到三边AB,BC,CA的距离相等.【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.【教师活动】操作投影仪,显示例子,分析例子,引导学生参与.证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、B C、CA,垂足为D、E、F.∴BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等.【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.【学生活动】参与教师分析,主动探究学习.五、随堂练习,巩固深化课本P50练习1、2.六、课堂总结,发展潜能1.学生自行小结角平分线性质及其逆定理,和它们的区别.2.说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题,•说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏).七、布置作业,专题突破课本P51习题12.3第1、2、3题.板书设计把黑板分成三部分,左边部分板书概念、定理等,中间部分板书探究,右边部分板书例题,重复使用时,中间部分和右边部分板书练习题.。
初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)
A FD
分析:标图 1 .已知可推?“角分无垂直”,
O
P C 考虑“作双垂”.
E H B
2 .猜测∠PDA = ∠PEO ; 求证何来?构造的全等.
解: ∠PDA = ∠PEO.理由如下:
如图,过点P作PF⊥OA于点F,PH⊥OB于点H.
∵OP平分∠AOB,∴PF = PH .
C
证明: 识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE = DF(角的平分线的性质).
A
E ?
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF,
BD
CD,
F? ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL) .
C ∴EB = FC.
例 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于P. 求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
A N
PM
分析: 已知可推?“角分无双垂” 求证何来?“距离需作垂”
B
C
例 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于P. 求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
A ND
PM
分析: 已知可推?“角分无双垂” 求证何来?“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”.
例 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于P. 求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
作业
1.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线. 求证:S△ABD:S△ACD = AB:AC.
作业
2.如图,BD是∠ABC的平分线,AB = BC, 点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别 是M、N.求证:PM = PN.
例 如图,△ABC中,∠C = 90°,试在AC上找 一点P,使P到斜边的距离等于PC.(画出图形, 并写出画法)
初二数学上册角平分线的性质与判定
第六节角平分线的性质与判定中考考点分析在教材中的地位重点、难点角平分线的性质与判定在考试中常出现在综合题中,需要学生根据实际情况作辅助线来帮助分析。
角平分线的性质在教材中位于全等三角形章节的最后一节,角平分线的三种常用辅助线的作法涉及全等三角形的5个判定,角平分线的性质能够帮助学生简化书写步骤。
角平分线的判定为学生提供了另一种证明角相等的方法。
理解并熟练掌握角平分线的性质与角平分线的判定。
通过角平分线的三种常用辅助线的训练,熟悉推理证明的思路方法和书写格式,培养和提高逻辑思维能力。
讲点1 角平分线的性质例1如图,AD是△ABC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,若SABC△=7,DE=2,AB=4,则AC的值为()(2013,硚口区期中)A. 4B. 3C. 6D. 5题意分析根据角平分线性质可得DE=DF,AD将△ABC的面积分成两部分,DE,DF分别为这两部分的高,巧妙地求出AC的长。
解答过程:解题后的思考:练1.1如图,已知△ABC中,AB=10,BC=15,CA=20,若点O是△ABC内角平分线的交点,则△ABO,△BCO,△CAO的面积比是________________。
练1.2如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点E在BD上,连接AE,CE,DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G,求证:DF=DG。
(2013,江汉区期中)讲点2 角平分线的判定例2如图,已知BE=CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D。
求证:AD平分∠BAC.题意分析要证AD平分∠BAC,若证得DE=DF,问题就可以解决,因此先证DE=DF。
证明两个角相等除了利用平行线截得的同位角和内错角、全等三角形的对应角、等腰三角形两底角之外,角平分线的判定也是常用方法,应注意灵活掌握。
解答过程:解题后的思考:练2.1如图,在△ABC中,AC=AB,点D在BC上,若DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DF⊥DE,求证:AD⊥BC。
初二数学第九讲角平分线的性质(教案)
教学过程一、复习预习“用直尺和圆规三等分任意角是世界三大几何作图不能问题之一”,2000多年来吸引了无数的数学爱好者为此探索和努力!古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法:在直尺边缘上添加一点P ,命尺端为O (如图①);设所要三等分的角是∠MCN ,以C 为圆心,OP 为半径作半圆交给定角的两边CM 、CN 于A 、B 两点;移动直尺,使直尺上的O 点在AC 的延长线上移动,P 点在圆周上移动,当直尺正好通过B 点时,连OPB ,则有∠AOB =13∠MCN .这种方法由于在直尺上作了一个记号,不符合尺规作图中直尺只能用来连线的规定,因此还不能算是严格意义上的尺规作图.聪明的你能利用已经学过的知识,证明这个原理么?证明:∵OP =PC =BC ,∴∠O =∠PCO ,∠A =∠2,设∠O =∠PCO =x ,∴∠O +∠PCO =∠1=∠2=2x ,∴∠3=∠O +∠2=3x ,∴∠AOB =13∠MCN .二、知识讲解1.角平分线的画法(1)已知∠AOB ,求作∠AOB 的角平分线: ①以O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA 于M ,交OB 于N 。
②分别以M ,N 为圆心,以大于12MN 长为半径作弧,在∠AOB 的内部两弧交于点C 。
③过O 、C 两点作射线OC ,射线OC 就是所求角的角平分线。
2.角平分线的性质及判定(1)角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(2)角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。
3.三角形的角平分线的性质(1)三角形的三个内角角平分线交于一点,这点到三边的距离相等。
(2)三角形两个外角的角平分线也交于一点,这点到三边所在的直线的距离相等。
(3)三角形外角平分线交点共有三个,所以到三角形三边所在直线距离相等的点有4个。
考点/易错点1角平分线是一种对称模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式:1.由角平分线上的一点向角的两边作垂线;2.过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形;3.截取OA =OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍。
暑假提升笔记-初二数学第6讲:角平分线的性质(教师版)
第六讲角平分线的性质一. 角平分线的作法(尺规作图)①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA、OB于C、D两点;②分别以C、D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点P;③过点P作射线OP,射线OP即为所求.二.角平分线的性质及判定1.角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推导已知:OC平分∠MON,P是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA=PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO=∠PBO=90°∵OC平分∠MON∴∠1=∠2在△PAO和△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA=PB几何表达:(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)∵OP平分∠MON(∠1=∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA=PB.2角平分线的判定:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.推导:已知:点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB.求证:点P在∠MON的平分线上.证明:连结OP在R t△PAO和R t△PBO中,∴R t△PAO≌R t△PBO(HL)∴∠1=∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上.几何表达:(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB∴∠1=∠2(OP平分∠MON)1. 重点:角平分线的性质及判定2. 难点:角平分线的性质及判定的应用,特别是辅助线的添加。
