授课题目14行列式的性质授课时数4课时教学目标熟练掌
行列式及其性质PPT课件
上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
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下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
关于行列式基本性质习题课的教学设计
关于行列式基本性质习题课的教学设计作者：罗明燕唐兴芸来源：《亚太教育》2016年第05期摘要：通过强化练习，总结行列式的几种基本计算方法，加深学生对行列式基本计算方法的理解，激发学生的学习兴趣，拓展学生数学思维.关键词：行列式；教学设计；激发高等代数课程是数学专业学生必修的一门专业基础课程，行列式的定义、计算和应用是高等代数课程的重要内容之一.行列式不仅是解线性方程的一个重要工具，同时在矩阵、向量及二次型的讨论中也有广泛的应用.由于教师在教学过程中处于主导地位，若单纯使用讲授法，对于学生而言，行列式难以理解和掌握，从而导致很多学生对该门课程的学习产生了畏惧和厌倦心态.同时，几乎在每个高校附近，都有相关的教学参考书出售，其中不乏高等代数的习题解，如果仅仅通过批改学生的作业，不能反映学生的真实情况，这给教师了解学生真实的学习情况带来了难度.本文以行列式知识体系为基础，根据多年的教学实践经验，结合学生的专业特点，在已经介绍的行列式的定义及基本性质的基础上，针对初次皎行列式计算的学生采用练习法，进行了有益的尝试。
一、准备工作1.教师提前布置若干习题，学生需自己准备解法；2.上课由教师随机抽取学生上台演算并介绍解题过程及思路；3.教师逐一评价学生解题情况；4.每个学生的表现将纳入平时成绩的考核。
二、行列式的计算教学法设计1.教材教材选用普通高等教育“十一五”国家级规划教材，专业基础类，高等教育出版社出版的《高等代数》（第五版）（张禾瑞和郝炳新，2007）第三章，时间：2个学时。
2.课题行列式基本计算方法3.教学目标（1）知识目标（1）深入理解行列式的计算方法；（2）能观察行列式的特点，选择相应的计算方法。
（2）技能目标通过对行列式的观察、归纳，并掌握其规律，体会迁移的数学思想方法。
（3）情感目标通过对问题的观察、分析，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自学能力。
4.教学重点与难点（1）重点：灵活使用行列式的性质计算行列式。
行列式的教案
行列式的教案教案标题：探索行列式的概念和性质一、教学目标：1. 理解行列式的概念和基本性质2. 掌握计算2阶和3阶行列式的方法3. 能够应用行列式解决实际问题二、教学重点和难点：1. 行列式的定义和性质2. 行列式的计算方法3. 实际问题的行列式应用三、教学准备：1. 教材：包括行列式的定义、性质和计算方法的相关知识点2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪3. 教学素材：包括行列式的相关例题和实际问题四、教学过程：1. 导入：通过引入一个实际问题，引出行列式的概念和应用背景2. 概念讲解：介绍行列式的定义、性质和基本概念，引导学生理解行列式的含义和作用3. 计算方法：详细讲解2阶和3阶行列式的计算方法，并通过示例演示4. 实际问题：结合实际问题，演示如何应用行列式解决实际情况5. 练习与讲评：布置相关练习题，让学生进行练习，并及时进行讲评和指导6. 拓展：介绍更高阶行列式的计算方法和应用，拓展学生的知识面五、教学方法：1. 启发式教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣2. 演示法：通过示例演示行列式的计算方法，帮助学生理解3. 问题导向法：引导学生通过解决实际问题，掌握行列式的应用技巧六、教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习和讲评，检验学生对行列式概念和计算方法的掌握程度2. 实际问题解决能力：通过实际问题的解决过程，评估学生的应用能力和思维能力七、教学反思：1. 教学方法：根据学生的反馈和表现，及时调整教学方法，提高教学效果2. 教学内容：根据学生的学习情况，进行教学内容的调整和优化，确保教学目标的实现以上教案是围绕行列式的概念和性质展开的，通过引入实际问题和具体计算方法，帮助学生理解和掌握行列式的相关知识，同时注重实际问题的应用，培养学生的解决问题能力和思维能力。
行列式教学实践(3篇)
第1篇一、引言行列式是线性代数中一个重要的概念，它在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
行列式教学是线性代数教学的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
本文将结合教学实践，探讨行列式教学的方法和策略。
二、教学目标1. 让学生理解行列式的概念，掌握行列式的性质和运算规则。
2. 培养学生运用行列式解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
三、教学策略1. 理论讲解与实例分析相结合在教学过程中，教师应注重理论讲解与实例分析相结合。
首先，讲解行列式的定义、性质和运算规则，然后通过实例分析帮助学生理解和掌握这些知识。
例如，在讲解行列式的性质时，可以列举一些具体的例子，让学生观察并总结出行列式的性质。
2. 引导学生自主探究在教学中，教师应引导学生自主探究行列式的相关知识。
