高中数学 第三章不等式 不等关系与不等式教案测验试卷 教师版1 新人教A版必修5
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时 不等式的性质与应用练习 新人教A版必修
2017-2018年高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式第2课时不等式的性质与应用练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018年高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式第2课时不等式的性质与应用练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1 第2课时不等式的性质与应用A级基础巩固一、选择题1．若a＞0，b＞0,则不等式－b＜错误!＜a等价于（）A．－错误!＜x＜0或0＜x＜错误!B．－错误!＜x＜错误!C．x＜－错误!或x＞错误!D．x＜－错误!或x＞错误!解析：由题意知a＞0，b＞0,x≠0，(1)当x＞0时,－b＜错误!＜a⇔x＞错误!；（2)当x＜0时,－b＜1x＜a⇔x＜－错误!。
综上所述，不等式－b＜错误!＜a⇔x＜－错误!或x＞错误!.答案:D2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（)A．ab＜b2＜1 B．log错误!b＜log错误!a＜0C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1,－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是（) A．[－7，26] B．［－1，20］C．［4，15] D．[1，15］答案：B4．已知a＜b＜0,那么下列不等式成立的是（）A．a3＜b3B．a2＜b2C．（－a)3＜(－b）3D．(－a）2＜（－b)2解析：取a＝－2。
b＝－1。
验证知B,C，D均错，故选A。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(2)教案 新人教A版必修5(2021年整理)
安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式（2）教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式（2）教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 不等关系与不等式(一)一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质；2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质；3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2。
教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极思考,从而培养他们的数学学习兴趣。
三、情感态度与价值观1。
通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯,主动、积极的学习品质,从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式(第1课时)教案新人教A版必修5
3.1不等关系与不等式（1）
一、教学目标：
1．知识与技能：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．
难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
其中,0,,R a b a b >∈且. (2)61x +42()x x -+
6421
x x x =--+422(1)(1)x x x =---
24(1)(1)x x =--222(1)(1)x x =-+
当1x =±时, 61x +42()x x =+;
当1x ≠±,6
1x +42()x x >+.
(3) a b
a b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5-新人教
3.1《不等关系与不等式》（第1课时）一、选择题：1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关 【答案】A【解析】 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b 【答案】B【解析】 ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b，故选B ． 3．已知a <0，－1<b <0，则下列各式正确的是( )A ．a >ab >ab 2B ．ab >a >ab 2C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a 【答案】D【解析】 ∵－1<b <0，∴1>b 2>0>b >－1，即b <b 2<1，两边同乘以a 得，∴ab >ab 2>a .故选D ．4．如果a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 【答案】C【解析】 ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A、B 、D 均正确．∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b【答案】B【解析】 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不等成立，故选B ．6．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 【答案】C【解析】 A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1x≤0.7．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c <b dC ．a d >b cD ．a d <b c【答案】D【解析】本题考查不等式的性质，a c －b d ＝ad －bccd，cd >0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bddc，dc >0，由不等式的性质可知ac <bd ，所以选项D 成立．本题也可以对实数a 、b 、c 、d 进行适当的赋值逐一排查．8．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 22<b B ．a <b <a 2＋b 22C ．b <a <a 2＋b 22D ．b <a 2＋b 22<a【答案】B【解析】a ＝sin15°＋cos15°＝2sin60°，b ＝sin16°＋cos16°＝2sin61°，∴a <b ，排除C 、D 两项．又∵a ≠b ，∴a 2＋b 22－ab ＝a －b22>0，∴a 2＋b 22>ab ＝2sin60°×2sin61°＝3sin61°>2sin61°＝b ，故a <b <a 2＋b 22成立．9．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A【答案】B【解析】 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此得B <A <C ，排除A 、C 、D ，选B ．