例1.如图,已知∠C=90°,AD平分∠BAC,BD=2CD,若点D到AB的距离等于5cm则BC 的长为_____cm.解析:本题考查角平分线的性质,过D作AB的垂线DE得CD=DE=5,可求BD=10,则BC=15。
答案:15例2. 如图所示,DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°,则∠BAD=__________,∠CDA =__________.解析:本题考查了角平分线的判定,利用内角和定理可求。
初二数学角平分线定义
初二数学角平分线定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
在数学中,角平分线是一个重要的概念,它在几何学和三角学中都有广泛的应用。
本文将介绍角平分线的定义、性质以及一些相关的定理和例题。
一、角平分线的定义角平分线是指从一个角的顶点出发,将这个角分成两个相等的角的直线。
也可以说,角平分线把一个角分成两个度数相等的小角。
二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等;2. 角平分线将角分成两个度数相等的小角;3. 角平分线将角的两边分成相等的线段;4. 角平分线与角的两边垂直;5. 角平分线与角的两边的夹角相等。
三、角平分线的定理1. 角平分线定理:如果一条直线平分一个角,那么这条直线上的点到角的两边的距离相等。
证明:设角AOC为被平分的角,OD为角平分线,OD与OA、OC交于点B、E。
由角平分线的定义可知,∠BOD=∠DOE,∠BOA=∠COE。
因此,三角形BOA与三角形COE相似。
根据相似三角形的性质可知,OA/OB=OC/OE。
又因为∠BOA=∠COE,所以三角形BOA与三角形COE全等。
因此,AB=CE,即点B到角的两边的距离等于点E到角的两边的距离。
2. 角平分线的唯一性定理:一个角的平分线只有一条。
证明:设角AOC为被平分的角,OD和OF为两条角平分线,OD与OA、OC交于点B、E,OF与OA、OC交于点C、F。
由角平分线的定义可知,∠BOD=∠DOE,∠COF=∠FOE。
又因为∠BOD=∠COF,∠DOE=∠FOE,所以三角形BOA与三角形COF全等,三角形COE与三角形DOF全等。
因此,AB=CF,CE=DF。
由于AB=CF,CE=DF,所以线段BE与线段DF 重合。
因此,OD与OF重合,即角平分线OD和OF是同一条直线。
四、角平分线的应用角平分线在几何学和三角学中有广泛的应用。
例如,在三角形中,如果一条角平分线与对边相交,那么它将对边平分成两个相等的线段。
此外,角平分线还可以用于解决一些角度相等的问题,如证明两条线段相等、两条直线平行等。
人教版初二数学上册:角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质(基础)【学习目标】1.掌握角平分线的性质,理解三角形的三条角平分线的性质.2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】【高清课堂:388612 角平分线的性质,知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释:用符号语言表示角的平分线的性质定理:若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释:用符号语言表示角的平分线的判定:若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E.(2)分别以D、E为圆心,大于12DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:△ABC 的内心为1P ,旁心为234,,P P P ,这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1.(2015春•启东市校级月考)如图,已知BD 为∠ABC 的平分线,AB=BC ,点P 在BD 上,PM⊥AD 于M ,PN⊥CD 于N ,求证:PM=PN .【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可. 【答案与解析】证明:∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD=∠CBD, 在△ABD 和△CBD 中,,∴△ABD≌△CBD(SAS ), ∴∠ADB=∠CDB,∵点P 在BD 上,PM⊥AD,PN⊥CD, ∴PM=PN.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键.2、(2016春•潜江校级期中)如图在△ABC中∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AB=6cm,求△DEB的周长.【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE,然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长.【答案与解析】解:∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE,∵AC=BC,∴∠B=45°,∴BE=DE,∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三:AB AC=,则△ABD与△ACD 【变式】已知:如图,AD是△ABC的角平分线,且:3:2的面积之比为()A.3:2 B.3:2 C.2:3 D.2:3【答案】B;提示:∵AD是△ABC的角平分线,∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离,又∵AB AC=,则△ABD与△ACD的面积之比为3:2.:3:23、如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交于点D,PE⊥OB交于点E,F是OC上除点P、O外一点,连接DF、EF,则DF与EF的关系如何?证明你的结论.【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD =PE ,再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ,从而得到∠OPD =∠OPE ,∠DPF =∠EPF .再证明△DPF ≌△EPF ,得到结论. 【答案与解析】解:DF =EF .理由如下:∵OC 是∠AOB 的角平分线,P 是OC 上一点,PD ⊥OA 交于点D ,PE ⊥OB 交于点E , ∴PD =PE ,由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ,∴∠OPD =∠OPE ,∴∠DPF =∠EPF . 在△DPF 与△EPF 中,PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DPF ≌△EPF , ∴DF =EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质.由角平分线的性质得到线段相等,是证明三角形全等的关键. 类型二、角的平分线的判定【高清课堂:388612 角平分线的性质,例3】4、已知,如图,CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B =∠C ,BF =CF.求证:AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明: ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC (已知) ∴∠CDF =∠BEF =90°∵∠DFC =∠BFE(对顶角相等) ∵ BF =CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF=EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB,FD⊥AC(已知)∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三:【变式】(2014秋•肥东县期末)已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F、G分别是OA、OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.【答案】证明:在Rt△PFD和Rt△PGE中,,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE,∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.附录资料:《三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形,理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念,通过作三角形的三条高、中线、角平分线,提高学生的基本作图能力,并能运用图形解决问题.3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算,证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性,知道四边形没有稳定性,了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用.5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念;掌握多边形内角和及外角和,并能灵活运用公式解决有关问题,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系:定理:三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释:(1)理论依据:两点之间线段最短.