例如，在讲解行列式的性质时，可以让学生自己尝试推导出这些性质，或者通过小组合作的方式共同完成。
这样既能激发学生的学习兴趣，又能提高他们的逻辑思维能力。
3. 强化练习，巩固知识为了让学生更好地掌握行列式的知识，教师应安排适量的练习。
练习题应包括基础题、提高题和综合题，以满足不同层次学生的学习需求。
在练习过程中，教师应鼓励学生独立思考，找出解题的规律和方法。
4. 结合实际问题，提高应用能力行列式在解决实际问题中具有重要意义。
在教学过程中，教师应结合实际问题，引导学生运用行列式解决这些问题。
例如，在讲解行列式的应用时，可以引入物理学中的电磁场问题、工程学中的电路分析问题等，让学生在实践中掌握行列式的应用方法。
5. 运用多媒体技术，提高教学效果多媒体技术在行列式教学中具有重要作用。
教师可以利用多媒体技术展示行列式的性质、运算规则以及实际应用案例，使教学内容更加生动形象，提高学生的学习兴趣和积极性。
四、教学实践案例1. 讲解行列式的定义在讲解行列式的定义时，教师可以结合具体的例子，如2×2行列式和3×3行列式，让学生直观地理解行列式的概念。
线性代数行列式的概念和性质
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
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1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
大学数学行列式性质教案
课时：2课时教学目标：1. 理解行列式的概念和性质，掌握行列式的计算方法。
2. 能够运用行列式的性质解决实际问题，如解线性方程组、判断线性方程组的解的存在性等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重点：1. 行列式的概念和性质2. 行列式的计算方法3. 应用行列式解决实际问题教学难点：1. 行列式的性质的理解和运用2. 行列式的计算技巧教学过程：第一课时：一、导入1. 复习线性方程组的解法，引出行列式的概念。
2. 介绍行列式的定义和性质。
二、行列式的概念1. 行列式的定义：n阶行列式是由n行n列的元素按一定的顺序排列而成的一个数。
2. 行列式的表示方法：用符号D表示n阶行列式，例如，三阶行列式可以表示为D。
三、行列式的性质1. 性质1：行列式与它的转置行列式相等。
2. 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
3. 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
4. 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
5. 性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：D = D1 + D2，其中D1为第i列元素为第一数的行列式，D2为第i列元素为第二数的行列式。
6. 性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
四、行列式的计算方法1. 利用行列式的性质进行计算，如按行（列）展开、降阶等。
2. 利用行列式的性质简化计算，如化简行列式、求逆矩阵等。
五、课堂练习1. 计算以下行列式：（1）三阶行列式（2）四阶行列式2. 利用行列式的性质判断以下线性方程组的解的存在性：（1）二元线性方程组（2）三元线性方程组第二课时：一、复习1. 复习行列式的概念、性质和计算方法。
2. 回顾课堂练习。
二、应用行列式解决实际问题1. 利用行列式解线性方程组。
小学数学行列式的定义与性质课件
添加标题
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性质：展开后的项具有相同的代数 余子式，且符号可正可负
注意事项：在计算过程中需要注意 符号的变化和代数余子式的计算方 法
递推公式法
定义：递推公式法是一种通过递推关系式来计算行列式的方法。 适用范围：适用于一些较为复杂的三阶或四阶行列式计算。 步骤：首先将行列式表示为递推关系式，然后通过逐步展开递推关系式来计算行列式的值。 注意事项：在使用递推公式法时，需要注意递推关系式的正确性和计算的准确性。
感谢您的耐心观看
汇报人：XX
行列式的计算方法
代数余子式计算方法
单击添加标题
定义：代数余子式是去掉行列式中某行和某列后形成的二阶行列式的值乘以 (-1)的i+j次方，其中i和j分别为去掉的行号和列号。
单击添加标题
计算步骤：首先确定需要计算的代数余子式的行列式，然后按照定义进行展 开，最后按照二阶行列式的计算法则进行计算。
单击添加标题
行列式可以用来计算几何图形的面积和体积 行列式可以用来解决线性方程组，从而确定几何图形的位置和大小 行列式可以用来研究几何图形的性质，例如平行性、对称性等 行列式可以用来解决几何图形的变换问题，例如平移、旋转等
在线性方程组中的应用
在线性方程组中 的应用：行列式 可以用来判断线 性方程组是否有 解，以及解的个
数。
在矩阵运算中的 应用：行列式是 矩阵运算中的重 要工具，可以用 来计算矩阵的逆、
转置等运算。
在向量空间中的 应用：行列式可 以用来描述向量 空间的性质和结 构，如向量空间 的维数、基底等。
在数值分析中的 应用：行列式可 以用来求解数值 分析中的一些问 题，如求解线性 方程组、求解积
高考数学知识点解析行列式的性质与计算
高考数学知识点解析行列式的性质与计算高考数学知识点解析：行列式的性质与计算在高考数学中，行列式是一个重要的知识点，它在解决线性方程组、向量的叉积等问题中发挥着关键作用。