具体比较过程如下：由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ， C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C ．二、填空题：10．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 【答案】x ＜y【解析】x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y . 11．给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a ＜1b成立的是________．【答案】①、②、④【解析】 1a ＜1b ⇔b －aab＜0，∴①、②、④能使它成立．12．a ≠2、b ≠－1、M ＝a 2＋b 2、N ＝4a －2b －5，比较M 与N 大小的结果为________． 【答案】M ＞N【解析】 ∵a ≠2，b ≠－1，∴M －N ＝a 2＋b 2－4a ＋2b ＋5＝(a －2)2＋(b ＋1)2＞0，∴M >N . 三、解答题13．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析【解析】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数． (2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤910×6x ＋6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤95x ＋4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7.14.有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：关系的不等式． 【答案】见解析【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.15．设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小． 【答案】见解析【解析】 根据同底数幂的运算法则．a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b)a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a . 当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b>a b b a.。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料不等关系与不等式［A组学业达标]1．下列说法正确的是()A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000"B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y"C．某变量x至少是a可表示为“x≥a"D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B,x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a,故D错误．答案：C2．若a＞b，x＞y,下列不等式不正确的是（）A．a＋x＞b＋y B．y－a＜x－bC．｜a｜x＞｜a|y D．(a－b)x＞(a－b）y解析：当a≠0时,｜a|＞0，|a|x＞｜a|y，当a＝0时，｜a|x＝｜a｜y,故｜a｜x≥|a|y,故选C.答案：C3．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0,则下列不等式成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yzC．x|y|＞z｜y｜D．xy＞xz解析:由题意知三数和为0，则最大数必大于0，最小数必小于0,其他数待定．可知x＞0，z＜0,又y＞z，则xy＞xz.答案:D4．已知M＝x2－3x＋7,N＝－x2＋x＋1，则()A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M，N的大小与x的取值有关解析：因为M＝x2－3x＋7,N＝－x2＋x＋1,M－N＝(x2－3x＋7)－（－x2＋x＋1)＝2x2－4x＋6＝2(x－1）2＋4＞0，所以M＞N，故选B。
答案：B5．设m，n∈R,给出下列结论:①m＜n＜0⇒m2＜n2；②ma2＜na2⇒m＜n；③错误!＜a⇒m＜na；④m＜n＜0⇒错误!＜1.其中正确的结论有（）A．①④B．②④C．②③D．③④解析：①m＜n＜0⇒m2＞n2；②ma2＜na2,可得m＜n，且a2≠0；③错误!＜a,n＞0时，得m＜na，n＜0时，得m＞na;④由m＜n＜0,得错误!＜错误!＜0,∴1＞错误!。
综上可得，②④正确．答案：B6．某次数学智力测验，共有20道题,答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式(1)教案新人教A版必修5
3.1.1 不等关系与不等式(一)一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学重、难点教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教学准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？ 生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式同步测试 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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《不等关系与不等式》同步测试1．已知a〉b，c〉d,且c、d不为0，那么下列不等式成立的是( ）A．ad>bc B．ac>bdC．a－c>b－d D．a＋c>b＋d2．已知a＜b,那么下列式子中,错误的是( )A．4a＜4b B．－4a＜－4bC．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－43．若2＜x＜6,1＜y＜3，则x＋y∈________.4．已知a＞b，ac＜bc,则有( ）A．c＞0 B．c＜0C．c＝0 D．以上均有可能5．下列命题正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若错误!＞错误!，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞b D．若错误!＜错误!，则a＜b6．设a，b∈R，若a－｜b｜＞0，则下列不等式中正确的是（) A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0C．b＋a＜0 D．a2－b2＞07．若b＜0，a＋b＞0,则a－b的值（)A．大于零B．大于或等于零C．小于零D．小于或等于零8．若x＞y，m＞n，则下列不等式正确的是( ）A．x－m＞y－n B．xm＞ymC。
错误!＞错误!D．m－y＞n－x9．若x、y、z互不相等且x＋y＋z＝0，则下列说法不正确的为( ) A．必有两数之和为正数 B．必有两数之和为负数C．必有两数之积为正数 D．必有两数之积为负数10．若a＞b＞0，则错误!________错误!(n∈N，n≥2）．(填“＞”或“＜”)答案：＜11．设x＞1，－1＜y＜0，试将x,y，－y按从小到大的顺序排列如下：________。