(2)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围. 2.三角形按“边”分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段:(1)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.要点诠释:三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种:锐角三角形交点在三角形内;直角三角形交点在直角顶点;钝角三角形交点在三角形外. (2)三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.要点诠释:一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点,叫做三角形的重心.中线把三角形分成面积相等的两个三角形. (3)三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释:一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点,这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定,那么三角形的形状大小就完全固定了,这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释:(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变,大小固定指三条边长不改变.(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固而稳定;在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理.(3)四边形没有稳定性,也就是说,四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用,如活动挂架,伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在窗框未安好之前,先在窗框上斜着钉一根木板,使它不变形.要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理:三角形的内角和为180°.推论:1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质:(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和:三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释:多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等.要点诠释:各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.要点诠释:(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形;(2)n边形共有(3)2n n条对角线.要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式:n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3,n是正整数) .要点诠释:(1)一般把多边形问题转化为三角形问题来解决;(2)内角和定理的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和,求其边数.2.多边形外角和:n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.要点诠释:(1)外角和公式的应用:①已知外角度数,求正多边形边数; ②已知正多边形边数,求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系:①n 边形的内角和等于(n -2)·180°(n≥3,n 是正整数),可见多边形内角和与边数n 有关,每增加1条边,内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌).这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同. 要点诠释:(1)拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面,当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就能铺成一个平面图形.事实上,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. (2016•丰润区二模)若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ,则它的第三边长不可能为( )A .5cmB .8cmC .10cmD .17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围,进而得出答案. 【答案与解析】解:∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm , ∴第三边长的取值范围是:4<x <16, ∴它的第三边长不可能为:17cm . 故选:D .【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系,正确得出第三边的取值范围是解题关键. 【高清课堂:与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3,4,5; (2) 3,5,9 ; (3) 5,5,8. 【答案】(1)能; (2)不能; (3)能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9.【总结升华】三角形的两边a 、b ,那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5,注:答案不唯一,填写大于4,小于12的数都对.类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) .【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高.【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在的直线交于一点.这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部.举一反三【变式】如图所示,已知△ABC,试画出△ABC各边上的高.【答案】解:所画三角形的高如图所示.4.如图所示,CD为△ABC的AB边上的中线,△BCD的周长比△ACD的周长大3cm,BC =8cm,求边AC的长.【思路点拨】根据题意,结合图形,有下列数量关系:①AD=BD,②△BCD的周长比△ACD的周长大3.【答案与解析】解:依题意:△BCD的周长比△ACD的周长大3cm,故有:BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3.又∵ CD为△ABC的AB边上的中线,∴ AD =BD ,即BC-AC =3. 又∵ BC =8,∴ AC =5. 答:AC 的长为5cm .【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD =BD 是解答本题的关键,另外对图形中线段所在位置的观察,找出它们之间的联系,这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法. 举一反三【变式】如图所示,在△ABC 中,D 、E 分别为BC 、AD 的中点,且4ABC S △,则S 阴影为________.【答案】1类型三、与三角形有关的角5、(2014春•新泰市期末)已知:如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是∠BAC 平分线,∠B=50°,∠DAE=10°, (1)求∠BAE 的度数; (2)求∠C 的度数.【思路点拨】(1)根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°,求得∠AED 的度数;再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解;(2)根据(1)的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数,再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数. 【答案与解析】 解:(1)∵AD 是BC 边上的高,∴∠ADE=90°.∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°. ∵∠B+∠BAE=∠AED,∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°. (2)∵AE 是∠BAC 平分线,∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°. ∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°. 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质. 