接下来，咱们就一起深入探讨行列式的性质与计算方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、行列式的定义首先，咱们来了解一下行列式的定义。
对于一个二阶行列式，它的形式是：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼对于一个三阶行列式，其形式为：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼从二阶和三阶行列式的定义，我们可以推广到更高阶的行列式。
二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。
所谓转置行列式，就是将原行列式的行与列互换得到的新行列式。
例如，二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼它的转置行列式为：＼＼begin{vmatrix}a ＆ c ＼＼b ＆ d＼end{vmatrix}＼这两个行列式的值是相等的。
2、互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
比如对于二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼如果将第一行和第二行互换，得到：＼＼begin{vmatrix}c ＆d ＼＼a ＆ b＼end{vmatrix}＼那么这个新行列式的值是原行列式值的相反数。
线性代数行列式的性质与计算PPT学习教案
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31
复习
1 1 2 3 1 3 3 7 9 5 求行列式D 2 0 4 2 1 的值。 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
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32
33
Байду номын сангаас
1 1 2 3 1
解 D 3 3 7 9 5
2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
2 1 1
0 8
16 2 7
0 16
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1 1
4 6
2 7
19
1 3 1 2
1 3 1 2
02 D
0 8
1 4
1 r3 4r2 0 2 1 1
6 r4 8r2 0 0 8 10
0 16 2 7
0 0 10 15
r454r3
1 0
0
3 2 0
1 1 8
2
1 2 8 5 40.
10
5 0 5 2 3 5 0 0 2 3
0 0 9 1 2
0 0 9 1 2
4 0 0 3 5
r1
11 2
r2
,r3
13 2
r2
,r5
9 2
r2
0
0
2
00
7 3 13 4 8
5 0 0 2 3
00 0
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1 2
29
40 0 00 2
3 0
5 0
c1
73 c2
,c3
13 3
c2
,
c4
4 3
.证明
记 D det(aij ),
行列式概念教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能：理解行列式的概念，掌握行列式的性质和运算方法。
2. 过程与方法：通过实际问题引入行列式，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对行列式学习的兴趣，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
二、教学重难点1. 教学重点：行列式的概念、性质和运算方法。
2. 教学难点：行列式的性质和运算方法的灵活运用。
三、教学过程1. 导入新课（1）通过实际问题引入行列式的概念，如求解线性方程组的解的个数和线性相关性的判断。
（2）引导学生观察问题中的系数，思考如何表示这些系数。
2. 行列式的概念（1）介绍行列式的定义，结合实例讲解行列式的构成要素。
（2）讲解行列式的性质，如行列式的转置、行列式的展开等。
3. 行列式的性质与运算（1）讲解行列式的性质，如行列式的转置、行列式的展开等。
（2）通过实例讲解行列式的运算方法，如行列式的乘法、除法等。
4. 行列式的应用（1）讲解行列式在求解线性方程组、判断线性相关性等方面的应用。
（2）通过实例讲解行列式在实际问题中的应用，如计算矩阵的行列式、求解矩阵的逆等。
5. 总结与巩固（1）对本节课所学内容进行总结，强调行列式的概念、性质和运算方法。
（2）布置课后作业，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、回答问题的准确性和思维的活跃度。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对行列式概念、性质和运算方法的掌握程度。
3. 实际应用：通过实际问题的解决，评估学生对行列式在实际问题中的应用能力。
五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的个体差异，针对不同层次的学生给予适当的指导。