2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修
课时训练15 不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第1课时 不等关系与不等式的性质练习 新人教A版
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3.1 第1课时不等关系与不等式的性质A级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是（）A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”解析:对于A，x应满足x≤2 000,故A错; 对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a,故D错误．答案:C2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )A．A≤B B．A≥BC．A＜B或A＞B D．A＞B解析：因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2)＝（a－b2)2＋错误!b2≥0，所以A≥B。
答案：B3．已知0〈a<1，x＝log a错误!＋log a错误!，y＝错误!log a5，z＝log a错误!－log a错误!，则( ）A．x>y〉z B．z〉y〉xC．z>x>y D．y〉x〉z解析：由题意得x＝log a错误!,y＝log a错误!，z＝log a错误!,而0〈a<1,所以函数y＝log a x 在（0，＋∞)上单调递减，所以y>x>z.答案：D4．若a>b〉1，0<c<1，则（)A．a c<b c B．ab c<ba cC．a log b c〈b log a c D．log a c〈log b c解析:用特殊值法，令a＝3，b＝2,c＝错误!得3错误!〉2错误!，选项A错误,3×2错误!〉2×3错误!，选项B错误，3log2错误!〈2log3错误!，选项C正确，log3错误!〉log2错误!，选项D错误，故选C。
[推荐学习]高中数学 第三章不等式 不等关系与不等式教案测验试卷 教师版2 新人教A版必修5
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10.若 ，试比较 与 的大小。
集体研讨：
教学反思：
备注：
，那么；④如果 ，那么；如果 ，那么；⑤如果 ，那么；⑥如果 ，那么；⑦如果 ，那么；⑧ ，那么；
3.学生思考：不等式的哪几条性质与数的符号有关，使用中需要注意什么？
二、新课讲解：
例1.已知 ， ，求证： 。
分析1：用作差法证明。要证明 ，只需证明 即可。
证明：
分析2：用综合法证明。即利用不等式的性质或已知的定理、公理进行证明。
天台育青中学集体备课专用纸
高一年级数学备课组
课题
§3.1不等关系与不等式
第2课时总2课时
三维目标
知识目标：
能力目标：
情感目标：
重点难点
重点：利用作差法、综合法证明不等式。
难点：用综合法证明不等式。
教学过程设计
修改与补充
一、复习引入：
1.比较实数大小的基本事实：
① ；② ；③
2.不等式的八条性质：
①如果 ，那么；②如果 ，那么；③如果
A. B. C. D.
4.已知 ，则下列不等式中成立的是（）
A. B. C. D.
5.设 ，则下面不等式中正确的是（）
A. B. C. D.
6.下列各式中，对任何实数 都成立的一个式子是（）
A. B. C. D.
7.若 ，试按从小到大的顺序排列下面三个数：
。
8.请在下下列横线上填入一个符号（ ）： 4。
证明：
课内练习（课本 ）：已知 ，求证： 。
例2.比较下列ห้องสมุดไป่ตู้式的大小：
① 与 ；② 与
③ 与 ；④ 与
例3.设 且 ， ， ， ，试比较 与 的大小.
学年高中数学第三章不等式.不等关系与不等式作业含解析新人教A版必修
3.1 不等关系与不等式根底稳固一、选择题1．实数m 不超过2，是指( )A ．m >2B ．m ≥ 2C ．m <2D ．m ≤ 2[答案] D[解析] “不超过〞就是“小于等于〞，应选D ．2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，那么M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关 [答案] A[解析] M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0， ∴M >N .3．a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，那么以下各式正确的选项是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b [答案] A[解析] ∵a <0，b >0，∴a <b .又∵c －b ＝7－35>0，∴c >b ，∴a <b <c .4. 如图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售本钱与销售量之间的函数关系．当销量x 满足什么条件时，该公司赢利( )A ．x ＞aB ．x ＜aC ．x ≥aD ．0≤x ≤a [答案] A5．a <b <c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么( )A ．b 2－4ac >0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac <0D ．b 2－4ac 的正负不确定 [答案] A[解析] ∵a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＜0，c ＞0∴ac ＜0，∴b 2－4ac ＞0.6．P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P 、Q 的大小关系为( ) A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．无法确定 [答案] C[解析] P －Q ＝1a 2＋a ＋1－a 2＋a －1 ＝1－a 4－a 3－a 2＋a 3＋a 2＋a －a 2－a －1a 2＋a ＋1＝－a 4－a 2a 2＋a ＋1＝－a 2a 2＋1a 2＋a ＋1， ∵a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34>0，－a 2(a 2＋1)≤0， ∴－a 2a 2＋1a 2＋a ＋1≤0，∴P ≤Q . 二、填空题7．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，那么m 、n 的大小关系是________．[答案] m ≥n[解析] m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.8．假设(a ＋1)2>(a ＋1)3(a ≠－1)，那么实数a 的取值范围是________．[答案] a <0且a ≠－1[解析] ∵(a ＋1)2－(a ＋1)3＝(a ＋1)2(－a )＝－a (a ＋1)2>0，∴a <0且a ≠－1三、解答题9．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂，甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意，得。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案1无答案新人教A版(1)