【高清课堂:与三角形有关的角 例1、】举一反三:【变式】已知,如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中, BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°-90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示,木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD),这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解:三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用.实际生活中,将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性.类型五、多边形内角和及外角和公式7.一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是几边形?【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形,则它的内角和是,∴,解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数,根据条件列出关于的方程,求出的值即可,这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】(2015•徐州)若正多边形的一个内角等于140°,则这个正多边形的边数是.【答案】9.解:∵正多边形的一个内角是140°,∴它的外角是:180°﹣140°=40°,边数:360°÷40°=9.类型六、多边形对角线公式的运用8.一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式,把边数代入计算即可.【答案与解析】解:∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线,∴十二个顶点可以画12×9条对角线,但每条对角线在每个顶点都数了一次,∴实际对角线的条数应该为12×9÷2=54(条)∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个公式,以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是().A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C;类型七、镶嵌问题9.分别用形状、大小完全相同的①三角形木板;②四边形木板;③正五边形木板;④正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形,实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
【初二数学复习精品课件】角平分线及性质
角平分线及性质知识集结知识元角平分线的性质知识讲解角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直;如果没有垂直则需要构造垂直后再使用该性质.例题精讲角平分线的性质例1.下列各图中,OP 是∠MON 的平分线,点E,F,G 分别在射线OM,ON,OP 上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是()【解析】题干解析:解:∵OP是∠MON 的平分线,且GE⊥OM,GF⊥ON,∴GE=GF(角的平分线上的点到角的两边的距离相等),故选:D.例2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=8,DE=2,AB=5,则AC长是()【解析】题干解析:解:过D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF=2,∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5,∵△ABC的面积为8,∴△ADC的面积为8﹣5=3,∴AC×DF=3,∴AC×2=3,∴AC=3,故选D.例3.如图,AB∥CD,AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,BD过点E且垂直于AB,若点E到AC的距离为3,则BD=.【答案】6【解析】题干解析:解:过E作EF⊥AC于F,∵BD⊥AB,AB∥CD,∴BD⊥CD,∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,∴BE=EF=DE=3,∴BD=BE+DE=6,故答案为:6.角平分线的作图知识讲解在角平分线相关的作图问题中,一般常会用到的是角平分线的定义和角平分线的性质.例题精讲角平分线的作图例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是().【解析】题干解析:解:由题意得AP是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB于E,又∵∠C=90°,∴DE=CD,∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30.故选B.例2.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是()【解析】题干解析:解:根据尺规作图的画法可知:OE是∠AOB的角平分线.A、OE是∠AOB的平分线,A正确;B、OC=OD,B正确;C、点C、D到OE的距离相等,C不正确;D、∠AOE=∠BOE,D正确.故选C.角平分线相关的面积计算知识讲解角平分线的性质能够为面积的计算直接提供现有的高以及高的具体值,所以涉及到角平分的计算也常会与面积结合.例题精讲角平分线相关的面积计算例1.如图,是某油路管道的一部分,延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形,其三边长分别为6cm,8cm,10cm,输油中心O在到三条支路距离相等的地方,则中心O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)为().【解析】题干解析:解:设点O到三边的距离为h,则S△ABC=×8×6=×(8+6+10)×h,解得h=2m,∴O到三条支路的管道总长为:3×2=6cm.故选D.例2.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积为15,AB=6,DE=3,则AC的长是()【答案】D【解析】题干解析:解:如图,过D 作DF ⊥AC ,∵AD 是角平分线,DE ⊥AB ,∴DF=DE=3,∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,∴15=×6×3+×AC×3,解得AC=4,故选D .例3.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB 于点E ,DE=2,AC=3,则△ADC 的面积是( )【解析】题干解析: 解:如图,过点D 作DF ⊥AC 于F ,∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB 于点E ,∴DE=DF=2.∴S △ACD =AC•DF=×3×2=3,故选A .角平分线求点线距离知识讲解求点到线的距离问题在角平分线相关的部分是非常典型的一种类型题,其中需要明确的知识包括点到线的距离的标准定义、角平分线的性质,将两者结合来添加辅助线也是非常重要的一种处理手段.例题精讲角平分线求点线距离例1.如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是()【解析】题干解析:解:作PE⊥OA于E,∵点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=2,故选:B.例2.如图,O是直线BC上的点,OM平分∠AOB,ON平分∠AOC,点E在OM上,过点E作EG⊥OA于点G,EP⊥OB于点P,延长EG,交ON于点F,过点F作FQ⊥OC于点Q,若EF=10,则FQ+EP的长度为().【解析】题干解析:解:∵OM平分∠AOB,ON平分∠AOC,EG⊥OA,EP⊥OB,FQ⊥OC,∵FQ=FG,EG=PE,∵EF=FG+EG,∴FQ+EP=EF=10,故选B.例3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AM是∠BAC的平分线,CM=20cm,那么M到AB的距离为.【答案】20cm【解析】题干解析:解:如图,过点M作DM⊥AB于D,∵∠C=90°,AM是∠CAB的平分线,∴DM=CM=20cm,即M到AB的距离为20cm.故答案为:20cm.利用角平分线的性质求线段取值范围知识讲解求线段取值范围的问题,是利用角平分线的性质和垂线段最短这两个知识处理问题的一个典型题型,有线段的范围就能求出最值,所以求线段的最值问题也是此类型题目,处理方法相同.例题精讲利用角平分线的性质求线段取值范围例1.如图,OC平分∠AOB,点P是射线OC上的一点,PD⊥OB于点D,且PD=3,动点Q在射线OA上运动,则线段PQ的长度不可能是().【解析】题干解析:解:如图,过点P作PE⊥OA于E,∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,∴PE=PD=3,∵动点Q在射线OA上运动,∴PQ≥3,∴线段PQ的长度不可能是2.故选A.例2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为().【解析】题干解析:解:∵垂线段最短,∴当PQ⊥OM时,PQ有最小值,又∵OP平分∠MON,PA⊥ON,∴PQ=PA=2,故选B.例3.如图,已知点P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为()【解析】题干解析:解:∵P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,∴∠AOP=AOB=30°,∵PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,∴OP=2DM=8,∴PD=OP=4,∵点C是OB上一个动点,∴PC的最小值为P到OB距离,∴PC的最小值=PD=4.故选C.角平分线的性质在几何问题中的应用知识讲解角平分线的性质为几何计算、证明题提供线段相等的条件,所以一般在题目中出现角平分线且有垂直条件出现时,常会考虑到角平分线的性质.