2. 结合实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生对行列式的理解和应用能力。
3. 注重培养学生的数学思维和逻辑推理能力，提高学生的综合素质。
讲授内容主线
1 a ax a
1aaaax
14
第二讲 行列式的运算
1a
aa
a
0 xa 0 0
0
ri r1
i=2,3…n
x
n
1a
0
0
xa
0
0
0 0 0 xa 0
0 0 0 0 xa
x n 1ax an1
15
第二讲 行列式的运算
二. 行列式按行（列）展开（代数余子式及其性质）
1.余子式与代数余子 在 n 阶行列式中，把元素aij 所在的第 式i 行和第j列划去后，留下的 n-1阶行列式叫做元素 aij的余子式，
则 A ___
1 1 10 1
1 1 11 0
分析：行（列）和相等行列式，方法均加到第一列（行），提取公因式，
把第1列（行）变成1。把第2、3、…n列各行均加到第一行，，提取公因 数n－1后，再把第一行的－1倍加到第2、3…n各行，则有：
1 1 11 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 A (n 1)
a1 0 0 b1
a1 b1 0 0
a1 b1 0 0
0 a2 b2 0 b3 a3
0 （ 1）2 0
0
0
0 a2 b2 （ 1）2 b4 a4 0 0
0 b3 a3
0 0 a2 b2
b4 0 0 a4
b4 a4 0 0
0 0 b3 a3
a1 b1 a2 b2 b4 a4 b3 a3
应选D
12
第二讲 行列式的运算
(1)n1(n 1)
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
4
第二讲 行列式的运算
例3：计算4阶行列式：
行列式的性质电子教案
内容
教学
方法
学生学习活动
时间
分配
【组织教学】
清点学生人数，组织课堂纪律
【复习旧知识】
二阶三阶行列式的定义，全排列和对换的定义
【讲授新课】
一、引例
上节课大家都学习了二阶和三阶行列式的定义，那么n阶行列式的如何定义呢？
二.学生讨论
1.学生分组
2.学生讨论，并得出答案
3.小组代表回答
三、提供学材
1.n阶行列式的定义
2.行列式的性质
性质1性质2性质3
性质4性质5性质6
四、教师总结归纳
1. 阶行列式
其中 为自然数 的一个排列， 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 求和。
阶行列式 中所含 个数叫做 的元素，位于第 行第 列的元素 ，叫做 的 元。
2.对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用
重点和难点：理解行列式的定义
例：写出4阶行列式中含有 的项。
解： 和 。
例：试判断 和 是否都是6阶行列式中的项。
解： 下标的逆序数为 ，所以 是6阶行列式中的项。
下标的逆序数为 ，所以 不是6阶行列式中的项。
例：计算行列式
解：
。
3.行列式的性质
(1)行列式 与它的转置行列式 相等。
(2)互换行列式的两行（列），行列式变号。
(3)行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子 ，则 可提到行列式记号之外。
行列式的定义中应注意两点：
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
(1)和式中的任一项是取自 中不同行、不同列的 个元素的乘积。由排列知识可知， 中这样的乘积共有 项。
线性代数习题1.4行列式的性质PPT课件
线性代数
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1结4束
§1.4 行列式的性质
利用本例的结论，还可证明
a11 a1s c11 c1t
（1）
as1 0
a ss 0
cs1 b11
c st b1 t
a11 a1s b11 b1t
as1 ass bt1 btt
0 0 bt1 btt
0 0 a11 a1s
d 2 2d 1 2 2
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1结8束
§1.4 行列式的性质
6. 证明：因为Ddet(aij) 所以
an1 D1
ann(1)n1aa1n11
a1n ann
a11 a1n
a21 a2n
a11 a1n
a21 a2n (1)n1(1)n2 an1 ann
0 1 1 2 例1.D 1 1 0 2
1 2 1 0
(12) 1 1 0 2
0 1 1 2
1 2 1 0
2 1 10
2110
1 1 0 2
1 1 0 2
0
1
1
2
1(3)
0 1 12
0 3 14
0 1 1 2 (1)
0 02 4 0 022
1 1 0 2
0 1 1 2
0
0
2 4 4
线性代数
DD
a1n a 2n L a nn
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结2束
§1.4 行列式的性质
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. ri rj (行) ci cj (列)
行列式定义及性质
机动
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Байду номын сангаас
结束
例1
解二元线性方程组
x1 3x2 1, 2 x1 4 x2 5.