3.1不等关系与不等式(一)、学习任务：1.了解不等式（组）的实际背景；2.掌握比较两个实数大小的方法；3. 掌握不等式的八条性质。
页完成下面任务：（二）、设问导读：阅读教材p7572-一、自主学习：1. 不等式的概念：用数学符号<，≤，>，≥或≠的式子叫做不等式。
2. 不等式中文字语言与符号语言之间的关系。
二、合作探究1.实数比较大小（阅读教材p页完成下面任务）7372-问题1. 实数比较大小的依据在数轴上不同的点A与B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质如果a-b是正数，那么，如果a-b是负数，那么，如果a-b等于零，那么，以上结论反过来也成立，即a>b⇔，a<b⇔，a=b⇔，比较实数a,b大小的依据：（1）文字叙述：如果a-b是那么a>b，如果a-b等于那么a-b是那么a<b ，反过来也对。
（2）符号表示：a-b >0⇔，a-b=0⇔， a-b<0⇔。
结论：比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，于是在比较两个实数的大小的一般步骤作差→恒等变形→判断差的符号（与0的关系）→下结论例如：已知a， b∈R+，试利用作差法比较a2+b2与a2 b +ab2的大小。
问题2. 不等式的基本性质（阅读教材p页完成下面任务）7473-1、在实数大小比较的基础上，可以给出不等式的八条基本性质的严格证明，证明时可以利用前面的性质论证后面的性质常用的不等式的基本关系（1）a>b⇔b a （对称性）(2) a>b,b>c⇒a c (传递性)（3）a>b⇒ a+ c b+ c （对加性）（4）a>b，c>0⇒ a c bc，a>b，c<0⇒ a c bc（5）a>b，c>d⇒a+c b+d( 6) a>b，c>d>0⇒ac bd(7)a>b>0,n∈N且n≥2⇒a n b n(8) a>b>0,n∈N且n≥2⇒2、例1：已知a>b>0,，c<0，求证a c >bc若用甲、乙、丙三种食物各xkg 、ykg 、zkg 配成100kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B 。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案新人教A版必修5(2021学年)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2018版高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式学案新人教A版必修5的全部内容。
3。
1 不等关系与不等式[学习目标］ 1。
能用不等式（组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会用作差法比较两实数的大小。
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系与不等式１.不等关系在现实生活中,不等关系主要有以下几种类型：（1）用不等式表示常量与常量之间的不等关系,如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥"探月器的质量;(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系,如儿童的身高小于或等于1。
４ｍ；（3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系,如当x>a时，销售收入f(x)大于成本ｇ（x)；（４)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60ｘ与购置椅子的费用３0y 的和不超过2 ０00元.2.不等式（1)不等式的定义用数学符号“=”“＞”“<”“≥”“≤"连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.(2）关于ａ≥ｂ和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于ｂ”,其含义是a＞ｂ或a=b,等价于“a不小于ｂ"，即若ａ＞b或ａ＝b中有一个正确，则ａ≥b正确.②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”，其含义是a＜ｂ或a=b,等价于“ａ不大于ｂ”,即若a＜b或a＝ｂ中有一个正确，则a≤b正确．知识点二比较大小的依据(1)比较实数ａ,b大小的文字叙述①如果a－b是正数，那么a>b;②如果a－b等于０，那么a=b;③如果a-b是负数,那么a<b,反之也成立.（2）比较实数ａ,ｂ大小的符号表示①a-b>０⇔a＞ｂ；②a－b=0⇔a=ｂ;③ａ-ｂ<0⇔ａ＜b.思考（1）当ｘ＞1时，x2-x＿＿＿_0(填“>”或“<”）．（2)(错误!+错误!)2__＿_10＋4错误!(填“＞”或“＜”)．答案 (１)> （2)＜解析(1)x2-x＝ｘ(x-1)ｘ>1时，ｘ-1>0,ｘ＞0,∴x(x-1)>0，∴x２-x＞0。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案 新
3.1 不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系思考限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？答案v≤40.梳理试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不超过b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二作差法思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.梳理作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.知识点三不等式的基本性质思考试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c.答案a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.梳理不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb类型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0.类型二 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x .命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 解|log a 1－x||log a 1＋x|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 1－x log a 1＋x ＝||log 1＋x1－x，∵0＜x ＜1， ∴||log1＋x1－x＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x，∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜11－x，∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a 1－x ||log a 1＋x |＞1，∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.