例题精讲角平分线的性质在几何问题中的应用例1.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,点O到BC边的距离为3,且△ABC 的周长为20,则△ABC的面积为.【答案】30【解析】题干解析:解:作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,∵OB是∠ABC的平分线,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD=3,同理OF=OD=3,△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30.故答案为:30.例2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E.求证:△DBE的周长等于AB.【答案】证明:∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DC=DE;∴BD+DE=BD+CD=BC;∵AC2=AD2﹣CD2,AE2=AD2﹣DE2,∴AC=AE,而AC=BC,∴BC=AE,∴BD+DE+BE=AE+BE=AB,即△DBE的周长等于AB.【解析】题干解析:如图,证明DC=DE;进而证明BC=AE,即可解决问题.例3.如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,且BD⊥l于的D,CE⊥l于的E.(1)求证:BD+CE=DE;(2)当变换到如图②所示的位置时,试探究BD、CE、DE的数量关系,请说明理由.【答案】证明:(1)∵∠DAB+∠EAC=90°,∠DAB+∠ABD=90°,∴∠EAC=∠ABD,在△ABD和△CAE中,,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∵DE=AD+AE,∴DE=BD+CE;(2)BD-CE=DE,理由如下:∵CE⊥AN,BD⊥AN,∴∠AEC=∠BDA=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∵∠BAC=90°,即∠BAD+∠CAE=90°,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△CAE中,,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,BD=AE,∴BD-CE=AE-AD=DE.【解析】题干解析:(1)易证∠EAC=∠ABD,即可求证△ABD≌△CAE,根据全等三角形相等的性质即可解题;(2)先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°,再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE,则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE,所以AD=CE,BD=AE,于是有BD-CE=AE-AD=DE.角平分线的判定知识讲解1.角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:①这是判定角平分线的一个标准判定方法;②如果强调了“在角的内部”,则满足判定条件的线是唯一的,尤其是在三角形中;如果没有强调“在角的内部”,则满足判定条件的线不唯一.例题精讲角平分线的判定例1.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是().【解析】题干解析:解:利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P.故选D.例2.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F、G分别是OA、OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.【答案】证明:在Rt△PFD和Rt△PGE中,,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE,∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.【解析】题干解析:利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等,根据全等三角形对应边相等可得PD=PE,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可.例3.如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠EAC的平分线.【答案】证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDE是直角三角形,在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),∴DE=DF,∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴AD是∠BAC的平分线.【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF,可得DE=DF,再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线.角平分线在选址问题中的应用知识讲解对于选址问题,要能够将实际问题抽象成数学问题,到线性实体的距离相等即等价于到点到线的距离相等,这就是典型的对角平分线的判定方法的考查.例题精讲角平分线在选址问题中的应用例1.三条直线l1,l2,l3相互交叉,交点分别为A,B,C,在平面内找一个点,使它到三条直线的距离相等,则这样的点共有().【解析】题干解析:解:作直线l1,l2,l3所围成的△ABC的外角平分线和内角平分线,内角平分线相交于点P1,外角平分线相交于点P2、P3、P4,根据角平分线的性质可得,这4个点到三条直线的距离分别相等.故选:D.例2.A、B、C表示三个小城,相互之间有公路相连,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址可以是()【解析】题干解析:解:∵货物中转站到三条公路的距离相等,∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处.故选B.角平分线性质和判定的综合应用知识讲解根据角平分线的定义和性质可知,角平分线不仅能提供角的关系,还能提供边的关系:①角平分线将一个大角分成相等的两个小角;②角平分线上的点到角的两边距离相等.角平分线在几何计算和证明中被利用的频率比较高.例题精讲角平分线性质和判定的综合应用例1.如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD,四个结论中成立的是()【解析】题干解析:解:过E作EF⊥AD于F,如图,∵AB⊥BC,AE平分∠BAD,∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF,AB=AF,∠AEF=∠AEB;而点E是BC的中点,∴EC=EF=BE,所以③错误;∴Rt△EFD≌Rt△ECD,∴DC=DF,∠FDE=∠CDE,所以②正确;∴AD=AF+FD=AB+DC,所以④正确;∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°,所以①正确.故选A.例2.如图,BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线,则关于F的说法不正确的是()【解析】题干解析:作FP⊥AE于P,FG⊥BC于G,FH⊥AD于H,根据角平分线的性质得到FP=FH,根据角平分线的判定定理判断即可.解:作FP⊥AE于P,FG⊥BC于G,FH⊥AD于H,∵CF是∠BCE的平分线,∴FP=FG,∵BF是∠CBD的平分线,∴FH=FG,∴FP=FH=FG,又FP⊥AE,FH⊥AD,∴AF平分∠BAC,故选:C.例3.如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.(1)求证:OC平分∠ACD;(2)求证:OA⊥OC;(3)求证:AB+CD=AC.【答案】证明:(1)过点O作OE⊥AC于E,∵∠ABD=90゜,OA平分∠BAC,∴OB=OE,∵点O为BD的中点,∴OB=OD,∴OE=OD,∴OC平分∠ACD;(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中,,∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL),∴∠AOB=∠AOE,同理求出∠COD=∠COE,∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°,∴OA⊥OC;(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO,∴AB=AE,同理可得CD=CE,∵AC=AE+CE,∴AB+CD=AC.【解析】题干解析:(1)过点O作OE⊥AC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE,从而求出OE=OD,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明;(2)利用“HL”证明△ABO和△AEO全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE,同理求出∠COD=∠COE,然后求出∠AOC=90°,再根据垂直的定义即可证明;(3)根据全等三角形对应边相等可得AB=AE,CD=CE,然后证明即可.角平分线性质模型知识讲解利用角平分线的性质构造辅助线,其最终的模型如下图:例题精讲角平分线性质模型例1.如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC.求证:∠PCB+∠BAP=180°.【答案】证明:如图,过点P作PE⊥BA于E,∵∠1=∠2,PF⊥BC于F,∴PE=PF,∠PEA=∠PFB=90°,在Rt△PEA与Rt△PFC中,∴Rt△PEA≌Rt△PFC(HL),∴∠PAE=∠PCB,∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°.