解 由于
二阶行列式的应用
D
1
3
2 4
1 3 5 4
10,
1 2 1 5
D1
19,
D2
3,
D1 19 x1 , D 10
D2 3 x2 . D 10
P n n( n 1) 3 2 1 n !
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.2 逆序数 对于 n 个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准 次序（例如，n 个不同的自然数 p1, p2, …, pn ，规定由小 到大为标准次序）.于是，在这 n 个元素的任意排列中， 当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了 一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序 数. 记
教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型 的行列式的各种方法. 教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
方阵行列式的定义
1 n阶行列式的引出 二元线性方程组
a11 x 1 a12 x2 b1, a21 x 1 a22 x2 b2 ,
用消元法求解，得：
(a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 a12b2 , (a11a22 a12a21) x2 a11b2 b1a21.
a13 a23 0 时， a33
D1 x1 D , D2 , 三元线性方程组有唯一解： x2 D D3 x . 3 D
其中： b1 a12 a13 a11 a12 b1 a11 b1 a13 D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2 . b3 a32 a33 a31 a32 b3 a31 b3 a33 三阶行列式的定义
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2． D与D的关系
性质1 行列互换，行列式不变，即
a11 a12 a21 a22 a n1 a n 2 a1n a2 n ann a11 a21 a12 a22 a1n a2 n a n1 an 2 ann
用处：行所具有的性质列也具有.
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证： 记 D det(bij ),
=
j1
ji
( 1) ( j1
jn
j2
jn )
a1j1
biji
anjn
=(3)式右端
+ j1 ji jn
(1)
( j1 ji jn )
a1 j1 cij。
a11
a12
a1n
b (1) i1 c ( 2) i1 k ( m) i1 b (1) i 2 c ( 2) i 2 k ( m) i 2 b (1) in c ( 2) in k ( m) in an1 an 2 ann
1 2 0 1 0 0 7 6
5 2 17 3
0 1 4 5
1 2 5 0 0 1 2 1 0 0 3 3 0 0 0 20
=-60
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例 4 计算 n+1 阶行列式
x a1 D a1 a1
（把 2,3,
a1 x a2 a2
a2 an a2 an x an a3 x
3 a1 3 a2 3 a3
c3 c2 c 2 c1
1 a1 1 1 1 a2 1 1 1 a3 1 1
=0
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（2）化“三角形”法 。
例 3 计算行列式
1 2 5 0 2 3 8 1 3 1 1 4 2 2 4 5
D
（化成下三角行列式来计算）
1 左上角是 1时 2 不是 1先化成 1, 再计算. 3 左上角是1时
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1 2 5 0 r 2r 2 1 2 3 8 1 r3 3r1 解 D 3 1 2 4 r4 r1 1 4 2 5
0 r3 7r2 1 2 5 r4 6r2 0 1 2 1 r4 3r3 0 0 3 3 0 0 9 11
j1 ji jn
a12 ai 2
a1n ain
an1
an 2 ann
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性质说明：
行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外。 推论 若行列式中的某一行（列）的元素全为零 时，则这个行列式为零。
证明 可直接由行列式的定义得到。
5．性质2.3的一应用
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ai 2 ka j 2 ain ka jn (4)
a j 2 a jn an 2 ann
证明
a11 ai1
（4）式右端=
a12 ai 2
a1n ain
a11 ka j1 a j1 an1
a12 a j2 an 2
24 16 10 13 2 45
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例2 计算行列式 1 a1 D 1 a2 1 a3
2 a1 2 a2 2 a3
3 a1 3 a2 3 a3
（用性质6，再用性质4）
1 a1 解 D 1 a2 1 a3
2 a1 2 a2 2 a3
1 0 3 9 67 5 7 3 4 12 8 例1 计算行列式 23 46 88 15 6 5 8 7
24 16 10 13 2 45
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解
1
0
3
9
67
1
0
3
9
67 5 7 0 5 45
3 4 12 8 23 46 88 15 6 5 8 7
5 3 4 12 8 7 2 23 46 88 15 3 5 4 7 12 13 8 2
(1)
( k1ki k j kn )
D1=-D.
推 论 若行列式中有两行（列）完全相同，则此 行列式等于零。
证明 设行列式D的第i行和第j行（i≠j)相同，由性质 2，交换这两行后行列式反号，即新的行列式等于-D.