反思与感悟 作商法的依据：若b ＞0，则ab＞1⇔a ＞b . 跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b与a b b a的大小．解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b)a －b，∵a ＞b ＞0，∴ab＞1，a －b ＞0，∴(a b )a －b ＞1，即a a b ba b ba ＞1， 又∵a ＞b ＞0，∴a a b b＞a b b a.类型三 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b.证明 因为a >b >0，所以ab >0，1ab>0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0⎭⎪⎬⎪⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0， ∴a >－b >b >－a .3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？解 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800.1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．40分钟课时作业一、选择题1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0， ∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0， ∴ax >a 2， ∴x 2>ax >a 2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b>a >a b2 D.a b >a b2>a答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12， ∴a b >a b2>a .3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2， ∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立， ∴C 成立；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |， ∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >c ⇒ab >ac .5．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <ab答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1. 6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b ≤2， ∴－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6.8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：____________. 答案a ＋mb ＋m >ab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案x1＋x 2≤12解析 ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0.∴x1＋x 2≤12. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为_______________． 答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36) ＝－1<0.所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2. 三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．解 据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：甲 乙 丙 维生素A(单位/kg)600700400少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x 、y 表示混合食物成本c 元，并写出x 、y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100， ∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.。
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9、已知 ，求证： ；
10、已知 ，求证： ；
集体研讨：
教学反思：
备注：
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度 “限高4m”；_______________
（3）如图，在一个面积为350 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，宽均为5m。仓库的长L大于宽W的4倍；____________________
2、用不等号“>”或“<”填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
课后训练
1、已知 ，且 不为0，那么下列不等式成立的是（）
A、 B、 C、 D、
2、已知 ，则下列不等式成立的是（）
A、 B、 C、 D、
3、已知 ，那么 的大小关系是（）
A、 B、
C、 D、
4、给出下列命题：① ；②C、③④D、①④
5、下面的推理过程：
其中错误之处的个数为（）
A、1 B、2 C、3 D、4
6、若 ，且 同号，则 （用不等号“>”或“<”填空）
7、 克糖水中有 克糖（ ），若再添上 克糖（ ），则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式__________________
8、对于实数 有下列命题：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若
三角形两边之和大于第三边
A小于B
限速40km/h，指示司机行驶时速度不超过40km/h
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不大于10.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%
问题2、比较等式与不等式的差异，探究不等式有哪些性质？
等式性质
不等式性质
1、
1、 ________________
2、
2、
3、
3、 _______________
4、
4、
5、
5、
6、
6、 ________________
7、
7、 ______________
8、
8、 _________________
9、
9、 _______( ）
师生互动：
1、用不等式表示下面的不等关系：
（1） 与 的和是非负数；____________________
天台育青中学集体备课专用纸
高一年级数学备课组
课题
不等关系与不等式
第1课时总2课时
三维目标
1、通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系；
2、了解不等式（组）的实际背景；
3、了解不等式一些基本性质；
重点难点
重点：
不等式的运算性质；
难点：
字母不等式的性质；
教学过程设计
修改与补充
问题1：将下列量的关系用不等式表示出来：