【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF,然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等,根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB,再根据平角的定义解答.例2.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°.求证:2AE=AB+AD.【答案】证明:过C作CF⊥AD于F,∵AC平分∠BAD,∴∠FAC=∠EAC,∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠DFC=∠CEB=90°,∴△AFC≌△AEC,∴AF=AE,CF=CE,∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC,∴△FDC≌△EBC∴DF=EB,∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD.【解析】题干解析:过C作CF⊥AD于F,由条件可证△AFC≌△AEC,得到CF=CE.再由条件∠ADC+∠B=180°证BE=DF,所以△CDF≌△CEB,由全等的性质可得DF=EB,问题可解.例3.在△ABC中,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.(1)①如图(1),当∠B=60°,∠ACB=90°,则∠AFC=;②如图(2),如果∠ACB不是直角,∠B=60°时,请问在①中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)如图(3),在②的条件下,请猜想EF与DF的数量关系,并证明你的猜想.【答案】解:(1)①∵∠B=60°,∠ACB=90°,∴∠BAC=90°﹣60°=30°,∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,∴∠FAC=∠BAC=×30°=15°,∠FCA=∠ACB=×90°=45°,∴∠AFC=180°﹣15°﹣45°=120°;故答案为:120°.②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°﹣∠B),∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°﹣(180°﹣∠B)=90°+∠B,∵∠B=60°,∴∠AFC=90°+×60°=120°;(2)如图,过点F作FG⊥BC于G,作FH⊥AB于H,作FM⊥AC于M,∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,∴FG=FH=FM,∵∠EFH+∠DFH=120°,∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°,∴∠EFH=∠DFG,在△EFH和△DFG中,,∴△EFH≌△DFG(AAS),∴EF=DF.【解析】题干解析:(1)①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA,再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解;②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA,再利用三角形内角和定理列式计算即可得解;(2)过点F作FG⊥BC于G,作FH⊥AB于H,作FM⊥AC于M,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG=FH=FM,再求出∠EFH=∠DFG,然后利用“角边角”证明△EFH 和△DFG全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.角平分线的对称模型知识讲解在利用角平分线的对称特点添加辅助线类的题目,常会与下一节要讲的截长补短的结构相关,所以在分析题目时,有时候可以从多个角度入手,拓展解题思路.例题精讲角平分线的对称模型例1.已知,如图,△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求∠B的度数.【答案】解:如图,在AC上截取AE=AB,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△ABD和△AED中,,∴△ABD≌△AED (SAS),∴BD=DE,∠B=∠AED,∵AC=AE+CE,AC=AB+BD,∴CE=BD,∴CE=DE,∴∠C=∠CDE,即∠B=2∠C,在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,∴60°+2∠C+∠C=180°,解得∠C=40°,∴∠B=2×40°=80°.【解析】题干解析:在AC上截取AE=AB,根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD,然后利用“边角边”证明△ABD和△AED全等,根据全等三角形对应边相等可得BD=DE,全等三角形对应角相等可得∠B=∠AED,再求出CE=BD,从而得到CE=DE,根据等边对等角可得∠C=∠CDE,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=2∠C,然后根据三角形的内角和定理列方程求出∠C,即可得解.例2.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE交于点O.(1)如图1,若∠BAC=60°,求证:AC=AE+CD;(2)如图2,若∠BAC≠60°,(1)中的结论是否发生变化,请说明理由.【答案】解:(1)如图1中,在线段AC上截取AF=AE,连接OF.∵∠ABC=60°,∴∠BAC+∠ACB=120°,∴∠BAC+∠ACB=60°,∴∠OAC+∠OCA=60°,∴∠AOC=120°,∴∠AOE=∠COD=60°,在△AOE和△AOF中,,∴△AOE≌△AOF,∴∠AOE=∠AOF=60°,∴∠COF=∠COD=60°,在△COF和△COD中,,∴△COF≌△COD,∴CF=CD,∴AC=AF+CF=AE+CD.(2)如图2中,当∠ABC≠60°时,结论不成立.由(1)可知,假设结论成立.则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°,∴∠AOC=120°,∴∠OAC+∠OCA=60°,∵∠BAC=2∠OAC,∠ACB=2∠OCA,∴∠BAC+∠BCA=120°,∴∠B=60°,这个与已知矛盾,∴结论不成立.【解析】题干解析:(1)如图1中,在线段AC上截取AF=AE,连接OF.只要证明△AOE≌△AOF,△COF≌△COD,即可解决问题.(2)结论不成立.用反证法证明即可.例3.在△ABC中,∠A=60°,BE,CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线,CF与BE相交于点O.(1)如图1,若∠ACB=90°,求证:BF+CE=BC;(2)如图2,若∠ABC与∠ACB是任意角度,(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.【答案】解:(1)在BC上找到D,使得BF=BD,∵∠A=60°,∠ACB=90°,∴∠ABC=30°,∵BE,CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠FBO=∠CBO=15°,∠ECO=∠BCO=45°,∴△BOC中,∠BOC=120°,∴∠BOF=∠COE=60°,由BF=BD,∠FBO=∠CBO,BO=BO可得△BOD≌△BOF(SAS),∴∠BOD=∠BOF=60°,∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠COD=∠COE,由∠COD=∠COE,CO=CO,∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD(ASA),∴CE=CD,∵BC=BD+CD,∴BC=BF+CE.(2)结论BC=BF+CE仍成立.在BC上找到D,使得BF=BD,∵∠A=60°,BD、CE是△ABC的角平分线,∴∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣(180°﹣∠A)=120°,∠ECO=∠BCO,∴∠BOF=∠COE=60°,由BF=BD,∠FBO=∠CBO,BO=BO可得△BOD≌△BOF(SAS),∴∠BOD=∠BOF=60°,∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠COD=∠COE,由∠COD=∠COE,CO=CO,∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD(ASA),∴CE=CD,∵BC=BD+CD,∴BC=BF+CE.【解析】题干解析:(1)在BC上找到D,使得BF=BD,根据SAS易证△BOF≌△BOD,可得∠BOF=∠BOD=60°,进而得出∠COE=∠COD=60°,即可证明△OCE≌△OCD,可得CF=CD,根据BC=BD+CD即可得出结论;(2)在BC上找到D,使得BF=BD,易证△BOF≌△BOD,可得∠BOF=∠BOD=60°,进而得出∠COE=∠COD=60°,即可证明△OCE≌△OCD,可得CF=CD,根据BC=BD+CD即可得出结论.当堂练习单选题练习1.某地为了发展旅游业,要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,使度假村到三条公路的距离相等,这个度假村的选址地点共有()处.【解析】题干解析:解:∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等,∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处.故选A.练习2.