但交换相同的两行行列式并未改变，所以D=-D,因此
D=0. 前页 后页 返回
i 1 i 1
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例 5 计算行列式
1 a1 1 1 1 1 1 a2 1 1 D 1 1 1 a3 1 1 1 1 1 a4
（把第 1 行（ 1）倍加到多行，再把第 i(i 2, 3,4) a1 列的 倍都加到第 1 列上） ai
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1 a1 1 ri r1 a1 a 2 解 原式 0 i 2,3,4 a1 a1 0
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7．消法变换对行列式的影响 性质6 把行列式中某一行（列）的所有元素同乘 以一个数后，加到另一行（列）的对应元 素上，所得到的行列式与原行列式相等。
a11 ai1 a j1 an1 a12 ai 2 a1n ain a11 ai1 ka j1 a j1 an1 a12 a j2 an 2 a1n a jn ann
( k1ki k j kn )
(1)
在D1中，D的第i行变成了第j行，第j行变成了 第i行，而列的次序没有改变。由定理1.3.1，考虑
(1 jin ) 是一个奇数，因而项
a1k1 aiki a jk j ankn
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在D1中的符号应是：
(1)
于是
(1 jin) ( k1ki k j kn )
a c1 1 ci ai i 2 , 3, 4
1 1 0 0 a3 0 0 a4
a1 a1 a1 1 a1 a2 a3 a4 0 0
4
1 a2 0 0
1 0 a3 0
1 0 0 a4
1 a1a 2a 3a 4 (1 ) i 1 a i
0
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小结：计算行列式有下列方法：
ann
D的每一项可以写成
a1k1 aiki a jk j ankn
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而
a1k1 aiki a jk j ankn 这一项的n个元素正好
位于D1 的不同行与不同列，所以它也是D1 的一项； 反之D1 的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应 D1的不同项，因此D和D1有相同的项数。 项 a1k1 aiki a jk j ankn在D中的符号是
a1n ain
（j行） （i行）
a jn ann
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交换D的第i行和第j行得
a11 a j1 D1 ai1 an1
a12 a j2 ai 2 an 2
a1n
（i行）
a jn ain
（j行）
( j1 ji jn ) ( 1 ) a1 j1 (kaiji ) anjn
kai 2 kain an 2 ann
j1 ji jn
a11 k[ (1) ( j1 ji jn ) a1 j1 aiji anjn ] k ai1
a11 b i1
a12 bi 2
a1n
a11
a12 ci 2
a1n cin （3） ann
bin ci1 ann
an1 an2
证 D= j1 ji jn
an1 an2
( j1 ji jn ) ( 1 ) a1 j1 (biji ciji )anjn
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1.4
授课题目 授课时数 教学目标 1.4 4课时
行列式的性质
行列式的性质
熟练掌握行列式的性质，并能利用性 质来简化行列式的计算 行列式的性质和化三角形法，分和法 利用性质来简化行列式的计算
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教学重点 教学难点
授课过程 一．行列式的性质 1．行列式的转置
定义 1 设有 n 阶行列式 a11 a1n D . an1 ann
4．倍法变换对行列式的影响
性质 3 把一个行列式的某一行（列）的所有元 素同乘以某一数k, 等于用数k 乘这个行列式，即
a11 kai1 an1
a1n
a11
a1n ain . ann
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kain k ai1 ann an1
证明 根据定义
a11 kai1 an1
a12
a1n
D
ii i
1 2
( 1) ( i1i2
n
in )
ai1 1ai2 2
a in n
D D.
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3．换法变换对行列式的影响
性质 2 交换行列式两行（列） ，行列式改变符号。
证明 设n阶行列式
a11 ai1 D a j1 an1
a12 ai 2 a j2 an 2
把 D 的各行依次变成相应的列，所得到的新行列式称 为 D 的转置行列式，用 D 表示，
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即
a11 D a12 a1n
a 21 a 22 a 2n
a n1 an 2 a nn .
问：①行写成列了，列呢？
②能否用列写成行定义？
③“转置”的几何意义？
④引入转置的目的？
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性质4 若行列式中有两行（列）的对应元素成 比例，则这个行列式为零。 证明 由推论1和推论2立即可得结论。 前页 后页 返回
6．拆项原理
性质 5 若行列式某一行（列）的多元素都是 两项的和，则此行列式可表为两个行列式的 和，即