如图,BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线,则关于F的说法不正确的是()【解析】题干解析:解:作FP⊥AE于P,FG⊥BC于G,FH⊥AD于H,∵CF是∠BCE的平分线,∴FP=FG,∵BF是∠CBD的平分线,∴FH=FG,∴FP=FH=FG,又FP⊥AE,FH⊥AD,∴AF平分∠BAC,故选:A.练习3.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是()【解析】题干解析:解:根据尺规作图的画法可知:OE是∠AOB的角平分线.A、OE是∠AOB的平分线,A正确;B、OC=OD,B正确;C、点C、D到OE的距离相等,C不正确;D、∠AOE=∠BOE,D正确.故选C.练习4.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积为15,AB=6,DE=3,则AC的长是()【解析】题干解析:解:如图,过D作DF⊥AC,∵AD是角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE=3,∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴15=×6×3+×AC×3,解得AC=4,故选D.练习5.如图,OP平分∠MON,PA⊥OA于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的值为()【解析】题干解析:解:∵OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,PA=2,∴点P到OM的距离等于2,而点Q是射线OM上的一个动点,∴PQ≥2.故选D.练习6.如图,已知点P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为()【解析】题干解析:解:∵P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,∴∠AOP=AOB=30°,∵PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,∴OP=2DM=8,∴PD=OP=4,∵点C是OB上一个动点,∴PC的最小值为P到OB距离,∴PC的最小值=PD=4.故选C.练习7.A、B、C表示三个小城,相互之间有公路相连,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址可以是()【解析】题干解析:解:∵货物中转站到三条公路的距离相等,∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处.故选B.练习8.如图,AB⊥AC,AG⊥BG,CD、BE分别是∠ACB,∠ABC的角平分线,AG∥BC,下列结论:①∠BAG=2∠ABF;②BA平分∠CBG;③∠ABG=∠ACB;④∠CFB=135°、其中正确的结论是()【解析】题干解析:解:∵AG∥BC,∴∠BAG=∠ABC,∵BE是∠ABC的角平分线,∴∠ABC=2∠ABF,∴∠BAG=2∠ABF,①正确;BA不一定平分∠CBG,②错误;∵AB⊥AC,AG⊥BG,∴∠BAG+∠ABG=90°,∠ABC+∠ACB=90°,∵AG∥BC,∴∠BAG=∠ABC,∴∠ABG=∠ACB,③正确;∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°,∵CD、BE分别是∠ACD,∠ABC的角平分线,∴∠FBC+∠FCB=45°,∴∠CFB=135°,④正确,故选:C.练习9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=8,DE=2,AB=5,则AC长是()【解析】题干解析:解:过D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF=2,∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5,∵△ABC的面积为8,∴△ADC的面积为8﹣5=3,∴AC×DF=3,∴AC×2=3,∴AC=3,故选D.填空题练习1.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,连接DE,DF⊥BC于F,则∠EDC=°.【答案】30【解析】题干解析:解:过D作DM⊥AC交CA的延长线于M,DN⊥AE,∵CD平分∠ACB,∴DF=DM,∵∠BAC=120°,∴∠DAM=60°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=60°,∴∠DAM=∠BAE,∴DM=DN,∵DF⊥BC,∴DE平分∠AEB,∵AB=AC,AE平分∠BAC交BC于E,∴AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠DEF=45°,∵∠B=∠C=30°,∴∠DCF=15°,∴∠EDC=30°,故答案为:30.解答题练习1.如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠EAC的平分线.【答案】证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDE是直角三角形,在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),∴DE=DF,∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴AD是∠BAC的平分线.【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF,可得DE=DF,再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线.练习2.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE交于点O.(1)如图1,若∠BAC=60°,求证:AC=AE+CD;(2)如图2,若∠BAC≠60°,(1)中的结论是否发生变化,请说明理由.【答案】解:(1)如图1中,在线段AC上截取AF=AE,连接OF.∵∠ABC=60°,∴∠BAC+∠ACB=120°,∴∠BAC+∠ACB=60°,∴∠OAC+∠OCA=60°,∴∠AOC=120°,∴∠AOE=∠COD=60°,在△AOE和△AOF中,,∴△AOE≌△AOF,∴∠AOE=∠AOF=60°,∴∠COF=∠COD=60°,在△COF和△COD中,,∴△COF≌△COD,∴CF=CD,∴AC=AF+CF=AE+CD.(2)如图2中,当∠ABC≠60°时,结论不成立.由(1)可知,假设结论成立.则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°,∴∠AOC=120°,∴∠OAC+∠OCA=60°,∵∠BAC=2∠OAC,∠ACB=2∠OCA,∴∠BAC+∠BCA=120°,∴∠B=60°,这个与已知矛盾,∴结论不成立.【解析】题干解析:(1)如图1中,在线段AC上截取AF=AE,连接OF.只要证明△AOE≌△AOF,△COF≌△COD,即可解决问题.(2)结论不成立.用反证法证明即可.练习3.观察、猜想、探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.(1)如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,求证:AB=AC+CD;(2)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想;(3)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.【答案】解:(1)过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图1所示,∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC,在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,DE=DC,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,∠ACB=∠AED,∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B,又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,∴BE=DE=DC,则AB=BE+AE=CD+AC;(2)AB=CD+AC,理由为:在AB上截取AG=AC,如图2所示,∵AD为∠BAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD,∵在△ADG和△ADC中,,∴△ADG≌△ADC(SAS),∴CD=DG,∠AGD=∠ACB,∵∠ACB=2∠B,∴∠AGD=2∠B,又∵∠AGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB,∴BE=DG=DC,则AB=BG+AG=CD+AC;(3)AB=CD﹣AC,理由为:在AF上截取AG=AC,如图3所示,∵AD为∠FAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD,∵在△ADG和△ACD中,,∴△ADG≌△ACD(SAS),∴CD=GD,∠AGD=∠ACD,即∠ACB=∠FGD,∵∠ACB=2∠B,∴∠FGD=2∠B,又∵∠FGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB,∴BG=DG=DC,则AB=BG﹣AG=CD﹣AC.【解析】题干解析:(1)过D作DE⊥AB,交AB于点E,理由角平分线性质得到ED=CD,利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等,由全等三角形的对应边相等,对应角相等,得到AE=AC,∠AED=∠ACB,由∠ACB=2∠B,利用等量代换及外角性质得到一对角相等,利用等角对等边得到BE=DE,由AB=AE+EB,等量代换即可得证;(2)AB=CD+AC,理由为:在AB上截取AG=AC,如图2所示,由角平分线定义得到一对角相等,再由AD=AD,利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等,接下来同(1)即可得证;(3)AB=CD﹣AC,理由为:在AF上截取AG=AC,如图3所示,同(2)即可得证.练习4.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.【答案】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形.,∴Rt△BDE≌Rt△DCF(HL),∴DE=DF,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是角平分线.【解析】题干解析:首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可.练习5.如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC.求证:∠PCB+∠BAP=180°.【答案】证明:如图,过点P作PE⊥BA于E,∵∠1=∠2,PF⊥BC于F,∴PE=PF,∠PEA=∠PFB=90°,在Rt△PEA与Rt△PFC中,,∴Rt△PEA≌Rt△PFC(HL),∴∠PAE=∠PCB,∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°.【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF,然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等,根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB,再根据平角的定义解答.练习6.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°.【答案】证明:过点D作DE⊥BC于E,过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F,∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,∠DEC=∠F=90°,在RtCDE和Rt△ADF中,,∴Rt△CDE≌Rt△ADF(HL),∴∠FAD=∠C,∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°.【解析】题干解析:首先过点D作DE⊥BC于E,过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F,由BD平分∠ABC,根据角平分线的性质,即可得DE=DF,又由AD=CD,即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF,则可证得:∠A+∠C=180°.练习7.如图,在△ABC中,D为AB的中点,F为BC上一点,DF∥AC,延长FD至E,且DE=DF,联结AE、AF.(1)求证:∠E=∠C;(2)如果DF平分∠AFB,求证:AC⊥AB.【答案】证明:(1)∵D为AB的中点,∴BD=AD,在△AED与△BFD中,,∴△AED≌△BFD(SAS),∴∠E=∠DFB,∵DF∥AC,∴∠C=∠DFB,∴∠C=∠E;(2)∵DF平分∠AFB,∴∠AFD=∠DFB,∵∠E=∠DFB,∴∠AFD=∠AED,∵ED=DF,∴∠DAF+∠AFD=90°,∵EF∥AC,∴∠AFD=∠FAC,∴∠DAF+∠FAC=90°,∴AC⊥AB.【解析】题干解析:(1)根据SAS证明△AED与△BFD全等,再利用等量代换证明即可;(2)根据角平分线的定义和等腰三角形的性质进行证明即可.。
湖南教育出版社初中数学八年级下册 角平分线的性质(省一等奖)
湘教版八年级(下)《角平分线的性质》教学设计教学内容:角平分线的性质。
教学目标:1、让学生探索并证明角平分线的性质定理及逆定理。
2、会用角平分线的性质定理及逆定理解决有关的证明问题和生活实际问题。
3、在运用角平分线的性质推理证明过程中理解并掌握转化、化归的数学思想。
重点难点:教学重点:角平分线的性质定理及逆定理的探索和证明。
教学难点:会用角平分线的性质定理及逆定理解决有关证明问题和生活实际问题。
教学方法:合作探究,自主—导学教学准备:多媒体课件,三角纸,几何画板演示一、问题情境:1、同学们,老师在生活中遇到了这样一个问题,请看:(出示PPT)2、带着这个问题,我们进入今天的学习,一起来探究——角平分线的性质。
(板书课题)二、学习目标:首先我们来了解一下本节课的学习目标。
请一个同学读一读。
三、温故知新1、前面我们已经学习了解了角平分线的定义,那么什么是角平分线2、熟悉了角平分线的定义后,我们如何找到这个角的平分线呢(学生回答)除了这些方法外,还有没有更直接的方法呢四、自主探究(活动一)1、下面请同学们拿出三角形纸进行操作,并按要求完成下列任务;2、请两个同学上台展示一下。
3、其他同学有没有和他们相同的发现呢4、刚才老师发现还有个别同学的操作存在问题,下面我们再用几何画板直观演示一下整个操作变化过程。
5、通过观察,你们都会操作了吗请同学们仔细观察比较,看看自己操作对不对。
6、下面请同学们再来观察,我们在角平分线上移动的点R的位置,那么这点到角两边的距离又会怎样呢7、学生猜测回答。
8、刚刚我们只是猜想,到底正不正确呢请同学们证明这个猜想。
10、请一个同学上台来板书你的证明过程,并说说你的思路。
其他同学呢11、经过同学们的操作、猜想、证明,我们得出了角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。
这是文字语言,谁能说说它的符号语言五、合作探究(活动二)1、通过刚才的学习,我们知道了角平分线上的点一定会到角两边的距离相等,反过来,如果一个点到这个角两边的距离相等,那么这个点会不会在这个角的平分线上呢2、学生猜想。
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角平分线的性质
马丽娜
角平分线的性质
教学目标
知识与能力
1.了解平分角的仪器的制作方法
2.学会尺规作图的方法画已知角的角平分线
3.掌握角的平分线的性质
过程与方法
1.通过观察,推理以及实际操作,探究作已知角的平分线的方法,培养动手能力。
2.通过对角平分线性质的实际应用的探究,掌握运用相关知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观
1.在现实情境中学习相关知识,体会数学与现实的密切联系,培养数学应用意识。
2.通过小组探究和合作交流,学会与他人合作,培养数学交流能力和团队协作的精神。
教学重、难点及突破
重点:作已知角的平分线的方法;角的平分线的性质及其运用。
难点:作已知角的平分线的方法;运用角平分线性质解决相关的实际问题。
教学突破:在介绍做已知角的平分线的方法的过程中,教师要注意引导学生探究方法背后的数学背景,另外,也强调尺规作图的过程。
教学准备:多媒体课件圆规三角板
教学设计
一. 创设情境,引入新课
1.引导学生回顾判定两个三角形全等的方法。
2.一个纸角不用仪器怎样把它分成相等的两个角?折痕和角是什么关系?引出本节课
题。
3.多媒体展示如下问题,请学生思考。
如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD 沿角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线。
你能说明它的道理吗?
B
师生共同分析讨论,探究问题的解答。
师:你们有什么想法?
生:可以证明两个三角形全等。
师:哪两个三角形?
生:△ADC和△ABC
师:怎么证明两△个三角形全等呢?
生:可以用边边边。
师:很好!我们一起写证明过程{多媒体展示}
证明:在△ADC和△ABC中
∵AB=AD BC=DC AC=AC
∴△ADC≌△ABC
∴∠DAC=∠BA C
∴AE是∠DAB的平分线
二. 探究角平分线的做法的性质
1.教师总结指出:由上面的探究可以得出做已知角的平分线的方法。
已知:∠AOB 求作∠AOB 的平分线。
做法:(1)以0为圆心适当长为半径作弧,交OA于M ,交OB于N 。
(2)分别以MN为圆心、大于1/2MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C (3)做射线OC,射线OC 即为所求。
A
M
C
O
N B
让学生明白上述做法的本质还是利用了“边边边”判断两个三角形全等的知识。
已知平角怎样做他的角平分线
2.多媒体展示如下问题,组织学生分组讨论。
探究:将角对折,再画出一个直角三角形是以第一条折痕为斜边,然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
A
A
D
C P C
O O B(A)O E B
B
请各组派代表发言,介绍本组的讨论成果,教师引导学生共同总结讨论,给出探究的一致解答。
2.总结指出:第一条折痕是角的平分线,第二次折叠形成的两条折痕是角的平分线上
一点到角两边的距离,这个距离相等。
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.提问:能否证明角的平分线的性质?
讲解要证明这个性质,首先应分清其中的已知和求证。
该性质中的已知和求证是什么呢?
学生讨论后举手回答已知是一个点在角的平分线上,结论是这个点到这个角两边的距离相等。
4.肯定学生的回答。
为了更直观清楚的表达题意,我们通常证明之前画出图形并用符
号表示已知和求证。
多媒体展示问题,学生尝试完成。
A
D
P C
O E B
如图∠AOC=∠BOC, 点P在OC上,P D⊥OA,PE⊥OB,垂足为D,求证PD=PE。
证明:∵P D⊥OA PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO=90°
∠AOC=∠BOC,
OP=OP
∴△PDO≌△PEO
∴PD=PE。
5.上题说明,在一般情况下,我们要证明一个几何中的命题时,可以按照类似的步骤
进行,即:(1)明确命题中的已知和求证
(2)根据提议画出图形,并用数学符号表示已知和求证
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
三. 巩固练习(多媒体展示)
四. 本课小结
1.做已知角的平分线的方法。
2.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
五. 作业:习题1.2题。